Ecuación Vectorial de la Recta

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1 Ecuación Vectorial de la Recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que, luego es igual a multiplicado por un escalar: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director vectorial. = (2,5). Escribir su ecuación 1

2 Ecuaciones paramétricas de la recta A partir de la ecuación vectorial: Realizando las operaciones indicadas se obtiene: La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director paramétricas. = (2,5). Escribir sus ecuaciones Ecuación continua de la recta Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k. 2

3 Y si igualamos, queda: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director continua. = (2,5). Escribir su ecuación Ecuación punto-pendiente de la recta Pendiente La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX. Pendiente dado el ángulo 3

4 Pendiente dado el vector director de la recta Pendiente dados dos puntos Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo. Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo. 4

5 Ecuación punto-pendiente Partiendo de la ecuación continua la recta Y quitando denominadores: Y despejado: Como Se obtiene: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director pendiente. = (2,5). Escribir su ecuación punto Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2). 5

6 Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45. Partiendo de la ecuación continua la recta Ecuación general de la recta Y quitando denominadores se obtiene: Trasponiendo términos: Haciendo Se obtiene Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta. Las componentes del vector director son: 6

7 La pendiente de la recta es: Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1). Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2. Si en la ecuación general de la recta Ecuación explícita de la recta despejamos y, se obtienen: El coeficiente de la x es la pendiente, m. 7

8 El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean los puntos A (x 1, y 1) y B (x 2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es: cuyas componentes son: Sustituyendo estos valores en la forma continua. 8

9 Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5). Rectas paralelas a los ejes Rectas paralelas al eje OX Una recta paralela al eje OX y de ordenada en el origen b se expresa mediante la ecuación: y = b 9

10 Rectas paralelas al eje OY Una recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la ecuación: x = a 10

11 Ejes de coordenadas Los puntos que pertenecen al eje OX tienen como característica que su segunda coordenada es 0, la ecuación del eje OX es y = 0. Los puntos que pertenecen al eje OY tienen como característica que su primera coordenada es 0, la ecuación del eje OY es x = O. Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes. 11

12 Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales. Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales. Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales. Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º. Ejemplos Calcular una recta paralela a r x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5). 12

13 Calcula k para que las rectas r x + 2y - 3 = 0 y s x - ky + 4 = 0, sean paralelas. Hallar la ecuación de la recta paralela a r 3x + 2y -4 = 0, que pasa por el punto A(2, 3) k = 0 k = -12 3x + 2y - 12= 0 La recta r 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n. Incidencia Un punto P(p 1, p 2 ) pertenece a una recta de ecuación Ax + By + C = 0, cuando las coordenadas del punto satisfacen la igualdad: Ap 1 + Bp 2 + C = 0 Cuando un punto P pertenece a una recta r se dice que r incide en P o que r pasa por P. 13

14 Analiza si los puntos A (3, 5) y B(0, 1) pertenecen o no a la recta r x + 2 y - 13 = = 0 A r B r Cuando dos rectas r y s tienen un punto común, se dice que tienen un punto de intersección. Para hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas. Hallar el punto de intersección de las rectas de ecuaciones r 2 x - y - 1 = 0 y s x - y + 1 = 0. Posiciones relativas de dos rectas Dadas dos rectas, Ax + By + C = 0, A'x + B'y + C' = 0, para calcular su posición relativa tendremos en cuenta que:: 1 Si, las rectas son secantes, se cortan en un punto. 2 Si, las rectas paralelas, no se cortan en ningún punto. 3 Si, las rectas son coincidentes, todos sus puntos son comunes. 14

15 Son secantes las rectas r x +y -2 = 0 y s x - 2 y + 4 = 0? En caso afirmativo calcular el punto de corte. Ecuación canónica o segmentaria La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas. a es la abscisa en el origen de la recta. b es la ordenada en el origen de la recta. Los valores de a y de b se se pueden obtener de la ecuación general. Si y = 0 resulta x = a. Si x = 0 resulta y = b. 15

16 Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos: 1Recta paralela a OX, que tiene de ecuación y = n 2Recta paralela a OY, que tiene de ecuación x = k 3Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx. Ejemplos Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuación. Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P( 2, 1) y tiene por vector director v = (3, 4). Hallamos la ecuación en forma continua: Pasamos a la general: 4x 8 = 3y -3 4x + 3y + 5 = 0 Si y = 0 x = 5/4 = a. Si x = 0 y = 5/3 = b. La recta r x y + 4 = 0 forma con los ejes un triángulo del que se pide su área. 16

17 La recta forma un triángulo rectángulo con el origen y sus catetos son la abscisa y la ordenada en el origen. Si y = 0 x = 4 = a. Si x = 0 y = 2 = b. La ecuación canónica es: El área es: Una recta pasa por el punto A(1. 5) y determina con los ejes de coordenadas un triángulo de 18 u 2 de superficie. Cuál es la ecuación de la recta? Aplicamos la ecuación canónica: El área del triángulo es: 17

18 Resolvemos el sistema: Hallar la ecuación de una recta que determina sobre los ejes coordenados, segmentos de doble longitud en el eje de abscisas, que en el de ordenadas, sabiendo que pasa por el punto A(3, 2). 18

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