Taller de Matemáticas III

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1 Tller de Mtemátis III Tller de Mtemátis III Universidd CNCI de Méio

2 Universidd CNCI de Méio Tller de Mtemátis III Temrio. Sistems oordendos retngulres.. Coordends rtesins de un punto... Ejes oordendos... Prejs ordends..3. Identidd de prejs ordends..4. Punto en el plno.. Lugres geométrios... Conepto de lugr geométrio... Tulión de vlores..3. Interseiones on los ejes..4. Simetrís respeto l origen los ejes..4.. Simetrí on respeto los ejes..4.. Simetrí on respeto l origen.3. Segmentos retilíneos.3.. Segmentos dirigidos no dirigidos.3.. Longitud de un segmento.3.3. Distni entre dos puntos.3.4. División de un segmento en un rzón dd.3.5. Punto medio.4. Polígonos.4.. Perímetros.4.. Áres. L líne ret.. Propieddes de l ret... Euión de l ret omo lugr geométrio... Ángulo de inlinión pendiente de un ret..3. Pendiente omo rzón de mio..4. Prlelismo entre rets..5. Perpendiulridd entre rets.. Forms de l euión de l ret... Euión de un ret onoidos su pendiente uno de sus puntos... Euión de un ret onoidos dos de sus puntos..3. Form pendiente ordend l origen..3.. Interseión de un ret on el eje..3.. Euión de un ret dd su pendiente su interseión on el eje..4. Form simétri..4.. Interseiones de un ret on los ejes oordendos..4.. Euión de un ret onoids sus interseiones on los ejes oordendos..5. Form generl de l euión de un ret..5.. Conversión de l euión de un ret de l form simplifid l form generl vievers..5.. L líne ret l euión generl de primer grdo

3 Tller de Mtemátis III..6. Form norml de l euión de l ret..6.. Otenión de l euión de un ret en su form norml prtir de su form generl.3. Distnis que involurn l ret.3.. Distni de un ret l origen.3.. Distni entre un ret un punto.3.3. Distni entre rets prlels 3. L irunfereni 3.. Crterizión geométri 3... Seiones ónis 3... L irunfereni omo lugr geométrio Elementos soidos on un irunfereni 3.. Cirunfereni on entro en el origen 3... Otenión de l euión de un irunfereni prtir del entro rdio 3... Otenión del entro del rdio prtir de l euión Cirunfereni on entro fuer del origen Otenión de l euión ordinri de un irunfereni prtir del entro rdio Otenión del entro rdio de un irunfereni prtir de su euión ordinri 3.4. Euión generl de l irunfereni Conversión de l euión en su form ordinri su form generl Conversión de l euión en su form generl su form ordinri 3.5. Cirunfereni que ps por tres puntos Condiiones geométris nlítis pr determinr un irunfereni Otenión de l euión de un irunfereni ddos tres de sus puntos 3 Universidd CNCI de Méio

4 Tller de Mtemátis III. L práol.. Crterizión geométri... L práol omo lugr geométrio... Elementos soidos on l práol.. Euión ordinri de l práol... Práol horizontl vertil on vértie en el origen... Otenión de los elementos de un práol on vértie en el origen prtir de su euión... Otenión de l euión de un práol on vértie en el origen prtir de sus elementos.3. Euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen.3.. Práol horizontl vertil on vértie fuer del origen.3... Otenión de los elementos de un práol on vértie fuer del origen prtir de su euión.3... Otenión de l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen prtir de lgunos de sus elementos mínimos neesrios.4. Euión generl de l práol.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form generl.4.. Conversión de l form generl de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form ordinri. L Elipse.. Crterizión Geométri... L Elipse omo lugr geométrio... Elementos soidos on l elipse..3. Forms de trzo prtir de l definiión.. Euión ordinri de l elipse... Elipses horizontles vertiles on entro en el origen... Otenión de los elementos de un elipse on entro en el origen prtir de su euión... Otenión de l euión ordinri de un elipse on entro en el origen prtir de sus elementos mínimos neesrios.3. Euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen.3.. Elipse horizontl vertil on entro fuer del origen.3... Otenión de los elementos de un elipse on entro fuer del origen prtir de su euión.3... Otenión de l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen prtir de lgunos de sus elementos mínimos neesrios 4 Universidd CNCI de Méio

5 Tller de Mtemátis III.4. Euión generl de l elipse.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form generl.4.. Conversión de l form generl de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form ordinri 5 Universidd CNCI de Méio

6 Tller de Mtemátis III Sesión Semn Los tems revisr el dí de ho son:. Sistems oordendos retngulres.. Coordends rtesins de un punto... Ejes oordendos... Prejs ordends..3. Identidd de prejs ordends..4. Punto en el plno.. Lugres geométrios... Conepto de lugr geométrio... Tulión de vlores..3. Interseiones on los ejes..4. Simetrís respeto l origen los ejes..4.. Simetrí on respeto los ejes..4.. Simetrí on respeto l origen. Sistems oordendos retngulres.. Coordends rtesins de un punto Pr determinr ls oordends de un punto es preiso rer un plno rtesino trvés de un punto de refereni, en funión de éste, se ui ulquier otro punto en el plno medinte vlores proporiondos los ejes oordendos, onforme su posiión se uin sus vlores orrespondientes d eje, pr formr l prej ordend llmd tmién oordend de un punto.... Ejes oordendos En los ejes oordendos, el punto de interseión es el punto de origen de donde prte l numerión de ls rets. Los ejes oordendos prten l plno en utro espios denomindos udrntes. Cd uno se distingue por l posiión que oup respeto l numerión positiv o negtiv de los ejes oordendos. Not: es mu importnte que seps que hlr de un sistem de ejes retngulres o oordendos, es hlr de un plno rtesino. 6 Universidd CNCI de Méio

7 Tller de Mtemátis III Al eje horizontl se le llm eje de ls o de ls siss. Al eje vertil se le llm eje de ls o de ls ordends... Prejs ordends Un punto en el plno es l orrespondeni de ls referenis dds, es deir, lo que en mtemátis se llm oordend o prej ordend. Ejemplo: Cmeli tiene que ir un fiest por l nohe pero no se ún qué ponerse, entre ls prends que seleionó omo posiles sos pr portr se enuentrn en un onjunto de pntlones de vestir uno negro, otro zul, uno rojo uno fé, dentro del onjunto de luss tiene un rem estmpd, un ln, otr mrill un ros. Medinte un digrm de flehs represent ls posiles ominiones que podrí her Cmil pr ir l fiest en l nohe, demás integr en un sólo onjunto medinte prejs ordends ls ominiones posiles de pntlones on luss. Soluión: El onjunto de prejs ordends qued determindo de l siguiente mner: {negro, rem, negro, ln, negro, ros, zul, rem, zul, ln, rojo, rem, rojo, ln, rojo, ros, fé, rem, fé, mrill, fé, ros}...3. Identidd de prejs ordends De l mism mner, un punto en el plno rtesino es l orrespondeni de un elemento en el eje sis otro en el eje ordend, el ul es representdo por l prej ordend,. 7 Universidd CNCI de Méio

8 Tller de Mtemátis IIII , -, Dos prejs ordends son idéntis solmente si d uno de los elementos que l omponen son etmentee igules.,, si Ls letrs pueden tomr ulquier vlor de los números reles...4. Punto en el plno El proedimiento pr que lolies un punto en el plno dd l prej ordend, es el siguiente: Identifi el eje de ls. Visuliz l sis trsládte hi ell. 3 Trz un líne vertil punted sore l mism 4 Identifi el eje de ls. 5 Visuliz l ordend trsládte hi ell. 6 Trz un líne horizontl punted sore l mism. 7 El punto en el plno es l interseión de ls dos línes punteds. A l distni de un punto en el plno l eje se le llm ordend. A l distni de un punto en el plno l eje se le llm sis. Ddo el punto en el plno puedes otener su psos que ontinuión se menionn: prej ordend, siguiendo los Trz un líne vertil sore el punto ddo. Identifi l sis donde ruz l líne trzd on el eje de ls. 3 Trz un líne horizontl sore el punto ddo. 4 Identifi l ordend donde ruz l líne trzd on el eje de ls. 5 Los elementos otenidos formn l prej ordend orrespondiente l punto ddo. 8 Universidd CNCI de Méio

9 Tller de Mtemátis III Práti Identifi en el plno rtesino el siguiente onjunto de prejs ordends que muestrn l relión entre los dís de l semn l tempertur mientl. {Lunes, 38ºC, Mrtes, 35ºC, Miéroles, 39ºC, Jueves, 4ºC, Viernes, 33ºC, Sádo, 3ºC, Domingo, 9ºC} Qué dí fue el más luroso? qué dí estuvo más j l tempertur? Práti Reliz los siguientes ejeriios. Ddos los puntos en el plno, identifi esrie sore el mismo su prej ordend. Loliz los siguientes puntos en el plno dds sus oordends:, 3 6, 5, 4 d 0, 0 e 0, 3 f, g 4, 0.. Lugres geométrios En tu vid otidin en tu entorno, si oservs on tenión d situión o fenómeno, desurirás que pueden estr vinuldos siempre figurs geométris, lguns de ells on estéti rmoní visul representd por simetrís proporionlidd. 9 Universidd CNCI de Méio

10 Tller de Mtemátis III En muhos sos l otenión de est estéti o rmoní se logr en se un detlldo estudio mtemátio que involur el lugr geométrio.... Conepto de lugr geométrio El lugr geométrio es el onjunto de puntos en el plno que tienen un propiedd en omún, l ul se enuni hitulmente en términos de distnis puntos, rets o irunferenis fijs en el plno /o en términos del vlor de un ángulo. Ret Cirunfereni Elipse Práol Y onoiste l form de lguns figurs geométris, hs visto que ls puedes enontrr en el mundo que nos rode que son de grn utilidd. En l siguiente imgen se ilustrn lguns forms geométris on sus respetivos nomres, l uestión hor es ser: Cuál euión le orresponde d un de ells? Puesto que omo d punto en el plno le orresponde un prej ordend, tmién d lugr geométrio le orresponde un euión espeífi. Ret Cirunfereni r Elipse Práol Pr verifir que un euión orresponde un lugr geométrio ddo, que el lugr geométrio orresponde iert euión, l geometrí nlíti posee el siguiente prinipio fundmentl: Si ls oordends de un punto stisfen un euión, el punto está en el lugr geométrio de l mism. 0 Universidd CNCI de Méio

11 Tller de Mtemátis IIII Si un punto está en el lugr geométrio de un euión, ls oordends del mismo l stisfen... Tulión de vlores Se h visto grndes rsgos l euión generl de lguns figurs geométris en un sistem de ejes oordendos, pero ómo representr el lugr geométrio o gráfi, undo l euión dd tiene propieddes espeífis? El prinipio fundmentl de l Geometrí Anlíti es de grn utilidd pr resolver diho prolem. Se neesit de vris prejs ordends pr definir l form de su lugr geométrio. El orden en mtemátis es de sum importni pr l otenión de resultdos orretos, prtir de est neesidd se reó l tulión de vlores ver tl. En l tulión los vlores se ordenn pr otener ls prejs ordends, se sign l vrile independientee o sis un vlor, diho vlor se sustitue en l euión pr otener el orrespondiente vlor de l vrile dependiente u ordend. Práti 3 En l euión: 3 Si 3 Otener el vlor de Se sustitue el vlor de en l euión: 3 3 El 3 multipli l vlor de : 9 3 Se resuelve l operión: 4 Se otiene l prej ordend: 3, Si Otener el vlor de Se sustitue el vlor de en l euión: 3 El 3 multipli l vlor de : 6 3 Se resuelve l operión: 8 Euión: 3 - Vlores de Vlores de - -8 Universidd CNCI de Méio

12 Tller de Mtemátis III 4 Se otiene l prej ordend:, 8 Otén el resto de los vlores orrespondientes de ddo el vlor de...3. Interseiones on los ejes..4. Simetrís respeto l origen los ejes En el tem de Lugres geométrios lsifiste ls figurs on respeto su form. Hrá lgun otr mner de lsifirls? Si se tom un punto de refereni sore d un se trz un sistem de ejes oordendos sore diho punto, se podrí oservr otr rterísti, un mner distint de lsifirls. Ret Cirunfereni Elipse Práol Universidd CNCI de Méio

13 Tller de Mtemátis III Si se trz un líne ret por l mitd de l figur los puntos etremos rri/jo o izquierd/dereh se enuentrn l mism distni de l ret trzd, ls prtes ortds son igules, es deir simétris. Puntos de Interseión Eje simétrio d Eje d d d simétrio Si ls prtes ortds son igules simétris se puede deir que l líne ret que ls divide es un eje simétrio por lo tnto que l figur es simétri. Qué ourre on el resto de ls figurs? De lo nterior se puede onluir que dos puntos son simétrios en un plno si se enuentrn l mism distni de otro punto 0, 0. Los puntos simétrios equidistn del eje de simetrí, éste es un ret perpendiulr los segmentos de rets que se formn l unir los puntos simétrios. Eisten dos tipos de simetrí: Con respeto los ejes Con respeto l origen Práti 4 Ls siguientes figurs muestrn l menos un tipo de simetrí. De qué tipo de simetrí se trt?..4.. Simetrí on respeto los ejes En el ejemplo de l figur de l nrnj, se ilustr mu ien el tipo de simetrí on respeto los ejes. Tnto l eje omo l eje. 3 Universidd CNCI de Méio

14 Tller de Mtemátis III Si f f- entones, es simétri respeto l eje ; esdeir,todovlorde le orresponden dos vlores de, igules en vlor soluto pero on diferente signo. Si f f- entones, es simétri respeto l eje ; esdeir,todovlorde le orresponden dos vlores de, igules en vlor soluto pero on diferente signo Simetrí on respeto l origen Como en el ejemplo de l figur de l nrnj es simétri on respeto los dos ejes, se puede deir que tmién es simétri on respetol origen. Siuneuiónnoselterlsustituir por por entones su representión gráfi es simétri on respeto lorigen. Práti 5 Revis l informión que se te proporion reliz lo que se te pide. Convierte teto simólio en so de que sí lo requier. 4 Universidd CNCI de Méio

15 Tller de Mtemátis III Trz su lugr geométrio e identifi l ondiión que l rteriz. Identifi si posee simetrí, si l tuvier indi de qué tipo de simetrí se trt El triple de l mitd del udrdo de onejos que tiene Ángel es el triple de l urt prte de onejos que tiene Jun menos un unidd Sesión Los tems revisr el dí de ho son:.3. Segmentos retilíneos.3.. Segmentos dirigidos no dirigidos.3.. Longitud de un segmento.3.3. Distni entre dos puntos.3.4. División de un segmento en un rzón dd.3.5. Punto medio.4. Polígonos.4.. Perímetros.4.. Áres.3. Segmentos retilíneos En los tems nteriores hs visto un introduión de lo que es un líne ret su utilidd. Ahor verás lguns de sus propieddes..3.. Segmentos dirigidos no dirigidos Ret: es un líne que se prolong indefinidmente en dos sentidos opuestos en l mism direión. Ret Segmento retilíneo:es l porión de un líne ret omprendid entre dos puntos llmdos etremos. Por ejemplo: en el plno de Monterre los puntos 3 formn un porión de l lle Crlos Slzr. A Segmento AB B Segmento dirigido: segmento on mgnitud, direión sentido. Su mgnitud se define omo positiv su direión opuest omo negtiv. Segmento Dirigido AB A B Segmento no dirigido: segmento on mgnitud, sin prolongrse ningun direión. Segmento No Dirigido AB A B.3.. Longitud de un segmento 5 Universidd CNCI de Méio

16 T Tllerde emtemáátisiiii molulssldistniidelpunto o4lpuntto5? Cuen ntslnttidddeu drs Cóm lom multiplisporsulong gitud? Trd ddono? Un herrmienttútilpr medirldistnide mnermáásprátirápidon nsiste enesstleerun npuntodereferenienelplno oprtird deésteenu umerrlslles, omo olovisteenlprimerrsesión.porejemplo:estleid dlretn numérid punttoleorresp pondeunnúmero. Ahorr, pr lulr l lo ongitud del segmento o se otien ne el vlor soluto de l diferrenientreeellos Distnientredospuntos Yp prendistelulrllongituden ntredospun ntosenunretnumééri,hor Cóm molulrí rísldistn nientred dospuntosddosenulquierp rtedelpln no? Sise trzunrretuniendolospunttosddos,dosretssmásprtirdelospu untos pr formrun triángulorretángulo, sepodrálulrldistnide dihospun ntos prtirdelteoremdepitággors. 6 UniverssiddCNCIddeMéio

17 Tller de Mtemátis III El proedimiento pr otener l fórmul de l distni entre dos puntos en el plno es el siguiente: Ddos los puntos se trz el segmento retilíneo entre mos. Se trz un ret vertil punted sore uno de los puntos que orte l eje. 3 Se trz un ret horizontlpunted sore el otro punto que orte l eje. 4 Al identifir un triángulo retángulo, se proede pr otener visulmente el punto de interseión de ls línes punteds. 5 Se otiene l longitud de d un de ésts. 6 Se sustituen los dtos en l fórmul del Teorem de Pitágors. d BC CA d d B, -3 BC A, CA C, d Fórmul de l Distni BC CA Práti 6 Otén l distni eistente entre los puntos A B d d [ 5 ] [ 3 6] d d 3 9 d 9 8 d 90 d Otén l distni entre los puntos C D.3.4. División de un segmento en un rzón dd 7 Universidd CNCI de Méio

18 T Tllerde emtemáátisiiii Tomndoomo oejemploelplnodem Monterre,siÁngelseeenuentrenelpuntto6e invitmrim mqueseenuentren elpunto7 ltetroqu ueseui enelpunto o8, todo osestospun ntosseenu uentrnso reunmism mosegmentotrzdoeenelplno. A qué q distnii se enuentr Mrim de Ángeel si se ono oen ls oordends de l ui ióndeán ngeldelteetro? Pr resolver el ejeriio nterior dee mner práti p ráápid eistee l fórmull del puntto de divisió ón que prte un segm mento en un n rzón dd. Cómo o surge? An nliz detenidmenteldemostrriónsorp préndete. Considerr C los puntos A B l ret que e determinn. AC Se onsider un u terer punto o C, que ort l segm mento en l rellión: CB r D que AC CB son en el mismo sentido, dih rel ión es positiiv. 3 Ddo 4 Si el punto de división d se pre esent fuer de d l prolong ión del segm mento, l rel ión dd nteriormente será s negtiv, que AC CB tendrín sentidos s opue estos. n 5 Al identifir do os triángulos semejntes s se e tiene lo siguiente: M A C C AC AM C B NB N C B CN B, r r C,, 6 De D l euión n otenid des spejr respetivm mente r r r r r Punto de e División A, 0 M N r r P, r r Puntome edio Cun ndoelpunttodedivisió óneselpu untomedio entrelosd dostriángulos,entonesse dedu ueque: 8 UniverssiddCNCIddeMéio

19 Tller de Mtemátis III A, 0 C, B, M N r Punto Medio P, Práti 7 Otén el punto de división el punto medio del segmento trzdo en l siguiente gráfi. 9 Universidd CNCI de Méio

20 Tller de Mtemátis III A, A, r / B 5, 3 B, -3-4 Práti 8 Tom omo refereni el siguiente plno rtesino reliz lo que se te pide. Un zdor dese tener un uen tino l tirr l pájro, pero, el zdor sólo onoe los puntos de uiión de l flor el árol, entones pr logrr su ojetivo neesit lulr lo siguiente: Clulr l distni entre el árol l flor. Determinr el punto donde se enuentr el pájro P dd l rzón de /3. 3 Clulr el punto medio entre el árol l flor..4. Polígonos Un pist de hielo se puede identifir on un figur geométri llmd polígono, que es un figur errd formd por tres o más segmentos de ret no linedos que oiniden en sus etremos, llmdos vérties. 0 Universidd CNCI de Méio

21 Tller de Mtemátis IIII.4. Perímetros El perímetro es l sum de todos los ldos de l pist de hielo. Como l pist de hielo es un polígono, se puede onluir que el perímetro de un figur geométri, regulr o irregulr, es l sum de ls mgnitudes de sus ldos. Pr lulr el perímetro de un figur geométri se otiene l longitud de d uno de los segmentos medintee l fórmul de l distni. Práti 9 Se onstruó un pist de ile on un figur originl omo l de l gráfi, on el fin de ser el número de persons que puede ontener, es neesrio onoer sus dimensiones, es deir, su perímetro. Los únios dtos que se tienen son los puntos de poo de ls tres olumns, los ules se muestrn en l gráfi. Otén l informión requerid. Uidos los puntos en l gráfi sólo es neesrio usr l fórmul de l distni pr lulr d ldo de l pist de ile l finl her l sum totl pr otener el número de persons que pueden oupr l pist l mismo tiempo..4.. Áres Como l pist de hielo es un polígono retngulr, l superfiie se puede medir l multiplir nho por lrgo, según ls fórmuls que onoes sore el áre suponemos que sus medids son metros de lrgo por 8 de nho. Considerndo ls medid menionds, el resultdo es el siguiente: m 8m 396 m. Entones, se puede onluir que el áre o superfiie es l región interior del plno delimitd por los ldos de l figur. Universidd CNCI de Méio

22 Tller de Mtemátis III En el so de que se trte de un polígono formdo on puntos en el plno, el áre se otiene de l siguiente mner: Ddo un triángulo on vérties en los puntos P,, P, P 3 3, 3, su áre se dedue omo: A P P P 3 áre del trpeio M P P 3 M 3 áre del trpeio M 3 P 3 P M áre del trpeio M P P M. En el so de que se tengn polígonos on más de tres ldos, se utiliz un determinnte on ls prejs ordends de los vérties omo se muestr ontinuión: Práti 0 En l esquin de l oloni Rom se enuentr un terreno ldío, un rquiteto ompró el terreno dese onstruir un entro de diversión infntil on juegos Universidd CNCI de Méio

23 Tller de Mtemátis III meinos, pr poder her l onstruión el rquiteto neesit onoer el áre que oup el terreno, l informión que posee se enuentr sore l gráfi de l figur, solmente onoe los puntos de uiión de d esquin del terreno. Clul el áre prtir de l informión proporiond. 3 Universidd CNCI de Méio

24 Tller de Mtemátis IIII Sesión 3 Los tems revisr el dí de ho son:. L líne ret.. Propieddes de l ret.. Euión de l ret omo lugr geométrio.. Ángulo de inlinión pendiente de un ret..3. Pendiente omo rzón de mio..4. Prlelismo entre rets..5. Perpendiulridd entre rets. L líne ret.. Propieddes de l ret Ls propieddes de un ret pueden ser distinguids nlítimente medinte su euión representtiv, geométrimente medinte su interpretión gráfi según se l situión jo estudio. En est seión se onsidern los dos spetos de estudio sore l líne ret.... Euión de l ret omo lugr geométrio L gráfi de l euión de l ret, por ejemplo, está formd por un onjunto infinito de puntos que mntiene siempre l mism direión o inlinión uo lugr geométrioo en el plno se represent omo el de l siguiente figur: -, -5 -, -8-3, , -3 0, , 4 3, Ángulo de inlinión pendiente de un ret Ejemplo: El volán Pio de Oriz tiene un ltur de 5,750 m, su elevión iniil es de 0º sore l superfiie terrestre l errse l ráter su grdo de inlinión promedio fuerte es de 40º º. Volán Pio de Oriz Se ui en los límites territoriles de Puel Verruz en l Repúli Mein. Es el volán l montñ más lt de Méio on un ltur de 5,750 m. 4 Universidd CNCI de Méio

25 Tller de Mtemátis III El volán Pio de Oriz vrí en su grdo de inlinión, onforme se desplz sore l horizontl l elevión de l ret se inrement. A este ángulo se le onoe omo ángulo de inlinión, l rzón de mio que es l elevión entre el desplzmiento se le denomin pendiente, pero, ómo se otienen? Al representr gráfimente l inlinión del volán sore un plno rtesino, se trzn dos línes punteds pr formr un triángulo retángulo. Si oservs ien en d un de ls dos rets, l inlinión está dd por l rzón del mio en elevión on respeto l mio en desplzmiento. 0º º Por lo tnto, l pendiente de l ret se puede definir omo l rzón del mio en on respeto l mio en se denot on l letr m : elevión m desplzmiento 0º º A prtir de l mism gráfi se otiene l funión trigonométri tngente:. opuesto tnα. dente De ls euiones se oserv que l pendiente m l funión trigonométri tngentetienen l mism iguldd,porlo tnto: Pendiente de un ret m Si se despej el ángulo, l fórmul qued: tnα m tn α tn Ángulo de inlinión α m Con ests fórmuls se lul l pendiente de un ret, ddos los puntos de l ret en el plno o ddo su ángulo de inlinión. 5 Universidd CNCI de Méio

26 Tller de Mtemátis III Práti Otener l pendiente ángulo de inlinión de l ret dd en el plno rtesino , αm , Otener l pendiente ángulo de inlinión de l ret dd en el plno rtesino , , Universidd CNCI de Méio

27 Tller de Mtemátis III Se onluen ls siguientes rterístis de un ret en el plno, según su pendiente ángulo de inlinión: Pendiente positiv Ángulo < 90º L ret ree porque l umentr los vlores de umentn los de. Pendiente negtiv Ángulo > 90º < 80º L ret deree porque l umentr los vlores de los de disminuen. Pendiente ero Ángulo 0º No eiste pendiente Ángulo 90º..4. Prlelismo entre rets Ses que un rterísti de ls rets prlels es que nun se ortn, qué otr rterísti desrie ls rets prlels? -3 -, , , 4.8 α 3, 4 Considerndo el siguiente ejemplo puedes oservr que ls rets nun se ortn entre sí, por lo tnto son prlels, l nlizr tnto su pendiente omo el ángulo de inlinión se desure que ms son igules. De lo nterior se onlue que otr rterísti de ls rets prlels es que poseen el mismo ángulo de inlinión l mism pendiente...4. Perpendiulridd entre rets 7 Universidd CNCI de Méio

28 Tller de Mtemátis III Sore ls vís del tren se enuentrn los rieles los durmientes, si oservs ien, d durmiente es perpendiulr l riel, que l posiión de los durmientes form un ángulo reto 90º on respeto los rieles. Revisndo el siguiente ejemplo, l emplmr ls rets formn un ángulo reto, por lo tnto son perpendiulres, l nlizr tnto su pendiente omo el ángulo de inlinión se desure que: m m α º 90º º α De lo nterior se onlue que otr rterísti de ls rets perpendiulres es que l multipliión de sus pendientes es igul. m 0.66 α º , , -3. 3, α º m.6 3, Práti Tom omo refereni l siguiente imgen reliz lo que se te pide. Identifi los puntos de interseión de d ret. Determin l euión de d ret. 3 Otén l pendiente de d un de ls rets. 4 Estlee l relión prlels o perpendiulres entre ells prtir de sus pendientes. 8 Universidd CNCI de Méio

29 Tller de Mtemátis III Sesión 4 Los tems revisr el dí de ho son:.. Forms de l euión de l ret... Euión de un ret onoidos su pendiente uno de sus puntos... Euión de un ret onoidos dos de sus puntos..3. Form pendiente ordend l origen..3.. Interseión de un ret on el eje..3.. Euión de un ret dd su pendiente su interseión on el eje..4. Form simétri..4.. Interseiones de un ret on los ejes oordendos..4.. Euión de un ret onoids sus interseiones on los ejes oordendos..5. Form generl de l euión de un ret..5.. Conversión de l euión de un ret de l form simplifid l form generl vievers..5.. L líne ret l euión generl de primer grdo..6. Form norml de l euión de l ret..6.. Otenión de l euión de un ret en su form norml prtir de su form generl.3 Distnis que involurn l ret.3.. Distni de un ret l origen.3.. Distni entre un ret un punto.3.3. Distni entre rets prlels.. Forms de l euión de l ret... Euión de un ret onoidos su pendiente uno de sus puntos Y prendiste identifir lguns rterístis de un ret según su lugr geométrio en el plno, onforme eso se puede deir que un ret qued determind prtir de dos ondiiones; por ejemplo: dos de sus puntos, un punto su ángulo de inlinión, en este so, de l pendiente uno de sus puntos. Al nlizr ls ondiiones de l ret por l pendiente un punto ddo, l onsiderr l fórmul de l pendiente, se otiene l form punto pendiente de l euión de l ret omo se muestr ontinuión: 9 Universidd CNCI de Méio

30 Tller de Mtemátis IIII Ejemplo: Si l pendiente está dd omo m 6 l ret ps por el punto, 4, otén l euión de l ret. Al tomr l euión: Form punto-pendiente m Se sustitue l pendiente el punto ddo: m Práti 3 Si l pendiente está dd euión de l ret. por m / /5 l ret ps por el punto 3, 0, otén l.. Euión de un ret onoidos dos de sus puntos Otr form distint de l euión de l ret se otiene prtirr de dos puntos perteneientes l mism. Si se onoen dos puntos de l ret l onsiderr tnto l fórmul de l pendiente omo l euión form punto pendiente, l euión de l ret en su form punto punto qued de l siguiente mner: 30 Universidd CNCI de Méio

31 Tller de Mtemátis III Form punto-pendiente m m A, Se sustitue l fórmul de l pendiente en l euión de l ret en su form punto-pendiente result: Form punto-punto B, Ejemplo: Determinr l euión de l ret en su form punto-pendiente que ps por los puntos: -3, -5 0, 7 Al tomr l euión: Form punto-punto Se sustituen los puntos ddos: Práti 4 A, -3, -5 B, 0, Determin l euión de l ret en su form punto pendiente ddos sus puntos:, 4 6, 3 Práti 5 Reliz los siguientes ejeriios. Otén l euión de l ret en su form punto pendiente ddos los dtos que ontinuión se te proporionn. Represent en el plno rtesino el lugr geométrio de d un de ls euiones de l ret otenids en el punto nterior. m.5 ps por 3, Ps por los puntos, 5, 3 Ps por, 9 m 4 4 Ps por los puntos 0, 3, 3 3 Universidd CNCI de Méio

32 Tller de Mtemátis IIII 5 m.5 ps por 4, 0 6 Ps por los puntos 4, 3, Form pendiente ordend l origen Otr de ls distints forms de representr l líne ret es trvés de su pendiente l interseión de l mism on el eje de ls, este tipo de euión es llmd tmién form simplifid de l líne ret. Es posile otener l euión jo est form trvés de su interpretión gráfi o determindos l pendiente ordend l origen de l mism. Ejemplo: En rquitetur, pr un onstruión es importnte onsiderr un drenje pluvil fluido on el fin de evitr que el gu hg hro se infiltre por l pl. Pr logrr diho ojetivoo hn propuesto diferentes tipos de teho omoo los de l figur. Cuál será el tipo de teho más efiz pr un óptimo drenje pluvil?..3. Interseión de un ret on el eje Pr lulr l inliniónn es neesrio estleer un mro de refereni sore l onstruión en funión de los dtos resolverlo. Si l s de l figur mide 4 metros de nho 5 metros de lto, ómo enontrr l euión de l ret del teho? Anteriormentee lsifiste lguns rets en funión 5 de sus rterístis, según sus rterístis er su euión. Ahor, l inluir l interseión de 4 l ret on el eje se onlue que: Cundo l ret ps por el origen su euión es de l siguiente form: m L euión de l ret que no ps por el origen es de l form: m, en donde se le onoe omo l ordend l origen que es l distni desde el origen hst l ordend donde l ret ort l eje de ls. Pr el tipo de ret que no ps por el origen, se onlue que el punto de interseión on el eje de ls es l ordend l origen, u oordend es 0,. 3 Universidd CNCI de Méio

33 Tller de Mtemátis III En los ejemplos nteriores, l nlizr l euión de l ret que no ps por el origen, se oserv que l ret en el plno está reorrid del origen sore el eje de ls 4/5, diho vlor orresponde l de l ordend l origen de l euión En el so del teho plno, prtir del sistem de ejes oordendos se ui el punto de interseión del teho on el eje de ls orresponde l punto 0, Euión de un ret dd su pendiente su interseión on el eje Otr mner distint pr otener l euión de l ret del teho de l onstruión es prtir de l pendiente m de l ret su interseión on el eje de ls, l ul está dd jo l form pendiente ordend l origen: m. Pr otener su euión orrespondiente se sustituen los vlores en: m. Pr representr l euión en el plno rtesino: m Se tom el vlor de l ordend, l ul form el punto 0, en el plno. Dd l pendiente D/D, se onsidern por seprdo los vlores de desplzmiento D de elevión D. 3 A prtir del punto 0, se desplz se trsld horizontlmente hst el vlor D. 4 Sore tl posiión se elev se trsld vertilmente el vlor D. 5 El punto de término form prte de l euión de l ret. 6 Se trz l líne ret sore 0, el punto de término de l operión nterior. Not: si el vlor de l pendiente es negtivo, el signo se puede plir se l numerdor o l denomindor. Ejemplo: Si l ordend l origen es 4 l pendiente de l ret es /3, uál es l euión representión gráfi de l mism? 33 Universidd CNCI de Méio

34 Tller de Mtemátis III Al sustituir los vlores de l ordend l origen de l pendiente en l euión de l ret que no ps por el origen qued: /3 4. Pr representr l ret en el plno, on 4 se otiene l oordend de interseión on el eje que es 0, 4 l pendiente en este so, on un elevión orrespondiente de desplzmiento de 3, el signo negtivo se le puede signr se l numerdor o denomindor. A prtir del punto de interseión on el eje se desplz sore el eje el vlor orrespondiente ddo por l pendiente sore est posiión se trsld vertilmente el vlor de elevión ddo por l pendiente / , 0 Pr determinr l euión de l ret del teho plno es neesrio onoer otro punto pr otener l pendiente. Si l inlinión del teho dee ser el % del nho de l onstruión, entones, est s h que levntrle el teho ese %, pr resolverlo se us l regl de tres: 4 m son 00% 4m % 8m 0.08m 8m? son % 00% 00 El punto de elevión en el plno es 4, 5.08 Otenids ls prejs ordends de l ret del teho: 0, 5 4, 5.08, se lul l pendiente m Al enontrr los puntos l pendiente, mos se sustituen en l euión pendienteordend l origen. m Form simétri..4.. Interseiones de un ret on los ejes oordendos Otr de ls distints forms de representr l líne ret es trvés de su interseión on los ejes oordendos. Es posile otener l euión jo est form trvés de su interpretión gráfi o determinds ls oordends de interseión de l ret on los ejes, l sis l origen, 0 o l ordend l origen 0, Euión de un ret onoids sus interseiones on los ejes oordendos Si un ret ort l eje de ls, el punto de interseión es 0, el punto de 34 Universidd CNCI de Méio

35 Tller de Mtemátis III interseión on el eje de ls es el punto, 0, l onsiderr l euión puntopunto, l form de l ret qued:, 0 0 0, Al sustituir los puntos en l euión: Se simplifi: Al dividir l euión entre qued: Form simétri: Práti 6 Si los puntos de interseión on los ejes de un ret son, 0 0, 3, uál es su euión simétri? -, , Práti 7-6 Instruiones: determin l euión de l ret en su form pendiente ordend l origen ddos los siguientes dtos. m 3/5 4 m m 8 Práti 8 Instruiones: prtir de ls euiones dds enuentr el vlor de l pendiente de l ordend l origen reliz l gráfi orrespondiente Universidd CNCI de Méio

36 Tller de Mtemátis IIII..5. Form generl de l euión de l ret Ejemplo: Colins misterioss En Ptulul, Guteml, ps lgo prentementee norml. Avnzs en ohe por un rreter dviertes lrmente que te enuentrs suiendo por un olin. Si el ohe se detiene en medio de l rreter en punto muerto, qué ourre? Según l desripión nterior, el ohe tendrí que jr por l pendiente; pero, en est olin ourre lo ontrrio. Por qué? Siguiendo on el so ejemplo, un equipo de investigdores se omprometió nlizr este fenómeno trvés de un estudio topográfio. L onlusión otenid fue l siguiente euión: L respuest está en l euión de l ret. Gris l estudio de l ret sus propieddes se desure que l prente suid es en relidd un liger pendiente desendente insertd en un grn pendiente de suid. El engño se dee un ilusión ópti pues el desenso es seguido de un grn pendiente de suid, pr el oservdor es un refereni engños, el entorno fvoree l perepión distorsiond de l pendiente. Como ls siluets de ls persons en l imgen, según ls perspetivs del entorno preen un más pequeñ que otr undo en relidd ls tres son del mismo tmño. Siguiendo on el nálisis de l euión de l ret de l olin oservss que se trt de un euión linel porque l vrile independiente es de grdo uno. Hs prendido que eisten distints mners de representr r l euión de un ret, uál es l form generl de representrl e identifirl? Es mu senillo, sólo tienes que igulr ero l euión otienes l euión generl de l ret. De tl mner que l euión generl de l líne ret es del tipo: A B C 0, donde A, B C son números onstntes. A prtir de l form generl de l euión de l ret se nlizn los posiles sos de euiones pr vlores propios de ls letrs A,B C: 36 Universidd CNCI de Méio

37 Tller de Mtemátis III Cundo A 0 B 0 C 0 A B C 0 m A B C B d Cundo A 0 B 0 C 0 si A B C 0 A 0 B 0 C 0 0 m 0 0 Cundo A 0 B 0 C 0 A B C 0 si C 0 A B 0 A m 0 B e Cundo A 0 B 0 C 0 A B C 0 si B 0 A 0 C 0 A C 0 Cundo A 0 B 0 C 0 A B C 0 si A 0 0 B C 0 B C 0 C m 0 B f Cundo A 0 B 0 C 0 A B C 0 si B 0 C 0 A Si l euión de l rreter en l olin de Guteml está dd por , l euión en su form generl es: Los resultdos untittivos otenidos en el estudio topográfio relizdo en el trmo de rreter denomindo, El Pso Misterioso, indin que l uest desiende en form onstnte en direión hi Sn Lus Tolimán Ptulul unque visulmente se oserve un inlinión hi rri Conversión de l euión de un ret de l form simplifid l form generl vievers. De l form simplifid l form generl. Form Simplifid: m Form Generl: A B C 0 Ejemplo. Dd l pendiente de l ret m /3 l ordend l origen se otiene l form simplifid de l ret trvés del siguiente proedimiento: Se sustituen los vlores de l pendiente de l ordend l origen en l Form simplifid de l euión de l ret: m /3 3 Form Simplifid de l Ret A prtir de l form simplifid de l euión de l ret, pr trnsformrl l form generl se igul ero l euión: 37 Universidd CNCI de Méio

38 Tller de Mtemátis III Se multipli tod l euión por 3 Se igul Form Generl de l Ret Práti 9 Dd l euión generl de l ret 4 6 8, onvertirl l form simplifid L líne ret l euión generl de primer grdo En l vid diri eisten muhs situiones en ls que se usn ls funiones, por ejemplo: El slrio de un empledo está en funión del tiempo trjdo. El grdo de inlinión del volán en funión del desplzmiento. L fluidez del drenje pluvil en funión de l inlinión del teho. d L ntidd de míz osehd en funión del tiempo. e Los hirridos de un grillo están en funión de l tempertur. De los ejemplos nteriores se puede deir que un funión mtemáti es un relión entre dos onjuntos, definid un regl de orrespondeni en l que d elemento del primer onjunto vrile independiente, le orresponde un únio elemento del segundo onjunto vrile dependiente. Ls letrs on ls que se represent un funión son: f, g, h, ls vriles se denotn on ls letrs t, p,,, z. Si l funión se esrie de l form: f, es l vrile independiente es l vrile dependiente. L funión f es linel si en su modelo lgerio epres l relión entre l vrile independiente de grdo eponente uno l vrile dependiente. L form de l funión linel es: f m onstntes. m 0 m son números 38 Universidd CNCI de Méio

39 Tller de Mtemátis III L gráfi de un funión linel es un líne ret, undo l funión se igul ero se otiene un euión linel o euión de primergrdo. Ejemplo: Grfir l funión f 3 5 undo 0 undo. Si / 3 Si / Form norml de l euión de un ret En l imgen que represent el mino misterioso de Guteml hrás notdo que l vegetión sore l rreter ree perpendiulrmente respeto l superfiie de l Tierr, es líne ret perpendiulr l superfiie de l Tierr se llm ret norml. Cuál es l euión de l ret norml orrespondiente l ret de inlinión de l rreter? Pr resolver est uestión es neesrio her un nálisis sore l líne ret su form norml. Al onsiderr un ret L se trz su ret norml N orrespondiente, que pse por el origen perpendiulr L. Dihs retsseintersetnenunpuntop,, de tl mner que el segmento de ret que se form del origen l punto P es P, θ el ángulo formdoporl ret norml N on respeto l eje de ls. De uerdo on l gráfi, l pendiente de l ret norml está dd por: senθ Por fórmul trigonométri m N tn θ osθ Puesto que N L son perpendiulres que formn un ángulo de 90º entre sí, se onlue que: osθ L pendiente de l ret L es: m L senθ Al tomr l euión de l ret en su form punto pendiente se determin lo siguiente: Según ls funiones trigonométris: L P, 90º N P 0 θ osθ osθ m si ml senθ senθ 39 Universidd CNCI de Méio

40 Tller de Mtemátis IIII sen θ P Ps en θ o s θ P P os θ Práti 0 Trz l ret AB pr los vlores de P q que se indin determin su euión. Form norml de l ret osθ senθ P 0 Resuelve: Trz l ret AB pr los vlores de P 4 q 40º determin su euión. 40 Universidd CNCI de Méio

41 Tller de Mtemátis III..6.. Otenión de l euión de l ret en su form norml prtir de su form generl Pr otener l euión de l ret en su form norml prtir de su form generl, h que suponer l euión de l ret en su form generl: A B C 0 l euión de l mism ret en su form norml: osq senq P 0, omo ls euiones determinn l mism ret sus oefiientes son proporionles: osθ K A En donde K es l onstnte de proporionlidd K senθ B P K C A prtir de lo nterior se tiene: osθ KA senθ KB 3 P KC Al elevr l udrdo ls euiones l sumrls se otiene: Identidd Trigonométri sen θ os θ os os θ sen θ K sen θ K K θ K A K A B A B K B Al despejr K de l euión se tiene: K A K A B K ± A B B Otenid K se sustitue en : osθ KA osθ ± A A B senθ KB B senθ ± A B 3 P KC P ± A C B Por lo tnto l form norml de l euión A B C 0 es: A B ± A B ± A B ± A B C Universidd CNCI de Méio

42 Tller de Mtemátis III L euión otenid de l ret de su form generl onvertid su form norml es muho más simple que l que depende de ls funiones trigonométris. Qué difereni enuentrs entre l form generl de l euión de un ret l otenid en su form norml? Al oservr l euión en l form generl de l ret l euión 4, logrste drte uent que l úni difereni es el rdil que divide d término de l euión 4. Ese rdil es lve pr otener l onversión de l euión de l ret de su form generl su form norml. A B C 0 ± ± ± A B A A B A B B C 0 El signo del rdil se determin medinte los siguientes riterios: Si C 0 el rdil A B es de signo ontrrio C. Si C0 B 0, el rdil A B B tienen el mismo signo. 3 Si CB0, el rdil A B A tienen el mismo signo. Práti Convertir l form norml l euión: Instruiones: reliz lo que se te indi ontinuión. A prtir de l ret que ps por los puntos, 6, 4.5, determin l euión según ls siguientes forms: Punto pendiente; onsider el punto, 6. Punto pendiente; onsider el punto, Pendiente ordend l origen. A prtir de l euión de l ret determind en su form pendiente ordend l origen en el ejeriio nterior, reliz l siguiente onversión: A su form generl. A su form simétri. 3 A prtir de l euión otenid en su form generl, onviértel su form norml. 4 Trz l gráfi. 4 Universidd CNCI de Méio

43 Tller de Mtemátis III.3 Distnis que involurn l ret. Ejemplo: Imgen Oserv l imgen. Cómo son ls rets entre sí? Prlels o torids? Oserv l imgen. A uál punto entre A, B C orresponde l ret que sle del retángulo del ldo izquierdo? Imgen 3 Oserv l imgen 3. Ls rets son prlels, perpendiulres o torids? Imgen.3.. Distni de un ret l origen Los sentidos no son del todo preisos, hs visto lgunos ejemplos que lo demuestrn. Cómo evitr er en el engño? Ls mtemátis portn ertez l nlizr untittivmente los posiles sos miguos l dr resultdos preisos reíles. En l imgen 3 del ejemplo nterior, pr determinr ómo son ls rets entre sí, se tom un punto de refereni se trz un plno rtesino. Al nlizr ls rets grises, se lul l distni de d un de ells l origen si ls distnis son proporionles, ls rets son prlels Pr lulr l distni de l ret l origen se proede de l siguiente mner: 43 Universidd CNCI de Méio

44 Tller de Mtemátis III L ret interset l eje en el punto A l eje en el punto B. L longitud del segmento OB, l longitud del segmento OA. Según l figur de l gráfi, se form un triángulo retángulo OBA, on tetos, omo hipotenus el segmento AB. Según l fórmul del Teorem de Pitágors, lo nterior qued de l form: AB Un propiedd del triángulo retángulo estlee que el produto de sus tetos es igul l produto de l hipotenus por l ltur: ABd Al juntr ls dos euiones se otiene: Fórmul de l distni entre un ret el origen ABd d d Pr enontrr entones l distni de l ret de l imgen 3 del ejemplo nterior l origen, st ser los puntos donde l ret ort on los ejes , , 0 d Al sustituir los vlores en l euión result que l distni delorigen l ret es de: d d 4 d 5 d Si otr ret ortr en los puntos, 0 0, 0.5, uál serí l distni de l ret l origen?.3.. Distni entre un ret un punto Pr determinr l relión entre ls rets de l imgen, se elige un punto de refereni se trz un plno rtesino sore éste. Se elige un de ls rets se re un ret prlel L punted ést. 44 Universidd CNCI de Méio

45 Tller de Mtemátis III L L d A, L euión de l ret L está dd por: os α senα p 0 L euión de l ret L está dd por: os α senα p d 0 p α Como el punto A stisfe l ret L entones: osα senα p d 0 l despejr d d osα senα p Pr filitr l fórmul de l distni de un punto un ret, se sustituen ls equivlenis de ls funiones trigonométris. A osθ senθ ± A B ± A B B P ± A C B Al sustituir en l euión: d osα senα p Se simplifi: d ± A A B ± A B B ± A C B d A B C ± A B Fórmul pr lulr l distni entre un ret un punto Distni dirigid de un ret un punto. Si l distni se lul on l fórmul otenid, el signo del rdil se determin trvés de los siguientes riterios: Será positivo si el punto P está situdo por enim de l ret negtiv si está por dejo de ell. Es posile determinr lo nterior l onsiderr que el signo del rdil es el mismo que tiene B, o se, el oefiiente de l vrile. 45 Universidd CNCI de Méio

46 Tller de Mtemátis IIII Distni no dirigid de un ret un punto Si el signo de l distni no es de interés entones solmente se otiene el soluto de l distni entre el punto l ret dd. d A B C ± A B vlor.3.3 Distni entre dos rets prlels Pr lulr l distni entre dos rets prlels, solmente se tom un de ls dos euiones, se he ero un de ls dos vriles se proede lulr el vlor orrespondientee de l segund vrile, un vez otenido el punto, se lul l distni entre un punto un ret. Ejemplo: Pr desengñrnos de l vist, se v lulr l distni entre ls rets M N en dos puntos distintos Según el plno rtesino, l ret M ps por los puntos,,, su euión está dd por: Un punto de l ret N es, 3. Al lulr l distni entre l euión de l ret M el punto que ps por N, 3 se tiene: Práti Instruiones: reliz los siguientes ejeriios. Clul l distni entre los siguiente elementos: L ret 0 el origen. L ret un punto:,. 3 Ls rets prlels Grfi d un de ls rets de los ejeriios nteriores. 46 Universidd CNCI de Méio

47 Tller de Mtemátis III Sesión 5 Los tems revisr el dí de ho son: Semn 3. L irunfereni 3.. Crterizión geométri 3... Seiones ónis 3... L irunfereni omo lugr geométrio Elementos soidos on un irunfereni 3.. Cirunfereni on entro en el origen 3... Otenión de l euión de un irunfereni prtir del entro rdio 3... Otenión del entro del rdio prtir de l euión 3. L irunfereni 3.. Crterizión Geométri Ejemplo: Loomotor El invento del tren de vpor fue de grn utilidd en l Revoluión Industril porque podí trnsportr rgs pesds en grndes ntiddes, demás que on mor veloidd. Un de ls veloiddes máims lnzds fue de 00 Km./h. Pr evitr el desrrilmiento de un tren es neesrio verifir el desgste de sus rueds, si éste h heho un reorrido superior los 50,000 Km. Ls rueds son fundmentles pr el funionmiento del tren; pero, qué es lo que se inspeion en un rued de tren pr grntizr l seguridd de su uso? Es preiso distinguir el írulo de l irunfereni. L irunfereni es el onjunto de puntos que se enuentrn l mism distni de otro punto ddo, mientrs que el írulo es el áre enerrd por l irunfereni Seiones ónis 47 Universidd CNCI de Méio

48 Tller de Mtemátis III Si ls rueds del tren se unen por medio de un fierro reto, on el movimiento de ls rueds, el fierro reto form un ono de dos mntos, que el ono se form undo rot un ret lrededor de un írulo l girr sore un punto fijo. En sesiones nteriores prendiste de mner generl ls forms de lguns figurs geométris su lugr geométrio en el plno rtesino, hor se nlizn detlle tnto propieddes omo elementos de d un de ells. Ls figurs que prendiste identifir surgen de l interseión de un plno on un ono irulr reto de dos mntos se les onoe omo seiones ónis. 48 Universidd CNCI de Méio

49 Cirunfereni Tller de Mtemátis III Eje Si el plno ort oliumente l ono, l interseión form un elipse. Si el plno ort los dos mntos de un ono l interseión form un hipérol Eje Eje Práol Eje Si el plno ort horizontlmente l ono, form un ángulo reto on el eje, l interseión form un irunfereni. Si el plno ort sólo uno de los onos sin ruzrlo l interseión form un práol. Elipse Hipérol 3... L irunfereni omo lugr geométrio. L siluet de l rued del tren se puede representr en form gráfi omprrl on lgun figur geométri, en el loque II prendiste lo que es un lugr geométrio, es el onjunto de puntos en el plno on un propiedd en omún. L irunfereni tiene l prtiulridd de estr formd por un onjunto de puntos los ules se enuentrn l mism distni equidistn, llmdo entro de l irunfereni su lugr geométrio en el plno se represent omo sigue: Universidd CNCI de Méio

50 Tller de Mtemátis III Elementos soidos on un irunfereni Al nlizr l rued del tren se oserv que no está sol, vrios elementos intervienen se lsifin de uerdo su posiión respeto ést. Ls rueds de los ferrorriles se verifin geométrimente; es deir, que h proporión en unto l diámetro de l mism. sente uerd tngente rdio uerd En generl se onlue: Rdio r: es l distni de ulquier punto de l irunfereni l entro, siempre es un vlor onstnte pr d uno de los puntos. Diámetro d: segmento de ret que ps por el entro l divide en form simétri. Equivle ldole de l medid del rdio. Cuerd: segmento de ret que une dos puntos de l irunfereni. Tngente: ret que ort un sólo punto de l irunfereni el rdio es siempre perpendiulr ést. Sente: ret que ort en dos puntos l irunfereni. Práti 3 Instruiones: resuelve el siguiente ejeriio. Oserv el lugr donde te enuentrs desrie l menos dos figurs geométris otenids medinte l interseión de un plno on un ono de dos mntos not en tu liret otros tres ejemplos de ls figurs que reonoiste. Instruiones: resuelve el siguiente ejeriio. 50 Universidd CNCI de Méio

51 Tller de Mtemátis IIII Identifi lgunos de los elementos soidos un irunfereni en l siguientee imgen distínguelos mrándolos on olores distintos, esriiendo sore d uno su nomre. 3.. Cirunfereni on entro en el origen Ejemplo: L rotond del Ángel de l Independeni en el D.F. fue inugurd el 6 de Septiemre de 90 pr elerr el primer entenrio de nuestr Independeni. El diámetro de l rotond mide proimdmente 00 m. Un estrutur irulr rotonds o gloriets en el rue interseión de lguns lles rets represent lgun utilidd en l vilidd? 3... Euión de l irunfereni prtir del entro rdio Pr trzr l form de l rotond del Ángel de l Independeni en el plno rtesino es neesrio onoer sus dimensiones trzr su form irulr en l posiión preis. Bst onoer su entro rdio pr representrl gráfimente. L representión gráfi de l rotond del Ángel de l Independeni en el D.F. tomdo éste omo refereni on un diámetro de 00 metros qued omo está en l figur. Desde el origen se mide l distni del rdio l mitd del diámetro que es 00 result que los puntos de interseión de l urv on los ejes oordendos son 0, 00, 0, 00, 00, 0 0, Universidd CNCI de Méio

52 Tller de Mtemátis III Pr fines de ingenierí nlíti, si se onsider el Ángel de l Independeni omo el punto de origen del plno rtesino on diámetro de 00 metros, ómo quedrí l euión de l irunfereni de l rotond? Pr lulr l euión de ulquier irunfereni en el plno rtesino ddo su rdio entro en el origen, se determin l distni del entro ulquier de sus puntos. d r r 0 r r 0 r Euión de l irunfereni on entro en el origen rdio r L euión de l rotond del Ángel de l Independeni, on entro en el origen rdio 00 m qued de l form: 00 0,000 Ejemplo: Otén l euión de l irunfereni su gráfi, si su rdio es igul 3 su entro está en el origen P-3, 0 P0, 3 - P3, 0 5 Universidd CNCI de Méio P0, -3

53 Tller de Mtemátis III Como el rdio es 3, prtir del origen se uentn tres uniddes todos ldos, omo se puede oservr en l imgen Otenión del rdio entro de un irunfereni prtir de l euión. Hrás identifido en l euión de l irunfereni lguns rterístis prtiulres, por ejemplo: Ls vriles tienen siempre omo oefiiente el número ms están elevds l udrdo. Ls dos tienen siempre signo positivo. 3 El vlor del rdio no es negtivo porque l distni siempre es positiv. Y espeífimente en l euión on entro en el origen rdio r: r Los únios elementos que integrn l euión son ls vriles, r, ningún otro elemento ompñ ls vriles. Práti 4 Dd l euión 4 4 5, determin el rdio, entro de l irunfereni representión gráfi. Práti 5 Otén l euión de l irunfereni on entro en el origen uo rdio es: r 8 r 5 3 r l ríz udrd de 7 A prtir de l euión, otén el rdio entro de l mism: Trz l gráfi de d uno de los ejeriios nteriores trvés de su euión. 53 Universidd CNCI de Méio

54 Tller de Mtemátis IIII Sesión 6 Los tems revisr el dí de ho son: 3.3. Cirunfereni on entro fuer del origen Otenión de l euión ordinri de un irunfereni prtir del entro rdio Otenión del entro rdio de un irunfereni prtir de su euión ordinri 3.3. Cirunfereni on entro fuer del origen Ejemplo: Desstres nturles Un ilón se proim l Golfo de Méio on un tretori linel. Pr prevenir desstres es neesrio lulr ls oordends dimensión del ilón fin de poner sore viso l polión. Si el ilón onserv siempre ls dimensiones, fetdos? qué puelos se misms verán En est sesión se nliz l irunfereni fuer del origen lolizd en ulquier punto del plno rtesino. Se onsidern ls oordends de l irunfereni omo h pr omo k pr Otenión de l euión ordinri de un irunfereni prtir del entro rdio Pr ser qué puelos se verán fetdos por el ilón que se er l Golfo de Méio del ejemplo, es neesrio onoer ls dimensiones del mismo. Este ejemplo está sdo en l irunfereni on entro fuer del origen, suponer que el entro del ilón es Ch, k su rdio r. Pr lulr l euión de ulquier irunfereni en el plno rtesino ddo su rdio entro en Ch, k, se determin l distni del entro ulquier de sus puntos. 54 Universidd CNCI de Méio

55 Tller de Mtemátis III 55 Universidd CNCI de Méio A prtir de ls oordends del plno rtesino inrustdo en el rdr, es posile identifir el entro del ilón 3, el rdio se otiene trvés de un de ls interseiones del ilón on los ejes del plno rtesino, sustituéndolos en l euión. Práti 6 Enuentr l euión de l irunfereni que ps por el punto 5, tiene entro en el punto omún ls rets: L euión de l irunfereni está d por: r k h A trvés de l gráfi se identifi un punto de interseión del ilón on el eje de ls en, r r r r r k h Tnto el entro omo el punto se sustituen en l euión se otiene elrdio: r k h k h r k h r r d Euión de l irunfereni on entro fuer del origen rdio r tmién llmd euión ordinri de l irunfereni

56 Tller de Mtemátis IIII Práti 7 Reliz los siguientes ejeriios. Determin l euión de l irunfereni en su form ordinri tomndo omo refereni los dtos proporiondos : Los puntos etremos de l irunfereni 5, 0, 8 Centro, es tngente l ret Rdio entro 3, 4 Centro de l irunfereni, ps por el punto Trz l gráfi de l euión de l irunfereni otenid en los ejeriios nteriores Otenión del entro rdio ordinri Ejemplo: Coodrilos de un irunfereni prtir de su euión Los oodrilos tienen unos nódulos on firs nervioss que detetn el más leve movimientoo en el gu, esto les permite detetr sus press, intrusos peligros. Si los nillos irulres que se vn etendiendo en el gu lo hen inrementándosee l mism ntidd de diámetro que el nillo iniil, ómo medirís el tiempo que trdrá un oodrilo en reiir los disturios irulres del gu redos por los pees? Si uno de los pees produe un ond irulr iniil que se v etendiendo, en qué punto se enuentr el pez respeto l oodrilo si se tom éste omo punto de origen. Además on qué diámetro se irá etendiendo l ond hst llegr ser detetd por el oodrilo, si l euión de l ond iniil es igul A prtir de l euión proporiond es posile otener el entro rdio de l irunfereni, sí omo el lugr donde se ui el iniio de l ond produid por el pez. 56 Universidd CNCI de Méio

57 Tller de Mtemátis III Ejemplo: Determin el entro rdio de l irunfereni u euión ordinri está dd por: 3 36 Si l form generl de l euión de l irunfereni en su form ordinri es: h k r Entones, l identifir e igulr término término los elementos de d euión se otiene: h h h 0 h h k 3 k 3 k 3 0 k 3 k 3 r 36 r 36 r 6 Otenidos los dtos se onlue que el entro rdio de l irunfereni on euión 3 36, son: C, 3 r 6 Práti 8 Determin ls oordends del entro l longitud del rdio prtir de ls siguientes euiones, después trz l gráfi de d un de ls irunferenis Universidd CNCI de Méio

58 T Tllerde emtemáátisiiii Sesión7 L Lostems revisreld dídehosson: Euió óngenerld delirun nfereni 3.4..Conversió óndeleuiónensuformordiinrisufformgenerl 3.4..Conversió óndeleuiónensuformgenerlsuformordinri 3.5.Cirunfereniqu uepsporrtrespunto os 3.5..Condiionesgeométtrisnlítisprdeterminrrun irunfereni 3.5..Otenió óndeleu uióndeunirunfereniddo ostresdesu us puntos 3.4EEuióngenerldelirunferen ni Ejem mplo:agroglifos Segurm mente h hs esuhdo hlr er de los írrulos red dos en el psto. Si oservs ien, no otrás que unorrrelizdonpreissiónpuede serell. Sin ls mtemáátis seríí posile relizrr grndes ors en todos los ámitossquesen nells? Como hs visto o, ls mtem mátis no sólo son de grn utiliidd pr ls neesiddes ásisdelhom mreonstrruirunlugrptoprvivir,onsttruirmediossdetrnspo orte pr sutrsldo osegurorrápido,herrrmientsd detrjom másútilesefieso omo lomputdor,entreotrros,tmiéénseusnmuhoprelspeto oestétio,p pr elrtte,lellezz,usndmirióntedentrnlon ntemplión ndelsorrs. Elesstudiotnto onlítioomogeom métriodedojeto oofenómenoenontrrdo en l nturlez es tomdo por el ser humn no omo modelo pr sus propios interreses.enelsodelirunferen ni,prtirdelosdtosnlítiosdelmissm hslogrdoottenerlosellementosessenilesqu uelintegrrn,enesteesoelen ntro mism. elrrdiodelm Sileuióndelirunfereniestáddenssuformordinri h k r,entonesssuentroo orrespondelprejordendc Ch,kllongituddesu rdio oes r. 58 UniverssiddCNCIddeMéio

59 Tller de Mtemátis III Pr estudios nlítios es útil presentr l euión de l irunfereni en otr form que l ordinri, en est sesión se muestr un nuev form de presentr l euión de l irunfereni Conversión de l euión de un irunfereni de su form ordinri su form generl Si uno de los írulos hehos en un ultivo de míz tiene un diámetro de 0 m su entro respeto l s es de 35, 0 l euión de l irunfereni en su form ordinri es: Cuál será l euión de l irunfereni del groglifo en su form generl? Se desrrolln los inomios se simplifi: Se desrrolln los inomios: Se orden en form desendente: Se grupn términos semejntes: Form generl de l irunfereni: L euión en su form generl de l irunfereni del groglifo es: En un so más generl, suponer que se tiene l euión de l irunfereni en su form ordinri on entro fuer del origen, l desrrollr los inomios ontenidos en ell result: h h h k El oefiiente de l se determin on l letr D El oefiiente de l se determin on l letr E, El término independiente se determin on l letr F Quedrí de l siguiente mner: h k h D h E k F h k r k k k r r r 0 59 Universidd CNCI de Méio Euión generl de l irunfereni D E F 0

60 Tller de Mtemátis III De lo nterior se onlue que: Si l irunfereni tiene entro en el origen h k0, l euión qued omo sigue: D 0 h 0 E 0 0 F 0 0 r Conversión de l form generl l form ordinri r k 0 Cómo epresr en su form ordinri l euión de l irunfereni undo está dd en su form generl? L euión del groglifo está epresd en su form generl, pr onvertirl su form ordinri es neesrio relizr los siguientes psos: Agrupr los términos semejntes: Completr el udrdo de d vrile: 3 Ftorizr: 4 Form ordinri: De mner más generl: Al tomr l euión de l irunfereni en su form generl: D E [ D ] E 60 Universidd CNCI de Méio D E [ ] F D E D E F Agrupr Completr el D E F 0 los términos D D E 4F D 4 udrdo E F 4 Simplifir : de 3 Ftorizr : semejntes : d E vrile: Al omprr on l euión ordinri : h k D E 4F D E Se otiene : h k r r D E 4F 4 r

61 Tller de Mtemátis III Pueden drse los siguientes tres sos l her un nálisis de l longitud del rdio r : Si D E 4F < 0, el vlor de r no es un número rel entones l euión no tiene representión geométri. Si D E 4F > 0, el vlor de r es un número rel le euión generl de D, E C l irunfereni tiene omo entro longitud del rdio r D E 4F 3 Si D E 4F 0, el vlor del rdio es ero l euión represent un, E D punto Entones, prtir de los dtos otenidos nteriormente se filit l onversión de l euión generl de l irunfereni l form generl. Ejemplo: Determin si l euión represent un irunfereni si sí es, enontrr su rdio entro, trz su gráfi. Se verifi que l euión se un irunfereni: D 4 E 6 F 6 D E 4F > 0 Como es mor que ero entones se trt de un irunfereni. Con los dtos otenidos se proede determinr el entro rdio de l irunfereni: Se sustituen los vlores respetivmente: D 4 E 6 F 6 Se simplifin: h k r D E D 4 6 E 7 3 4F Otenidos los vlores se onlue que el entro de l irunferenies: C7, 3 rdio:r8 6 Universidd CNCI de Méio

62 Tller de Mtemátis III Práti 9 Reliz los siguientes ejeriios. A prtir de ls siguientes euiones reliz l trnsformión de l euión su form ordinri o generl, según se el so: Trz l gráfi de ls irunferenis nteriores Cirunfereni que ps por tres puntos A prtir de l representión gráfi hrás notdo que l lolizr un punto en el plno, sore éste puede psr ulquier tipo de gráfi, un ret, vris rets, un irunfereni, un práol, et. Dos puntos stn pr trzr un ret, por tles puntos pueden psr vris irunferenis, et., pr tres puntos, uánts gráfis pueden psr? Condiiones geométris nlítis pr determinr un irunfereni En el estudio que hst hor hs heho sore l irunfereni, nlítimente l euión de ést puede determinrse medinte tres ondiiones onstntes: Pr l euión ordinri, por ls onstntes independientes son: h, k, r. Pr l euión generl, por ls onstntes independientes son: D, E, F. Ahor, si oservs ien, el volnte de l seión Eplor, tiene tres soportes según se su utilidd o estéti, que en su so podrín servir omo se o ondiión pr onstruir su irunfereni. En el tem siguiente se present l otenión de l euión de l irunfereni prtir de tres puntos ddos Otenión de l euión de l irunfereni ddos tres de sus puntos Pr otener l euión de l irunfereni que ps por tres puntos se proede de l siguiente mner: Suponer que los soportes del volnte se enuentrn en los puntos: 0.05, 5.5, 5.5, , 0.5. Estos puntos se sustituen en l euión generl de l irunfereni: 6 Universidd CNCI de Méio

63 Tller de Mtemátis III 0.5 Punto 0.5, 5.5 D E F D 0.5 E 5.5 F Punto 5.5, 0.5 D E F 0 D 5.5 E 0.5 F D 5.5E F D 0.5E F 0 0.5D 5.5E F D 0.5E F Punto 4.5, 0.5 D E F 0 D4.5 E 0.5 F D 0.5E F 0 4.5D 0.5E F 0.5 Se otienen tres euiones, on tres inógnits que puede ser resuelto por el método de sum rest o medinte el determinnte de tres renglones por tres olumns. A ontinuión se desrrolln mos métodos: 3 0.5D 5.5E F D 0.5E F D 0.5E F 0.5 Ls euiones se restn: Se otiene: 0.5D 5.5E F D 0.5E F D 5E 0 D E Ls euiones 3 se restn: Se otiene: 5.5D 0.5E F D 0.5E F 0.5 0D 0 D D,omo DE, entonese F se otiene sustituendod E en ulquier de ls tres euiones: 0.5D 5.5E F F 30.5 F Otr mner de resolver el sistem de tres euiones on tres inógnits es por medio de un determinnte. 0.5D 5.5E F D 0.5E F D 0.5E F 0.5 Δ Δ Δ Δ Universidd CNCI de Méio

64 Tller de Mtemátis III Comprue resuelve l determinnte de d un, tom omo ejemplo el proedimiento del determinnte nterior. Δ A Δ B Δ C Pr otenerlos vlores de D, E F se dividen los determinntesδ A, Δ B, Δ C entreδ: Δ 50 A Δ 50 Δ 5 D E B F C 4. 5 Δ 50 Δ 50 Δ 50 El resultdo es el mismo que se otuvo en l soluión del sistem de tres euiones on tres inógnits medinte el método de sum rest. Por lo tnto l euión generl del volnte es: Práti 30 Reliz los siguientes ejeriios. Otén l euión de l irunfereni ddos los siguientes puntos medinte el uso de determinntes: 4,,, 7 0, 0,, 7, 5 0,3 Trz l gráfi de d uno de los ejeriios nteriores. 64 Universidd CNCI de Méio

65 Tller de Mtemátis IIII Sesión 8 Los tems revisr el dí de ho son:. L práol.. Crterizión geométri... L práol omo lugr geométrio... Elementos soidos on l práol.. Euión ordinri de l práol... Práol horizontl vertil on vértie en el origen... Otenión de los elementos de un práol on vértie en el origen prtir de su euión... Otenión de l euión de un práol on vértie en el origen prtir de sus elementos. L práol... Crterizión geométri Ejemplo: Coin solr próli L oin próli onst de un diso que reflej onentr l luz del sol en un punto fijo en el ul l omid se oin. Alnz temperturs de hst 300 grdos en seo, puede hervir litro de gu en 0 minutos demás oin sin emitir CO. Cómo rees que se lient l omid? Reuerd que l práol se lsifi omo un seión óni porque provienee del orte de un ono on dos ps trvés de un plno. Este tipo de figur óni puedes enontrrlo plido en diferentes ámitos de tu vid otidin, por ejemplo, ls lues de los utomóviles tienen un pntll on form próli, l nten próli, l oin próli, en l rquitetur: los puentes olgntes, los túneles, los ros; en l nturlez: el roíris, montñs; en los deportes, l tretori de ls pelots lones l ser lnzdos, et. En este tem verás un nálisis detlldo de los diferentes tipos de euiones de l práol, sí omo su representión gráfi ómo ést depende de los omponentes que l integrn. Pero, ntes de omenzr, uáles son ls rterístis on ls que se identifi un práol en el plno rtesino?.. L práol omo lugr geométrio 65 Universidd CNCI de Méio

66 Tller de Mtemátis III Hs visto l form de l oin solr, est form se puede representr en el plno rtesino dvirtiendo lguns rterístis prtiulres pr ser identifid omo tl. L práol en el plno rtesino se define omo el lugr geométrio de los puntos en éste, u distni un punto fijo llmdo foo es l mism que su distni un ret fij del plno llmd diretriz. Coin solr próli En qué influe est form pr ser onsiderd omo un oin? El punto donde se enuentr uid l oll se le llm foo, hi éste en reotdos todos los ros solres que se dirigen l interior de l práol. Aqué se le llm diretriz de un práol?... Elementos soidos on l práol D D D P P Al her un nálisis sore el lugr geométrio de l práol, se logrn definir sus elementos rterístios omo sigue : D3 P3 D P P F D P P F D 3 P 3 P 3 F D4 D5 D6 V P 4 F P 5 S P6 D n P n P n F si P n está en l urv de l práol DV V F F: foo de l práol. D: ret fij, diretriz. S: eje de l práol, ret que ontiene l foo es perpendiulr l diretriz. V: vértie, punto medio entre el foo l diretriz. : distni dirigid de V F, VF P: prámetro de l práol, DF P 66 Universidd CNCI de Méio

67 T Tllerde emtemáátisiiii En donde d de m ner generl, los elementtos que r terizn l práol p son: F: Foo, F punto po or donde ps s el ldo re to se enu uentr un distni de el vértie. D: Diretriz, D ret fij perpend diulr l eje fol, un distni del d vértie. S: Eje E fol, ret que ontiene l foo o es perp pendiulr l diretriz. V: Vértie, V punto medio entre el foo l diretriz, d gene erlmente sus s oordends s son h, k. L R: R puntos etremos del Ld do Reto LR: Ldo Reto, es e l distni que ps por el foo, pendiulr l ejje fol. Su longitud es de 4. 4 perp : dis stni dirigid d de V F, VF P: p rámetro de l práol, DF F P Práti3 Aprtirdelsiguienteimgentrz enelplno ounprá olquele orrespond de identtifisorelmismlo oselemento osquelo omponen. ordinride elpráol..euióno Ejem mplo: Cómolehenpronstruiirlosros sinquese iglp piedr? Cómoh henpr otenerl mismformpreis dvezz? 67 UniverssiddCNCIddeMéio

68 Tller de Mtemátis III El ser humno, pr relizr estruturs omo ls del ejemplo nterior requiere de l form nlíti euión de l óni, de tl mner que pued onstruir réplis idéntis preiss de un mism. En seguid hrás un estudio nlítio de l euión de l práol, se difereni rteriz porque un de sus vriles, no ms, está elevd l udrdo. Ejemplo: Grfi l siguiente euión: 3 Pr l tulión se determinn los vlores de se otienen los de. Vlores de 3 Vlores de Aso tods ls práols son igules siempre?... Práol horizontl vertil on vértie en el origen Eisten diferentes tipos de práols, ls h vertiles, horizontles olius; en est sesión omienzs estudir ls práols horizontles. 68 Universidd CNCI de Méio

69 Tller de Mtemátis III Práols Horizontles Pr determinr un práol horizontl on vértie en el origen en el plno rtesino, neesits verifir que su eje fol oinid on el eje de ls, su vértie oinidente on el origen 0, 0. Ver gráfi Supón un práol on el foo sore el eje positivo de ls ejes. Si reuerds l definiión de l práol omo lugr geométrio, l distni de un punto de l diretriz M un punto de l práol P es l mism que l distni de P l foo F. Entones, si plis lo nterior en ls fórmuls orrespondientes, otendrás l euión ordinri de l práol on vértie en el origen, eje fol sore el eje de ls >0. De lo nterior onlues que d d, por lo tnto, MP PF, es deir: Como M,, P, F, 0, sustitue sus vlores en l fórmul de l distni: Elev l udrdo ms prtes de l iguldd: [ ] 0 Desrroll los udrdos: Reuerd que: Despej : Como p/, entones: 4 p L euión de un práol en l form nóni on vértie en el origen foo en, 0 es: 4 Análisis de l euión: Con se en l euión nóni de l práol 4 que otuviste, puedes deduir lo siguiente: 69 Universidd CNCI de Méio

70 Tller de Mtemátis III. Su gráfi es simétri respeto l eje, es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién; signifi que los dos puntos están en l gráfi.. Si 0, entones será siempre un número positivo, por lo que se dedue que tnto el vlor de omoelde deen tener el mismo signo. Si >0,entones sólo podrá tener por vlor números positivos, esdeir, el dominio de l relión es el intervlo donde 0, el rngo es el onjunto de los número reles,que: ± 4 Grfi l siguiente euión: 6 De l euión ordinri 4: 4 > Pr l tulión se determinn los vlores de 0 se otienen los de 6 F 4, 0 Vlores de Vlores de Como puedes ver, en este so l práol es horizontl iert l dereh. Tods ls práols ren hi l dereh? Si hes un nuevo nálisis de l euión nóni de l práol 4, puedes deduir lo siguiente: 70 Universidd CNCI de Méio

71 Tller de Mtemátis III.Su gráfi es simétri respeto l eje, es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién; signifi que los dos puntos están en l gráfi.. Si 0, entones será siempre un número positivo, por lo que se dedue que tnto el vlor de omoelde deen tener el mismo signo. Si < 0, entones sólo podrá tomr vlores negtivos, es deir, el dominio de l relión es el intervlo, 0], el rngo es el onjunto de los número reles, que: ± 4 Podrás notr que según ls dos ondiiones nteriores, l práol result un urv iert hi l izquierd que se etiendeinfinitmente hi rri hi jo.ver figur Práti 3 Grfi l siguiente euión: 9 De l euión ordinri 4: Pr l tulión se determinn los vlores de 0 se otienen los de. Práols Vertiles Como ses PF PM si plis l fórmul de l distni,otienes lo siguiente: 4 L gráfi es simétri on respeto leje. Si 0, entones es siempre positivo,porlo que deen tenerel mismo signo. Si < 0, su gráfi se etiende jo, que el vlor de será un número negtivo o ero. Rngo 0, el dominio es el onjunto de los númerosreles. Si > 0, su gráfi se etiende rri, que el vlor de será un número positivo o ero. Rngo 0, el dominio es el onjunto de los números reles. Práti 33 Grfi l siguiente euión: 6 De l euión ordinri 4: Pr l tulión se determinn los vlores de 0 se otienen los de. 7 Universidd CNCI de Méio

72 Tller de Mtemátis IIII... Otenión de los elementos de un práol prtir de su euión Ejemplo. Qué difereni oservs entre horros de gu de ls imágenes? los Cuál rees que se el ojetivo de provor un iert form los horros de gu? El reto en este tem, pr ontinur on el nálisis de l práol, onsiste en otener los elementos de l mism prtir de su euión; omo lo hs visto, los elementos que integrn l práol son: V: vértie F: foo D: diretriz S: ejee fol LR: ldo reto L R: puntos etremos del Ldo Reto : distni dirigid de V F. VF p: prámetro de l práol, AF P Y que l práol que estás trjndo tiene vértie en el origen, sus oordends son V0, 0. Será posile representr medinte oordends l resto de los elementos que integrn un práol? Práols horizontles Práols vertiles Como l distni dirigid del vértie l foo es l onstnte, puedes deduir que ls oordends delfoo orresponden F, 0. A prtir de l definiión de l diretriz de l práol, l distni dirigid del vértie ést es l mism distni que l del foo l vértie. Porlo tnto,l diretriz está dd por. El prámetro P es l distni de l ret diretriz l foo,ltomrlos dtos nteriores se onluequee P. Como l distni dirigid del vértie l foo es l onstnte, puedes deduir que ls oordends delfoo orresponden F0,. A prtir de l definiión de l diretriz de l práol l distni dirigid del vértie ést es l mism distni que l del foo l vértie. Porlo tnto,l diretriz está dd por. El prámetro P es l distni de l ret diretriz l foo, ltomrlos dtos nteriores se onluequee P. Qué ourre on el ldo reto? Práols Horizontles 7 Universidd CNCI de Méio

73 Tller de Mtemátis III Reuerd que el segmento de ret que es perpendiulr l eje fol ps por el foo se llm Ldo Reto su longitud es: LR 4 Por qué? Cuáles son los puntos donde el ldo reto ruz l práol? Si el foo está en, 0, sustitue en l euión ordinri de l práol on vértie en el origen 4. Entones si, 4 4 ± Ls oordends de los puntos etremos del ldo reto son: R, L,. A prtir de l fórmul de l distni: d LR LR [ ] 4 4 LR 4 p Y qué ourre on ls práols vertiles? Práols Vertiles Reuerd nuevmente que el segmento de ret que es perpendiulr l eje fol ps por el foo se llm Ldo Reto su longitud es: LR 4 Si el foo está en 0,. Pr que onozs los puntos donde el ldo reto ruz l práol se sustitue en l euión ordinri de l práol on vértie en el origen 4. Entones si, 4 4 ± Ls oordends de los puntos etremos del ldo reto son: R, L,. A prtir de l fórmul de l distni: 73 Universidd CNCI de Méio

74 T Tllerde emtemáátisiiii d LR [ ] LR 4 4 LR 4 p Práti34 Deteerminloseelementosd delpráo olqueformnlosho orrosdeggudelim mgen ueuióneestáddpo or: 8..Otenióndele euióndeunprááolonvértieeneelorigenp prtir.. desu uselemento os Ejem mplo: El uso de l form próli en e los puen ntes se trt t solm mente de un uesttiónestéti? 74 UniverssiddCNCIddeMéio

75 Tller de Mtemátis IIII El tem trtrr en est sesión onsiste en l otenión de l euión de l práol on vértie en el origen prtir de suss elementos, so ontrrio l tem nterior. Srás que no es un uestión purmente estéti el heho de que los puentes tengn form rqued, en los puentes de ro en ompresión, un piedr lve en el medio del ro distriue el peso l resto del puente, trjn trnsfiriendo el peso propio del puente ls sorergs de uso hi los poos etremos de l luz distni lire entree pilres de uno de suss vnos, medinte l omprensió ón del ro, proporionndo mor resisteni durión. Eisten puentes romnos, omo el de l imgen, en Mérid, que pesr de su ntigüedd siguen siendo útiles en l tulidd. Cómo hrís pr onstruir un répli de este puente? En tl so si se onoen sus dimensiones, se puede generr l euión orrespondientee l form próli del puentee her un répli. Ejemplo: Enontrr l euión de l práol sus elementos si l diretriz de l mism es 5. Soluión: L diretriz es un líne ret perpendiulr l eje de ls, por definiión, el eje fol se enuentr sore el mismo eje. Por lo tnto logrs identifir que se trt de un práol horizontl. Los elementos horizontl: que tienes que onsiderr son los que respetn l práol V0, 0, F, 0,, P, R, L, LR 4 p Del dto: 5, oservs que por ser éste negtivo, l práol se re hi l dereh. Por lo tnto 5 De hí puedes otener tnto l euión omo sus elementos fltntes si sustitues el vlor de. Con el dto que otuviste 5, sustitúelo en d uno de los siguientes elementos: 75 Universidd CNCI de Méio

76 T Tllerde emtemáátisiiii V0 0, 0 F, 0 F 5, 0, 5 P R 4 p 0 0 LR, L, / R 0,, 5 L0, 5 R Y l euión de e l práol horizontl on n vérrtie en el orig gen es: Práti35 Si l longitud del ro en ntrl es de,99 m l ltur de d ls torres es de 8 83 m. Deteerminleuióndelroentrldelpuente. A AkshiKiko Puen nteolgnteemáslrgodelmundo o,on99 mdelongittud. 76 UniverssiddCNCIddeMéio

77 Tller de Mtemátis IIII Semn 3 Sesión 9 Los tems revisr el dí de ho son:.3. Euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen.3.. Práol horizontl vertil on vértie fuer del origen.3... Otenión de los elementos de un práol on vértie fuer del origen prtir de su euión.3... Otenión de l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen prtir de lgunos de sus elementos mínimos neesrios.4. Euión generl de l práol.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form generl.4.. Conversión de l form generl de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form ordinri.3. Euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen Te hs preguntdo lgun vez, qué ftores influen pr que l lun se pued ver desde l Tierr en un form determind, l ul omúnmente es llmd fse? Por ejemplo, si se onsider l Tierr omo el punto de refereni; es deir, omo el origen, l fse lunr, on form próli se enuentr on vértie fuer del origen. Cuál será l euión ordinri que le orrespond l form de l fse lunr onoid omo reiente? L prtiulridd de l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen es que se djuntnn omo elementos lve de l mism, sus oordends, dds por Vh, k, sí omo otros elementos que l omponen, en el so de l fse lunr ses que se logr gris l posiión entre el sol, l tierr l lun, sí omo l ftor de l distni sus 77 Universidd CNCI de Méio

78 Tller de Mtemátis III respetivos tmños, dndo form sí un espetáulo nturl somroso visto desde l Tierr..3.. Práol horizontl vertil on vértie fuer del origen L uestión hor es: qué euión represent un práol on vértie fuer del origen? Práols Horizontles Supón un práol on vértie fuer del origen omo l de l figur. Y que es más prátio trjr on un práol on vértie en el origen omo lo hs estdo hiendo hst el momento, entones tom el vértie de l práol omo el origen, si hes eso trzs unos ejes perpendiulres fitiios sore el vértie, omo los de l figur, oservrás que dihos ejes están reorridos respeto l origen un distni h sore el eje de ls un distni k sore el eje de ls. Qué hs heho? Eso que s de her se le llm un trslión de ejes. Pero, ómo vlidrlo? L trslión de los ejes oordendos ourre solmente si: Los nuevos ejes son prlelos, respetivmente, los ejes originles. Ls oordends del nuevo origen sen h, k respeto l sistem originl. Ls oordends de ulquier punto P ntes de l trslión sen, después de l mism sen,. Si oservs ien l gráfi, se puede determinr que l euión de trsformión qued omo sigue: 78 Universidd CNCI de Méio

79 Tller de Mtemátis III h o h k o k A prtir de ests fórmuls se puede otener l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen Vh,k. Si se onsider un práol omo l de l figur, on eje fol prlelo lejedels,iertldereh on vértie en Vh, k, l her l trslión de ejes l tomr el vértie de l práol omo el nuevo origen, su euión ordinri orresponde 4. Ahor, omo k h,sesustituen en l euión nterior se otiene: k 4 h Euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen eje fol prlelo l eje de ls. Ejemplo: otén l euión ordinri de l práol u gráfi se represent en el siguiente plno rtesino. A prtir de l gráfi es posile identifir el vértie foo de l práol, el vértie se ompone de ls oordends 4, el foo de,. Si oservs l gráfi su omportmiento puedes deduir que se trt de un práol horizontl iert hi l izquierd, u euión ordinri orrespondiente es del tipo: k 4 h Ahor, un vez otenido el vértie l distni dirigid de l práol, se sustituen en l euión nterior pr estleer l euión de l práol en su form ordinri. Por lo tnto si h 4, k, entones: 8 4 Práti 36 Trz l gráfi que le orresponde l euión ordinri de l práol dd por Universidd CNCI de Méio

80 Tller de Mtemátis III Práols Vertiles Cuál será l form ordinri de l euión si l práol on vértie fuer del origen tiene su eje fol prlelo l eje de ls? En este so, reuerd que l fórmul que le orresponde un práol vertil on vértie en el origen es del tipo: 4, según el trsldo de ejes, l euión ordinri orrespondiente l práol on vértie fuer del origen serí: 4. D h Fh, k Foo V k 0 Ahor, ses que h que k, entones,l sustituirlos en l fórmul nteriorresult: h 4 k Euión ordinri de l Práol on vértie fuer del origen eje fol prlelo l eje de ls. Ejemplo: otén l euión de l práol u gráfi se represent en el siguiente plno rtesino. A prtir de l gráfi es posile identifir el vértie de l práol, el ul se ompone de ls oordends,4 su distni dirigid.. Al oservr l gráfi su omportmiento es posile deduir que se trt de un práol vertil iert hi jo, u euión ordinri orrespondientees deltipo: h 4 k Ahor, un vez otenido el vértie l distni dirigid de l práol, se sustituen en l euión nterior pr estleer l euión de l práolen su form ordinri. Porlo tnto si h, k 4., entones: Práti 37 Ejemplo : trz l gráfi que le orresponde l euión ordinri de l práol dd por Universidd CNCI de Méio

81 Tller de Mtemátis IIII.3... Otenión de los elementos de un práol on vértie fuer del origen prtir de su euión Ejemplo: Tiro l Blno Cómo hen los pitnes de ros de guerr pr ertr ojetivo undo lnzn un misil? los un Tendrán uen tino? A un distni onsiderle simple vist ningún pitán serí pz de tinrle un ojetivo si lnzr un misil desde su ro. Pr logrrlo neesit de lgunos instrumentos de mediión, de l veloidd en l que vij, de l distni l que se enuentr el ojetivo, et. Además, un de ls oss más importntes que se onsidern es l tretori del misil undo sle disprdo del ro, l ul se se que es próli. Cómo se podrí esriir l euión ordinri de l tretori próli del misil lnzdo por el ro? Consider que onoemos l ltur máim lnzd por el misil, l distni que reorrió, et. Es posile determinr los elementos de un práol on vértie fuer del origen si se onoe su euión ordinri o l gráfi que le orresponde, si ést se enuentr de mner nítid. De ulquier de los dos dtos que te proporionen, lo primero que dees otener es h k ; es deir, ls oordends del vértie l distni dirigid de ls ules dependen l morí de los elementos de l práol. Práols Horizontles Y hs visto un práol on vértie Vh, k ómo h un estreh dependeni entree l euión su gráfi; hor, uáles son los elementos que omponenn l práol que produen tles efetos? 8 Universidd CNCI de Méio

82 Tller de Mtemátis III En el so de ls práols horizontles, uo vértie es Vh, k, el eje fol es prlelo l eje de ls l distni dirigid del vértie l foo es, por lo tnto l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es h, l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es solmente k, porlo que,ls oordends del foo son:fh, k. Conrespetoleuión del diretriz: se igul ero result: 0 hor,omo h l sustituirlo en l euión result: h 0 l despejr qued: h Ahor se proede otener ls oordends de los puntos etremos del ldo reto junto on su longitud, pr diho álulo se tomn los elementos neesrios: el foo h, k l euión: k 4 h. El foo es onsiderdo porque, si oservs ien l gráfi, el ldo reto ps sore éste, quiere deir que ls oordends del ldo reto tomn el mismo vlor en. Entones, pr onoer sus puntos se sustitue h en l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen k 4 h. Entones si h, k 4 h Se sustitue: k 4 h h Se simplifi: k 4 Se pli l ríz udrd: k ± Se despej : k ± Ls oordends de los puntos etremos del ldo reto son: L h, k R h, k. A prtir de l fórmul de l distni: 8 Universidd CNCI de Méio

83 Tller de Mtemátis III LR LR d [ h h] h h LR 4 [ k k ] k k 4 p Por ejemplo: Pr otener los elementos de un práol on euión determind se relizn los siguientes psos: Si l euión de l práol es: 5, lo primero otener son los elementos h, k, luego, trvés de estos, otener el resto de los elementos, que en su morí dependen de l menos uno de ellos. Entones trvés de l euión dd se dedue que se trt de un práol horizontl, por lo tnto, l tomr l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen: k 4 h de l euión proporiond en este ejemplo: 5 Al igulr término término d uno de los elementos de l euión se otiene: k 4 h 5 k ¼ h 5 k h 5 k Los elementos otenidos son h 5, k ¼. Ahor, sólo qued sustituir en d form los elementos que se requiern pr otener el resto. Y que el vlor de l distni dirigid es positivo se dedue que l práol se re l dereh l form de l euión diretriz es h. 83 Universidd CNCI de Méio

84 Tller de Mtemátis III Elementos fltntes: F: foo D: diretriz LR: ldo reto L R: puntos etremos del LR P: prámetro Fh, k h LR 4 p Lh, k Rh, k P DF Los dtos h 5, k ¼ se sustituen en ls siguientes fórmuls: Fh, k F 5 ¼, F 4.75, h 5 ¼ 5.5 LR 4 p LR 4 4 LR 4 Lh, k Rh, k L[ 5 ¼, /4] L 4.75,.5 R[ 5 ¼, /4] R 4.75,.5 P DF P /4 P ½ 0.5 Práols Vertiles Otenión de los elementos de l práol En el so de ls práols vertiles, uo vértie es Vh, k, el eje fol prlelo l eje de ls l distni del vértie l foo es, por lo tnto ls oordends del foo son:fh, k. Conrespetoleuión del diretriz: se igul ero result: 0 hor,omo k l sustituirlo en l euión result: k 0 l despejr qued k Ls oordends de los puntos etremos del ldo reto l longitud del ldo reto se desrrolln detlle en l siguiente dipositiv. Si oservs ien l gráfi, el ldo reto ps por el foo, en este so, el foo se enuentr sore l ret prlel l eje de ls, por lo tnto ls oordends de los puntos etremos del ldo reto tendrán l mism ordend, k. Entones si k, h 4 k h 4k k h 4 h ± h ± Ls oordends de los puntos etremos del ldo reto son: L h, k Rh, k. 84 Universidd CNCI de Méio

85 Tller de Mtemátis III A prtir de l fórmul de l distni: LR LR d [ k k ] k k LR 4 [ h h ] h h 4 p Pr otener los elementos de un práol dd l euión se relizn los siguientes psos: Si l euión de l práol es: 5 3., lo primero otener son los elementos h, k, trvés de estos el resto de los elementos, que en su morí dependen de l menos uno de ellos. Entones trvés de l euión dd, se dedue que se trt de un práol vertil, por lo tnto, l tomr l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen: h 4 k de l euión proporiond en este ejemplo: 5 3. Al igulr término término d uno de los elementos de l euión se otiene: h k h k h 5 k h 5 Los elementos otenidos son h 5, k 0.8. Ahor, sólo qued sustituir en d form los elementos que se requiern pr otener el resto. Y que el vlor de l distni dirigid negtivo se dedue que l práol se re hi jo l form de l euión diretriz es k. 85 Universidd CNCI de Méio

86 Tller de Mtemátis III Elementos fltntes: F: foo D: diretriz LR: ldo reto L R: puntos etremos del LR P: prámetro Fh, k k LR 4 p Lh, k Rh, k P DF Los dtos h 5, k 0.8 se sustituen en ls siguientes fórmuls: Fh, k F 5, 0.8 F 5,. k LR 4 p LR LR 3. Lh, k Rh, k L[ 5 0.8, 0.8] L 6.6,. R[ 5 0.8, 0.8] R 3.4,. P DF P 0.8 P.6 Un vez que se otuvieron los elementos que omponen l práol on vértie fuer del origen tnto en su form vertil omo horizontl, se puede onluir que: Elementos: Práol Horizontl Práol Vertil F: foo D: diretriz S: eje fol V: vértie LR: ldo reto L R: puntos etremos del LR : distni dirigid P: prámetro Fh, k h Prlelo l eje de ls Vh, k LR 4 p Lh, k Rh, k Fh, k k Prlelo l eje de ls Vh, k LR 4 p Lh, k Rh, k.3... Otenión de l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen prtir de lguno de sus elementos mínimos neesrios Es posile determinr l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen si se onoen l menos lgunos de sus elementos mínimos; por ejemplo, si se onoen el foo el vértie, los puntos etremos del ldo reto, l diretriz el foo, et., vievers. Puesto que los elementos mínimos neesrios se pueden otener prtir de los dtos que se proporionn, uáles son esos elementos mínimos neesrios? Los elementos mínimos neesrios pr determinr l euión ordinri de un práol on vértie fuer del origen son: los omponentes del vértie h, k, l distni dirigid el eje fol. 86 Universidd CNCI de Méio

87 Tller de Mtemátis III De ulquier dto que te proporionen, lo primero que dees otener son los elementos mínimos neesrios luego, prtir de estos, onstruir l euión ordinri orrespondiente de l práol sustituendo los vlores ásios. Ejemplo: otén l euión ordinri grfi l práol u diretriz es 6 0 uo vértie está en 0,3. Y que el vértie está en 0, 3 que l form generl del vértie es h, k se dedue que: h 0 que k 3 Otenidos estos vlores sólo flt determinr l distni dirigid el eje fol. Ahor, de l euión de l diretriz 6 0, se despej, de lo que result: 6 Como l diretriz ort l eje, se dedue que su eje fol es prlelo diho eje, de lo que se onlue que se trt de un práol horizontl. Al onoer l euión de l diretriz h del dto proporiondo 6 se sustituen h 0 6, 6 0 de lo que result: 6 Ahor sí, medinte los elementos mínimos neesrios es posile otener l euión ordinri orrespondiente. Como se menionó, el eje fol es prlelo l eje, l práol es horizontl l form ordinri de l euión es del tipo: k 4 h. Luego, ses que el vértie es 0, 3 l distni dirigid es 6, por lo tnto, l sustituir en l euión result: Universidd CNCI de Méio

88 Tller de Mtemátis III Qué importni podrín tener los prámetros h, k en un práol? Pr responder tl pregunt es neesrio her distints prues on dihos prámetros omprr los resultdos. Supón un práol on vértie fijo en 6, 3 en el ul vrí el prámetro signndo vlores distintos d vez. Por ejemplo, ómo es l gráfi si ½? ómo si? ómo si ½? ómo si? et. Qué ourre gráfimente undo el prámetro se inrement o disminue? Otén los puntos etremos del ldo reto de dos de ls práols de l gráfi determin ls diferenis V- 4, V, V-6, -3-3 Si oservs ien l gráfi, undo el prámetro disminue, l práol se he más pequeñ, mientrs que undo se inrement l práol se he más grnde. Ahor, qué ourre si vrís el vértie de l práol fuer del origen fijs un determindo vlor l prámetro? V0, V, -5 Ciertmentequelgráfidelpráoleslmism pero uid en diferentes lugres en el plno onforme su vértie, en este so, omo es positivo, l práolse re l dereh o hi rri. Determin l euión de d un de ls práols que se enuentrnen el plno de l imgen. 88 Universidd CNCI de Méio

89 Tller de Mtemátis III Práti 38 Instruiones: determin l euión ordinri de l práol on vértie fuer del origen de l form que proet el gu lnzd por un omero otén los elementos fltntes prtir de l euión Consider l omero omo el punto de refereni re el plno rtesino prtir de él. L posiión del omero respeto l fuego depende de l form próli del gu de l presión on l ul es lnzd. El gu lnz un ltur máim de metros l distni del omero l punto más lto que lnz el gu es de 5 metros, demás que el punto, pertenee l práol. 89 Universidd CNCI de Méio

90 Tller de Mtemátis III.4. Euión generl de l práol Qué tipo de form produe el delfín l sltr? Si el delfín es pz de produir sltos l ndr, su hilidd le permitirá espr fáilmente de ls redes de los pesdores? Hs de ser que los delfines produen esos tipos de sltos omo epresión de legrí o omo juego, pero, lmentlemente los delfines son inpes de espr de ls redes de los zdores. Ahor, rees que se pued representr mtemátimente l form del slto de un delfín? A trvés de l euión de un práol en su form ordinri es posile, pero, ómo se puede representr l form generl de l euión de un práol dd en su form ordinri? Reuerd que l euión de ulquier gráfi en su form generl es representd medinte l iguldd ero, pr logrr lo nterior en un euión ordinri de l práol, es neesrio desrrollr los udrdos de l mism simplifir ordenndo sus términos. Hs notdo que l psr de un euión otr, se ejere sore l mism un trnsformión, lo que se le onoe omo onversión de un form de l euión otr, esto se reliz en funión del requerimiento de un o de l otr, según se el so. Preismente, qué es lo que ourre en tl onversión?.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form generl Pr relizr l onversión meniond nteriormente, se tomn los dos sos posiles de l práol en prlelo se desrrolln hst logrr el ojetivo de otener su onversión l tipo de form generl. A prtir de l form ordinri de l práol se desrroll lo siguiente: 90 Universidd CNCI de Méio

91 Tller de Mtemátis III Horizontl es: k 4 h k k 4 4h k 4 k 4h 0 Desrroll los udrdos Igul ero Vertil es: h 4 k h h 4 4k h 4 h 4k 0 Ejemplo: Supón que l euión de l form del slto del delfín es 3 4, Cuál es l euión generl de l form próli que produe el delfín l sltr? Desrroll los udrdos: Igul ero: Simplifi: Además de her otenido l euión generl de l práol que form el delfín l sltr, puedes deduir trvés de l euión que se trt de un práol vertil, que l vrile linel en este so es l, por ser l distni dirigid negtiv, l práol se etiende hi jo. Lo nterior es orreto que omo ses, el delfín efetú un slto que form un práol on ls rterístis otenids trvés de l euión. Práti 39 Dd l euión de l práol on vértie fuer del origen en su form ordinri 7 3 6, onviértel su form generl trz su gráfi. 9 Universidd CNCI de Méio

92 Tller de Mtemátis IIII.4.. Conversión de l form generl de l euión de un práol on vértie fuer del origen su form ordinri Ejemplo: Príds Se eler un onurso sore l friión de príds, se pide relizr 0, 000 ejemplres de príds omo el de l imgen. A l empres que logre terminr los 0, 0000 príds en el menor tiempo posile se le entregrá un ntidd de 00 illones de euros. Si tú estás trjndo en un empres de grn prestigio, tu jefe te pide olorr en el proeto, pero, l iniir se enuentrn on un grn prolem: ómo otener un euión que representee ls dimensiones del príds de l imgen? En el ejemplo nterior logrste identifir l form del príds, segurmente oinides en que se trt de un práol, que l form de l práol es vertil se present iert hi jo, por lo que puedes onluir que el tipo de euión ordinri que le orresponde es: h 4 k Y prendiste onvertir l euión de un práol on vértie fuer del origen de su form ordinri su form generl, hor, qué ourre si tienes el so ontrrio?, ómo onviertes l euión de un práol on vértie fuer del origen de su form generl su form ordinri? Pr determinr un form revid de resolver ulquier tipo de onversión de l euión de práol on vértie fuer del origen de su form ordinri su form generl vievers, es neesrio onsiderr los dos posiless sos de práols que se pueden presentr, práols horizontles práols vertiles. Form generl Horizontl Vertil k 4 k 4h 0 h 4 h 4k 0 L euión k 4 k 4h 0, por ejemplo, Se re hi el semieje positivo si > 0. Se re hi el semieje negtivo si< 0. Ahor,l herd k,e 4, F k 4h,l euión result: D E F 0 Form generl de l euión de l práol horizontl Leuión h 4 h 4k 0, por ejemplo, Serehiel semieje positivo si > 0. Serehiel semieje negtivo si < 0. Ahor, l her D h, E 4, F h 4k,l euión result: D E F 0 Form generl de l euión de l práol vertil 9 Universidd CNCI de Méio

93 Tller de Mtemátis IIII De lo otenido nteriormente se onlue que: Euión Constntes D, E F Práol Horizontl Práol Vertil D E F 0 D E F 0 D k, E 4, F k 4h D h, E 4, F h 4k Ejemplo: Convierte l euión de l práol su form ordinri, u form generl está dd por: Soluión: Se identifi término término l euión proporiond on l euión generl que le orresponde D E F 0 6 D si D k E si E 4 39 F si F k 4h sustituess 6 k sustituess 4 sustituess h otienes: otienes: otienes: k 3 3 h 4 Por lo tnto l sustituir los vlores que otuviste en l práol on vértie fuer del origen horizontl result: k 4 h 3 4 Práti 40 euión ordinri de l Prgus Considerndo que l prgus de l imgen que tiene form próli le orresponde l euión generl, , onviértel su form ordinri represéntl en el plno rtesino. 93 Universidd CNCI de Méio

94 Tller de Mtemátis III Sesión 0 Los tems revisr el dí de ho son:. L Elipse.. Crterizión Geométri... L Elipse omo lugr geométrio... Elementos soidos on l elipse..3. Forms de trzo prtir de l definiión.. Euión ordinri de l elipse... Elipses horizontles vertiles on entro en el origen. L elipse.. Crterizión geométri Qué form identifis que tienen en omún ls imágenes nteriores? A trvés de qué rterístis logrrís desriir su form? Reuerd que l elipse se lsifi omo un seión óni porque proviene del orte de un ono on dos ps trvés de un plno. Este tipo de figur óni puedes enontrrl plid en diferentes ámitos de tu vid otidin; por ejemplo, l form del lón de fútol merino, l form de un sndí, l tretori de l Tierr l oritr lrededor del Sol, ámrs serets, los pétlos de un girsol, los ros semielíptios, et. En este loque verás un nálisis detlldo de los diferentes tipos de euiones de l elipse, sí omo su representión gráfi ómo ést depende de los omponentes que l integrn. Pero, ntes de omenzr, uáles son ls rterístis on ls que se identifi un elipse en el plno rtesino? 94 Universidd CNCI de Méio

95 Tller de Mtemátis III... L elipse omo lugr geométrio En el ejemplo iniil hs logrdo identifir l form elípti de ls imágenes, est form se puede representr en el plno rtesino dvirtiendo lguns rterístis prtiulres pr ser identifid omo tl. L elipse en el plno rtesino se define omo el lugr geométrio de los puntos tles que l sum de su distni dos puntos fijos llmdos foos es un onstnte positiv, l ul siempre es mor que l distni entre dihos puntos fijos. Ciertmente, omo en todo lugr geométrio, entre los elementos que integrn l elipse h lgunos que son lve, deido que ondiionn l form. En el so de l elipse, qué ftores o elementos hen posile l elorión gráfi de un elipse?... Elementos soidos on l elipse Al her un nálisis sore el lugr geométrio de l elipse, se logrn definir sus términos rterístios omo sigue: F F : foos C: entro L: eje fol V V : vérties L R L R : puntos etremos VV : eje mor BB : eje menor LR L R : ldo reto e: eentriidd En donde de mner generl, los elementos que rterizn l elipse son: 95 Universidd CNCI de Méio

96 Tller de Mtemátis III C: entro de l elipse, es el punto medio del segmento de ret uos puntos etremos son los vérties. F F : Los puntos F F son los puntos fijos denomindos foos. L: eje fol, es l ret que ps por donde están los foos. VV : vérties, son los puntos de interseión de l elipse on su eje fol. VV : eje mor, es el segmento de ret uos puntos etremos son los vérties de l elipse. BB : eje menor, es el segmento de ret que ps por el entro de l elipse que es perpendiulr l eje fol. LR L R : ldo reto, es el segmento de ret perpendiulr l eje fol que ps por uno de sus foos uos puntos etremos están sorel elipse. e: l eentriiddde un elipse es su grdo de htmiento...3. Forms de trzo prtir de l definiión Y onoes l form, l definiión los elementos que omponen un elipse; hor, ómo trzrís un si utilizs un trozo de hilo un lápiz? Si toms l definiión de l elipse puedes logrr deduir el siguiente método pr trzrl, inténtlo!. Cort un hilo de l medid que tú elijs, este hilo represent un longitud, después t sus etremos dos puntosfijos:f F sin tensrlos.. Tens el hilo on l punt de un lápiz, omo se muestr en l figur. El lápiz trzrá en su movimiento un elipse on foos en los puntos F F,quel sum de ls distnis, de l punt del lápiz d uno de los foos, es onstnte; es deir, es igul l medid que elegiste. F F Será posile trzrl tmién on un ompás? Cómo trzr un elipse on un ompás? A prtir tmién de l definiión de l elipse, puedes deduir el siguiente método pr trzrl on un regl un ompás, pr eso tienes que uir un onjunto de puntos omo se indi ontinuión:. Trz un líne horizontl sore ell mr el entro de l elipse C.. A prtir de este punto on l ud del ompás, trz sus vérties V V, uidos l mism distni del entro. 3. Con un ertur menor del ompás mr los foos F F. 4. Consider un punto P ulquier situdo sore l líne horizontl; luego re el ompás en un distni igul V P. 96 Universidd CNCI de Méio

97 Tller de Mtemátis IIII 5. Colo el ompás en el foo F trz los dos ros, rri dejo de l líne ret eje mor. 6. Tom omo entro el foo F, proede de igul mner que en el pso Colo hor el ompás en el foo F on un ertur igul VP trz dos ros, rri jo del eje mor, de igul modo trz dos ros pero hor tom F omo entro. Los puntos de interseiónn de los ros son designdos por P, P, P 3 P 4, se trt de los puntos de l elipse. Al repetir este proesoo pr ulquier punto Q sore el eje mor, se puede lolizr los puntos Q, Q, Q 3 Q 4 sore l elipse, sí suesivmente. Los puntos que lolizste on el método nterior únelos on un líne ontinu sí otienes el trzo de l elipse. El método desrito se justifi que ls distnis V P PV sumn, ondiión neesri pr formr l elipse de uerdo on l definiión. Práti 4 Identifi los elementos que omponen l elipse en l siguiente imgen. A trvés de este ejemplo puedes ver omo ls persons se sirven de l elipse pr rerr instrumentos que en este so son pr entretenerse divertirse. 97 Universidd CNCI de Méio

98 Tller de Mtemátis IIII.. Euión ordinri de l elipse Ejemplo: Jitomte Huje Con el fin de optimizr el espio, uál es l mejor mner de omodr los jitomtes en un j omo l de l figur? Consider que todos los jitomtes deen ser gurddos en el mismo sentido: prdos, ostdos o ruzdos. En el ejemplo nterior onsiderste l form del jitomte pr ser l posiión que más onvení fin de optimizr espios, omo te hrás ddo uent, el jitomte tienee form elípti, dih form tiene opiones diferentes de ser presentd, oliu, horizontl o vertilmente, lro, siempre en funión del punto de refereni que se tom. Pr resolver el prolem de l posiión más fvorle pr optimizr espios en el omodo de los jitomtes, es importnte onoer sus dimensiones, que ésts se utilizn en el álulo del áre del volumen. Conoiendo ls dimensiones entones, hes ls prues neesris pr onoer los espios que oupn en ls diferentes posiiones de omodo l omprrls dedues ls que optimizn mejor espio. Eiste un mner más rápid práti de otener el volumen del jitomte quieres ser de qué se trt? Lo logrrís si onoiers l euión que le orresponde l jitomte. Entones surge l pregunt: Cuál será l form de l euión on l que se pudier distinguir un elipse? En seguid hrás un estudio nlítio de l euión de l elipse, que omo en el so de ls otrs ónis, es l form más simple de representr su lugr geométrio.... Elipse horizontl vertil on entro en el origen Elipses horizontles Pr determinr l euión ordinri de l elipse on entro en el origen horizontl, es neesrio rer un prtir de su definiión, estleiend do lo siguiente: Primero olo el entro en el origen del plno rtesino, de tl mner que elejemorvv qued determindo sore el eje de ls. Ahor, onsider omoo l distni del entro de l elipseduno delosfoos; de tlmodoquesus oordendsquedn sí: F, 0 F, 0. Por fines prátios, tom l epresió ón omo l distni onstnte de l que hl l definiión. 98 Universidd CNCI de Méio

99 Tller de Mtemátis III 99 Universidd CNCI de Méio NOTA: Si oservs on tenión, undo el punto P se enuentr en l mism posiión que el punto B, l longitud de l líne ret roj es etmente l mitd de l longitud totl; es deir, l onstnte "". Ahor, si onsiders tods ls onstntes "", "" "" identifirás que entre ells formn un triángulo retángulo en el ul l onstnte "" se enuentr en el lugr de l hipotenus, ls onstntes "" "" en el de los tetos. Si el punto P, es un punto ulquierde l elipse si toms omo referenil definiión, otienes: FP F P 0 ' 0 P F FP L distni FP está dd por: L distni F Pestáddpor: Sustitues lo nterior en l fórmul FP F P result: Aomods l iguldd: Elevs l udrdo mos ldos de l iguldd: Desrrolls los inomios l udrdo: Nuevmente desrrolls udrdos: Iguls ero: Divides todo entre 4: Aomods l iguldd: Elevs l udrdo mos ldos de l iguldd: [ ] [ ] ' P F FP [ ] [ ] Desrroll los udrdos: Desrroll el inomio l udrdo: Igul ero l euión: Simplifi: Ftoriz otén el ftor omún: L sum de ls distnis del P, los foos es, ést dee ser mor que el segmento de ret FF,esdeir: >, por lo que se otiene que >. A su vez que >,de lo que se otiene >0. Según l gráfi de l imgen, en donde > 0, lo plis l euión nterior te qued: 0 Euión ordinri de un elipse horizontl on entro en el origen. Divides todo entre

100 Tller de Mtemátis III Análisis de l euión: Con se en l euión nóni de l elipse on entro en el origen horizontl que otuviste, puedes deduir lo siguiente:. Su gráfi es simétri respeto l eje ; es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién, signifi que los dos puntos están en l gráfi.. Su gráfi es simétri respeto l eje ; es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién, signifi que los dos puntos están en l gráfi. 3. Si su gráfi es simétri respeto l eje respeto l eje, entones tiene simetrí respeto l origen. 4. El dominio de l elipse son los vlores que puede tomr l vrile independiente en l euión, pr otenerlo despej de l euión ordinri de l elipse on entro en el origen que otuviste, ± por lo tnto 0 de tl modo que result. 5. El rngo de l elipse son los vlores que puede tomr l vrile dependiente en l euión, pr otenerlo despej de l euión ordinri de l elipse on entro en el origen que otuviste, ± por lo tnto 0 de tl modo que result. Podrás notr que según ls dos ondiiones nteriores, l elipse horizontl on entro en el origen está otd por ± en el eje de ls por ± en el eje de ls. Práti 4 Ejemplo: Grfi l siguiente euión: 64 5 Elipses vertiles Pr determinr l euión ordinri de l elipse on entro en el origen vertil, se siguen psos similres los que relizste pr otener l euión de l elipse on entro en el origen horizontl. 00 Universidd CNCI de Méio

101 Tller de Mtemátis III Primero olo el entro en el origen del plno rtesino, de tl mner que el eje mor VV qued determindosore el eje de ls. Ahor, onsider omo l distni del entro de l elipse d uno de los foos; de tl modo que sus oordendsquedn sí: F0, F 0,. Por fines prátios, tom l epresión omo l distni onstnte de l que hl l definiión. Si el punto P, es un punto ulquier de l elipse si toms omo refereni l definiión, otienes: FP F P L distni FP está dd por: FP 0 L distni F P está dd por: F' P 0 Sustitues lo nterior en l fórmul FP F P result: FP F' P Aomods l iguldd: 0 0 Proedes de l mism mner que omo lo hiiste on l elipse horizontl hst llegr enontrr l euión ordinri de l elipse on entro en el origen vertil. Euión ordinri de un elipse vertil on entro en el origen. Análisis de l euión: Con se en l euión nóni de l elipse on entro en el origen vertil que otuviste, puedes deduir lo siguiente:. Su gráfi es simétri respeto l eje, es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién; signifi que los dos puntos están en l gráfi.. Su gráfi es simétri respeto l eje, es deir, si el punto P, stisfe su euión, entones el punto P, tmién; signifi que los dos puntos están en l gráfi. 3. Si su gráfi es simétri respeto l eje respeto l eje, entones tiene simetrí respeto l origen. 4. El dominio de l elipse son los vlores que puede tomr l vrile independiente en l euión, pr otenerlo despej de l euión ± 0 Universidd CNCI de Méio

102 Tller de Mtemátis III ordinri de l elipse on entro en el origen que otuviste, por lo tnto 0 de tl modo que result. 5. El rngo de l elipse son los vlores que puede tomr l vrile dependiente en l euión, pr otenerlo despej de l euión ordinri de l elipse on entro en el origen que otuviste, ± por lo tnto 0 de tl modo que result. Podrás notr que según ls dos ondiiones nteriores, l elipse vertil on entro en el origen está otd por ± en el eje de ls por ± en el eje de ls. Práti 43 Grfi l siguiente euión: Universidd CNCI de Méio

103 Tller de Mtemátis IIII Sesión Los tems revisr el dí de ho son: Otenión de los elementos de un elipse on entro en el origen prtir de su euión Otenión de l euión ordinri de un elipse on entro en el origen prtir de sus elementos mínimos neesrios... Otenión de los elementos de un elipse prtir de su euión Ejemplo: Se podrí omunir un sereto distni entre tnt gente en un glerí omo l de l imgen? Un glerí omo l de l imgen nterior está diseñd on form elípti, ómo será posile omunir seretos quí? En dih sl se produe un efeto de refleión; es deir, un person que se oloque en uno de los foos de l elipse puede esuhr lo que die l otr person uid en el otro foo, sin que en otros puntos de l sl se esuhe lo que die. Súper interesnte no? Pr onstruir un glerí on tl form los rquitetos requieren de l euión de l form onstruid, en estee so de l euión de l elipse sore todo de los elementos lve pr produir tl efeto; es deir, de los foos. Cómo se podrán otener los elementos de l elipse en espeil los foos? Ls rterístis de l gráfi de l euión de l elipse dependen de los elementos que l omponen, por tl motivo es importnte onoerlos ser l influeni que tiene d uno de ellos on su gráfi euión. Si reuerds los elementos que integrn un elipse son: 03 Universidd CNCI de Méio

104 Tller de Mtemátis III F F : foos C: entro L: eje fol V V : vérties L R L R : puntos etremos VV : eje mor BB : eje menor LR L R : ldo reto e: eentriidd > Será posile representrmedinte oordends los elementos que integrn un elipse? Y que l elipse que estás trjndo tiene entro en el origen,sus oordends son C0, 0. Elipses horizontles Como l distni del entro ulquier de los foos es l onstnte, por ser el eje fol oinidente on el eje de ls, puedes deduir que ls oordends de los foos orresponden F, 0 F, 0 Al ser los vérties de l elipse los puntos etremos del eje mor, l distni del origen d vértie está dd por l onstnte, demás que éste se enuentr sore el eje de ls, entones ls oordends de los vérties orresponden V, 0 V, 0 Elipses vertiles Comoldistnidelentroulquierdelos foos es l onstnte, por ser el eje fol oinidente on el eje de ls, puedes deduir que ls oordends de los foos orresponden F0, F 0, Al ser los vérties de l elipse los puntos etremos del eje mor, l distni del origen d vértie está dd por l onstnte, demás que éste se enuentr sore el eje de ls, entones ls oordends de los vérties orresponden V0, V 0, Si l distni del entro uno de los puntos etremos del eje menor de l elipse es l onstnte, estos se enuentrn sore el eje de ls, entones ls oordends de los puntos etremos del eje menor de l elipse orresponden B0, B 0, Si l distni del entro uno de los puntos etremos del eje menor de l elipse es l onstnte, estos se enuentrn sore el eje de ls, entones ls oordends de los puntos etremos del eje menor de l elipse orresponden B, 0 B, 0 Qué ourre on l longitud del ldo reto sus puntos etremos? 04 Universidd CNCI de Méio

105 Tller de Mtemátis III 05 Universidd CNCI de Méio Elipses Vertiles De l mism mner omo otuviste ls oordends del ldo reto su longitud pr un elipse on entro en el origen horizontl, lo puedes her pr un elipse vertil. L difereni es que los foos en un elipse vertil son F0, F 0,. Entones hor sustitúelo en l euión. Reuerd que el segmento de ret que es perpendiulr l eje fol ps por el foo se llm ldo reto, uáles su longitud? Pr onoer su longitud es neesrio onoer ls oordends de sus puntos etremos, si uno de los foos seenuentr en ±, 0, sustitue en l euión ordinri de l elipse on entro en el origen. Elipses horizontles ± Sustitue : Despej : Simplifi: Aplis el teorem de Pitágors : ± ± Simplifi: Ordend undo : Por lo tnto ls oordends que le orresponden los puntos etremos del ldo reto de l elipse on entro en el origen horizontlson:, ', ',, R L R L Y qué ps on l longitud del ldo reto? Pr otener l longitud del ldo reto se lul l distni que eiste entre sus puntos etremos, si toms ulesquier de los pres de puntos etremos se otiene el ldo reto: LR LR LR LR d 4 4,, R L L longitud del eje mor, es l distni de V, 0 V,0 de l elipse: VV VV VV VV d ' 4 ' ' 0 0 ' L longitud del eje menor, es l distni de B0, B 0, de l elipse: BB BB BB BB d ' 4 ' ' 0 0 ' L eentriidd de l elipse es l rzón de sus ejes determindos por l longitud de su eje mor l distni entre sus foos. e e

106 T Tllerde emtemáátisiiii Sustitue e : Desp pej : Sim mplifi: ± Simplifi: Orden d undo : ± ± Por lo tnto t ls oordends que e le orrespond den los pun ntos etremos s del ldo retto de l elipse e on entro en el origen horizontl so on: Aplis el teorem de Pitágors P : L, R, L', R', Y qué ps on l long gitud del ldo reto? Práti44 A prtir de l euión e prroporiond d otén lo os elementtos que om mponen dih elipse Oten nióndel euiónd deunelipsseonenttroenelorrigenprttirde.. suse elementosm mínimosne eesrios mplo:blone esenlosde eportes Ejem nlosdeporttesdefútolsoer defútolmerino seinterm min Imgginqueen los lones,perrolsreglssdejuegon no. Cómo resultráelprtidoprdjuggdor prrlosáritrros? 06 UniverssiddCNCIddeMéio

107 Tller de Mtemátis III Qué os provorí intermir los lones de fútol en ls nhs! Cd uno está diseñdo pr un uso espeífio, el lón de fútol merino espeífimente rompe el viento por su form elípti puntigud es más fáil mnejrlo on ls mnos, difíil serí herlo rodr on los pies. Como ves, l form de d ojeto, fenómeno o situión tiene su utilidd prtiulr, te imgins lo que provorí intermir lones, lo mismo usrí onfundir ls euiones de l irunfereni on l de l elipse por ejemplo; es importnte ser distinguirls onoer los elementos que omponen d un que ls he ser únis. En est sesión prenderás lgo nuevo mu interesnte, que hs prendido identifir los elementos que omponen l elipse te strá onoer los elementos mínimos neesrios pr logrr determinr su euión ordinri. Cuáles son los elementos mínimos neesrios pr determinr grfir l euión ordinri de l elipse? Ejemplo: Determin l euión de l elipse el resto de los elementos que l omponen si uno de sus vérties es V0, su eentriidd es de e Además trz l gráfi de l euión. Soluión: Pr determinr l euión de l elipse los elementos neesrios son ls onstntes. Pr enontrrls, primero nliz los elementos proporiondos rri, V0, qué rterísti oservs? Eto, omo l sis de ls oordends del vértie es igul ero, entones se dedue que el vértie se enuentr sore el eje de ls, que por lo tnto se trt de un elipse vertil. Por lo que l euión ordinri que le orresponde un elipse ordinri es del tipo: Además que ls fórmuls de los vérties pr un elipse vertil son de l form: V0, V 0,. Y omo lo ses, > 0 entones, l oservr ls oordends del vértie proporiondo V0, ls fórmuls de ls oordends de los vérties dedues que. Solmente flt otener l onstnte pr determinr l euión de l elipse. El segundo dto que proporionn es l eentriidd, omo ses, l eentriidd es l mism rzón pr un elipse horizontl sí omo pr un elipse vertil: e /. Entones, si e 0.83, sustitues este vlor junto on el vlor de l onstnte en l fórmul de l eentriidd otienes lo siguiente: 0.83 /, por lo tnto Universidd CNCI de Méio

108 Tller de Mtemátis III Mu ien, l onstnte no l otuviste diretmente, pero sí logrste otener l onstnte, dto importnte por medio del ul puedes otener l onstnte. De qué mner? Reuerd que l relión entre ls tres onstntes,, se d trvés del teorem de Pitágors, determinds de l siguiente mner:, hor, omo l onstnte que uss es l, entones despejs de l euión te qued:, hor sólo tienes que sustituir los vlores de ls onstntes en l euión despejd. De tl mner que te qued sí: Ahor sí, tienes ls onstntes pr poder determinr l euión ordinri de l elipse on entro en el origen vertil, de tl mner que te qued de l siguiente mner: L soluión no termin quí, puesto que demás h que enontrr el resto de los elementos que omponen l elipse, tienes un grn ventj, onoes ls tres onstntes, ls ules son indispensles pr otenerlos. Entones, si, , los elementos que omponen l elipse on entro en el origen son: F F : foos V V : vérties B B : puntos etremos eje menor L R: puntos etremos del LR L R : puntos etremos del L R VV : longitud del eje mor BB : longitud del eje menor FF : longitud entre los foos LR L R : longitud del ldo reto e: eentriidd Y su respetiv gráfi qued omo sigue: F0, F 0, V0, V 0, B, 0 B, 0 L, R, L', R', LR e / F0, 0 F 0, 0 V0, V 0, B6.63, 0 B 6.63, 0 L 3.66,0 R 3.66,0 L '3.66, 0 R' 3.66, LR 7.33 e Universidd CNCI de Méio

109 Tller de Mtemátis IIII Práti 45 Tl de illr elípti Sís que En l tl de illr elípti dees tener uiddo de no dñr el pño evitr que l ol ig l suelo. Además de que los reotes se relizn mnteniendo l iguldd de ángulos de inideni de refleión. Por ls rterístis geométris de l elipse si l tretori de un ol ps por un foo, tmién l ol psrá por el otro foo. Supón que l tl de illr elípti de l imgen tiene uno de sus foos en 80, 0 su eje menor mide 60. A trvés de estos dtos determin l euión ordinri de l elipse. 09 Universidd CNCI de Méio

110 Tller de Mtemátis III Sesión Los tems revisr el dí de ho son:.3. Euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen.3.. Elipse horizontl vertil on entro fuer del origen.3... Otenión de los elementos de un elipse on entro fuer del origen prtir de su euión.3... Otenión de l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen prtir de lgunos de sus elementos mínimos neesrios.4. Euión generl de l elipse.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form generl.4.. Conversión de l form generl de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form ordinri.3. Euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen Estruturs del Vtino Algun vez te hs preguntdo por qué l plz Sn Pedro en Rom tiene tl form? En los tems nteriores hs prendido determinr l euión de un elipse on entro en el origen su representión gráfi en sus distints forms. No tods ls elipses tienen su entro en el origen, undo ps eso, se hl de un elipse on entro fuer del origen. Cómo ourre esto? Por ejemplo, si se onsider l Bsíli de Sn Pedro omo el origen o punto de refereni, uál será l euión ordinri que le orrespond l form de l plz de Sn Pedro en el Vtino? 0 Universidd CNCI de Méio

111 Tller de Mtemátis III L prtiulridd de l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen es que se djuntn omo elementos lve de l mism sus oordends, dds por Ch, k, sí omo otros elementos que l omponen, en el so de l plz de Sn Pedro, fue onstruid onsiderndo dihos elementos..3.. Elipse horizontl vertil on entro fuer del origen L uestión hor es: qué euión represent un elipse on entro fuer del origen? Elipses Horizontles Supón un elipse on entro fuer del origen omo l de l figur. Y que es más prátio trjr on un elipse on entro en el origen omo lo hs estdo hiendo hst el momento, entones tom el entro de l elipse omo el origen, si hes eso trzs unos ejes perpendiulres fitiios sore el entro, omo los de l figur, oservrás que dihos ejes están reorridos respeto l origen un distni h sore el eje de ls un distni k sore el eje de ls. Reuerd que l trslión de los ejes oordendos ourre solmente si: Los nuevos ejes son prlelos respetivmente los ejes originles. Ls oordends del nuevo origen sen h, k respetolsistem originl. Ls oordends de ulquier punto P ntes de l trslión sen, después de l mism sen,. Si oservs ien l gráfi, se puede determinr que l euión de trsformión qued omo sigue: h o h k o k Universidd CNCI de Méio

112 Tller de Mtemátis III A prtir de ests fórmuls se puede otener l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen Ch,k. Si se onsider un elipse omo l de l figur, on eje fol prlelo l eje de ls on entro en Ch, k, l herltrslióndeejesltomrelentrodel elipse omo el nuevo origen, su euión ordinri orresponde ' ' Ahor, omo k h,sesustituen en l euión nterior otienes: h k Euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen eje fol prlelo l eje de ls Por ejemplo: Otén l euión ordinri de l elipse u gráfi se represent en el siguiente plno rtesino. A prtir de l gráfi es posile identifir el entro de l elipse, us oordends son 4, 6, demás l distni del entro l vértie es de 8 uniddes l distni del entro l foo es de 7 uniddes. Si oservs l gráfi su omportmiento, podrás deduir que se trt de un elipse horizontl, u euión ordinri es del tipo: h k Ahor, un vez otenido el entro dedues que h 4 que k 6. Luego, prtir de ls longitudes nteriores, dedues que 8 7, pr otener el vlor de l onstnte utilizs el teorem de Pitágors omo sigue:, de lo que se otiene: Por lo tnto si h 4, k 6, , entones: Trz l gráfi que le orresponde l euión ordinri de l elipse dd por: L euión proporiond orresponde l tipo de elipse vertil, por lo tnto l euión de se es: Universidd CNCI de Méio

113 Tller de Mtemátis III h k A prtir de ms euiones se iguln término término sus omponentes: h 5 h5 k7 k Por lo que el entro orresponde C5, 7 l longitud del semieje mor es de 8 uniddes, l longitud del semieje menores de 3 uniddes. Al grfir, prtir del entro se miden 3 uniddes l dereh e izquierd 8 uniddes hi rri hi jo. Práti 46 Otén l euión ordinri de l form elípti de l plz de Sn Pedro prtir de los dtos siguientes onsider que se trt de un elipse horizontl: L plz de Sn Pedro fue onstruid entre on el fin de rer un sitio pz de oger grndes ongregiones de fieles. En est plz el Pp ofree lguns eleriones solemnes que reúnen multitudes omo ls udienispúlis. Sus dimensiones lnzn los 30 metros de lrgo 40 metros de nho en los onteimientos más destdos del Vtino l Plz de Sn Pedro h llegdo lergrmás de persons. El rquiteto Bernini utilizó pr l estrutur de l Plz de Sn Pedro un rquitetur oliu que impresion omo un únio grupo rquitetónio que irundl Bsíli. Pr resolver el ejeriio, supón que l distni del entro de l plz de Sn Pedro l Bsíli es de 00 metros..3.. Otenión de los elementos de un elipse on entro fuer del origen prtir de su euión 3 Universidd CNCI de Méio

114 Tller de Mtemátis IIII Sistem Solr Te hs preguntdo lgun vez ómo nos movemos respeto l sol? Qué influeni ejere diho movimientoo sore nuestro plnet Tierr? Durnte más de,000 ños se reó que los plnets se movín en órits irulres lrededor de l Tierr, según el denomindo modelo ristotélio; hst que en el siglo XVII se demostró que en relidd ls órits que desrien los plnets son elíptis que lo hen en torno l Sol, en donde el Sol oup el lugr de uno de los foos. Cómo se podrí esriir l euión ordinri de l órit elípti del Plnte Tierr? Es posile determinr los elementos de un elipse on entro fuer del origen si se onoe su euión ordinri o l gráfi que le orresponde, si ést se enuentr proporiond de mner lr. De ulquier de los dos dtos que te proporionen, lo primero que tienes que her es otener los elementos de ls oordends del entro ls longitudes del semieje mor menor, de ls ules dependen l morí de los elementos de l elipse. L distni minte origind por l órit elípti de l Tierr on respeto l Sol d origen ls utro hermoss estiones del ño que se produen en l Tierr. Sís que Los vérties de l tretori elípti por l que se desplz l Tierr lrededor del Sol, se denomin Afelio, que orresponde l posiión más lejn del Sol, Perihelio, que es el punto más erno. 4 Universidd CNCI de Méio

115 Tller de Mtemátis III Elipses Horizontles Y hs visto un elipse on entro Ch, k omo h un estreh dependeni entre l euión su gráfi; hor, uáles son los elementos que omponen l elipse que produen tles efetos? En el so de ls elipses horizontles, uo entro es Ch, k, el eje fol es prlelo l eje de ls l distni del entro ulquier de los foos es, por lo tnto l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es h, l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es solmente k, por lo que, ls oordends de los foos son: Fh, k F h, k Respeto los vérties, es semejnte, l distni del entro d vértie es de, hor, l distni sore el eje de ls del origen d vértie es h l distni sore el eje de ls prtir del origen es k. Por lo tnto ls oordends de los vérties de l elipse on Ch, k son: V h, k V h, k De l mism mner proedes pr otener ls oordends deleje menorbh, k B h, k. Ahor se proede otener ls oordends de los puntos etremos del ldo reto junto on su longitud, pr diho álulo se tomn los elementos neesrios: uno de los foos h, k l euión: h k el foo es onsiderdo porque, si oservs ien l gráfi, el ldo reto ps sore éste, quiere deir que ls oordends del ldo reto tomn el mismo vlor de l sis. Entones, pr onoer sus puntos se sustitue h en l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen. 5 Universidd CNCI de Méio

116 Tller de Mtemátis III 6 Universidd CNCI de Méio Por ejemplo: Pr otener los elementos de un elipse determind su euión, se relizn los siguientes psos: Si l euión de l elipse es:, lo primero que dees otener son los elementos h, k,, luego, trvés de estos puedes otener el resto de los elementos, que en su morí dependen de l menos uno de ellos. Entones trvés de l euión dd, dedues que se trt de un elipse horizontl, por lo tnto, si toms l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen: l euión proporiond en este ejemplo: Iguls término término d uno de los elementos de l euión otienes: k k k k k k h h ± ± 4 Sustitues h Simplifis: Reuerd : Aplis l ríz udrd: Despejs :, ', ',, k h R k h L k h R k h L Y qué ps on l longitud del ldo reto? Pr otener l longitud del ldo reto se lul l distni que eiste entre sus puntos etremos, si toms ulesquier de los pres de puntos etremos se otiene el Ldo Reto: LR LR LR k k h h LR d 4 4 ] [ ] [,, k h R k h L L longitud deleje mor, es l distni de Vh,k V h, k de l elipse: VV VV VV k k h h VV d ' 4 ' ' ] [ ' L longitud deleje menor,es l distni de Bh, k B h, k de l elipse: BB BB BB k k h h BB d ' 4 ' ' ] [ ' L eentriidd de l elipse es l rzón de sus ejes determindos por l longitud de su eje mor l distni entre sus foos. e e k h

117 Tller de Mtemátis III h 6 h 6 k 7 k Mu ien, los elementos otenidos son h 6, k 7, Ahor, sólo flt otener el vlor de l onstnte, reuerd que l relión que eiste entre ls onstntes, es trvés de l fórmul del teorem de Pitágors, por lo tnto de lo que result F F : foos V V : vérties B B : puntos etremos eje menor L R: puntos etremos del LR L R : puntos etremos del L R VV : longitud del eje mor BB : longitud del eje menor FF : longitud entre los foos LR L R : longitud del ldo reto e: eentriidd Fh, k F h, k Vh, k V h, k Bh, k Bh, k L h, k R h, k L' h, k R' h, k LR e / Sólo qued sustituir en d fórmul los elementos otenidos pr otenerel resto. h 6, k 7, 5., Elipses Vertiles F9.46, 7 F.54, 7 V., 7 V 0.9, 7 B6, 3.3 B6, 0.7 L 9.46, 4.3 R9.46, L'.54, 4.3 R'.54, LR 5.4 e / 3.46/ En el so de ls elipses vertiles, uo entro es Ch, k, el eje fol es prlelo l eje de ls l distni del entro ulquier de los foos es, por lo tnto l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es k, l distni sore el eje de ls desde el origen hst el foo es solmente h, por lo que, ls oordends de los foos son: Fh, k F h, k. Respeto los vérties, l distni del entro d vértie es de, hor, l distni sore el eje de ls del origen d vértie es k l distni sore el eje de ls prtir del origen es h. Por lo tnto ls oordends de los vérties de l elipse on Ch, k son: V h, k V h, k De l mism mner proedes pr otener ls oordends deleje menorbh,k B h, k. 7 Universidd CNCI de Méio

118 Tller de Mtemátis III 8 Universidd CNCI de Méio Ahor se proede otener ls oordends de los puntos etremos del ldo reto junto on su longitud, pr diho álulo se tomn los elementos neesrios: uno de los foos h, k l euión: el foo es onsiderdo porque, si oservs ien l gráfi, el Ldo reto ps sore éste, quiere deir que ls oordends del ldo reto tomn el mismo vlor de l sis. Entones, pr onoer sus puntos se sustitue k en l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen. Por ejemplo: Pr otener los elementos de un elipse determind su euión se relizn los siguientes psos: h h h h h k k h 4 ± ± Sustitues k Simplifis: Reuerd : Aplis l ríz udrd: Despejs :, ', ',, k h R k h L k h R k h L Y qué ps on l longitud del ldo reto? Pr otener l longitud del ldo reto se lul l distni que eiste entre sus puntos etremos, si toms ulesquier de los pres de puntos etremos se otiene el Ldo Reto: LR LR LR k k h h LR d 4 4 ] [ ] [,, k h R k h L L longitud del eje mor, es l distni de Vh, k V h, k de l elipse: VV VV VV k k h h VV d ' 4 ' ' ] [ ' L longitud del eje menor, es l distni de Bh, k B h, k de l elipse: BB BB BB k k h h BB d ' 4 ' ' ] [ ' L eentriidd de l elipse es l rzón de sus ejes determindos por l longitud de su eje mor l distni entre sus foos. e e k h

119 Tller de Mtemátis III Si l euión de l elipse es:, lo primero que dees otener son los elementos h, k,, luego, trvés de estos puedes otener el resto de los elementos, que en su morí dependen de l menos uno de ellos. Entones trvés de l euión dd dedues que se trt de un elipse vertil, por lo tnto, si toms l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen: h k 9 5 l euión proporiond en este ejemplo: 0 8 Iguls término término d uno de los elementos de l euión otienes: h 9 h 9 k 5 k Mu ien, los elementos otenidos son h 9, k 5, Ahor, sólo flt otener el vlor de l onstnte, reuerd que l relión que eiste entre ls onstntes, es trvés de l fórmul del teorem de Pitágors, por lo tnto de lo que result 4.. F F : foos V V : vérties B B : puntos etremos eje menor L R: puntos etremos del LR L R : puntos etremos del L R VV : longitud del eje mor BB : longitud del eje menor FF : longitud entre los foos LR L R : longitud del ldo reto e: eentriidd Fh, k F h, k Vh, k V h, k Bh, k B h, k L h, k R h, k L' h, k R' h, k LR e / Sólo qued sustituir en d fórmul los elementos otenidos pr otenerel resto. h 9, k 5, 5.3, F9, 9. F 9, 0.8 V9, 0.3 V 9, 0.3 B.6, 5 B 5.84, 5 L 0.9, 9. R7., 9. L' 0.9, 0.8 R'7., LR 3.8 e / 4./ Un vez que se otuvieron los elementos que omponen l elipse on entro fuer del origen tnto en su form vertil omo horizontl, se puede onluir que: 9 Universidd CNCI de Méio

120 Tller de Mtemátis III Elementos: Elipse Horizontl Elipse Vertil F F : foos V V : vérties L: eje fol B B : puntos etremos eje menor L R: puntos etremos del LR L R : puntos etremos del L R VV : longitud del eje mor BB : longitud del eje menor FF : longitud entre los foos LR L R : longitud del ldo reto e: eentriidd Fh, k F h, k Vh, k V h, k Prlelo l eje de ls Bh, k Bh, k L h, k L' h, k LR e / R h, k R' h, k Fh, k F h, k Vh, k V h, k Prlelo l eje de ls Bh, k Bh, k L h, k R h, k L' h LR e /, k R' h, k.3... Otenión de l euión ordinri de l elipse on entro fuer del origen prtir de lguno de sus elementos mínimos neesrios Es posile determinr l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen si se onoen l menos lgunos de sus elementos mínimos; por ejemplo, si se onoen uno de sus foos, uno de sus vérties el entro, los puntos etremos del ldo reto, uno de sus foos el entro, et., vievers; puesto que los elementos mínimos neesrios se pueden otener prtir de los dtos que se proporionn. Cuáles son esos elementos mínimos neesrios? Los elementos mínimos neesrios pr determinr l euión ordinri de un elipse on entro fuer del origen son: los omponentes del entro h, k, ls onstntes. De ulquier dto que te proporionen, lo primero que tienes que her es otener los elementos mínimos neesrios luego, prtir de estos, onstruir l euión ordinri orrespondiente de l elipse sustituendo los vlores ásios. Práti 47 Otén l euión ordinri grfi l elipse u longitud del eje menor es 6, uno de sus puntos etremos es L4.4, 9 su entro está en, 3 su eje fol prlelo l eje de ls. 0 Universidd CNCI de Méio

121 Tller de Mtemátis IIII.4. Euión generl de l elipse Ejemplo: Pétlos elíptios Oserv ls dos imágenes: Te produe lgún efeto el ontemplrls? Algunos de estos dos tipos de flores te tre más que l otr, te hs preguntdo por qué? Hs de ser que según Rudolf Arnheim ls forms tienen un determindo efeto psiológio sore quien ls ontempl, efeto que se deriv de sus uliddes propis epresivs. Según él l líne horizontl omuni estilidd, l vertil es símolo de infinitud, l líne ret signifi deisión, fuerz, estilidd, mientrs que l urv indi dinmismo, fleiilidd, el írulo omuni equilirio dominio l elipse por su prte, l ontr on dos vérties omuni inquietud e inestilidd. Será ierto todo eso? Tú qué dies? Los pétlos del girsol tienen form elípti, te independientemente de lo que pudiern omunir. omuniron inquietud?, Crees que se pued representr mtemátimente l form del pétlo del girsol? Sís que Rudolf Arnheim fue un psiólogo filósofo nido en Berlín, Alemni en 904. Relizó importntes ontriuiones pr l omprensión del rte visul otros fenómenos estétios. A trvés de l euión de un elipse en su form ordinri es posile representr mtemátimente l form del pétlo del girsol; pero, Cómo se puede representr l form generl de l euión de un elipse dd en su form ordinri? Universidd CNCI de Méio

122 Tller de Mtemátis III Universidd CNCI de Méio Reuerd que l euión de ulquier gráfi en su form generl es representd medinte l iguldd ero, pr logrr lo nterior en un euión ordinri de l elipse, es neesrio desrrollr los udrdos de l mism simplifir ordenndo sus términos. Te hs ddo uent que l psr de un euión otr, se ejere sore l mism un trnsformión, lo que se le onoe omo onversión de un form de l euión otr, esto se reliz en funión del requerimiento de un o de l otr, según se el so. Preismente qué es lo que ourre en tl onversión?.4.. Conversión de l form ordinri de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form generl Pr relizr l onversión meniond nteriormente, se tomn los dos sos posiles de l elipse en prlelo se desrrolln hst logrr el ojetivo de otener su onversión l tipo de form generl. Entones, l form ordinri de l elipse: Ejemplo: Supón que l euión ordinri de l form del pétlo del girsol del primer ejemplo es l siguiente: Cuál es l euión generl de l form elípti del pétlo? Horizontl Vertil Desrroll los udrdos Igul ero 0 k h k h k k h h k h 0 k h k h k k h h k h 9 3

123 Tller de Mtemátis III 3 Multipli todo por 5: 9 Desrroll los udrdos: Igul ero: Simplifi: Práti 48 Dd l euión de l elipse on entro fuer del origen en su form ordinri onviértel su form generl trz su gráfi Conversión de l form generl de l euión de un elipse on entro fuer del origen su form ordinri Algun vez hs esuhdo hlr del Litotriptor? Ses pr qué sirve por qué tiene form elípti? Reuerd que los segmentos de ret que unen los foos de un elipse on un punto ulquier uido en ell, formn ángulos igules on l ret tngente l elipse que ps por diho punto. 3 Universidd CNCI de Méio

124 Tller de Mtemátis III Deido est propiedd, si se olo un fuente de luz o sonido en uno de los foos de un refletor, u superfiie h sido generd por l revoluión de un elipse lrededor de su eje mor, tods ls onds reflejds psrán por el otro foo. Dih propiedd se us en mediin on el prto llmdo litotriptor pr desher álulos renles, este prto utiliz un refletor de ultrsonido. Pr usrlo se olo el refletor de tl modo que l fuente sonor se uique en uno de los foos el álulo renl en otro; ls onds se onentrn en el tumor pr herlo virr posteriormente desintegrrlo. Qué tl! Vle l pen onoer l elipse sus propieddes no?, pues omo en este so h muhos otros por los ules h que estr grdeidos de su estudio. Y prendiste onvertir l euión de un elipse on entro fuer del origen de su form ordinri su form generl, hor, qué ourre si tienes el so ontrrio?, Cómo onviertes l euión de un elipse on entro fuer del origen de su form generl su form ordinri? Pr determinr un form revid de resolver ulquier tipo de onversión de l euión de l elipse on entro fuer del origen de su form ordinri su form generl vievers, es neesrio onsiderr los dos posiles sos de elipses que se pueden presentr, elipses horizontles elipses vertiles. Form Generl Horizontl Vertil h k h k 0 h k h k 0 Ahor, l her A B,D h, E k F h k, l euiónresult: A B D E F 0 Form generl de l euión de l elipse horizontl Ahor, l her A B,D h, E k F h k, l euiónresult: A B D E F 0 Form generl de l euión de l elipse vertil 4 Universidd CNCI de Méio