Los números reales. 1. Números racionales e irracionales
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- Josefa Vega de la Fuente
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1 Los números reales. Números racionales e irracionales Calcula mentalmente el área de un cuadrado de cm de lado. Expresa de forma exacta el lado, x, de un cuadrado de cm de área. P I E N S A Y C A L C U L A A = = cm x = cm Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: / π d),... Racional. Irracional. Irracional. d) Racional. A P L I C A L A T E O R Í A Representa gráficamente de forma exacta: Escribe tres números racionales. /,, / Escribe tres números irracionales., π, 6 Representa gráficamente de forma aproximada: Escribe dos números racionales comprendidos entre / y / / + / = / + / = e d) SOLUCIONARIO
2 e 9 /6 6 d) 7 Halla de forma exacta la diagonal de un cubo de cm de lado y escribe qué tipo de número es. Calcula: + / d = + + = Es un número irracional. 7 : ( ) /9 ( +) ( +) ( ) : /. La recta real Representa en la recta real todos los números reales x que cumplen: < x Ì P I E N S A Y C A L C U L A TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9
3 Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos. y y y d) y d(, ) = d(, ) = d(, ) = d) d(, ) = Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos, représentalos gráficamente y clasifícalos: (, ) [, ) (, d) {x é ; < x < } Abierto. {x é ; Ì x < } Semiabierto y semicerrado. {x é ; < x < Representa gráficamente los siguientes entornos: E(, ) E*(, ) 6 7 Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos, y clasifícalos: d) (, ) Abierto. [, ) Semiabierto y semicerrado. (, Abierto. d) ] Semiabierto y semicerrado. Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: E(, ) E*(, ) A P L I C A L A T E O R Í A Abierto. d) {x é < x Ì } Semiabierto y semicerrado. 9 SOLUCIONARIO
4 . Aproximaciones y errores Juan estima que la altura de un árbol es de m. Si la altura real es de, m, cuál es el error cometido en la estimación?, =, m P I E N S A Y C A L C U L A Calcula la parte entera y decimal de los siguientes números:,9, Ent(,9) = Dec(,9) =,9 Ent(,) = Dec(,) =,6 9 Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: /7,97,7,7 Aproximación por defecto.,6 Aproximación por exceso. Trunca a dos cifras decimales los siguientes números: /7,97,7,7,97,9 Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al aproximar con dos cifras decimales los siguientes números: / 6,, Error absoluto =, Error relativo =,69,9, Error absoluto =, Error relativo =, Expresa en notación científica los siguientes números: 7,,7, 7 Expresa en notación decimal los siguientes números: 7,, 9 7, Opera y expresa en notación científica:,, 9,7 6 : (, ), 7, A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9
5 . Números combinatorios Calcula mentalmente los siguientes productos: P I E N S A Y C A L C U L A 6 Calcula el factorial de los números siguientes: 6 6! = 7! = 6 Calcula mentalmente los siguientes números combinatorios: 7 ( ) ( ) 6 ( ) d) ( ) 6 d) 6 7 Comprueba que se cumple, en cada caso, la igualdad siguiente: m ( ) ( ) = m p m p m = 6, p = m =, p = 6 6 ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: Se tiene que: x + x + = x = 6 ( ) ( ) = x x + A P L I C A L A T E O R Í A 9 SOLUCIONARIO
6 Ejercicios y problemas. Números racionales e irracionales 9 Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: / 6 d) Irracional. Racional. Racional. d) Irracional. Escribe tres números racionales comprendidos entre / y / / + / = / + / = / + / = 6 Representa gráficamente de forma exacta: d) Calcula: : ( + ) d) ( + ) 9 d) Halla de forma exacta el lado de un cuadrado de cm de área y escribe qué tipo de número es. cm Es un número irracional.. La recta real Representa en la recta real los siguientes pares de números y calcula la distancia que hay entre ellos: y, y, d(, ) = d(,;,) =,, Representa gráficamente de forma aproximada: π d) π 6 Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos, represéntalos gráficamente y clasifícalos: (, ] [, ] [, d) ) {x é ; < x Ì } Semiabierto y semicerrado. TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9
7 Ejercicios y problemas {x é ; Ì x Ì } Cerrado. {x é ; Ì x < Semiabierto y semicerrado. d) {x é < x < } Abierto. E(, ) E*(, ) E(, ) d) E*(, ). Aproximaciones y errores Calcula la parte entera y decimal de los siguientes números: 7,,, d),7 7 9 Escribe los intervalos que se representan en los siguientes dibujos y clasifícalos: d) (, Abierto. (, ) Abierto. ] Semiabierto y semicerrado. d) [, ) Semiabierto y semicerrado. Representa gráficamente los siguientes entornos: E*(, ) E(, ) E(, ) d) E*(, ) d) Escribe los entornos que se representan en los siguientes dibujos: d) Ent( 7,) = Dec( 7,) =, Ent(,) = Dec(,) =,6 Ent(,) = Dec(,) =, d) Ent(,7) = Dec(,7) =,7 Redondea a dos cifras decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso: /,97 7 d),6,7, por exceso., por exceso. 6, 6, por defecto. d),6 por exceso. Trunca a dos cifras decimales los siguientes números: /,97 7 d),6,7,7,9 6, 6, d),6 9 SOLUCIONARIO
8 Halla el error absoluto y el error relativo que se cometen al redondear con dos cifras decimales los siguientes números: /, d), Error absoluto =, Error relativo =,6, Error absoluto =,6 Error relativo =,6, Error absoluto =, Error relativo =, d),9 Error absoluto =, Error relativo =, Expresa en notación científica los siguientes números: 7 9,7 d),69,7,9, 7 6 d),69 Expresa en notación decimal los siguientes números:,7 9, 7, d), 9 7, d), 6 Opera y expresa el resultado en notación científica: 7,,,, 6,6 +, d),7 : (,6 9 ),,6 9,9 d), 9. Números combinatorios 7 Calcula el factorial de los números siguientes: Calcula los siguientes números combinatorios: 6 ( ) ( ) ( ) d) ( ) d) Comprueba que se cumple, en cada caso, la igualdad siguiente: p m = 7, p = m =, p = ( ) ( ) ( ) = + = = ( ) = ( ) + ( ) m ( ) ( ) ( ) = m + m Calcula los términos de la fila 7ª del triángulo de Tartaglia., 7,,,,, 7, Aplica las propiedades de los números combinatorios y calcula el valor de x en la siguiente igualdad: x + x = 9 x = ( ) ( ) = 9 x p x p TEMA. LOS NÚMEROS REALES 9
9 Ejercicios y problemas Para ampliar Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales: /7 /7 π d) (, ) Irracional. Racional. Irracional. d) Racional. Escribe en forma de entorno las siguientes desigualdades: x < x < x + < d) x < E(, ) E(, ) E(, ) d) E(, ) Escribe tres números racionales entre, y,7, +,7 =,6, +,6 =,, +, =, 7 Escribe dos números irracionales entre, y, π =,9 =,6 6 Expresa, mediante el número π, un número irracional que esté comprendido entre y π/ =,7 Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros, que contenga al + número f = (, ) Escribe en forma de intervalo las siguientes desigualdades: Ì x Ì x > < x Ì d) x < [, ] (, (, ] d) 9 Redondea a dos decimales los siguientes números y di cuáles de las aproximaciones son por defecto y cuáles por exceso:,6 7,9,7 d) 9,99,6 por defecto. 7, por exceso.,7 por exceso. d) 9, por exceso. Con calculadora 6 Halla con la calculadora el valor de los siguientes números con tres cifras decimales: π π + + d) + 6, 6,,6 d),9 6 Halla con la calculadora y expresa el resultado en notación científica:,7 +,6,9 : (, ),, 6 d),7, 9 : (, ) 9,,, d), SOLUCIONARIO
10 Problemas 6 Halla de forma exacta la longitud de una circunferencia de m de diámetro. Qué clase de número es? L = π, = π m Es un número irracional. 6 Halla de forma exacta el área de un triángulo equilátero de cm de lado. Clasifica el resultado como número racional o irracional. h = = A = = cm Es un número irracional. h A = B = / m C = F = /6 m D = E = G = / m 66 Escribe el menor intervalo cerrado, cuyos extremos sean números enteros, que contenga a [, ] 67 B F A E Escribe el menor intervalo abierto, cuyos extremos sean números enteros, que contenga al número π C D G 6 6 Halla de forma exacta las longitudes de los segmentos siguientes y clasifica los resultados como números racionales o irracionales: cm BH CI AG d) AF e) AE BH = /. Número racional. CI = /. Número racional. AG =. Número irracional. d) AF =. Número irracional. e) AE =. Número irracional. H G A cm B C D La siguiente figura se conoce con el nombre de tangram chino. Si el lado del cuadrado mide m, halla el área de cada una de las figuras que componen el tangram. F I E ( 7, 6) La longitud de una varilla se aproxima a, m. Entre qué valores se hallará la longitud real si la aproximación es por defecto? Y si fuese por exceso? Entre, y, Entre, y, Las dimensiones de un cartón rectangular son, m y, m. Calcula su área y redondea el resultado a dos decimales.,9 m Se construye un ortoedro de dimensiones, cm Ò,6 cm Ò,6 cm para almacenar medio litro de líquido. Qué error relativo se está cometiendo? TEMA. LOS NÚMEROS REALES 97
11 Ejercicios y problemas V =,,6,6 =, cm, Error relativo = =,76 AB = AC = AD = = 7 Se sabe que g de hidrógeno contienen,6 moléculas. Calcula la masa en gramos de una molécula de hidrógeno. : (,6 ) =, g Para profundizar 7 Calcula la longitud del segmento AB en la figura siguiente y clasifica el resultado como número racional o irracional: cm A 7 La distancia que hay del Sol a la Tierra es de,6 km. Si se toma la velocidad de la luz como km/s, calcula el tiempo que tarda la luz del sol en llegar a la Tierra. t = e/v t =,6 : = 9, s = min s A B 7 Si el radio del Sol mide 6,96 km, calcula el volumen del Sol suponiendo que es una esfera. x V = π (6,96 ) =, km / AB = ( ) = = cm Es un número irracional. B 76 Halla el área y el volumen de un tetraedo regular cuya arista mide cm. Redondea el resultado a dos decimales. cm 7 Calcula la longitud de los segmentos AB, AC y AD de la figura adjunta, y representa de forma exacta en la recta real los números obtenidos: D A C I B A = a A = =, cm a V = V = =,7 cm 9 SOLUCIONARIO
12 77 Halla el área y el volumen de un octaedro regular cuya arista mide cm. Redondea el resultado a dos decimales. cm A = a A = =,6 cm a V = V = =,77 cm TEMA. LOS NÚMEROS REALES 99
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b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. c) Cuáles son irracionales? a) No pueden expresarse como cociente: 3; 3π y 2 5.
PÁGINA 9 Entrénate 1 a) Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? 2; 1,7; ; 4, 2; ),75; ) π; 2 5 b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. c)
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