2 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema 2.

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 8 2 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema Ejemplos. Ejemplo 13 La siguiente tabla de frecuencias absolutas corresponde a 200 observaciones de una variable bidimensional. Calcular: X \ Y a) las distribuciones marginales de X y de Y, b) la distribución de X condicionada a que Y = 25, c) la distribución de Y condicionada a que X = 12. Respuestas: a) La última fila contiene la distribución marginal de la variable Y, y la última columna contiene la distribución marginal de la variable X. X \ Y n i n j b) La distribución de X condicionada a que Y = 25 es: X/Y = 25 n i c) La distribución de Y condicionada a que X = 12 es: Y/X = 12 n 3j Ejemplo 14 Con los datos del ejemplo 13 calcular las medias, y varianzas marginales. Cuál de las dos variables presenta mayor variación? Respuestas: Las medias marginales son: x = ( )/200 = 10.36, y = ( )/200 =

2 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 9 Las varianzas marginales: s 2 X = 2.35, s 2 Y = Observando los coeficientes de variación CV (X) = 0.15, CV (Y ) = 0.42 vemos que la variable Y presenta más dispersión que la variable X. 2.2 Ejercicios. Ejercicio 12 La siguiente tabla muestra la distribución conjunta de frecuencias relativas de la variable X, que representa el número de tarjetas de crédito que posee una persona, y la variable Y, que refleja el número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito. Y = Num. de compras por semana X = Num. tarjetas a) Si se sabe que en el estudio han participado 300 personas, hallar la distribución conjunta de frecuencias absolutas. b) Hallar la distibución marginal de Y. Cuál es el número medio y la desviación típica del número de compras semanales pagadas con tarjeta de crédito? c) Obtener la distibución del número de tarjetas de crédito que poseen las personas de dicho estudio. Cuál es el número más frecuente de tarjetas de crédito que posee una de estas personas? d) Calcular la distribución del número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito que realizan las personas que poseen tres tarjetas. Cuál es la media de esta distribución? Respuestas: a) La distribución de frecuencias absolutas se obtiene multiplicando la tabla anterior por n = 300. b) y c) La distribución marginal de Y se obtiene sumando, para cada valor de la variable Y, las filas de la tabla, mientras que la distribución marginal de X se obtiene sumando, para cada valor de la variable X, las columnas de la tabla. Y = Num. de compras por semana X = Num. tarjetas n X n Y La media y desviación de Y se calculan a partir de la distribución marginal de Y, de la misma manera que se hacía en el caso univariante: y = = = 2.11,

3 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 10 que representa el número medio de compras por semana que hacen las personas del estudio. s 2 y = s y = 1.66 = (2.11) 2 = (2.11)2 = 1.66, El número más frecuente de tarjetas de crédito se obtiene con la moda de X, que es Mo = 1. d) La distribución del número de compras semanales pagadas con tarjetas de crédito que realizan las personas que poseen tres tarjetas es la distribución de Y condicionada a X = 3, es decir, Y X=3, que se obtiene mediante la tercera fila de la tabla del apartado (a): La media de esta distribución es y x=3 = Y X=3 n 3j total = = 2.73, que representa el número medio de compras por semana que hacen las personas que tienen 3 tarjetas. Ejercicio 13 Se han clasificado 100 familias según el número de hijos e hijas, en la siguiente tabla: H \ M a) Hallar las medias, varianzas y desviaciones típicas marginales. b) Qué número medio de hijas hay en aquellas familias que tienen 2 hijos? c) Qué número medio de hijos hay en aquellas familias que no tienen hijas? d) Qué número medio de hijos tienen aquellas familias que a lo sumo tienen 2 hijas? e) Hallar la covarianza. a) Definimos las variables X = número de hijos e Y = número de hijas, y construimos la tabla de frecuencias marginales:

4 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 11 X \ Y n i n i x i n i x 2 i 5 x i j=1 n ij y j x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = n j n j y j n j yj x = 1 n n i x i = = 1.56, y = 1 n n j y j = = 1.46, s 2 X = x 2 x 2 = (1.56)2 = 1.53 s X = 1.53 = 1.24, s 2 Y = y 2 y 2 = (1.46)2 = 1.29 s Y = 1.29 = b) Nos preguntan por y X=2. Empezamos escribiendo la tabla de Y condicionada a X = x 3 = 2: Por tanto, y X=2 = 1 n 3 Y X=2 n 3 j n 3 j y j y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = y 5 = total j=1 n 3 j y j = = c) Nos preguntan por x Y =0. Empezamos escribiendo la tabla de X condicionada a Y = y 1 = 0: Por tanto, x Y =0 = 1 n 1 X Y =0 n i 1 n i 1 x i x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = total n i 1 x i = = d) Nos preguntan cuánto vale x Y 2. Escribimos la tabla de X condicionada a que Y tome los valores y 1 = 0, y 2 = 1, y 3 = 2:

5 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 12 ( 3 X Y 2 n i 1 n i 2 n i 3 j=1 n 3 ) ij j=1 n ij x i x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = total x Y 2 = 1 3 j=1 n ij 3 j=1 n ij x i = = e) La covarianza es s XY = 1 n x i y j n ij xy = 1 n j=1 x i y j n ij xy j=1 = 209 (1.56)(1.46) = 0.188, 100 lo que nos dice que la relación lineal entre X e Y es inversa, es decir, a medida que X crece, Y tiende a disminuir. Para saber si esta relación es débil o fuerte, hay que calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson: r XY = s XY s X s Y = (1.24)(1.14) = 0.13, que indica que el grado de relación lineal entre X e Y es bastante débil, puesto que 0.13 es más cercano a 0 que no a 1.