VECTORES : Las Cantidades Vectoriales cantidades escalares

Transcripción

1 VECTORES En física hay dos tipos de cantidades: Las Cantidades Vectoriales son aquellas que tiene tanto magnitud como dirección y sentido sobre la dirección), mientras que las cantidades escalares son aquella que tiene sólo magnitud. Las cantidades vectoriales, como la fuerza, la velocidad, se representan por medio de un segmento de recta dirigido, llamado vector. La flecha apunta en la dirección de la acción y su longitud proporciona la magnitud de la acción en términos de una unidad elegida en forma adecuada. Por ejemplo, el vector de fuerza apunta en la dirección en que ésta actúa; su longitud es una medida de la intensidad de la fuerza; un vector velocidad apunta en la dirección del movimiento y su longitud es la rapidez del objeto móvil. Definición: Geométricamente un vector es un segmento de recta dirigido o flecha, el cual tiene un punto inicial P y un punto final Q; su longitud o magnitud se denota por PQ. Las flechas que se utilizan cuando se dibujan vectores, representan al mismo vector si tienen la misma longitud, son paralelas y apuntan en el mismo sentido, independientemente del punto inicial. Por lo tanto, un vector se puede trasladar paralelo a si mismo sin alterarlo. En la gráfica los cuatro vectores son iguales. AB = CD = OP = EF De acuerdo con lo anterior, cualquier vector AB se puede representar como un vector cuyo punto inicial es el origen del sistema cartesiano, en este caso decimos que el vector está en posición estándar. Un vector en posición estándar punto inicial es el origen) puede representarse de manera única por medio de las coordenadas de su punto final, ya sea en el plano o el espacio. Definición: Un vector en el plano es un par ordenado de números reales Ax, y). Un vector en el espacio es una terna ordenada de números reales Ax, y, z). Los números x, y, z se llaman componentes del vector. La representación gráfica del vector A, cuyo punto inicial es el origen del sistema cartesiano y cuyo punto final es el punto de coordenadas Px, y, z) recibe el nombre de vector en posición estándar o vector de posición OP del punto Px, y, z).

2 Todo punto A en el plano o el espacio se puede interpretar como un vector posición OA. -Los vectores se representan por: una letra negrita, A, por una letra con una flecha arriba, A, por un segmento de recta dirigida indicando el punto inicial y final, PQ. Sean dos puntos o vectores posición) del espacio PP P2, P3) y Qq q2, q3). Se define el vector PQ, que comienza en el punto P y termina en el punto Q, de la forma: PQ = Q P = q q2, q3) - P P2, P3) = q1 P q2 P2, q3 P3) CARACTERISTICAS DE LOS VECTORES Longitud, magnitud o norma de un vector La longitud magnitud o norma) de un vector A es la longitud de cualquiera de sus representaciones, se representa por A o A y se define como: Si A = x 1, y ) 1 R² entonces A = x x 2 2 Si A = x, y, ) R³ entonces A = x x x z1 Dirección de un vector: La dirección de un vector viene dado por los ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes. En el plano, la dirección de un Vector A = a, b) viene dada por θ x = tan 1 b/a). Como θ x + θ y = 90 0 entonces si conocemos θ x conocemos θ y. De igual manera, en el espacio la dirección de un vector A = a, b, c) viene dada por los tres ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes. Estos ángulos, θ, α, β, reciben el nombre de ángulos directores y se obtienen de los cosenos directores, los cuales se definen de la siguiente forma: Cos θ = a A = Cos α = b A = Cos β = c a a 2 +b 2 +c 2 b a 2 +b 2 +c 2 A = c a 2 +b 2 +c 2 Angulo formado entre A y el eje x Angulo formado entre A y el eje y Angulo formado entre A y el eje z La identidad pitagórica fundamental en el espacio se expresa entonces de la forma cos 2 θ + cos 2 α + cos 2 β = 1

3 Vector unitario: Un vector unitario, magnitud 1) en la dirección del vector A se define de la forma: De la expresión U A = A A U A = A A. tenemos que un vector A se puede expresar como el producto de su magnitud A por un vector unitario que tenga la dirección del vector A es decir A = A U A. a Vector unitario en el plano: U A =, b a 2 +b 2 a 2 +b 2) = cosθ x, cosθ y ) Vector unitario en el R 3 a : U A =, b, c a 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c2) = cosθ, cosα, cosβ) Un vector unitario está formado por los cosenos directores del vector. Todo vector del plano o del espacio se puede escribir usando vectores unitarios que representan a los ejes cartesianos: -En el plano: el vector i = 0) representa al eje x, j = 0,1) al eje y. -En el espacio: el vector i = 0, 0) representa aleje x, j = 0, 0) al eje y, k = 0, 0, 1) al eje z. Estos vectores unitarios i, j, k tienen la propiedad de que ninguno de ellos es múltiplo del otro y son perpendiculares entre sí. Igualdad de vectores. Dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes correspondientes son iguales, es decir: x y1) = x 2, y2 ) x1 x2, y1 y2 x y z1) = x 2, y2, z2 ) x1 x2, y1 y2, z1 z2 OPERACIONES ENTRE VECTORES SUMA DE VECTORES La suma de dos vectores A y B del mismo orden o tamaño, denotado por A + B, se realiza sumando los elementos o componentes correspondientes de A y de B, es decir: Si A = x y z1) y B = x 2, y2, z2 ) Si A = x y1) y B = x 2, y2 ) A + B = x y z1) + x 2, y2, z2 ) A + B = x y1) + x 2, y2 ) = x x, y y, z ) = x x, y ) z y2 La suma de dos vectores puede representarse geométricamente de dos formas: -Usando el método del paralelogramo, donde los dos vectores salen del mismo punto inicial y se forma un paralelogramo, cuya diagonal es el vector suma, ver gráfica.

4 -Usando el método del polígono podemos expresar un vector como la suma de dos o más vectores. El vector OR ver grafica) se puede expresar como la suma de los vectores OP, PQ y QR, para esto, se organizan los vectores uno detrás del otro, como indica la figura superior, y el vector resultante es el vector OR = OP + PQ + QR, que va desde el origen inicio del primer vector OP ) hasta el punto final donde termina el ultimo vector QR ). Multiplicación de un vector por un escalar. Para multiplicar un vector A por un escalar c, cada uno de los componentes del vector A se multiplica por el escalar c, es decir: Si A = x y, z ) y c R entonces ca = c) x y, z = cx cy, cz ) 1 1 La figura ilustra la forma grafica de como se restan vectores: los vectores v y -v, w y -w son paralelos pero tienen sentido contrario. v w = v + w ) Para restar dos vectores sumamos el primer vector con el opuesto aditivo del segundo vector. Graficamente dibujamos el vector w en sentido, contrario del vector w, y hacemos la suma normal Al multiplicar un vector por un escalar, la magnitud y/o el sentido del vector puede cambiar, pero no la dirección. Geométricamente, el múltiplo escalar de un vector v y un escalar c es el vector que tiene c veces la magnitud de v, como se muestra en la figura. Si c es positivo, cv tiene la misma dirección y sentido que v. Si c es negativo, cv tiene la misma dirección pero sentido opuesto.

5 Dos vectores w y v diferentes de cero son paralelos si y solo si w = λ v, para alguna constante λ 0. De acuerdo con esto, dos vectores son paralelos si: Son múltiplos entre si, w = λ v El ángulo entre ellos es cero, λ > 0, y w y v tienen igual dirección y sentido) o π λ < 0, y w y v tienen igual dirección, sentido opuesto). Propiedades de la suma vectorial y de la multiplicación por escalar. Sean A, B, C vectores en R² o R³, y sean c, d escalares: 1. A + B = B + A Propiedad conmutativa 2. A + B) + C = A + B + C) Propiedad asociativa 3. c A + B) = c A + c B Propiedad distributiva 4. ca = c A Producto punto o escalar de vectores. El producto punto o escalar entre dos vectores es un escalar que se define como: Si A = y B = x 2, y2, z2 ) entonces A B = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Si A = x, ) y B = entonces A B = x 1 x 2 + y 1 y 2 x y z1) 1 y1 x 2, y2 ) Propiedades del producto punto Si A, B, C son vectores en R² o R³ y c es un escalar, entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1. A B = B A Propiedad conmutativa 2. A B + C) = A B + A C Propiedad distributiva 3. c A B) = c A) B = A c B) Propiedad asociativa 4. A A = A² = A 2 5. A A 0 y A A = 0 si y sólo si A = 0 Si θ es el ángulo más pequeño formado por los vectores A y B, diferentes de cero, entonces el producto punto de A y B se puede definir de la forma A B = A B cos θ De esta definición se tiene que el ángulo formado por los vectores A. B A y B viene dado por cos θ = A B, θ = cos 1 A. B A B ) Nota: Dos vectores w y v diferentes de cero son perpendiculares forman un ángulo de π 2 o 90o ) si y solo si w v = 0. Dos vectores son paralelos si A B = A B A partir de esta última definición de producto punto tenemos que: i i = j j = k k = 1 Mientras que i j = j k = k i = 0

6 Teorema de Pitágoras: Si A y B son vectores en R y solo si A B 2 A 2 B 2 n, entonces A y B son ortogonales si RECTAS EN EL ESPACIO En el plano una recta se determina con un punto y un número que nos indica la pendiente. En el espacio una recta se determina con un punto y un vector, llamado vector director, que nos indica la dirección de la recta. El vector director de una recta es cualquier vector que sea paralelo a la recta o que este en la recta, es decir, cualquier vector que tenga la misma dirección de la recta. Ecuacion Vectorial de la Recta: Si Px y z1) un punto de la recta L y v = a, b, c) un vector director de la recta paralelo a la recta), entonces la ecuación vectorial de la recta L viene dada por x, y, z) = x 1, y 1, z 1 ) + t a, b, c) donde t R Esta ecuación se puede escribir en la forma rt) = x 1, y 1, z 1 ) + t a, b, c) Si los puntos Px 1, y 1, z 1 ) y Q x 2, y 2, z 2 ) pertenecen a la recta L, entonces un vector director de la recta es el vector PQ = x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) y una ecuación vectorial del recta vendrá dada por rt) = x 1, y 1, z 1 ) + t PQ donde t R Generalizando, la ecuación vectorial de una recta es de la forma r = x, y, z) nos da la coordenada de cualquier punto de la recta r t) = A + t B B es el vector director de la recta A Es un punto de la recta vector posición OA ) Reemplazando en notación de componentes i, j, k tenemos que: x i + y j + z k = x 1 i + y 1 j + z 1 k + t a i + b j + c k) Igualando las respectivas componentes i, j, k obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta: x = x 1 + t a y= y 1 + t b Ecuaciones paramétricas de una recta z = z 1 + t c

7 Al despejar el parámetro t de las ecuaciones paramétricas e igualarlas obtenemos las ecuaciones simétricas de una línea recta. Ecuaciones simétricas de una recta, donde a, b, c son las coordenadas del vector director todas diferentes de cero) y x y z1 son las coordenadas de un punto de la recta x x 1 a = y y 1 b = z z 1 c Nota: Las ecuaciones vectoriales, paramétricas o simétricas de una recta no son únicas. Si tenemos dos rectas L 1: x, y, z) = P + t v y L 2: x, y, z) = Q + s w, donde s, t ε R entonces para comparar dos rectas debemos tener en cuenta solamente sus vectores directores: 1) Las rectas L 1 y L 2 son paralelas si y solo si v es paralelo a w : v = γw o v w = 0 2) Las rectas L 1 y L 2 son perpendiculares si y solo si v es perpendicular a w : v w = 0 3) El ángulo entre L 1 y L 2 es igual al ángulo entre sus vectores directores v y w 4) Para dos rectas en el espacio sólo se pueden dar las siguientes alternativas: Las rectas son paralelas: En este caso los vectores directores son paralelos múltiplos entre sí) pero no tienen ningún punto en común. Las rectas son iguales: En este caso los vectores directores son paralelos y las rectas tienen infinitos punto en común. Las rectas se cortan en un solo punto: En este caso los vectores directores no son paralelos no son múltiplos entre sí) y tienen un solo punto en común. Las rectas son oblicuas: Dos rectas en el espacio son oblicuas si no son paralelas sus vectores directores no son paralelos) ni se cortan ver la figura), es decir están en planos paralelos 5) Si tenemos dos puntos en el plano Px y 1) y Qx 2, y 2) cuyos vectores posición son OP y OQ respectivamente, entonces podemos hallar tanto la ecuación cartesiana como la ecuación vectorial de la línea recta. Para hallar la ecuación cartesiana de la recta necesitamos la pendiente, la cual que se define como m = y = y 2 y 2 x x 2 x 1 Para hallar la ecuación vectorial necesitamos el vector director de la recta, el cual se define como PQ = x 2 x 1, y 2 y 1 ). La pendiente m de la ecuación cartesiana es EQUIVALENTE al vector director PQ de la ecuación vectorial, por lo tanto: m = y = y 2 y 2 PQ = x x x 2 x 2 x 1, y 2 y 1 ). 1 Lo anterior nos permite pasar de la ecuación cartesiana a la ecuación vectorial de una recta en el plano muy fácilmente.

8 PRODUCTO CRUZ O VECTORIAL DE VECTORES Sean dos vectores diferentes A = a b c 1) = a 1i + b 1j + c 1k y B = a 2, b 2, c 2) = a 2i + b 2j + c 2k diferentes de cero. Se define el producto cruz o vectorial de A y B, denotado por A x B, como el vector dado por: i j k A x B = b 1c 2 c 1b 2) i + c 1a 2 a 1c 2) j + a 1b 2 b 1a 2) k = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 A x B = A B sen θ n donde n es el vector perpendicular al plano formado por A y B - El producto cruz sólo está definido en R³. - Si A y B son dos vectores no paralelos, entonces las representaciones de los dos vectores con el mismo origen determinan un plano y el producto cruz de A y B da como resultado otro vector C, que es perpendicular a dicho plano, y es perpendicular tanto al vector A como al vector B. Propiedades del producto cruz: Propiedades algebraicas: Sean A, B, C tres vectores en R³ y sea λ un escalar, entonces: 1. A x B = - B x A) Prop. anti-conmutativa 2. A x B + C) = A x B + A x C Propiedad distributiva A + B) x C = A x C + B x C 3. A x A = 0 4. λ A x B) = λ A) x B = A x λ B) Propiedad asociativa Nota: El producto cruz v de vectores no es conmutativo, A B B x A, ni asociativo A B) x C A x B x C). Propiedades geométricas del producto cruz 1. A x B es perpendicular tanto a A como a B, es decir: A A x B) = B A x B) = Sean A y B diferentes de cero. A x B = 0 si y solo si los vectores A y B son paralelos es decir múltiplos escalares entre sí) 3. i i = j j = k k = 0 Mientras que i j = k, j k = i, k i = j

9 4. Interpretacion geometrica de A x B : La magnitud del producto cruz de dos vectores A y B da el area del paralelogramos formado por los vectores A y B. PLANOS Ecuación cartesiana del plano: Supongamos que tenemos dos vectores u y v formando los lados del paralelogramo como ilustra la figura; sea θ el ángulo formado por ellos. El área del paralelogramo mostrado viene dado por A = v h, pero h = u senθ, por lo tanto tenemos que A = v u sen θ = uxv Se define el plano π, que contiene a un punto P0x0, y0, z0), que tiene al vector na, b, c), como un vector normal o perpendicular al plano, como al conjunto de todos los puntos Qx, y, z) del plano para los cuales se cumple que P o Q. N = 0. Es decir, P o Q y N son perpendiculares. Sean P 0 x 0, y 0, z 0 ) un punto particular del plano y sea Qx, y, z) un punto cualquiera del plano, entonces P o Q = x x 0, y y 0, z z 0 ) es un vector del plano. Sea Na, b, c) un vector normal al plano. De la definición tenemos que P o Q. N = 0, entonces la ecuación cartesiana del plano viene dada por x x 0, y y 0, z z 0 ) a, b, c) = 0 Operando tenemos que la ecuación del plano es ax x 0 ) + b y y 0 ) + cz z 0 ) = 0 Aplicando la propiedad distributiva ax ax 0 + by by 0 + cz cz 0 = 0 reescribiendo obtenemos que la ecuación del plano viene dada por: ax + by + cz = d donde d = a x 0 + by 0 + cz 0 Nota: Observe que en la ecuación final del plano los coeficientes de las variables x, y, z son las coordenadas del vector director) perpendicular del plano. Ecuación vectorial de un plano Sean P, Q y R tres puntos no co - lineales que están en un plano π. Si M = x, y, z) es cualquier otro punto del plano π, entonces se define la ecuación vectorial del plano en la forma M = P + t QP + s RP, donde t, s R

10 Si tenemos tres puntos no - colineales P, Q y R del plano, entonces para hallar la ecuación cartesiana del plano, primero hallamos un vector normal a este a partir del producto cruz de los vectores formados por P y Q, y por P y R, es decir, N = PQ x PR Podemos considerar cualquiera de los tres puntos para escribir la ecuación del plano. NOTA: Dos puntos P y Q pertenecen a un plano si y solo si el vector PQ formado por ellos es perpendicular al vector normal director) N del plano. Un punto pertenece al plano si satisface la ecuación del plano a x + b y + c z = d. Para determinar si tres P, Q, R puntos son colineales formamos los vectores con un punto común PQ y PR; si PQ es paralelo a PR entonces los puntos son colineales. Para dos planos en el espacio sólo se puede dar una de las siguientes opciones: Son el mismo plano tienen infinitos puntos en común); o son paralelos no tienen ningún punto en común), o se cortan en una línea recta. Como toda recta que este en un plano es perpendicular al vector normal al plano, entonces la recta de intersección de dos planos es perpendicular a cada uno de los vectores normales de los planos. El ángulo 0 θ π/2) entre dos planos que se cortan viene dado por el ángulo que forman sus vectores normales n1 y n2, es decir: Cos θ = n 1 n 2 n 1 n 2 -Dos planos son Perpendiculares si y sólo si sus vectores normales son perpendiculares, es decir si n1 n2 = 0. - Dos planos son Paralelos si y sólo si sus vectores normales son paralelos, es decir si n1 x n2 = 0. En este caso n 1 es un múltiplo escalar de n 2.

11 Una recta y un plano son paralelos si y solo si el vector normal del plano n y el vector director de la recta v son perpendiculares, es decir, si n v = 0. Una recta y un plano son perpendiculares si y sólo si el vector normal del plano n y el vector director de la recta v son paralelos, es decir, si n x v = 0. Intersección de dos planos La intersección de dos planos es una línea recta, la cual se puede expresar en la forma x x simétrica 1 = y y 1 = z z 1, donde x a b c y 1, z 1 ) es un punto de la recta, que está en ambos planos, y a, b, c) es el vector director de la recta, que también esta en ambos planos y que por lo tanto es perpendicular a los vectores normales de cada plano. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta de intersección de los planos 2x y + z = y x + 2y z = 0. Método 1: Para hallar la ecuación despejo x en términos de y, luego en términos de z: Sumando 2x y + z = 1 con x + 2y z = 0, elimino la variable z y obtengo 3x + y = de donde x = y 1 3 Sumando 22x y + z = 1) con, x + 2y z = 0, elimino la variable y y obtengo 5x + z = 2, de donde x = z 2. 5 De los dos valores obtenidos para x obtengo las ecuaciones simétricas de la recta pedida: x 0 = y 1 = z es -3, -5). de donde 0, 2) es un punto de la recta, y su vector director Método 2: Otra forma es hallar las ecuaciones paramétricas de la recta, lo cual se hace resolviendo el sistema de ecuaciones 2 x 3 formado por los dos planos, de donde obtendremos infinitas soluciones que se expresaran en términos de una de las variables, la cual será el parámetro. [ : ] [1 : : 0 : ] [ : 0 : 1 5 ] [ : 2 5 : 1 5 ]

12 Tenemos infinitas soluciones y tomando a z = t como parámetro podemos escribir las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección en la forma: x = t, y = t, z = t El vector director de esta recta es 1, 3, 1) o cualquier vector múltiplo de este, 5 5 como 3, 5) o 3, 5) Si hacemos t = 2 obtenemos el punto de la recta 0, 2). Método 3: Como la recta pertenece a ambos planos, entonces su vector director es perpendicular a sus vectores normales, por lo tanto el vector director de la recta se puede hallar con el producto cruz de ambos vectores: i j k = i + 3 j + 5 k Para hallar un punto de la recta, igualamos a cero una de las variables de ambos planos, digamos z = 0, formando así un SEL 2 x 2 y cuya solución son los valores de x, y del punto de la recta: Hacemos z = 0 en el plano 2x y + z = y obtenemos 2 x y = 1 Hacemos z = o en el plano x + 2y z = 0, u obtenemos x + 2 y = 0. Resolviendo este sistema encontramos que x = 2, y = 1, por lo tanto un punto de la recta 5 5 es 2, 1, 0), Por lo tanto la ecuación de la recta pedida es rt) = 5 5 2, 1, 0) + t - 3, 5). 5 5 Como se observa los tres métodos dan la ecuación de la recta de intersección de los dos planos, aunque se vea diferente, son la misma recta.