CAPÍTULO I. Conceptos Básicos de Estadística

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1 CAPÍTULO I Coceptos Básicos de Estadística

2 Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. CAPÍTULO I CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA Para realizar estudios estadísticos es ecesario registrar la ocurrecia de evetos de iterés a través del tiempo. U eveto está relacioado co el espacio muestral de u experimeto (Hies, 999). Este dos tipos de evetos: determiísticos y probabilísticos. Debido a la aturaleza de esta tesis, los segudos será los descritos. Probabilidad se defie como la frecuecia esperada de ocurrecia de u eveto específico e u cojuto de posibles resultados (Hies,999). Los resultados de los evetos probabilísticos se defie por medio de variables aleatorias que puede tomar ua serie de valores que es ecesario estimarlas. Etiédase variable aleatoria como... ua fució que asiga úmeros reales a putos e el espacio muestral. (Tobías, 986).. Probabilidad El cálculo de la probabilidad de u eveto determiado e el espacio muestral de u experimeto se calcula de acuerdo al tipo de distribució de la població. Este alguos pricipios básicos que debe de ser cosiderados para efectos de este cálculo... Reglas básicas. Alguas reglas básicas que os va a ser de utilidad para el cálculo de probabilidad de u eveto so las siguietes: 6

3 Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. Regla de Multiplicació. Se utiliza cuado se requiere coocer la probabilidad de que varios evetos idepedietes ocurra. ( AB) A) B) P = Regla de Complemeto. La probabilidad de que u eveto o ocurra se calcula restado meos la probabilidad del eveto. ( ) = A) P A C..2 Evetos Idepedietes y Depedietes La probabilidad de que dos evetos suceda simultáeamete (AB)) cuado su ocurrecia depede uo del otro se defie como probabilidad codicioal. Esta se puede defiir como la probabilidad de que ocurra el eveto A (A)) multiplicado por la probabilidad de que ocurra el eveto B dado que sucedió el A. Es decir: P ( AB) = A) B / A) = B) A/ B) El cálculo de la probabilidad de que ocurra 2 o más evetos idepedietes etre sí se realiza como sigue: P ( ABC... N) = A) B) C)... N) 7

4 Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. Gracias a esta propiedad, más adelate se podrá estimar la ecuació de la Fució de Máma Verosimilitud e forma cojuta de la distribució Tia de Baño..2 Fució de frecuecia. Para lograr calcular la probabilidad de que u eveto ocurra es ecesario establecer previamete la frecuecia de sucesió de determiado acotecimieto. El comportamieto de sucesos varía e complejidad depediedo del proceso que se esté estudiado. Las distribucioes de frecuecia so fórmulas matemáticas que provee u modelo teórico que se aproma de maera aceptable al comportamieto de determiado tipo de datos. Estos modelos so utilizados para establecer iferecias sobre la població dode se tomo la muestra y para poder tomar decisioes co base e u estudio estadístico y probabilístico previamete realizado. Para calcular la probabilidad de que u valor particular x caiga e el rago del espacio muestral X la fució de distribució acumulativa (FDA) se eucia como sigue: F X ( x) = P X ( X x) La fució de probabilidad o desidad se iterpreta de la siguiete maera: f(x) dx es la fracció de valores de la població que ocurre e el itervalo dx (Medehall, 994). E el área de cofiabilidad, la mayoría de las veces, la x es sustituida por t, ya que el tiempo es la variable de iterés e geeral. 8

5 Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística..3 Fució de Distribució Acumulativa E distribucioes discretas la fució de desidad es la fracció de valores de la població que ocurre e el itervalo dx, es decir, es equivalete a la FDA. E distribucioes cotiuas la fució de desidad describe el tipo de comportamieto que sigue la muestra y para obteer la FDA es ecesario itegrar la f(x), e el itervalo dx. La distribució de frecuecias acumulativa (FDA) esta represetada por F(x). Se relacioa co la fució de probabilidad (f(x)) por medio de la siguiete igualdad: t F ( x) = f ( x) dx Dode : f(x) : Fució de probabilidad o desidad. Dado que F(x) es ua probabilidad, todas las reglas y fórmulas para maipular probabilidades puede ser utilizadas. A cotiuació se eucia las propiedades de las fucioes de distribució acumulativas (Hies,999):. 0 F X ( x) < x < 2. lím F X ( x) = x 3. lím F X ( x) = 0 x 4. La fució es creciete. Esto es, si x x2, etoces F X ( x) F X ( x2). 9

6 Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. 5. La fució es cotiua desde la derecha. Esto es para todo x y δ > 0, lím δ 0 [ X ( x + δ) X ( x) ] = 0 F F.4 Fució de Máma Verosimilitud La Fució de Máma Verosimilitud se represeta geeralmete co la letra L. Es defiida como la probabilidad de observar ua muestra aleatoria e ua població determiada. Se defie de la siguiete maera: L = f ( ) (.) Dode: f(x i ) : Fució de desidad ó la probabilidad de observar x i e la muestra aleatoria. Cabe mecioar que e setido estricto, si teemos ua muestra aleatoria x, x 2, x 3,.., x co distribució f(x) cotiua; la probabilidad de que X=x se expresa como sigue: P x [ X = x] f ( x) dx = 0 = x Si embargo, coloquialmete se ha buscado la apromació de esta probabilidad como a cotiuació se muestra: [ X = x] f ( x)dx P = Gracias a este covecioalismo, el Método de Máma Verosimilitud puede calcular los estimadores isesgados (Medehall, 994) de los parámetros poblacioales correspodietes. Este método cosidera la mamizació de las fucioes de desidad 0

7 Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. ivolucradas e el comportamieto del sistema co respecto a los parámetros de la població. Los valores, así obteidos se deomia Estimadores de Máma Verosimilitud (EMV). Lógicamete, para poder aplicar este método, es ecesario cotar co ua muestra aleatoria, es decir, co u cojuto de variables idepedietes e idéticamete distribuidas. El método de máma verosimilitud puede ser represetado mediate la siguiete ecuació: * ( ) L( θ) L θ = Max θ Debido a que el logaritmo atural es ua fució cotiua, creciete y que se mamiza e el mismo puto que la fució origial; es posible utilizar la siguiete igualdad para facilidad de cálculo: l = l L (.2) Si se sustituye la ecuació.2 e la ecuació de la Fució de Máma Verosimilitud, ecuació., es posible escribir la siguiete ecuació: l = l f Ua de las formas como es posible calcular los estimadores de alguas distribucioes, ua vez que se obtiee la expresió l, es derivado co respecto a cada uo de los estimadores correspodietes a cada distribució. Posteriormete igualado a cero las derivadas y se despeja el estimador deseado. ( )

8 Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. El ejemplo que se preseta a cotiuació permitirá eteder de ua mejor maera este cocepto cuado los datos de la muestra sigue ua distribució expoecial. Ejemplo.. Si se cueta co ua muestra aleatoria Y, Y 2,.,Y de ua distribució expoecial co ua tasa de llegadas λ. Hallar el estimador de máma verosimilitud de λ. Solució : f ( x) = λexp( λx ) Si se reemplaza la fució de desidad expoecial e la ecuació de la Fució de Máma Verosimilitud, ecuació., es posible escribir la siguiete ecuació: L = λ exp( λ ) Como ateriormete se había explicado, se puede aplicar la ecuació.2 para facilitar el cálculo: l = l L l λ exp i = = ( λ ) [ λ exp( λ )] = l [ l λ λ ] = = l λ λ 2

9 Capítulo I. Coceptos Básicos de Estadística. Debido a que el estimador a calcular es λ se procederá a derivar co respecto a este parámetro: dl = dλ λ A cotiuació se igualará la expresió aterior para mamizar la fució: λ = 0 Posteriormete, se procederá a despejar λ para lograr estimarla más adelate usado ua muestra aleatoria: λ = (.4) 3