Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =

Transcripción

1 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds por gráficos de funciones.. Áre entre el gráfico de un función y el eje x Como primer pso, nos interes clculr el áre comprendid entre el gráfico de un función f y el eje x entre x = y x =, siendo que f es integrle en [; ]. En primer lugr, considerremos el cso en que el gráfico de f está por rri del eje x. l introducir l noción de integrl vimos que: Si l función f es positiv o cero en el intervlo [; ], el áre de l región comprendid entre el eje x y el gráfico de l función f entre los límites y es f x)dx Ejemplo. Clculr el áre de l región comprendid entre el eje x y el gráfico de l función f x) = x 2 entre x = y x = 3. El áre pedid es l somred en el siguiente gráfico: Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires

2 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs f 3 Como l función f es positiv o cero en el intervlo [; 3], el áre está dd por 3 x 2 )dx. Pr clculr l integrl, podemos usr l regl de Brrow. Como Fx) = 3 x3 x es un primitiv de f x) = x 2, tenemos que 3 x 2 3 ) )dx = 3 x3 x) = ) 3 3 = ) = El segundo cso que considerremos es cundo el gráfico de f está por dejo del eje x es decir, l función f es negtiv o cero en el intervlo [; ]. En est situción, l integrl definid d el áre de l región comprendid entre el eje x y el gráfico de l función f pero con el signo cmido es decir, d negtivo). Por lo tnto, pr clculr el áre, strá con cmir el signo de l integrl. Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 2

3 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Si l función f es negtiv o cero en el intervlo [; ], el áre de l región comprendid entre el eje x y el gráfico de l función f entre los límites y es f x)dx Ejemplo 2. Clculr el áre de l región comprendid entre el eje x y el gráfico de l función f x) = x 2 entre x = 2 y x =. En el siguiente gráfico prece somred l región en cuestión: 2 L función f tom vlores negtivos en todo R, con lo cul el áre uscd es = 2 x 2 )dx = ) x 2 + )dx = ) 3 2)3 + 2) ) 3 x3 + x = 2 = = 6. Finlmente, si se quiere clculr el áre de l región comprendid entre el gráfico de un función f y el eje x entre x = y x = en el cso en que f tom vlores positivos y negtivos en el intervlo [; ], se deen estudir los cmios de signo de l función en el intervlo considerdo. Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 3

4 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Por ejemplo, pr clculr el áre de l región somred en l figur podemos descomponerl en dos áres que y semos clculr: si c es el punto de intersección del gráfico de f con el eje x es decir, el punto del intervlo [; ] donde l función vle 0), entonces, como podemos ver en el gráfico, f x) 0 pr todo x [; c] y f x) 0 pr todo x [c; ]. 2 c Entonces, podemos clculr el áre comprendid entre el gráfico de f y el eje x pr x c y el áre 2 comprendid entre el gráfico de f y el eje x pr c x, y otener el áre como l sum de ests dos áres: c + 2 = f x)dx + f x)dx. c Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 4

5 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Ejemplo 3. Clculr el áre de l región comprendid entre el eje x y el gráfico de l función f x) = x 2 + 2x 3 entre x = y x = 2. Vemos primero si el gráfico de l función f x) = x 2 + 2x 3 cort l eje x pr lgún vlor x [ ; 2]. Pr esto, uscmos los ceros de f : x 2 + 2x 3 = 0 x = ó x = 3 De estos dos ceros, [ ; 2] y 3 / [ ; 2], con lo cul sólo nos interes x =. Hgmos un gráfico proximdo pr ver cuál es el áre pedid: f 2 2 Tenemos que f x) 0 pr todo x [ ; ] y f x) 0 pr todo x [; 2]. Entonces, el áre clculr es + 2 = x 2 + 2x 3)dx + 2 x 2 + 2x 3)dx. Pr clculr ls integrles definids en cuestión, usmos l regl de Brrow. Como un primitiv de f x) = x 2 + 2x 3 es 3 x3 + x 2 3x, otenemos: ) ) ) 3 x3 + x 2 ) 3x + 3 x3 + x 2 2 3x = = ) 3 + 3) 3 )3 + ) 2 3 )) ) 3 ) + 3) = 6 3 ) = = L mism ide puede usrse en el cso en que l función f teng vrios ceros en el intervlo [; ], prtiéndolo en vrios intervlos delimitdos por los extremos del intervlo y los ceros de f ) de mner que en cd uno de ellos los vlores de f sen siempre positivos o cero, o ien, siempre negtivos o cero. Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 5

6 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Por ejemplo, en l situción del siguiente gráfico 2 c d 3 el áre de l región comprendid entre el gráfico de f y el eje x pr x puede otenerse como l sum de ls áres de ls tres regiones somreds, delimitds por ceros de f. Cd un ests áres, su vez, puede clculrse por medio de un integrl con el signo correspondiente: c d = f x)dx + f x) dx f x) dx c d 2. Áre entre el gráfico de dos funciones Nos interes hor clculr el áre de un región comprendid entre los gráficos de dos funciones integrles f y g. Consideremos, en primer lugr, l situción del siguiente gráfico: f g Queremos clculr el áre comprendid entre los gráficos de f y g pr x. En este cso, f x) gx) pr todo x [; ]. Como puede verse en los gráficos siguientes, el áre result ser l diferenci entre dos áres: el áre de l región comprendid entre el gráfico de f y el eje x pr x y el áre 2 de l región comprendid entre el gráfico de g y el eje x pr x : Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 6

7 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs f f g 2 g Como f y g tomn vlores positivos en [; ], entonces = y, por lo tnto, el áre uscd es f x)dx y 2 = gx)dx 2 = f x)dx gx)dx = f x) gx)) dx. Si ls funciones f y g cumplen que f x) gx) pr todo x [; ], el áre de l región comprendid entre los gráficos de f y g pr x es f x) gx))dx Si ien nteriormente considermos el cso en que f y g son funciones no negtivs en el intervlo [; ], l fórmul nterior vle siempre que f y g cumpln que f x) gx), unque tomen vlores negtivos. Pr ver esto, consideremos el siguiente gráfico: f g En este cso, ms funciones f y g tomn vlores positivos y negtivos en el intervlo [; ]. Oservemos que el áre de l región no cmi si l trsldmos mnteniendo su form y dimensiones). Como l región es cotd, hciendo un trslción en sentido verticl, podemos conseguir que tod l región quede por encim del eje x y, en consecuenci, reducirnos Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 7

8 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs l cso y nlizdo. Pr hcer est trslción, st sumrles l mism constnte K, suficientemente grnde, f y g, de mner que gx) + K 0 pr todo x [; ] y, entonces, f x) + K gx) + K 0 pr todo x [; ]. Gráficmente: + K y = gx) + K y = gx) sí, el áre de l región es f x) + K) gx) + K)) dx = f x) gx)) dx Ejemplo 4. Clculr el áre de l región encerrd entre los gráficos de f x) = 3x 2 2 y gx) = 2x. En primer lugr, hgmos un gráfico proximdo de l región cuy áre queremos clculr: y = gx) L región está limitd por los vlores de x correspondientes los dos puntos en los que se intersecn los gráficos de f y g; es decir, los vlores de x pr los cules f x) = gx). Clculemos estos vlores: f x) = gx) 3x 2 2 = 2x 3x 2 2x = 0 x = ó x = 3. Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 8

9 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Entonces, los vlores de x que delimitn el áre son x = 3 y x =. Como podemos oservr en el gráfico, gx) f x) pr todo x [ 3 ; ]. 3 y = gx) Por lo tnto, el áre de l región encerrd entre los gráficos de f y g es = 3 3 gx) f x)) dx = 3 ) ) 3x 2 + 2x + dx = x 3 + x 2 + x 3 ) 2x 3x 2 2) dx = = 5 27 ) = Vemos hor otr situción: y = gx) c El áre de l región comprendid entre los gráficos de f y g pr x puede descomponerse como l sum de dos áres que semos clculr: Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 9

10 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs y = gx) + 2 y = gx) c c Como en cd uno de los intervlos [; c] y [c; ] el gráfico de un de ls funciones está siempre rri del de l otr, usndo lo que vimos ntes, tenemos que = 2 = c c Por lo tnto, gx) f x)) dx, y que gx) f x) pr todo x [; c], f x) gx)) dx, y que f x) gx) pr todo x [c; ], c gx) f x)) dx + c f x) gx)) dx. Ejemplo 5. Clculr el áre de l región comprendid entre los gráficos de f x) = x 2 + y gx) = 2x 2 pr 0 x 2. Primero vemos si los gráficos de ls funciones se intersecn en lgún punto con scis tl que 0 x 2: f x) = gx) x 2 + = 2x 2 x 2 + = 0 x = ó x =. Como l región está dd por los vlores de x entre 0 y 2, el vlor que nos interes es x =. Vemos hor cómo se comportn los gráficos de f y g en cd uno de los intervlos [0; ) y ; 2], es decir, si f x) > gx) o f x) < gx). Ddo que f y g son continus, como consecuenci del Teorem de Bolzno, podemos determinr esto simplemente evluándols en un punto de cd intervlo: x [0; ) ; 2] f f 0) = f ) = 2 f 2) = 5 g g0) = 0 g) = 2 g2) = 8 luego f > g f < g Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 0

11 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs El siguiente gráfico resume l situción: y = gx) 0 2 Luego, el áre pedid es 0 ) 2 ) x 2 + dx + x 2 dx. Clculndo primitivs y usndo l regl de Brrow, otenemos que ) ) ) ) 3 x3 + x x3 x = ) = 2. Pr clculr en generl el áre de l región comprendid entre los gráficos de dos funciones f y g integrles pr x y se que los gráficos se intersequen o no) l ide es l mism: sudividir l región en regiones más chics en cd un de ls cules el gráfico de un de ls funciones esté siempre por rri del de l otr y sumr ls áres de ests regiones. Esto conduce l siguiente fórmul pr el cálculo del áre: El áre de l región comprendid entre los gráficos de f y g pr x es f x) gx) dx En l práctic trjremos con funciones continus en [; ]. Pr sudividir l región de l mner indicd podemos proceder de l siguiente form: en primer lugr, uscmos los vlores de x pr los cules f x) = gx). Pr cd pr de vlores c y d consecutivos entre los otenidos, nos fijmos cuál de ls funciones es myor en el intervlo c; d) y, con est Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires

12 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs informción, clculmos el áre de l región comprendid entre los gráficos de f y g pr c x d. Un vez clculd el áre pr cd intervlo, el áre totl se otiene sumndo ls áres otenids. Oservmos que determinr si f > g o f < g es equivlente ver si f g > 0 o f g < 0. Entonces, si f y g son funciones continus en un intervlo c; d) en el cul sus gráficos no se intersecn es decir, f x) gx) = 0 pr todo x c; d)), por el corolrio del Teorem de Bolzno, pr ver cuál de ells es myor en todo el intervlo, st comprr los vlores que tomn en un punto culquier de c; d). 3. Ejercicios resueltos Ejercicio. Clculr el áre de l región encerrd entre los gráficos de f x) = 4x 3 y gx) = 4x. Solución Primero clculmos los vlores de x donde los gráficos de ls funciones se cortn: f x) = gx) 4x 3 = 4x 4x 3 4x = 0 4xx 2 ) = 0 x = 0 ó x = ó x =. Esto nos dice que el áre encerrd entre los gráficos de f y g se encuentr entre x = y x = y que, demás, los gráficos tmién se cortn en x = 0. hor, pr cd uno de los intervlos con extremos en dos vlores consecutivos entre los hlldos, determinmos si f x) > gx) o f x) < gx) pr todo x del intervlo: x ; 0) 0 0; ) f 4 f 0, 5) = 0, 5 0 f 0, 5) = 0, 5 4 g 4 g 0, 5) = 2 0 g0, 5) = 2 4 luego f > g f < g Podemos hcer hor un gráfico proximdo de l situción: Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 2

13 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs g f 0 Entonces, el áre de l región encerrd entre los gráficos de f y g result ser = 0 0 f x) gx)) dx + ) 4x 3 4x dx + = x 4 2x 2 ) 0 + 2x2 x 4 ) gx) f x)) dx = 4x 4x 3) dx = = 0 )) + 0) = 2. En muchos csos, no es sencillo grficr ls funciones pr drse un ide del áre determinr, pero sin emrgo, siguiendo el mismo procedimiento que en el ejemplo nterior, podemos relizr los cálculos: Ejercicio 2. Clculr el áre de l región encerrd entre los gráficos de ls funciones f x) = x 3 + 2x)e x4 4x 3 +4x 2 y gx) = 3x 2 e x4 4x 3 +4x 2. Solución Comenzmos uscndo los vlores de x correspondientes los puntos de intersección de los gráficos: Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 3

14 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs f x) = gx) x 3 + 2x)e x4 4x 3 +4x 2 = 3x 2 e x4 4x 3 +4x 2 x 3 + 2x)e x4 4x 3 +4x 2 3x 2 e x4 4x 3 +4x 2 = 0 x 3 3x 2 + 2x)e x4 4x 3 +4x 2 = 0 x 3 3x 2 + 2x = 0 x = 0 ó x = ó x = 2 Entonces l región cuy áre queremos clculr tiene dos prtes: un comprendid entre x = 0 y x = y l otr, entre x = y x = 2. Pr clculr el áre de cd un de ls dos prtes, determinmos si f > g o f < g en los intervlos correspondientes: x 0 0; ) ; 2) 2 f 0 f 2 ) = 9 8 e 6 9 3e f 2 3) = 5 8 e g 0 g 2 ) = 3 4 e 9 6 3e g 3 2 ) = 27 2 e luego f > g f < g En consecuenci, el áre de l región encerrd entre los gráficos de f y g es = 0 0 f x) gx)) dx + x 3 3x 2 + 2x)e x4 4x 3 +4x 2) dx gx) f x)) dx = x 2 + 3x 2 2x)e x4 4x 3 +4x 2) dx Pr terminr el cálculo, uscmos un primitiv de l función x 3 3x 2 + 2x)e x4 4x 3 +4x 2 y plicmos l regl de Brrow x 3 3x 2 + 2x)e x4 4x 3 +4x 2 dx = u = x 4 4x 3 + 4x 2 du = 4x 3 2x 2 + 8x)dx = 4x 3 3x 2 + 2x)dx 4 e u du = = 4 eu + K = 4 ex4 4x 3 +4x 2 + K Tomndo K = 0, 4 ex4 4x 3 +4x 2 ) ex4 4x 3 +4x 2 ) 2 = 4 e 4 ) e) = 2 e 2. Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 4

15 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Con ls herrmients vists, podemos clculr tmién áres de regiones delimitds por gráficos de funciones en otrs situciones. Ejercicio 3. Clculr el áre de l región delimitd por los gráficos de f x) = x +, gx) = x + y hx) = x + 5. Solución Comencemos hciendo un gráfico pr entender l situción: f g h c Oservndo l figur, pr clculr el áre uscd, podemos prtirl en dos áres que semos clculr: el áre comprendid entre los gráficos de f y g, desde l scis del punto en que éstos se cortn hst l scis donde f y h vlen lo mismo, y el áre comprendid entre los gráficos de g y h, desde hst l scis c del punto donde se cortn sus gráficos. Busquemos entonces los vlores de, y c. El vlor es l scis del punto donde se cortn los gráficos de f y g: f x) = gx) x + = x + 2 x + = 0 x =. El vlor es l scis del punto donde se cortn los gráficos de f y h: f x) = hx) x + = x + 5 x + = x + 5) 2 y x x + = x 2 0x + 25 y x 5 x 2 x + 24 = 0 y x 5 x = 3 o x = 8) y x 5 x = 3. El vlor c es l scis del punto donde se cortn los gráficos de g y h: gx) = hx) x + 5 = x + x + 5) 2 = x + y x x 2 0x + 25 = x + y x 5 x 2 x + 24 = 0 y x 5 Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 5

16 Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs x = 3 o x = 8) y x 5 x = 8. Con todo esto, tenemos que el áre uscd es = 3 3 f x) gx)) dx + x + x + ) ) dx + = 3 2 x + dx hx) gx)) dx = x + 5 ) x + ) dx = x ) x + Clculndo ls primitivs correspondientes qued como ejercicio pr el lector!) y plicndo l regl de Brrow tenemos que dx ) 4 3 x + ) x2 + 5x + 2 ) ) 3 x + ) = ) = Con lo visto quí, se pueden resolver los ejercicios 5 de l Práctic 0. Cinti Buxton, Lisi D lfonso, Flor Gutierrez, Griel Jeronimo, Gustvo Mssccesi, Jun Crlos Pedrz y Jun Si 205), Áre entre curvs, Teórics de nálisis Mtemático 28). Áre de Mtemátic - Ciclo Básico Común - Universidd de Buenos ires 6