MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

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1 2016-1

2 1 Presentación 2 Métodos de Demostración

3 Sobre métodos de demostración algunas preguntas de interés 1 Qué es una demostración?

4 Sobre métodos de demostración algunas preguntas de interés 1 Qué es una demostración?es un argumento en que se ha empleado una razonamiento lógico para demostrar la veracidad de algo.

5 Sobre métodos de demostración algunas preguntas de interés 1 Qué es una demostración?es un argumento en que se ha empleado una razonamiento lógico para demostrar la veracidad de algo. 2 Cuándo un argumento es válido?

6 Sobre métodos de demostración algunas preguntas de interés 1 Qué es una demostración?es un argumento en que se ha empleado una razonamiento lógico para demostrar la veracidad de algo. 2 Cuándo un argumento es válido?cuando las premisas o hipótesis verdaderas dan como resultado la conclusión verdadera.

7 Sobre métodos de demostración algunas preguntas de interés 1 Qué es una demostración?es un argumento en que se ha empleado una razonamiento lógico para demostrar la veracidad de algo. 2 Cuándo un argumento es válido?cuando las premisas o hipótesis verdaderas dan como resultado la conclusión verdadera. 3 Qué forma tiene un teorema?

8 Sobre métodos de demostración algunas preguntas de interés 1 Qué es una demostración?es un argumento en que se ha empleado una razonamiento lógico para demostrar la veracidad de algo. 2 Cuándo un argumento es válido?cuando las premisas o hipótesis verdaderas dan como resultado la conclusión verdadera. 3 Qué forma tiene un teorema? p q

9 Sobre métodos de demostración algunas preguntas de interés 1 Qué es una demostración?es un argumento en que se ha empleado una razonamiento lógico para demostrar la veracidad de algo. 2 Cuándo un argumento es válido?cuando las premisas o hipótesis verdaderas dan como resultado la conclusión verdadera. 3 Qué forma tiene un teorema? p q 4 Qué tipo de demostración conoces?

10 Sobre métodos de demostración algunas preguntas de interés 1 Qué es una demostración?es un argumento en que se ha empleado una razonamiento lógico para demostrar la veracidad de algo. 2 Cuándo un argumento es válido?cuando las premisas o hipótesis verdaderas dan como resultado la conclusión verdadera. 3 Qué forma tiene un teorema? p q 4 Qué tipo de demostración conoces? Existen diversos tipos de demostración...directas e Indirectas..veamos...

11 Método directo Se supone la (s) hipótesis y se emplea un sistema matemático para demostrar de manera directa la conclusión.

12 Método directo Se supone la (s) hipótesis y se emplea un sistema matemático para demostrar de manera directa la conclusión. Por cierto, qué es un sistema matemático?

13 Método directo Se supone la (s) hipótesis y se emplea un sistema matemático para demostrar de manera directa la conclusión. Por cierto, qué es un sistema matemático? La suma de enteros pares es par. Escribir este enunciado en la forma p q.

14 Método directo Se supone la (s) hipótesis y se emplea un sistema matemático para demostrar de manera directa la conclusión. Por cierto, qué es un sistema matemático? La suma de enteros pares es par. Escribir este enunciado en la forma p q. Demuestra que el cuadrado de un número par es par. Realiza lo mismo que el ejercicio anterior.

15 Método directo Se supone la (s) hipótesis y se emplea un sistema matemático para demostrar de manera directa la conclusión. Por cierto, qué es un sistema matemático? La suma de enteros pares es par. Escribir este enunciado en la forma p q. Demuestra que el cuadrado de un número par es par. Realiza lo mismo que el ejercicio anterior. Demuestra que la suma de dos números racionales es racional. Haz mismo que el problema anterior.

16 Método indirecto (Contrarecíproca) Para mostrar p q se muestra q p. qué nombre recibe esta última?

17 Método indirecto (Contrarecíproca) Para mostrar p q se muestra q p. qué nombre recibe esta última? Por qué es válido el método de la contrarecíproca?

18 Método indirecto (Contrarecíproca) Para mostrar p q se muestra q p. qué nombre recibe esta última? Por qué es válido el método de la contrarecíproca? Recuerdas lo que significa que dos fórmulas sea lógicamente equivalentes? Entonces entenderás que p q es lógicamente equivalente a ( q p). En ocasiones es más fácil demostrar su contrarecíproca que la implicación inicial.

19 Método indirecto (Contrarecíproca) Para mostrar p q se muestra q p. qué nombre recibe esta última? Por qué es válido el método de la contrarecíproca? Recuerdas lo que significa que dos fórmulas sea lógicamente equivalentes? Entonces entenderás que p q es lógicamente equivalente a ( q p). En ocasiones es más fácil demostrar su contrarecíproca que la implicación inicial. Demostrar que: 1 Para todo entero m, si m 2 es impar entonces m es impar. 2 Si 3n + 2 es impar, entonces n es impar. Piensa porqué es necesario la contrarecíproca para probar estas propiedades?

20 Método de contradicción. Reducción al absurdo Para mostrar p q, se supone p y q para llegar a una contradicción. qué forma tiene una contradicción?

21 Método de contradicción. Reducción al absurdo Para mostrar p q, se supone p y q para llegar a una contradicción. qué forma tiene una contradicción? r r. En este caso concluimos que p q es verdadera.

22 Método de contradicción. Reducción al absurdo Para mostrar p q, se supone p y q para llegar a una contradicción. qué forma tiene una contradicción? r r. En este caso concluimos que p q es verdadera. Demostrar que 2 es irracional.

23 Método de contradicción. Reducción al absurdo Para mostrar p q, se supone p y q para llegar a una contradicción. qué forma tiene una contradicción? r r. En este caso concluimos que p q es verdadera. Demostrar que 2 es irracional. Demostrar que el cuadrado de un número par es un número par.

24 Disyunción de casos La hipótesis se divide en varios casos, es decir, p = p 1 p 2... p n q.

25 Disyunción de casos La hipótesis se divide en varios casos, es decir, p = p 1 p 2... p n q. Cómo usar este método?

26 Disyunción de casos La hipótesis se divide en varios casos, es decir, p = p 1 p 2... p n q. Cómo usar este método? Se demuestra que p 1 q p 2 q p 3 q... p n q.

27 Disyunción de casos La hipótesis se divide en varios casos, es decir, p = p 1 p 2... p n q. Cómo usar este método? Se demuestra que p 1 q p 2 q p 3 q... p n q. Veamos los siguientes ejemplos 1 Demostrar que para todo x R, se cumple que x x. 2 x, y R, xy = x y 3 Demuestra la desigualdad triángular: Para todo par de número reales, se tiene que x + y x + y.

28 Contraejemplo Un teorema que tenga la forma xp(x) y del cual tengamos duda que sea verdadero o que no se pueda encontrar una demostración, se halla un elemento x D, en donde P(x ) sea falso.

29 Contraejemplo Un teorema que tenga la forma xp(x) y del cual tengamos duda que sea verdadero o que no se pueda encontrar una demostración, se halla un elemento x D, en donde P(x ) sea falso. 2 n + 1 es primo para todo n. Es esto cierto?

30 Contraejemplo Un teorema que tenga la forma xp(x) y del cual tengamos duda que sea verdadero o que no se pueda encontrar una demostración, se halla un elemento x D, en donde P(x ) sea falso. 2 n + 1 es primo para todo n. Es esto cierto? Todo entero positivo es la suma de los cuadrados de tres enteros.

31 Contraejemplo Un teorema que tenga la forma xp(x) y del cual tengamos duda que sea verdadero o que no se pueda encontrar una demostración, se halla un elemento x D, en donde P(x ) sea falso. 2 n + 1 es primo para todo n. Es esto cierto? Todo entero positivo es la suma de los cuadrados de tres enteros. El producto de dos número irracionales es irracional.

32 Demostración por equivalencia: si y sólo si ó bicondicional Un teorema que tenga la forma p q, siendo p, q proposiciones, se demuestra empleando la tautología (p q) ((p q) (q p)). Cada implicación se demuestra de forma independiente, empleando métodos no necesariamente iguales. En ocasiones la doble implicación se demuestra de forma similar de ida y vuelta.

33 Demostración por equivalencia: si y sólo si ó bicondicional Un teorema que tenga la forma p q, siendo p, q proposiciones, se demuestra empleando la tautología (p q) ((p q) (q p)). Cada implicación se demuestra de forma independiente, empleando métodos no necesariamente iguales. En ocasiones la doble implicación se demuestra de forma similar de ida y vuelta. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 n es un entero par 2 n-1 es un entero impar 3 n 2 es un entero par

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