3. Integración y Convergencia Uniforme.

Transcripción

1 30 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo Integrción y Convergenci Uniforme Integrción complej. Definición Dd un función f : Ω C continu, y un curv C 1 trozos : z = z(t), t [, b], se define l integrl de f lo lrgo de como: f(z) = b f(z(t))ż(t)dt = b Re[f(z(t))ż(t)] dt + i b Im[f(z(t))ż(t)] dt Ejemplo Aplicndo l definición nterior l circunferenci C r de centro en el punto y rdio r > 0, recorrid un sol vez en sentido ntihorrio, (z = + re it, t [0, 2π]), se obtiene: z = 2πi C r Proposición Propieddes de l integrl complej. 1. f(z) es independiente de l prmetrizción C1 trozos que se elij, con tl que se preserve l mism orientción de l curv. 2. f(z) = f(z) f(z) = 1 f(z) + 2 f(z). 4. kf(z) = k f(z) si k es un constnte complej independiente de z pr z. 5. (f(z) + g(z)) = f(z) + g(z) Demostrción: Si u y v son ls prtes rel e imginri de f, probemos l siguiente: Afirmción: f(z) = (udx vdy) + i (vdx + udy). De est firmción se deduce que el cálculo de l integrl de l función complej f de vrible complej z lo lrgo de un curv se reduce l cálculo de ls integrles de los cmpos reles (u, v) y (v, u) lo lrgo de l mism curv. Por lo tnto, un vez probd est firmción, ls propieddes enuncids en l proposición son válids porque lo son pr ls integrles curvilínes de los cmpos reles. Prueb de l firmción: Recordemos que l integrl de un cmpo (P, Q) lo lrgo de un curv con prmetrizción x = x(t), y = y(t), t [, b] es P dx + Qdy = b Por definición de integrl de f(z): f(z) = b f(z(t))ż(t)dt = [P(x(t), y(t)) ẋ(t) + Q(x(t), y(t)) ẏ(t)] dt (1) b Re[f(z(t))ż(t)] dt + i b Im[f(z(t))ż(t)] dt (2) En el último miembro de l iguldd nterior sustituimos ż(t) = ż(t) + iẏ(t), y tmbién f(z(t)) = u(x(t), y(t))+iv(x(t), y(t)) Operndo se obtiene l prtes rel e imginri de f(z(t))ż(t), y sustituyendo en (2), plicndo l definición (1) se verific l iguldd de l firmción. Definición Dd un función f : Ω C se llm primitiv de f en Ω, culquier función holomorf F H(Ω) tl que F (z) = f(z) z Ω.

2 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo Not Se dvierte que diferenci de lo que sucede con ls funciones de vrible rel, no existe necesrimente primitiv de un función f dd, complej continu en un bierto no vcío Ω. (Ver ejemplo en 3.1.9). Sin embrgo existe l integrl de f lo lrgo de culquier curv contenid en Ω, y que es el número complejo ddo en l definición El problem de inexistenci de primitiv no se produce porque f se o no se integrble lo lrgo de curvs, porque si f es continu, es integrble siempre lo lrgo de curvs en Ω, y que existe el número complejo definido en El problem es de otr clse: no es cierto en generl pr ls funciones continus de vrible complej el teorem fundmentl del cálculo que vle pr tods ls funciones continus f de vrible rel, y que firm que l integrl de un función continu f en un segmento con extremo inicil constnte y extremo superior vrible, es siempre un primitiv de f. Es cierto sin embrgo un versión del teorem fundmentl del cálculo, con hipótesis dicionles l continuidd de f. (Ver teorem ) Teorem Regl de Brrow. Si f es continu y si existe F primitiv de f en Ω, entonces: f(z) = F(z 2 ) F(z 1 ) pr tod curv Ω con extremo inicil z 1 y extremo finl z 2. En prticulr f(z) = 0 pr tod curv cerrd Ω. Demostrción: Se U = Re(F), V = Im(F). Luego F(z) = U(z) + iv (z) Tomemos un prmetrizción z = z(t), t [, b] de l curv, y consideremos l función compuest F(z(t)) = U(z(t)) + iv (z(t)). Derivándol respecto de t y plicndo l regl de l cden se obtiene: Luego [U(z(t)] + i[v (z(t)] = [F(z(t)] = F (z(t)) ż(t) = f(z(t)) ż(t) [U(z(t)] = Re[f(z(t)) ż(t)], [V (z(t)] = Im[f(z(t)) ż(t)] (1) Por definición de integrl de f: f(z) = b f(z(t))ż(t)dt = b Re(f(z(t))ż(t))dt + i Aplicndo (1) y l regl de Brrow pr funciones reles de vrible rel: = f(z) = b [U(z(t)] dt + i b b [V (z(t)] dt = = U(z(b)) U(z()) + i[v (z(b)) V (z())] = Re(f(z(t))ż(t)) dt (2)

3 32 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo = [U(z(b)) + iv (z(b))] [U(z()) + iv (z())] = F(z(b)) F(z()) (3) Si l curv une el punto z 1 con el punto z 2 entonces z() = z 1, z(b) = z 2. L iguldd (3) se trnsform en f(z) = F(z 2 ) F(z 1 ) Corolrio Si f H(Ω) tiene derivd idénticmente nul en Ω, entonces f es constnte en cd componente conex de Ω. Demostrción: Si f tiene derivd idénticmente nul, entonces f es un primitiv de l función constnte igul cero. Aplicndo l regl de Brrow culquier curv : z = z(t), t [, b], que un un punto z 1 con un punto z 2 en Ω result: f(z 2 ) f(z 1 ) = 0 = b 0 ż(t)dt = 0 Fijndo z 1, se deduce que f(z) es constnte igul f(z 1 ) pr todo punto z que pued ser unido con z 1 por lgun curv en Ω. Es decir f es constnte en l componente conex de Ω que contiene z 1. Eligiendo z 1 en otr componente conex de Ω, y repitiendo el rzonmiento, se deduce que F es constnte en cd un de ls componentes conexs de Ω. Ejemplo Se m un número nturl m 0. L función (z ) m+1 /(m+1) es holomorf en C y su derivd es (z ) m. Luego, pr tod curv cerrd : (z ) m = 0 2. Se m un número entero negtivo m 1. L función (z ) m+1 /(m + 1) es holomorf en C \ {} y su derivd es (z ) m. Luego, pr tod curv cerrd que no pse por : (z ) m = 0 Ejemplo L función 1/(z ) es continu ( e incluso holomorf y C ) en Ω = C \ {}. Sin embrgo su integrl lo lrgo de l circunferenci C r Ω es 2πi 0. Luego, usndo el contrrrecíproco de l Regl de Brrow, se deduce que no existe primitiv de 1/(z ) en Ω. A pesr de ello, sbemos del teorem que en el conjunto simplemente conexo Ω 1 = C \ {z C : z = x R, x 0} l función Log [0,2π) (z ) es holomorf y tiene como derivd 1/(z ). Entonces Log [0,2π) (z ) es un primitiv de 1/(z ) en Ω 1. Análogmente sbemos del teorem que en el conjunto simplemente conexo Ω 2 = C\{z C : z = x R, x 0} l función Log ( π,π] (z ) es holomorf y tiene como derivd 1/(z ). Entonces Log ( π,π] (z ) es primitiv de 1/(z ) en Ω 2. Tmbién obtuvimos en el teorem lo siguiente: Fijdo θ 0 R, se S 3 = {z C : θ 0 rg(z )} l semirrect con extremo en y que form ángulo θ 0 con el semieje rel positivo. Se Ω 3 = C \S 3 el conjunto bierto y simplemente conexo que se obtiene retirndo del plno complejo l semirrect S 3. Entonces l función Log [θ0,θ 0 +2π)(z ) es holomorf en Ω 3 y tiene como derivd 1/(z ). Por lo tnto Log [θ0,θ 0 +2π)(z ) es primitiv de 1/(z ) en Ω 3.

4 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo Teorem Teorem fundmentl del cálculo. Se f es continu en Ω. ) Si existe lgun función F definid en Ω que cumple pr tod componente conex R de Ω F(z 1 ) F(z 0 ) = f(z) pr lgún punto z 0 R, pr todo z 1 R y pr tod curv Ω que un z 0 con z 1, entonces F es un primitiv de f en Ω (es decir F H(Ω) y F = f). b) Si f(z) = 0 pr tod curv cerrd contenid en Ω entonces existe primitiv de f en Ω. Demostrción: Prte ): Probemos que F (z 1 ) existe y es igul f(z 1 ). Elijmos un disco D de centro z 1 y rdio positivo, contenido en Ω. Tomemos z 2 D, z 2 z 1. Elijmos un curv culquier que un z 0 con z 1. Tomemos el segmento S : z(t) = z 1 + t(z 2 z 1 ), t [0, 1] que une z 1 con z 2. L curv + S une z 0 con z 2. Entonces: 1 F(z 2 ) F(z 1 ) = f(z) f(z) = f(z) = [f(z 1 + t(z 2 z 1 ))](z 2 z 1 ) +S Dividiendo entre z 2 z 1 se deduce: F(z 2 ) F(z 1 ) z 2 z 1 = 1 0 S [f(z 1 + t(z 2 z 1 ))] Tomndo límite cundo z 2 z 1 el integrndo en l iguldd nterior tiende f(z 1 ) uniformemente con t [0, 1] (porque f es continu en el segmento compcto S, por lo tnto es uniformemente continu en S). Entonces, existe el límite y es límz 2 z 1 F(z 2 ) F(z 1 ) z 2 z 1 = límz 2 z [f(z 1 + t(z 2 z 1 ))] = f(z 1 ) Por definición de derivd, ese límite es F (z 1 ) = f(z 1 ) como querímos demostrr. Prte b): Construiremos un función F en cd componente conex de Ω. Llmemos R un componente conex culquier de Ω. Elijmos z 0 R y dejémoslo fijo. Tomemos z 1 R culquier. Definmos l función F(z 1 ) = f(z) donde es culquier curv C 1 trozos contenid en Ω que une z 0 con z 1. L función F está bien definid, es decir no depende de l curv elegid. En efecto, si tommos dos curvs 1 y 2 contenids en Ω que unn el punto z 0 con z 1, l curv cerrd 1 2 cumple por hipótesis que f(z) f(z) = f(z) = Luego l integrl de f lo lrgo de 1 y de 2, vle lo mismo. L función F sí definid en cd componente conex de Ω cumple l condición de l prte ). Entonces es un primitiv de f.

5 34 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo Teorem Acotción de integrles. Se Ω un curv culquier C 1 trozos, prmetrizd con z = z(t), t [, b] con longitud L. Se f continu en Ω, y se M máx z f(z). Se cumple l siguiente desiguldd: f(z) f(z) ML donde = ż(t) dt = ẋ 2 + ẏ 2 dt = ds, siendo s [0, L] l bscis curvilíne de l curv orientd pr t creciente. Demostrción: Probemos primero l segund desiguldd de l tesis, es decir f(z) ML. Siendo f(z) M z, result: f(z) = f(z) ds Mds = M ds (1) Por definición de longitud L de l curv se cumple: ds = L, luego sustituyendo en (1) result f(z) ML como querímos probr. Ahor probemos l primer desiguldd de l tesis, es decir f(z) f(z). Se I = f(z). Primer cso: Si I = 0 entonces l desiguldd que queremos probr es inmedit y que l integrl de l derech en ell es no negtiv. Segundo cso: Si I 0, escribmos I = I e iθ donde θ es un constnte rel, rgumento de I. Tomndo un prmetrizción z = z(t), t [, b] de l curv, result: b I = Ie iθ = e iθ f(z) = e iθ f(z) = e ithet f(z(t))ż(t)dt Llmndo se tiene I = b g(t)dt = g(t) = e iθ f(z(t))ż(t) b Pero I es un número rel. Se concluye que b I = Re(g(t))dt + i b b Im(g(t))dt Im(g(t))dt = 0, y entonces: Re(g(t))dt Sbiendo que pr culquier complejo u se cumple Re(u) u, obtenemos: I = b Re(g(t)) dt Observndo que e iθ = 1 result: I que es lo que querímos demostrr. b b g(t) dt = b f(z(t)) ż(t) dt = e iθ f(z(t)) ż(t) dt f(z)

6 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo Ejemplo Se un curv cerrd C 1 trozos, que no ps por el punto, y tl que d un vuelt sol en sentido ntihorrio lrededor de y que cort en un solo punto b = x 1 + l semirrect S 1 = {z C : z = x R, x 0}. Se Ω 1 = C \ S 1. L función 1/(z ) tiene primitiv en Ω 1, que es Log [0,2π) (z ). Se puede extrer de l curv un rco de longitud ɛ > 0 rbitrrimente pequeño pr que el rco restnte quede contenido en Ω 1. Usndo l cotción del teorem nterior, y luego hciendo ɛ 0, se deduce que z = 2πi siendo 2πi el slto de discontinuidd en l semirrect S 1 de l función Log [0,2π) (z ), que es primitiv de 1/(z ) en Ω 1. Por lo tnto si es un curv cerrd que no ps por y que d k vuelts lrededor de, (con l convención de que k es un entero culquier, k > 0 signific que el sentido es ntihorrio, y que k < 0 es en sentido horrio) cortndo k veces l semirrect S 1, se deduce: z = 2kπi Ejemplo Análogmente l ejemplo nterior, usremos el resultdo l finl del ejemplo 3.1.9, pr probr el siguiente resultdo: Si es un curv cerrd que no ps por y que d k vuelts lrededor de trvesndo l semirrect S 3 (con extremo en el punto ) un número finito p de veces, de ls cules k 1 veces son en sentido ntihorrio y k 2 veces en sentido horrio, entonces k = k 1 k 2. Probemos que z = 2kπi Pr seguir l siguiente construcción, que es válid en generl, hágse un figur con un curv que, por ejemplo de dos vuelts lrededor de y que corte p = 3 veces l semirrect S 3, tres en sentido ntihorrio y un en sentido horrio. Ddo ɛ > 0 prtimos en 2(k 1 + k 2 ) = 2p rcos consecutivos, = p, tles que 1, 3,..., 2p 1 no cortn S 3 y los restntes 2, 4,..., 2p cortn S 3, en un único punto cd uno, y tienen longitudes menores que ɛ. Por rzones de convenienci llmmos 0 = 2p Denotmos z j l extremo inicil del rco j y z j+1 l extremo finl del rco j que coincide con el extremo inicil de rco j+1. Se plic l regl de Brrow pr clculr j 1/(z ) pr j = 1, 3,...(2p 1), y que l función Log [θ0,θ 0 +2π)(z ) es primitiv de 1/(z ) en Ω 3 = C \ S 3. Pr j = 1, 3,...,2p 1 result: lím ɛ 0 j z = lím [ Log[θ0,θ ɛ π)(z j+1 ) Log [θ0,θ 0 +2π)(z j ) ] = λ j 2πi donde λ j = +1 si los rcos j+1 y j 1 trviesn mbos l semirrect S 3 en sentido ntihorrio; λ j = 1 si lo hcen mbos en sentido horrio; y λ j = 0 si lo hcen en sentidos opuestos. Esto es porque z j+1 y z j tienden puntos en l semirrect S 3 por ldos distintos cundo λ j+1 = ±1),

7 36 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo y por lo tnto el límite de l derech es igul l slto de tmño ±2πi de discontinuidd en l semirrect S 3 de l función Log [θ0,θ 0 +2π)(z ). Se observ que j=1,3,...,2p 1 λ j ument +1 por cd rco j+1 que trvies l semirrect S 3 en sentido ntihorrio, y disminuye (se le greg 1) por cd rco j+1 que trvies l semirrect S 3 en sentido horrio. Luego j=1,3,...,2p 1 λ j = k 1 k 2 = k Por otr prte, pr j = 2, 4...,2p, usmos el teorem de cotción de integrles pr obtener: z Mɛ 0 Sumndo todo qued 2p z = lím ɛ 0 j=1 j j z = 2πi j=1,3,...,2p 1 λ j = (k 1 k 2 )2πi = 2kπi 3.2. Convergenci uniforme de series de funciones complejs. Se K un conjunto no vcío de complejos. Se pr cd nturl n 0 un función complej f n definid pr todo z K (no necesrimente continu). Definición Convergenci puntul de series de funciones. Un serie de funciones f n(z) converge puntulmente pr todo z K si, pr cd z fijo en K existe lím f n (z) = f(x) N + Es decir, ddo z Ω y ddo ɛ > 0, existe N 0 (que puede depender de z) tl que N N 0 f(z) f n (z) < ɛ Cundo l serie f n(z) converge puntulmente pr todo z K l función f(x) se escribe f n (z) = f(x) z K Definición Convergenci bsolut de series de funciones. Se dice que f n = f converge bsolutmente pr todo z K si l serie de los módulos f n(z) converge puntulmente pr cd z K fijo. Al igul que pr series de números reles se demuestr que si l convergenci bsolut implic l convergenci puntul de l serie dd, sin los módulos, pero el recíproco es flso. Definición Convergenci uniforme de series de funciones. Un serie de funciones f n(z) converge uniformemente en K si existe un función f(z) definid pr z K tl que lím sup f(z) N + z K f n (z) = 0

8 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo Es decir, ddo ɛ > 0, existe N 0 (que es independiente de z) tl que N N 0 f(z) f n (z) < ɛ z K Cundo l serie f n(z) converge uniformemente en K l función f(z) se escribe f n = f (C.U. en K) Not: Si un serie de funciones converge uniformemente en K f(z), entonces converge puntulmente f(z) pr todo z K. El recíproco es flso. Ejemplo L serie geométric de rzón z definid como zn 1 converge puntulmente 1/(1 z) pr todo z tl que z < 1. Es decir z n = 1 1 z z D 1(0) Sin embrgo l serie zn no converge uniformemente en D 1 (0). Demostrción: Pr ver que zn converge puntulmente pr todo z D 1 (0) clculemos explícitmente su reducid N-ésim: z n = 1 + z + z 2 + z 3 + z z N z z n = z + z 2 + z z N + z N+1 Restndo mbs igulddes: (1 z) N zn = 1 z N+1. De donde, si z 1: z n = 1 zn+1 (1) 1 z El límite de l reducid N-ésim cundo N + no existe si z > 1 pues en ese cso z N+1. El límite de l reducid N-ésim cundo N + existe y es 1/(1 z) si z < 1 pues en ese cso z N+1 0. Por lo tnto l serie geométric zn converge puntulmente l función 1/(1 z) pr todo z D 1 (0). L convergenci no es uniforme en D 1 (0) pues: 1 N sup z D1 (0) 1 z z n = sup z D1 1 (0) 1 z 1 zn+1 1 z = = sup z D1 z N+1 (0) 1 z = sup z D 1 (0) z N+1 1 z = + pues cundo z D 1 (z 0 ) se cerc 1, el denomindor tiende cero. 1 Por convención z 0 = 1 pr todo z, ún busndo de l notción, cundo z = 0.

9 38 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo Teorem Criterio de l myornte de Weierstrss. Si f n (z) A n, independiente de z, pr todo z K y si A n converge, entonces f n (z) converge uniformemente y bsolutmente en K Demostrción: Consideremos, pr cd z fijo en K l sucesión de reducids N- ésims F N (z) = N f n(z). Probemos que pr cd z fijo en Kest sucesión es de Cuchy. Acotemos l diferenci F M (z) F N (z) pr todo M > N 0, usndo l myornte A n F M (z) F N (z) = M n=n+1 f n (z) M n=n+1 f n (z) M n=n+1 A n = M A n Como A n es rel no negtivo y M > N, el último término de l desiguldd de rrib es no negtivo, y deducimos: F M (z) F N (z) M A n A n z K, M > N 0 (1) L serie A n es convergente de términos reles; entonces l sucesión de sus reducids es un sucesión de Cuchy. Se deduce que pr todo ɛ > 0 existe N 0 (independiente de z K, pues los términos A n son independientes de z) tl que Sustituyendo en (1), se deduce: M > N N 0 M A n A n < ɛ M > N N 0 F M (z) F N (z) < ɛ z K, (2) Entonces l sucesión F N (z) es un sucesión de Cuchy. De (2) se deduce que ls prtes reles e imginris de F N (z) son tmbién sucesiones de Cuchy en l rect rel, porque pr todo complejo u (y en prticulr pr u = F N (z) F M (z) de (2)) se cumple Re(u) u, Im(u) u. Como l rect rel es complet, tod sucesión de reles que se un sucesión de Cuchy es convergente lgún vlor rel. Entonces existen u(z) = Denotndo f(z) = u(z) + iv(z), se cumple lím Re(F N(z)), v(z) = lím Im(F N(z)) N + N + lím F N(z) = f(z) z K (3) N + L iguldd (3) signific que l serie f n(z) converge puntulmente pr todo z K l función f(z). A n

10 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo Hemos probdo que: f n (z) A n, A n convergente f n (z) converge puntulmente pr todo z K (4) Ahor vemos que l convergenci es tmbién uniforme. En l desiguldd (2) elijmos un N > N 0 y dejémoslo fijo. Pr cd z K fijo, llmemos α = F N (z). Entonces (2) se trnsform en: M > N F M (z) α < ɛ Hciendo M +, con N fijo, se deduce: f(z) α ɛ, o lo que es lo mismo: f(z) F N (z) ɛ. Como est desiguldd es válid pr culquier N N 0 y pr culquier z K deducimos que: ɛ > 0 existe N 0 (independiente de z) tl que N > N 0 f(z) F N (z) ɛ < ɛ z K (Ddo ɛ > 0, elegimos ɛ = ɛ/2). L firmción nterior es por definición l convergenci uniforme l función f(z) de l serie f n(z) en el conjunto K. Hemos termindo l prueb de l convergenci uniforme en K. Sólo rest demostrr que l serie f n(z) converge bsolutmente pr todo z K. Consideremos l serie de los módulos f n(z) L firmción (4) es plicble l función f n (z) en lugr de f n (z), luego l serie de los módulos converge puntulmente, como querímos demostrr. Ejemplo L serie geométric zn converge uniformemente en culquier conjunto compcto K contenido en D 1 (0). Prueb: Se r = máx z K z. Si K D 1 (0) es compcto entonces r < 1. (Se observ que si K no fuer compcto ese máximo r no tendrí por qué existir; hbrí supremo pero, si no se lcnz, el supremo podrí ser 1). Se tiene z n = z n r n = A n, independiente de n, pr todo z K. L serie A n es geométric de rzón rel no negtiv r < 1. Entonces es convergente. Por el criterio de l myornte de Weierstrss, l serie geométric zn converge uniformemente en K. Teorem Convergenci uniforme y continuidd. Si pr todo n 0 l función f n es continu en K, y si f n = f (C.U. en K), entonces f es continu en K. Demostrción: Llmemos F N (z) l reducid N-ésim de l serie, es decir F N (z) = f n (z)

11 40 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo Como l reducid es l sum de un cntidd finit de funciones f n que son continus, F N (z) es continu. Por definición de convergenci uniforme, pr todo ɛ > 0 existe N 0 (independiente de z K) tl que N > N 0 f(z) F N (z) < ɛ/3 z K (1) Elijmos un N > N 0 y dejémoslo fijo. Por l continuidd de F N respecto de z, fijdo z 0 K, dedo ɛ > 0 (el mismo ɛ que ntes) existe δ > 0 tl que z K, z z 0 < δ F N (z) F N (z 0 ) < ɛ/3 (2) Escribmos el incremento de f(z) hciendo precer el incremento de F N, pliquemos l propiedd tringulr del módulo de complejos, y luego usemos ls desigulddes (1) y (2): f(z) f(z 0 ) = f(z) F N (z) + F N (z) F N (z 0 ) + F N (z 0 ) f(z 0 ) f(z) F N (z) + F N (z) F N (z 0 ) + F N (z 0 ) f(z 0 ) < ɛ/3 + ɛ/3 + ɛ/3 = ɛ z K tl que z z 0 < δ Por definición de continuidd hemos probdo que f es continu en z 0. Como z 0 puede ser culquier punto de K entonces f es continu en K. Teorem Convergenci uniforme e integrción. Si pr todo n 0 l función f n es continu en K, y si f n converge uniformemente en K, entonces ( ) ( ) f n (z) = f n (z) pr culquier curv C 1 trozos contenid en K. Demostrción: Llmemos f(z) = f n(z) pr cd z K. Por el teorem de convergenci uniforme y continuidd l función f es continu en K. Por lo tnto está definid l integrl I = f(z) El objetivo consiste en probr que I = lím N ( ) f n (z)? (1) (El signo de interrogción se gregó pr recordr que ún no está probd l iguldd). Llmemos F N (z) l reducid N-ésim de l serie, es decir: F N (z) = f n (z) Como l reducid es l sum de un cntidd finit de funciones f n y l integrl de l sum (de un cntidd finit de sumndos) es l sum de ls integrles, se deduce:

12 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 8 Myo ( ) ( N ) f n (z) = f n (z) = F N (z) (2) Como l convergenci es uniforme en K, pr todo ɛ > 0 existe N 0, independiente de z tl que N N 0 sup f(z) F N (z) < ɛ z K Luego: I F N (z) = (f(z) F N (z)) f(z) F N (z) ɛ L < ɛ donde L es l longitud de l curv, y ɛ > 0 se elige menor que ɛ/l, ddo ɛ > 0. Deducimos entonces que I = lím F N (z) N + y entonces, usndo (2), se prueb (1) como querímos. Ejemplo Pr culquier curv D 0 (1) que un el origen con el punto z 1 se tiene, debido l compcidd de : ( ) 1 1 z = ( ) z n = z n z1 n+1 = n + 1 Por otr prte Log [0,2π) (z 1) es primitiv de 1/(1 z) pr todo z complejo tl que (z 1) no se rel 0. Entonces es primitiv en D 1 (0). Aplicndo l regl de Brrow l integrl del primer miembro de l iguldd nterior, se concluye que el desrrollo en serie de potencis de z de Log [0,2π) (z 1) es: Log [0,2π) (z 1 1) = iπ n=1 z n 1 n z 1 D 1 (0) Análogmente, sustituyendo z por z se tiene: ( ) z = ( ) ( z) n = ( z) n = ( 1) n z n+1 1 n + 1 Por otro ldo Log ( π,π] (z + 1) es primitiv de 1/(1 + z) pr todo z complejo tl que (1 + z) no se rel 0. Entonces es primitiv en D 1 (0). Aplicndo l regl de Brrow l integrl l primer miembro de l iguldd nterior, se concluye que el desrrollo en serie de potencis de z de Log (pi,π] (z + 1) es: Log ( π,π] (z 1 + 1) = n=1 ( 1) n 1 z n 1 n z 1 D 1 (0)