TRABAJO DE GRUPO Series de potencias

Transcripción

1 DPTO. MATEMÁTICA APLICADA FACULTAD DE INFORMÁTICA (UPM) TRABAJO DE GRUPO Series de potecias CÁLCULO II (Curso ) MIEMBROS DEL GRUPO (por orde alfabético) Nota: Apellidos Nombre Este trabajo sobre sucesioes de fucioes y series de potecias tiee varias partes que hay que etregar:. Actas de las reuioes. Fecha, hora, lugar y duració de la reuió, los asistetes. 2. Acuerdos tomados: reparto del trabajo etre los miembro del grupo, visto bueo del trabajo realizado por cada miembro del grupo, etc. 3. Dudas plateadas por algú miembro del grupo y si ha sido resueltas.

2 2. Desarrollos de fucioes e series de potecias E esta parte se hará el desarrollo e serie de potecias de alguas fucioes, aplicado diferetes métodos, alguos que se ha realizado e clase y otros que o. Además de hacer los desarrollos de las fucioes que se pide, hay que buscar los métodos que o se ha explicado e clase, dado al meos tres referecias bibliográficas adecuadas (puede ser direccioes web, pero al meos ua tiee que ser u libro), explicarlos y aplicarlos e los casos propuestos. 2. Desarrollos otables de fucioes e series de potecias. Halla el desarrollo e serie de potecias de las siguietes fucioes, a partir del poliomio de Taylor cetrado e cero.. f(x) = e x l( + x) + x 4. sih x 5. cos x 6. si x Para ello hay que realizar los siguietes pasos: I) calcular las primeras derivadas de la fució. II) Sacar ua fórmula geeral para la derivada -ésima y demostrarla por iducció. Observació: Nótese que e alguos ejercicios, ua fució es derivada de otra (salvo sigo), por lo que la derivada -ésima de ua es la derivada ( + )-de la otra y, por tato, la demostració es igual y o es ecesario repetirla. III) Demostrar que el error tiede a cero para valores de x meores que el radio de covergecia. 2.2 Desarrollos e serie de potecias a partir de la serie geométrica. Calcula los siguietes desarrollos e serie de potecias a partir de la serie geométrica. x = x Comprueba que se obtiee la misma serie que e el ejercicio aterior. + x + x 2.. Comprueba, a partir de la derivada de la serie geométrica, que es ua serie ( x) 2 aritmético-geométrica. 2.3 Desarrollos e serie de potecias a partir de otras series coocidas. E este ejercicio hay que obteer los desarrollos e serie de potecias de las fucioes siguietes a partir de las series de potecias de los apartados ateriores por diferetes métodos (sustitució, itegració, derivació, suma o resta de fucioes, productos de fucioes por poliomios, dividir por potecias de x,...).. l + x. A partir de l( + x). 2. l( x). Por sustitució.

3 3. l + x. Resta de fucioes. x 4. x 2 ( x) 2. Multiplicado por x x(e 3x + 5x) 2. A partir de la expoecial, desarrollado el biomio. 6. si x. A partir se la serie de si x y dividiedo por x. Se puede calcular de la misma forma x cos x y ex? Por qué? x x 7. arcta x. Por itegració. 8. 3x ( x) 3. Por derivació obteer la serie de ( x) Ecuetra algú otro ejemplo de fució de la que puedas obteer su serie de potecias a partir de alguo de los métodos ateriores. 2.4 Series de potecias de fucioes racioales. Este tipo de desarrollo e serie de potecias o se ha visto e clase. I) Busca iformació dode se explique el método para obteer el desarrollo e serie de potecias de ua fució racioal, dado al meos tres referecias bibliográficas adecuadas (puede ser direccioes web, pero al meos ua tiee que ser u libro). II) Explica el método y describe algú otro caso e él que hayas visto que se utilice este método. III) Aplica el método para hallar el desarrollo e serie de potecias de las siguietes fucioes racioales y su radio de covergecia. 5x 3 3x 2x +. + x x 2 3. x x + 8 (x 3)( + x 2 ) 3. Serie biómica La fució f(x) = ( + x) m, co m R tiee como desarrollo e serie de potecias la llamada serie biómica, defiida de la forma f(x) = ( + x) m = Resuelve las siguietes cuestioes: ( 3 ). Cómo se defie el úmero combiatorio 2? 5 ( ) m x para < x < 2. Cuátos sumados tiee la serie biómica si m = 24? 3. Calcula el desarrollo e serie de la fució + x. 4. Calcula el desarrollo e serie de la fució + x.

4 5. Calcula el desarrollo e serie de potecia de la fució ( x) A partir del desarrollo e serie de la fució aterior, calcula el de la fució 5x2 ( x) Describe algú otro ejemplo de fució racioal de la que puedas calcular su serie de potecias a partir de la serie biómica, si ecesidad de descompoer e fraccioes simples.

5 4. Aplicacioes de las series de potecias E esta parte vamos a ver dos aplicacioes de las series de potecias: La obteció de la suma e series uméricas y la equivalecia etre ifiitésimos. 4. Suma de series uméricas. Calcula, si es posible la suma de las series uméricas siguietes, a partir de las series de potecias de los apartados ateriores, segú se idica e cada caso. E caso de que o sea posible, explica la razó.. A partir de la expoecial e x. i)! ii) ( )! iii) 2! iv) =3! 2. A partir de la serie de l ( + x). i) ( ) + ii) ( ) + = = 3. A partir de la serie de ( x) 2. i) ( + ) 2 ii) ( + )3 4. A partir de la serie de + x. ( ) ( ) i) 2 3 ii) 2 4 = Ifiitésimos equivaletes.. Busca bibliografía dode se defia qué so los ifiitésimos equivaletes dado al meos tres referecias bibliográficas adecuadas (puede ser direccioes web, pero al meos ua tiee que ser u libro). 2. Escribe la defiició de ifiitésimos equivaletes, dado la referecia bibliográfica de la que se ha sacado. 3. Explica qué so ifiitésimos equivaletes co tus propias palabras, poiedo ejemplos de cuádo se puede utilizar y cuádo o. 4. Demuestra utilizado series de potecias que los siguietes ifiitésimos so equivaletes. i) si x x ii) cos x x2 2 iii) l (x + ) x iv) e x x 5. Práctica de laboratorio Acaba la práctica de laboratorio y realiza además el siguiete ejercicio. Comprueba gráficamete que e algú itervalo la serie coverge a la fució, verificádose que + x = ( ) x,

6 . Calcula la serie que se obtiee itegrado térmio a térmio y comprueba gráficamete que coverge a la fució l(x + ) e (, ]. 2. Se aproxima bie cerca de y de? Hay covergecia uiforme e (, ]? 3. Ecotrar dos itervalos distitos (uo coteido e el otro) de forma que la covergecia sea uiforme. Ecotrar, para el meor de estos itervalos, u úmero de forma que la suma de los primeros térmios de la serie de potecias este a meor distacia de la fució que ε = 0 3. Comprobar si este valor de vale para que se cumpla la misma codició e le segudo itervalo. Represeta esas gráficas. m ( ) + 4. Comparar el valor umérico que da Maple para los primeros térmios de serie = co el valor que da para l 2. Ecotrar (co Maple) valores de m que haga que esta diferecia sea meor que 0 3, 0 5. Comprobar que el térmio del error correspodiete al poliomio de Taylor P 0,m es meor que ese valor.