Algunas aplicaciones del test del signo

Transcripción

1 43 Algunas aplcacones del test del sgno Test de Mc emar para sgnfcacón de cambos: En realdad este test se estuda en detalle en Métodos no Paramétrcos II, en el contexto de las denomnadas Tablas de Contngenca. De cualquer manera, lo descrbremos por tratarse de una aplcacón del test del sgno. Supongamos que observamos pares de datos nomnales con dos categorías que llamaremos 1 y 0. Es decr que observamos pares (X, Y ) en los que tanto X como Y toman valores 1 y 0.os nteresa detectar dferencas entre la probabldad de (0,1) y la de (1,0). Ejemplo: Un nvestgador deseaba estudar posbles cambos en la acttud de la audenca frente a la poscón expuesta por un conferencsta. Para ello selecconó una muestra de 78 estudantes unverstaros que assteron a una conferenca y regstró su acuerdo (1) o desacuerdo (0), nmedatamente después de la conferenca (X ) y un mes después (Y ). Los resultados obtendos se resumen en la sguente tabla: Tempo 1 Tempo 2 Desacuerdo Acuerdo Total Desacuerdo Acuerdo Total El nvestgador desea determnar s la proporcón de personas que está de acuerdo con la poscón del conferencsta es dferente un mes después de la conferenca que nmedatamente después de ésta. O equvalentemente s hubo cambos en la acttud de la audenca. Datos: Los datos conssten en n observacones de v.a. bvarados (X, Y ), donde cada X e Y toma sólo valores 1 y 0. En el test de Mc emar los datos se suelen resumr en una tabla como la anteror, es decr, en general X Y Y 0 Y 1 Total X 0 a b a+b X 1 c d c+d Total a+c b+d es decr que, por ejemplo a número de pares con X 0 e Y 0. Suposcones: 1) los pares (X, Y ) son ndependentes. 2) la escala de medcón de X e Y es nomnal con dos categorías (0 y 1). 3) la dferenca P(X 0,Y 1) - P(X 1,Y 0) es negatva para todo, postva para todo o cero para todo. Se puede pedr déntca dstrbucón, pero no es necesaro.

2 44 Estadístco del test y dstrbucón nula: El estadístco del test es ( b c) T1 b + c S b + c 20, es preferble usar T 2 b. 2 Justfcacón: Al evento (0,1) lo desgnamos + y al evento (1,0) lo desgnamos -. Los eventos (0,0) y (1,1) son empates. Podemos pensar este problema como una aplcacón del test del sgno, donde las hpótess a testear son H o : P(+)1/2 vs H 1 : P(+) ½ El estadístco del test será el cardnal de + en la muestra, es decr T 2 b. Bajo Ho, T 2 ~ B(b+c,1/2). S b+c > 20 (sugerdo por Conover), podemos usar la aproxmacón ormal, en cuyo caso el estadístco es U b ( b + c) / 2 ( b + c) / 4 ( b c) / 2 b + c / 2 b c b + c que, bajo Ho, tene dstrbucón asntótca (0,1). Conover consdera el estadístco T 1 U 2, que bajo H 0, tene dstrbucón χ 2 1 porque lo presenta en un contexto más amplo. S deseamos testear hpótess unlaterales debemos usar necesaramente U. Hpótess a testear: A. H o : P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 0), vs H 1 : P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 0) o, equvalentemente, alguna de las dos formas sguentes H o : P(X 0) P(Y 0), vs H 1 : P(X 0) P(Y 0) H o : P(X 1) P(Y 1), vs H 1 : P(X 1) P(Y 1) B. H o : P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 0), vs H 1 : P(X 0,Y 1) > P(X 1,Y 0) C. H o : P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 0), vs H 1 : P(X 0,Y 1) < P(X 1,Y 0) Zona de rechazo: A. Se rechaza H o a nvel α s T 2 b+c-k ó T 2 k, con k tal que P(B(b+c,1/2) k) α/2. 2 S b+c es grande, se rechaza H o s U z α / 2 o ben s T1 χ 1, α. B. Se rechaza H o a nvel α s T 2 k, con k tal que P(B(b+c,1/2) k) α. S b+c es grande, se rechaza H o s U z α.

3 45 C. Se rechaza H o a nvel α s T 2 k, con k tal que P(B(b+c,1/2) k) α. S b+c es grande, se rechaza H o s U -z α. Ejemplo: En el ejemplo presentado al comenzo, las hpótess a testear son: H o : P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 0), vs H 1 : P(X 0,Y 1) P(X 1,Y 0) y b+c 24. Un test exacto de nvel α rechaza H o s b k ó b+c-k con k tal que P(B(24,1/2) k)α/2. P(B(24,1/2) 6) 0.011, P(B(24,1/2) 7) Trabajamos con nvel y a este nvel, como b 18, se rechaza H o. Usando la aproxmacón normal, el estadístco T 1 (b-c) 2 /(b+c) 6, y como 3.84, se rechaza H o. 2 χ 1,0.05 Test de Cox-Stuart para tendencas: Así como el test del sgno permte, usando la dstrbucón bnomal, testear la hpótess de déntca dstrbucón versus dferencas en la poscón, es posble crear otras varables bnomales para testear la hpótess de aleatoredad versus alternatvas de tendenca. Este test es una alternatva al test paramétrco para H o : β 0 en el modelo de regresón lneal Y α + β X + ε. La hpótess nula en este test mplca que la pendente de la recta es 0. El test de Cox-Stuart se basa en v.a. bnomales y permte testear la presenca de tendencas. Mentras que el test paramétrco clásco testea ausenca de tendenca vs presenca de una tendenca lneal (relacón lneal entre X e Y), el test de Cox-Stuart no tene esa restrccón y testea la hpótess de ausenca de tendenca vs la hpótess alternatva de tendenca monótona. Una tendenca es monótona s la varable dependente crece cuando crece la varable ndependente (monótona crecente) o decrece cuando crece la varable ndependente (monótona decrecente). Datos: Sea X 1,..., X n una sucesón de v.a. ordenadas según algún crtero (por ejemplo, índce tempo). S los X están aleatoramente dstrbudos sobre la sucesón, entonces P(X X j < 0 ) P(X X j > 0 ) 1/ 2 para todo j. En cambo, s X crece monótonamente, P(X X j < 0 ) > P(X X j > 0 ) s < j y s X decrece monótonamente, P(X X j < 0 ) < P(X X j > 0 ) s < j. El test de Cox-Stuart examna la relacón de (X, X j ) para porcones de la sucesón. En partcular, s n es par o sea n 2, se converte la sucesón en pares (X, X + ). S la sucesón es aleatora P(X + X < 0 ) P(X + X > 0 ) 1/ 2 para todo. Se defnen D X + - X y Z 1 0 s s X X + + X X > 0 < 0

4 46 Z ~B(1,p ) con p P(X + -X > 0) y se desea testear H o : p ½ para todo. Suposcones: 1) Los pares (X,X + ) son mutuamente ndependentes. 2) sg[p(x + X > 0 ) - P(X + X < 0 )] es el msmo para todo. 3) Cada par (X,X + ) puede ser clasfcado como +, - o empate. ota: Las dferencas guales a cero (empates) se elmnan y se trabaja con : número de dferencas no nulas. En lo que sgue, por smplcdad, supondremos que no hay empates. S los hay, debe reemplazarse por. Estadístco del test y dstrbucón nula: S número de dferencas postvas, es decr S Z card + 1 { / X X > 0} Bajo H o, es decr s no hay tendenca, S ~ B(,1/2). Valores grandes de S sugeren una tendenca crecente mentras que valores bajos sugeren una tendenca decrecente. otas: 1) S n es mpar, n2+1, se elmna la observacón central X +1 y se forman las dferencas D X X. El estadístco del test será S 2) o se aparea X +1 con X porque estas dferencas se ven más afectadas por las fluctuacones transtoras de la secuenca. Hpótess a testear: A. H o : P(X + X > 0 ) P(X + X < 0 ) vs H 1 : P(X + X > 0 ) P(X + X < 0 ) o equvalentemente H o : p 1/2 vs H 1 : p ½ [o exste tendenca vs hay tendenca crecente o decrecente] B. H o : P(X + X > 0 ) P(X + X < 0 ) vs H 1 : P(X + X > 0 ) > P(X + X < 0 ) o equvalentemente H o : p 1/2 vs H 1 : p > ½ [o exste tendenca crecente vs hay tendenca crecente] C. H o : P(X + X > 0 ) P(X + X < 0 ) vs H 1 : P(X + X > 0 ) < P(X + X < 0 ) o equvalentemente Z card / { X X > 0}

5 47 H o : p 1/2 vs H 1 : p < ½ [o exste tendenca decrecente vs hay tendenca decrecente]. Zona de rechazo: A. Rechazamos Ho a nvel α s S -k ó S k, con k tal que P(B(,1/2) k) α/2. B. Rechazamos Ho a nvel α s S k con k tal que P(B(,1/2) k) 1 - α. C. Rechazamos Ho a nvel α s S k con k tal que P(B(,1/2) k) α. El test de Cox-Stuart resulta nsesgado y consstente para las hpótess planteadas en térmnos de p. La efcenca asntótca del test bajo normaldad respecto del test paramétrco basado en el coefcente de regresón es Esta efcenca sube a 0.83 s se elmna el terco central de las observacones y se aparea el prmer terco con el últmo terco. Hay una modfcacón del test de Cox-Stuart para testear cambos en la dspersón (Rao, 1968). Ejemplos: 1) El coordnador de una encuesta de hogares ha notado que el porcentaje de rechazos en las entrevstas parece varar con el tempo. Desea determnar s lo que él ha observado se debe al azar o s en realdad se debe a la presenca de un factor sstemátco. La sguente tabla presenta los porcentajes de rechazos durante un perodo de 18 días de entrevstas. Se ncluyen además las dferencas D X + X y los valores de Z. Día Rechazo Día Rechazo D Z S 1 Las hpótess a testear son A. H o : P(X + X < 0 ) P(X + X > 0 ) vs H 1 : P(X + X < 0 ) P(X + X > 0 ) o equvalentemente H o : p 1/2 vs H 1 : p ½ y rechazamos Ho a nvel α s S 9-k ó S k, con k tal que P(B(9,1/2) k) α/2. S consderamos k 1, se obtene un test de nvel

6 48 A este nvel se rechaza H 0 pues el valor observado de S es 1. 2) Se regstra el caudal promedo mensual de un río (en pes cúbcos por segundo) en un punto determnado durante un perodo de 24 meses. La hpótess de los nvestgadores es que los caudales presentan una tendenca decrecente. Dado que los caudales suelen presentar un cclo anual, es convenente aparear los msmos meses en años consecutvos y no dferentes meses dentro de un msmo año. Las hpótess a testear son H o : P(X + X > 0 ) P(X + X < 0 ) vs H 1 : P(X + X > 0 ) < P(X + X < 0 ) o equvalentemente H o : p 1/2 vs H 1 : p < ½ En la tabla sguente se presentan los datos, las dferencas D X +12 X y los valores de Z. Mes Año 1 Año 2 D Z enero febrero marzo abrl mayo juno julo agosto septembre octubre novembre dcembre S 5

7 49 Rechazamos Ho a nvel α s S k con k tal que P(B(12,1/2) k) α. S tomamos k2, P(B(12,1/2) 2) y s k3, P(B(12,1/2) 3) 0.073, entonces trabajamos con nvel y no se rechaza H o. p-valor P(B(12,1/2) 5) Otras aplcacones del test del sgno: En prmer lugar veremos cómo usar el test del sgno para testear correlacón, o sea para detectar s valores altos de una varable tenden a aparearse con valores altos de la otra y valores bajos con valores bajos (correlacón postva) o s valores altos de una varable tenden a aparearse con valores bajos y vceversa (correlacón negatva). Para ello se ordenan los pares de datos en orden crecente de una de las varables, la que presenta menos empates. S hay correlacón, la otra varable debería presentar una tendenca: crecente en el caso de correlacón postva y decrecente en caso de correlacón negatva. Es decr que se aplca el test de Cox-Stuart a la varable sobre la que no se efectuó el ordenamento. Ejemplo: Cochran (1937) compara las reaccones de varos pacentes a dos drogas, para ver s exste correlacón postva entre las dos reaccones del pacente. En la sguente tabla se presentan los datos orgnales: Pacente Droga 1 Droga 2 Pacente Droga 1 Droga A contnuacón, ordenamos los datos según la reaccón a la droga 1: Pacente Droga 1 Droga y aplcamos el test de Cox-Stuart a la varable correspondente a la Droga 2. Se forman los pares (+0.8,+1.9), (+0.1,+1.6), (+1.1,+3.4), (-0.1,+4.4), (+4.6,+5.5) Las hpótess a testear son H o : no hay correlacón postva vs H 1 : hay correlacón postva

8 50 que equvalen a testear, para la Droga 2, las hpótess H o : no hay tendenca crecente vs H 1 : hay tendenca crecente El estadístco del test es S card { / D > 0}, que, bajo H 0 tene dstrbucón B(5,1/2) y se rechaza la hpótess nula para valores grandes de S. S k 5, P(B(5,1/2) 5) y s k 4, P(B(5,1/2) 4) Entonces, a nvel , como S obs 5, se rechaza H 0, es decr que hay evdenca de que exste una correlacón postva entre las reaccones a las dos drogas. El p-valor es ota: Las propedades del test para correlacón no han sdo estudadas. Una de las dfcultades en su aplcacón es que s hay muchos empates hay más de una manera de ordenar las observacones para aplcar el test de tendenca. En ese caso se recomenda usar un enfoque conservatvo, es decr usar aquel ordenamento que rechaza H 0 con menos probabldad. En el sguente ejemplo veremos cómo usar el test de Cox-Stuart para testear la presenca de un comportamento dado. Ejemplo: En un laboratoro se regstra el número de huevos que pone un grupo de nsectos por hora, durante un perodo de 24 horas, a fn de testear las hpótess H o : los números de huevos por hora son observacones ndependentes e déntcamente dstrbudas H 1 : los números de huevos por hora tenden a tener un valor mínmo a las 2:15 pm, se ncrementan hasta alcanzar un máxmo a las 2:15 am y vuelven a decrecer hasta las 2:15 pm. A contnuacón se presentan los datos obtendos: Hora úmero de huevos Hora úmero de huevos Hora úmero de huevos 9 am pm 83 1 am am pm am am pm am 223 medodía pm am pm 63 9 pm am pm pm am pm pm am pm 109 medanoche am 137

9 51 S la alternatva es certa, los conteos cerca de las 2:15 pm deberían ser los menores y los cercanos a las 2:15 am los mayores. Reordenemos las observacones de acuerdo a los tempos, empezando por los tempos más cercanos a las 2:15 pm hasta los próxmos a las 2:15 am. Hora úmero de huevos Hora úmero de huevos 2 pm 84 8 am pm 60 9 pm pm 63 7 am pm pm 208 medodía am pm pm am am pm 166 medanoche am am pm am am am pm am 235 S H 1 es certa estos datos deberían tener una tendenca crecente. Aplcamos el test de Cox-Stuart para tendenca. En este caso, 12, S card{ / X + -X > 0}. A nvel , rechazamos H o s S 10 y como S obs 12, rechazamos H o. p-valor P(B(12,1/2) 12)