el blog de mate de aida PROBABILIDAD 4º ESO PROBABILIDAD

Transcripción

1 Pág.1 PROBABILIDAD EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS. Experimento determinista es aquel en que se puede predecir el resultado, siempre que se realice en las mismas condiciones. (Ejemplo: medir el tiempo que tarda en caer un objeto desde una misma altura sobre la superficie de la Tierra). Experimento aleatorio es aquel del que no se puede predecir el resultado, aunque se realice en las mismas condiciones. Por ejemplo, tirar al aire un dado numerado. El conjunto de todos los sucesos elementales se llama espacio muestral. Ejemplo: E={1,2,,4,5,6}. Cualquier subconjunto de un espacio muestral se llama suceso. Ejemplo: obtener un número par {2,4,6}. Un suceso elemental es cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo: 1 ó 2 ó ó 4 ó 5 ó 6. Suceso compuesto es el que está formado por más de un suceso elemental. Dos sucesos son incompatibles si no se pueden verificar a la vez. Ejemplo: A: salir par ; B: salir primo mayor que dos. Entonces A={2,4,6}, B={,5} y A B =. Dos sucesos que pueden ocurrir a la vez se llaman compatibles. OPERACIONES CON SUCESOS. - Suceso unión: dados dos sucesos A y B, se llama y se designa por A U B, al suceso que se produce siempre que se verifica uno de los dos, es decir, si se verifica A ó B. Ejemplo: Tiramos un dado y consideramos los siguientes sucesos: A= salir par y B= salir mayor que 4. Entonces, A={2,4,6}, B={5,6} y AUB={2,4,5,6}. - Suceso intersección, Dados dos sucesos A y B, se denomina y se designa por A B al suceso que se realiza si se verifica A y B. Ejemplo: A: salir par y B: salir mayor que 4. Entonces, A={2,4,6}, B={5,6} y AB={6}. - Suceso contrario de un suceso A ( A ) es el suceso que ocurre siempre que no se verifica A. Es equivalente a la negación lógica. Si dos sucesos no se pueden verificar simultáneamente, su intersección es el conjunto vacío. Cualquier suceso que sea igual al conjunto se llama suceso imposible y, por tanto, será un suceso que no se produce nunca. Dos sucesos cuya intersección es el suceso imposible, se dice que son incompatibles. La unión de sucesos contrarios es el suceso seguro y su intersección es el suceso imposible. Sean los sucesos A y B; se dice que el suceso A está contenido en el suceso B, A B, si siempre que se verifica A, también se verifica B.

2 Pág.2 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD La probabilidad de sucesos verifica las siguientes propiedades: 1.- La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. Toma el valor 1 cuando se trata del suceso seguro y vale 0 cuando se trata del suceso imposible: E) = 1 y ) = La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de las probabilidades de los dos sucesos menos la probabilidad de su intersección: AU = A) + - A Si A y B son sucesos incompatibles AB= AU = A) +..- Si A es un suceso cualquiera y A es su contrario: A) 1 A) PROBABILIDAD DE UN SUCESO: REGLA DE LAPLACE La probabilidad P es una función que a cada suceso de un experimento aleatorio le asocia un número entre 0 y 1, y mide la facilidad de ocurrencia del suceso. Un suceso seguro, A, es el que ocurre siempre, y su probabilidad es 1: A)=1. Si dos sucesos no se pueden verificar simultáneamente, su intersección es el conjunto vacío. Cualquier suceso que sea igual al conjunto se llama suceso imposible y, por tanto, será un suceso que no se produce nunca. Dos sucesos cuya intersección es el suceso imposible, se dice que son incompatibles. Supongamos un experimento aleatorio que puede dar lugar a n sucesos elementales, incompatibles entre sí e igualmente posibles, es decir, con las mismas posibilidades de ocurrir. Llamamos casos favorables de un suceso A al número de sus sucesos elementales, es decir, al número de casos en que es un éxito y casos posibles al cardinal del espacio muestral, se define la probabilidad de Laplace de la siguiente forma: La probabilidad A) de un suceso A, es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. número de A) número casos favorables a de casos posibles A Ejemplo: Sea el suceso A: sacar múltiplo de tres, en el lanzamiento de un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Cuál es la probabilidad del suceso A? Casos posibles: E={1,2,,4,5,6}. Casos favorables: A={,6}. P ( A) Ejemplo: Se lanzan dos dados sobre la mesa y se suman sus caras superiores. Halla la probabilidad de obtener una suma igual a 8. 5/6. 2 6

3 Pág. DIAGRAMAS CARTESIANOS: Un diagrama cartesiano es una tabla de doble entrada que nos da todas las posibilidades que se pueden obtener al realizar un experimento compuesto por dos pruebas. Ejemplo: Lanzamos dos dados de seis caras numeradas del 1 al 6 y queremos saber la suma de puntos. Representa el diagrama cartesiano y calcula la probabilidad de obtener suma P ( Suma 9) 0,11 6 EXPERIENCIAS COMPUESTAS: INDEPENDIENTES Si dos sucesos son independientes se verifica: A A) Ejemplo: De una baraja española de 40 cartas sacamos, primero una, la devolvemos y luego sacamos otra (CON REEMPLAZAMIENTO). Sean los sucesos A: sacar oros y B: sacar copas. Cómo son los sucesos A y B, dependientes o independientes? Cuál es la probabilidad de sacar primero oros y después copas? Los sucesos A y B son independientes ya que, al haber devolución en la segunda extracción, tenemos las mismas cartas que en la primera extracción A A) 0, EXPERIENCIAS COMPUESTAS: DEPENDIENTES Dados dos sucesos A y B ligados a un mismo experimento; por definición: A=A) B/A)= A/ Generalizando para la intersección de tres sucesos: ABC)=A) B/A) C/A Esta fórmula se puede generalizar para n y se llama ley de probabilidad compuesta.

4 Pág.4 Ejemplo: Se extraen tres cartas sucesivamente de una baraja de 40 cartas (CON REEMPLAZAMIENTO). Calcula la probabilidad de que las tres sean del mismo palo. Se consideran los sucesos: A = la primera carta es de un palo válido ; B = la segunda carta es del mismo palo que la primera y C = la tercera carta es del mismo palo que las dos primeras. Nos piden la probabilidad: p(abc) = p(a) p(b/a) p(c/ac). Como A = suceso seguro, se tiene p(a) = Además p(b/a) = y p(c/ac) = Entonces: pa B C 1 0,0486 4,86% Ejemplo: En un baile en el que el 0 % de las chicas rubias tienen ojos negros, cuál es la probabilidad de sacar a bailar, al azar, a una rubia de ojos negros, si el 40 % de las chicas del baile son rubias? R= rubia. N= ojos negros ( R) P ; 0 ( N / R) P 2 R N) R) N / R) ÁRBOL DE PROBABILIDADES: Un árbol de probabilidades es un diagrama en árbol, de forma que en cada rama escribimos su probabilidad, que es la probabilidad de un experimento simple. Un camino es un conjunto de ramas que nos lleva desde el principio hasta el final. La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de sus ramas y la probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Ejemplo: Tenemos una urna A con 2 bolas rojas y tres verdes y otra urna B con 5 bolas rojas y 4 verdes. Elegimos una urna al azar y de ella extraemos una bola. Haz el árbol de probabilidades y calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja P ( roja) 0,

5 Pág.5 Ejemplo: Tenemos un cofre y sabemos que tiene 25 monedas de oro y 75 de plata. Cuál es la probabilidad de sacar del cofre tres monedas de oro sin devolución? Sean los sucesos A: sacar moneda de oro la primera, B: sacar moneda de oro la segunda y C: sacar moneda de oro la tercera A B C) A) B / A) C / A 0, Ejemplo: Probamos tres vacunas A 1, A 2, A en 100 personas: la vacuna A 1, en 0; la A 2, en 20; y la A, en 50. Pasado el tiempo adecuado, observamos que del grupo A 1, 2 no han contraído la enfermedad; del A 2, 17, y del A, 9. Qué probabilidad tenemos de que elegida una persona al azar esté sana? S= personas sanas = A 1) B/A 1) + A 2) B/A 2) + A ) B/A ) = 0,

6 Pág.6 EXPERIMENTO ALEATORIO COMPUESTO Un experimento aleatorio compuesto es el que está formado por varios experimentos simples o que se puede descomponer en varios experimentos más simples. Siempre que tengamos que resolver un problema de un experimento compuesto, lo descomponemos en los experimentos simples correspondientes. En este tipo de problemas tenemos estrategias distintas: Ejemplo: En el experimento aleatorio de lanzar tres monedas, si A={sacar dos caras}, su probabilidad es P ( A) 8, pues los casos favorables son tres: CCX, CXC, XCC, siendo los casos posibles 8: CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX y XXX. Por tanto, ahora, la probabilidad del suceso A, sabiendo que ha ocurrido B={hay, como mínimo una cruz} (que llamaremos suceso A condicionado con B y se escribe A/, sería: A/ A Se llama probabilidad de A condicionada a B, y se simboliza por A/, al cociente: A/ A con 0. (Es la probabilidad de que se realice A sabiendo que se ha realizado. TABLA DE CONTINGENCIA Es una tabla que nos permite organizar los elementos de una población según dos características. Se llama de contingencia porque en ella se presentan todas las posibilidades o contingencias. Ejemplo: En una clase donde hay 20 chicos y 10 chicas, se han ofrecido inglés y francés como opciones para cursar lengua extranjera. Han elegido inglés 25 alumnos y el resto han optado por el francés; además se sabe que sólo dos de las 10 chicas han preferido francés. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Tomar al azar un nombre de la lista que sea el de un chico. b) Elegir un chico que estudia francés. c) Sabiendo que se ha seleccionado un chico, que éste estudie francés. Se construye la tabla: A Chicos A Chicas Total B Inglés B Francés 2 5 Total Observando la tabla se consideran los siguientes casos: A = el alumno elegido es chico ; A = el alumno elegido es chica ; B = el alumno elegido estudia francés y B = el alumno elegido estudia inglés. Así tendremos: a) p(chico) = p(a) = 20/0 = 2/

7 Pág.7 b) p(chico que estudia francés) = p(a = /0 = 1/10 A 0 c) B / A) A) Ejemplo: En un centro de bachillerato de 800 alumnos, sabemos que hay 420 chicas de las que 10 practican deporte y que 105 chicos no practican deporte. a) Haz la tabla de contingencia. b) Quiénes llevan una vida más sana, los chicos o las chicas? Chicas Chicos Total Practican deporte No practican deporte Total que una chica practique deporte)= =0, que un chico practique deporte)= =0,72 80