Teoremas de convergencia. Integral sobre... Convergencia... Convergencia...

Transcripción

1 covergecia este capítulo teemos como objetivo demostrar las propiedades más importates de la Itegral de Lebesgue. teemos que demostrar todavía las propiedades fudametales de liealidad y aditividad respecto al domiio, y vamos a estudiar tambié el comportamieto de la itegral frete a los ĺımites de sucesioes o series de fucioes medibles. Las propiedades de la itegral respecto a los ĺımites de sucesioes se deomia teoremas de covergecia. Y precisamete gracias a uo de ellos vamos a poder demostrar de ua forma secilla aquellas dos propiedades que hemos mecioado. Así que los resultados irá apareciedo de forma u poco desordeada a lo largo del capítulo. Itegral sobre...

2 1. Itegral sobre subcojutos medibles mpezamos este capítulo co u pequeño resultado sobre la itegral e u subcojuto de u cojuto medible, y alguas cosecuecias, que vamos a utilizar e los siguietes resultados. covergecia Itegral sobre... Proposició. Sea R, medible Lebesgue, y f : R fució medible o egativa, o itegrable. Sea A medible Lebesgue. toces f = fχ A A f fχ A A A

3 covergecia Itegral sobre... Demostració: Como A es u cojuto medible, la fució χ A es medible, y por tato fχ A es medible Lebesgue. Supogamos primero que f es o egativa. Por defiició, f = sup{ s; s : A R fució simple, 0 s(x) f(x) x A} y A A fχ A (x) = sup{ t; t : R fució simple, 0 t(x) fχ A (x) x } Vamos a ver que para cada fució simple s : A R que verifique 0 s(x) f(x) para todo x A hay ua fució simple t : R co 0 t(x) fχ A (x) para todo x, tal que s = t, y, recíprocamete para cada fució simple t : R que A verifique 0 t(x) fχ A (x) para todo x hay ua fució simple s : A R co 0 s(x) f(x) para todo x A tal que s = t. Así los dos cojutos que aparece A arriba so iguales, y por tato las itegrales so iguales. Sea s : A R ua fució simple e A, tal que 0 s(x) f(x) para todo x A. Si k s tiee ua descomposició de la forma s(x) = a i χ Ai (x), co A i subcojutos medibles i=1

4 de A, extedemos la defiició de s a mediate la fució t(x) = k a i χ Ai (x) + 0χ \A i=1 covergecia Itegral sobre... t es ua fució simple, que verifica evidetemete 0 t(x) f(x)χ A (x) para todo x k de, y t = a i m(a i ) + 0m( \ A) = s i=1 Recíprocamete, si t : R es ua fució simple co 0 t(x) fχ A (x) x, ecesariamete para cada x \ A tiee que ser t(x) = 0, así que y t(x) = t(x)χ A (x) + 0χ \A (x) Si t = m j=1 b jχ Bj, podemos poer t(x) = t = m b j χ Bj A + 0χ \A j=1 m b j m(b j A) j=1 A para todo

5 Defiimos etoces s como la restricció de t a A, que tedrá ua expresió de la forma s(x) = t A (x) = m b j χ Bj A j=1 covergecia Itegral sobre... que verifica 0 s(x) = t(x) f(x) si x A, y m s = b j m(b j A) = t A j=1 Si f es ua fució itegrable, o ecesariamete o egativa, se tiee f = f + f = f + χ A A A A f χ A Ahora bie, (f + χ A )(x) = (fχ A ) + (x) y (f χ A )(x) = (fχ A ) (x). Por tato, sustituyedo arriba, f = fχ A A

6 Cosecuecias: covergecia 1. Si f es ua fució medible o egativa e, y A, B so subcojutos medibles de co A B, etoces f f A B efecto, basta teer e cueta que si A B, χ A χ B Itegral sobre...

7 Cosecuecias: covergecia Itegral sobre Si f es ua fució medible o egativa e, y A, B so subcojutos medibles de co A B, etoces f f A B efecto, basta teer e cueta que si A B, χ A χ B 2. Si f es ua fució medible o egativa o itegrable e, y A es u subcojuto de co m(a) = 0, etoces f = 0 A efecto, podemos supoer que f es o egativa, y luego razoar co f + y f. toces fχ A es ua fució medible y o egativa, y fχ A (x) = 0 para casi todo x de (para todo x de \ A), luego f = fχ A = 0 = 0 A

8 Cosecuecias: covergecia Itegral sobre Si f es ua fució medible o egativa e, y A, B so subcojutos medibles de co A B, etoces f f A B efecto, basta teer e cueta que si A B, χ A χ B 2. Si f es ua fució medible o egativa o itegrable e, y A es u subcojuto de co m(a) = 0, etoces f = 0 A efecto, podemos supoer que f es o egativa, y luego razoar co f + y f. toces fχ A es ua fució medible y o egativa, y fχ A (x) = 0 para casi todo x de (para todo x de \ A), luego f = fχ A = 0 = 0 A 3. Si f es ua fució medible o egativa e, y todo puto de. f = 0, etoces f(x) = 0 e casi efecto, si llamamos A = {x : f(x) > 0}, y A = {x : f(x) 1/}, teemos que:

9 covergecia A A +1 para todo N; y A = =1 toces m(a) = lim m(a ). Si fuese m(a) > 0, existiría algú 0 tal que m(a 0 ) > 0, y etoces 1 f f = 1 m(a 0 ) > 0 A 0 A A cotra la hipótesis de que f teía itegral 0 e. Itegral sobre...

10 2. Covergecia Moótoa covergecia Vamos a demostrar ahora alguos de los teoremas más importates de la teoría itegral de Lebesgue. l primer teorema de covergecia se da para sucesioes crecietes de fucioes o egativas. De él obtedremos varias cosecuecias, etre las que se ecuetra la demostració de la liealidad de la itegral. Itegral sobre...

11 2. Covergecia Moótoa covergecia Itegral sobre... Vamos a demostrar ahora alguos de los teoremas más importates de la teoría itegral de Lebesgue. l primer teorema de covergecia se da para sucesioes crecietes de fucioes o egativas. De él obtedremos varias cosecuecias, etre las que se ecuetra la demostració de la liealidad de la itegral. Teorema (de Covergecia Moótoa). Sea R u cojuto medible Lebesgue, y sea {f } N ua sucesió o decreciete de fucioes medibles o egativas, tales que para todo x existe f(x) = lim f (x). toces f es medible, o egativa, y f = lim f

12 covergecia Itegral sobre... Demostració: (Saltar al fial de la demostració) Ya hemos visto que el ĺımite putual de fucioes medibles es medible, luego f es medible. Además, para todo x, f (x) 0, luego f(x) = lim f (x) 0 Y como {f } es o decreciete, dado x e, f (x) f +1 (x) para todo N, luego f (x) f(x) para todo, y para todo x. toces f f para todo N y por tato lim f f Hay que demostrar la otra desigualdad, para lo que veremos que para toda fució simple s co 0 s f e, se tiee s lim f Sea s ua fució simple, tal que 0 s(x) f(x) para todo x de. Y sea α u úmero real, co 0 < α < 1 Defiimos para cada N el cojuto A = {x : f (x) αs(x)}

13 covergecia f s αs f Itegral sobre... A A A A Se tiee que cada A es medible, y que f f A αs = α A s A

14 covergecia Itegral sobre... luego Si s tiee ua expresió de la forma s(x) = A s = k b j m(b j A ) j=1 f α k b j m(b j A ) j=1 k b j χ Bj, y esto para cada N. Se trata de estudiar qué ocurre si Ahora bie, como la sucesió {f } es o decreciete, j=1 etoces x A f (x) αs(x) f +1 (x) f (x) αs(x) x A +1 luego {A } es ua sucesió creciete de cojutos medibles. Además = A : =1 Si x y s(x) > 0, como f(x) = lim f (x) s(x) > αs(x), existirá algú 0 tal que f 0 (x) αs(x), luego x A 0

15 covergecia Itegral sobre... Y si s(x) = 0, trivialmete x A para todo. cosecuecia, para cada j etre 1 y k, fijo, la sucesió {B j A } es creciete, y (B j A ) = B j ( A ) = B j = B j =1 =1 de dode lim m(b j A ) = m(b j ). Así, k lim f α lim( m(b j A )) = α = α j=1 k b j m(b j ) = α j=1 s k b j lim m(b j A ) = Y esto para todo α co 0 < α < 1. Haciedo que α tieda a 1, se tiee lim f s Por último, tomado supremos etre todas las fucioes simples s co 0 s f e, se tiee lim f f j=1

16 lo que termia la demostració. (Volver al euciado) covergecia Itegral sobre... Observacioes: l teorema es cierto auque las codicioes del euciado se verifique e casi todo puto de solamete: Sea R u cojuto medible Lebesgue, {f } ua sucesió de fucioes medibles e o egativas, y f ua fució e o egativa, tales que: Para cada N existe u cojuto Z co m(z ) = 0 tal que f (x) f +1 (x) para todo x \ Z xiste u cojuto Z 0 tal que para todo x \ Z 0 f(x) = lim f (x). toces f es medible y f = lim f efecto, basta defiir el cojuto Z = =0 Z, que verifica m (Z) =0 m(z ) = 0, luego es medible, y las fucioes g = f χ \Z y g = fχ \Z, que so medibles, e iguales a f y a f e casi todo puto, respectivamete. Además g (x) g +1 (x) para todo x y para todo N, y g(x) = lim g (x) para

17 todo x. Aplicado el caso aterior a estas fucioes se tiee g = lim g y por tato f = g = lim g = lim f covergecia Itegral sobre... Ua de las aplicacioes que vamos a utilizar de este teorema es la extesió de la itegral de Riema a fucioes o acotadas, o a fucioes defiidas e domiios o acotados, utilizado sucesioes crecietes de cojutos medibles Jorda e los que podamos utilizar la itegral de Riema, y el siguiete corolario: Corolario 1. Sea R medible Lebesgue, y sea f : R ua fució medible o egativa. Sea {A } N ua sucesió o decreciete de cojutos medibles (A A +1 para todo ), tal que = =1 A. toces f = lim f A Demostració: Cosideremos las fucioes f = fχ A. So fucioes medibles, o egativas, y además al ser la sucesió de cojutos creciete, tambié para todo x se tiee f (x) f +1 (x) para todo N.

18 covergecia Itegral sobre... Mas aú, para cada x, existe u úmero 0 tal que x A para todo 0, luego f (x) = f(x) para todo 0. s decir, lim f (x) = f(x). Aplicado el teorema de covergecia moótoa, f = lim f = fχ A = A f Otra cosecuecia del Teorema de covergecia moótoa y el teorema de aproximació de fucioes medibles por fucioes simples es la liealidad de la itegral. Corolario 2 (Itegral de la suma de fucioes o egativas). Sea R medible Lebesgue, y sea f, g : R fucioes medibles o egativas. toces (f + g) = f + g Demostració: Podemos costruir dos sucesioes o decrecietes de fucioes simples o egativas, {s } y {t }, y tales que s (x) f(x) y t (x) g(x) para todo x de. toces {s + t } es ua sucesió o decreciete de fucioes simples, o egativas, que tiede a f + g; aplicado el teorema de covergecia moótoa a f, g y f + g, f + g es medible, o egativa, y (f + g) = lim( s + t ) = lim( s + t ) = f + g

19 covergecia Itegral sobre... Lema 1. Sea R medible Lebesgue y f : R. Supogamos que existe dos fucioes g, h : R o egativas, itegrables, tales que f = g h. toces f es itegrable y f = g h Demostració: primer lugar, f será medible por ser diferecia de fucioes medibles. segudo lugar, si f = g h, etoces f g + h, luego f g + h < Por tato f es itegrable. Además, como f = f + f, se tiee f + f = g h f + + h = g + f Aplicado las propiedades de la itegral de fucioes o egativas, f + + h = (f + + h) = (g + f ) = g + f

20 covergecia Itegral sobre... luego f = f + f = g h Corolario 3 (Liealidad de la Itegral). Sea R medible Lebesgue, y sea f, g : R fucioes itegrables. a) f + g es itegrable y (f + g) = f + g b) Para todo α R, αf es itegrable, y αf = α f Demostració: a) f + g es medible por ser suma de fucioes medibles. Además f + g f + g, luego f + g ( f + g ) = f + g <, así que f + g es itegrable. Y aplicado el lema aterior, como f + g = f + + g + f g, (f + g) = (f + + g + ) (f + g ) = = f + + g + f g = f + g

21 covergecia Itegral sobre... b) Para todo α R, αf es medible. Además αf = α f = α f < luego αf es itegrable. Si α 0, (αf) + = α(f + ) y (αf) = α(f ), luego αf = α(f + ) α(f ) = α f Y si α < 0, (αf) + = ( α)f y (αf) = ( α)f +, luego αf = ( α)f ( α)f + = α f Y como cosecuecia de la liealidad, la aditividad co respecto al domiio de itegració. Corolario 4 (Aditividad respecto al domiio). Sea R medible Lebesgue, y f : R medible, o egativa o itegrable. A, B medibles Lebesgue, co A B =. toces f = f + f A B A B Sea

22 Demostració: Basta teer e cueta que al ser A y B disjutos, χ (A B) = χ A + χ B, y utilizar el corolario aterior. covergecia Itegral sobre... Corolario 5. Sea R medible Lebesgue, y {f } ua sucesió de fucioes medibles o egativas de e R. Sea f : R tal que para casi todo x f(x) = f (x). toces f es medible, y f = =1 f Demostració: Basta teer e cueta que g N (x) = =1 f (x) = lim N =1 N f (x), y defiir las fucioes N f (x), que será medibles, o egativas, y formará ua sucesió o decreciete. =1 Aplicado el teorema de covergecia moótoa y la liealidad de la itegral, =1 f(x) = =1 f (x) = lim N g N (x) = lim N N f (x) = f (x) =1 =1

23 covergecia Itegral sobre... Corolario 6. Sea R medible Lebesgue, {f } ua sucesió o decreciete de fucioes itegrables de e R,y f : R tales que f(x) = lim f (x) para casi todo x y lim f <. toces f es itegrable y f = lim f Demostració: Basta cosiderar la sucesió (f f 1 ), que será tambié o decreciete y formada por fucioes o egativas. Aplicado el teorema de covergecia moótoa, (f f 1 ) = lim(f f 1 ) es medible, y (f f 1 ) = lim (f f 1 ) = lim f f 1 < Por tato, (f f 1 ) es itegrable, luego f = (f f 1 ) + f 1 tambié es itegrable, y además f = (f f 1 ) + f 1 = lim f l mismo resultado es cierto para sucesioes o crecietes, como se demuestra cambiado f por ( f ) y f por ( f).

24 3. Covergecia Domiada covergecia Itegral sobre... Corolario 7 (Lema de Fatou). Sea R medible Lebesgue, y {f } ua sucesió de fucioes medibles o egativas de e R, tales que para todo x existe lim if f (x). toces lim if f lim if f Demostració: Por defiició, lim if f = lim(if f k). Defiamos etoces para cada N g (x) = k if f k(x) k Las fucioes g so medibles, o egativas, y forma ua sucesió o decreciete. Aplicado el teorema de covergecia moótoa, lim if f f = lim g = lim g = lim if g lim if f pues g f para todo. Lema 2. Sea R medible Lebesgue, y sea f, g : R dos fucioes tales quef = g e casi todo puto de. Si f es itegrable, etoces g tambié es itegrable y f = g.

25 covergecia Itegral sobre... Demostració: Como f es medible, razoado como e el caso de fucioes medibles o egativas, g tambié es medible. Además f y g so fucioes o egativas, y f = g e casi todo puto de, luego f = g, y por tato g es itegrable. Por último, si f = g e casi todo puto, tambié f + = g + y f = g e casi todo puto, luego f = f + f = g + g = g

26 Veamos ahora el segudo teorema de covergecia: covergecia Itegral sobre... Teorema (de Covergecia Domiada). Sea R medible Lebesgue. Sea {f } ua sucesió de fucioes medibles de e R, g ua fució itegrable o egativa e, y f : R, de modo que: 1. para todo N, f (x) g(x) para casi todo x 2. para casi todo x, f(x) = lim f (x) toces f es itegrable y f = lim f Demostració: (Saltar al fial de la demostració) Supogamos e primer lugar que las codicioes (1) y (2) se cumple e todo el cojuto : para todo N f (x) g(x) y lim f (x) = f(x), para todo x toces f es medible por ser ĺımite putual de fucioes medibles.

27 Cada fució f es itegrable, pues si f g, f g <. itegrable, pues si f(x) = lim f (x), etoces Y tambié f es f(x) = lim f (x) g(x) covergecia Itegral sobre... luego f g < Sólo hay que probar por tato la igualdad del ĺımite y la itegral. Para teer fucioes o egativas, cosideremos las fucioes f + g: Se tiee f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) 0 f (x) + g(x) 2g(x) para todo x de Y lim (f (x) + g(x)) = (f(x) + g(x)) para todo x de. Aplicado el Lema de Fatou, (f + g) = lim (f + g) lim if (f + g) = lim if f + g

28 covergecia Itegral sobre... de dode se deduce que f lim if f Para la otra desigualdad, cosideremos la sucesió de fucioes ( f ) : so fucioes medibles, verifica f g e, y lim ( f )(x) = ( f)(x) para todo x de. Repitiedo el proceso aterior, ( f) lim if cosecuecia lim sup f ( f ) = lim sup f f lim if f lim sup f luego las dos desigualdades debe ser igualdades, y f = lim f el caso geeral, existe u cojuto Z 0 tal que lim f (x) = f(x) para todo x de \ Z 0, y m(z 0 ) = 0. Y para cada N existe u cojuto Z co m(z ) = 0 y f (x) g(x) para todo x de \ Z

29 covergecia Defiimos etoces Z = Z, que verifica m(z) m(z ) = 0, luego e =0 particular es medible; y si x \ Z = =0 ( \ Z ) se verifica a la vez f (x) g(x) para todo N, y lim f (x) = f(x). Cosideramos las fucioes h = fχ \Z y h = f χ \Z Teemos: =0 Itegral sobre... h (x) = { f (x) si x \ Z 0 si x Z h (x) h(x)para todo x de g(x) y h so itegrables, ya que h = f salvo e Z, que es u cojuto de medida cero; además h = f. Aplicado el caso aterior, h es itegrable, y h = lim h. Por último, como h = f salvo e Z, que es u cojuto de medida cero, f es itegrable, y f = h.

30 Por tato f = h = lim h = lim f covergecia (Volver al euciado) Itegral sobre...

31 covergecia Itegral sobre... Corolario 8. Sea R medible Lebesgue, y {f } ua sucesió de fucioes itegrables e. Si para casi todo x, f(x) = ( ) f (x), f (x) < y f <, etoces f es itegrable, y f = f Demostració: Podemos supoer como e los teoremas ateriores, que las codicioes se verifica e todos los putos de. k Defiamos g k (x) = f (x); g k so fucioes medibles, y verifica =1 lim g k (x) = f (x) = f(x) k =1 para todo x de. Además k g k (x) f (x) f (x) =1 =1

32 covergecia y por hipótesis la fució g(x) = f (x) es itegrable. Así, aplicado el teorema de covergecia domiada, f es itegrable y f(x) = lim k g k = lim k =1 =1 k f (x) = lim k k f (x) = f (x) =1 =1 e Itegral sobre...

33 Para termiar, utilizado los teoremas de covergecia, vamos a ver la relació etre la itegral de Riema Impropia y la Itegral de Lebesgue. covergecia Itegral sobre... Teorema (Itegral de Riema Impropia Itegral de Lebesgue). a) Sea I = [a, b) u itervalo e R, a < b, y sea f : I R o egativa itegrable e setido impropio de Riema e I. toces f es itegrable Lebesgue e I y (R) b a f = (L) f I b) Sea I = [a, b) u itervalo e R, a < b, y sea f : I R tal que f es itegrable e setido impropio de Riema e I. toces f es itegrable Lebesgue e I y (R) b a f = (L) f I Hay fucioes itegrables e setido de Riema Impropio que o so itegrables Lebesgue, debido a que la Itegral de Lebesgue exige que la itegral del módulo de f sea fiita, lo que se correspode co las itegrales absolutamete covergetes e setido impropio.