CURVAS CÓNICAS ELIPSE. 1. Definición como lugar geométrico.

Transcripción

1 CURVAS CÓNICAS ELIPSE 1. Definición como lugar geométrico. La elipse es una curva cerrada plana que es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a (siendo 2a el eje mayor). En la definición de la elipse como lugar geométrico se basa el método de trazado de elipses sobre el terreno conocido como "método del jardinero", consistente en tensar una cuerda fijada a dos estacas clavadas en el suelo. 2. Propiedades y características de la elipse. 1. Tiene dos ejes, el mayor y el menor. Es simétrica con respecto a los mismos. A la medida del semieje mayor se le asigna convencionalmente la letra a, y al semieje menor la letra b. El punto en el que se cortan es el centro de la elipse. 2. Los focos están en el eje mayor y son simétricos con respecto al eje menor. La distancia entre los focos es 2c. 3. Los segmentos que unen un foco con cualquier punto P de la elipse reciben el nombre de radio vectores. Toda recta tangente a la elipse es perpendicular a la bisectriz de los radio vectores del punto de tangencia. 4. Se cumple la siguiente expresión: a = b + c Gráficamente podremos deducir el valor de a, b ó c dibujando un triángulo rectángulo que tenga por hipotenusa a (teorema de pitágoras). Es decir, conociendo dos elementos de entre el eje mayor, el eje menor y los focos, podemos obtener el que falte. Una elipse queda determinada si se conocen los siguientes elementos: 1. Los dos ejes principales de la elipse. 2. Uno de los ejes principales y los focos. 3. Unos ejes conjugados. 5. Se le llama circunferencia principa l de la elipse a la dibuada con centro en el centro de la elipse y radio a (semieje mayor). 6. Se le llama circunferencia focal de la elipse a cada una de las circunferencias que con centro en los focos de la misma tienen radio 2a (eje mayor de la elipse).

2 7 Las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier recta tangente a la elipse pertenecen a la circunferencia principal. 8 El punto simétrico de un foco con respecto a cualquier recta tangente a la elipse pertenece a la circunferencia focal del otro foco. Si se une dicho punto simétrico con el centro de la circunferencia focal se obtiene el punto de tangencia. La elipse también se puede definir como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la focal de un foco y que pasan por el otro foco: Cualquier punto de la circunferencia focal de un foco, como F1'' en la focal de F2 en el ejemplo de la izquierda, será el punto de tangencia de una circunferencia que pasará por el otro foco, F1, y tendrá su centro en la elipse alineado con el centro de la circunferencia focal y con el punto de tangencia. 3. Determinación de los focos de la elipse conociendo los ejes. Los focos de la elipse pueden obtenerse a partir de los ejes aplicando la definición de la elipse como lugar geométrico: Los puntos C y D, extremos del eje menor de la elipse, por pertenecer a la misma cumplen que la suma de las distancias a los focos es 2a. Por simetría, tomando la medida del semieje mayor (a) desde cualquiera de ellos, se determina la posición de los focos F1 y F2. También podríamos haber obtenido el valor de la distancia focal 2c a partir de la expresión: a = b + c 4. Dibujo de la elipse. La elipse no puede ser dibujada con el compás, sino que ha de dibujarse determinando un número suficiente de puntos pertenecientes a la misma. 4.1 Dibujo por puntos a partir de los ejes principales. Si se conocen los ejes principales, la elipse puede ser dibujada por puntos aplicando la definición de la misma como lugar geométrico. Se necesita conocer la posición de los focos (ver procedimiento anterior). Los pasos son los siguientes: 1) Se sitúa un punto M en cualquier posición del semieje mayor. 2) Desde los focos F1 y F2 se toman las medidas AM y MB respectivamente. El punto P obtenido pertenecerá a la elipse puesto que : PF1 + PF2 = AM + MB = 2a 3) Si se repite el procedimiento para otros puntos del semieje, se obtienen nuevos puntos de la elipse. Por simetría, cada punto obtenido puede copiarse en los otros tres cuadrantes.

3 4.2 Dibujo por puntos a partir de los ejes principales aplicando afinidad. La elipse puede obtenerse por afinidad a partir de una circunferencia: Se define una afinidad ortogonal en la que el eje mayor es el eje de afinidad y el punto C' de la dircunferencia principal e' se convierte en el punto C de la elipse e. Dibujando parejas de rectas afines como r' y r se pueden obtener los puntos de la elipse como afines de los de la circuferencia (P' y P). Por cada punto obtenido en un cuadrante podemos dibujar otros tres por simetría en los demás cuadrantes. Este trazado se puede simplificar dibujando la circunferencia e'' de radio igual al semiejemenor b y centro en el centro de la elipse. Esta circunferencia también puede relacionarse por afinidad con la elipse siendo CD el eje de afinidad y OB la dirección de afinidad. Los puntos P' y P'' se relacionan con P según las dos afinidades definidas. Basta con dibujar radios OP' según distintos ángulos para obtener los puntos P de la elipse a partir de los cortes a las circunferencias e' y e''. 4.3 Dibujo por puntos a partir de los ejes conjugados aplicando afinidad. La transformación de una circunferencia en elipse aplicando afinidad permite dibujar la elipse cuando ésta viene definida por unos diámetros conjugados: En una elipse se llama diámetro a las cuerdas que pasan por el centro O de la misma. Dos diámetros son conjugados si cada uno pasa por los puntos medios de las cuerdas paralelas al otro. Las tangentes en los extremos de los diámetros conjugados forman un paralelogramo circunscrito a la elipse. Se define una afinidad que transforma el punto C' de la circunferencia e' ( de centro O y diámetro igual al mayor de los ejes conjugados) en el punto C. Al igual que en el caso anterior, dibujando parejas de rectas afines como r' y r se pueden obtener los puntos de la elipse como afines de los de la circuferencia (P' y P). El procedimiento puede simplificarse relacionando cada punto de la circunferencia e' con su afín en la elipse e mediante paralelas a la dirección de afinidad y a los segmentos OC y OC'. 4.4 Dibujo simplificado de la elipse. Las circunferencias representadas en perspectiva (en diédrico cuando están contenidas en un plano sesgado respecto a los de proyección, en axonométrica o en cónica), se ven como elipses. En estos casos si dibujamos la elipse según los métodos anteriores se puede complicar demasiado el dibujo y puede ser útil recurrir a alguno de los siguientes métodos simplificados: a) Obtención de cuatro puntos por cuadrante. Los pasos son los siguientes: 1) Se realizan las líneas paralelas a los ejes por los extremos de los mismos que permiten dibujar los cuadrantes. Por ejemplo OBEC. 2) Desde los extremos de los ejes, C y B en este caso, se trazan las líneas que los unen con los punos medios de los lados opuestos. 3) Desde la esquina contraria al centro de la elipse, en este caso E, se dibujan las rectas de unión con los puntos medios de los semiejes opuestos. 4) Las intersecciones exteriores de las rectas anteriores son puntos de la elipse.

4 El método visto es válido también para el dibujo de una elipse a partir de sus ejes conjugados, siendo este el caso más habitual en perspectiva. b) Sustitución de la elipse por un óvalo isométrico. En perspectiva isométrica una circunferencia inscrita en un cuadrado y contenida en un plano paralelo a uno de los de proyección, se representa como una elipse inscrita en un rombo. En este caso, se puede sustituir el dibujo de la elipse por el de un rombo isométrico, siguiendo los pasos siguientes: 1) Se dibuja el rombo que inscribe a la elipse. 2) Desde los extremos del eje menor se dibujan las rectas perpendiculares a los lados opuestos. 3) Los puntos O1 y O2 de intersección de las rectas trazadas son los centros de los arcos pequeños EG y FH. 4) Los extremos del eje menor, O3 y O4 son los centros de los arcos grandes EF y GH, tangentes a los anteriores. Esta representación es aproximada. A puntos se ha dibujado la elipse que correspondería a los ejes AB y CD para que se aprecie el márgen de error. 5. Tangencias en la elipse. 5.1 Recta tangente a la elipse por un punto de la misma. La recta tangente a la elipse que pasa por un punto P perteneciente ella misma, será una recta perpendicular a la bisectriz de los radio vectores de P, siendo P el punto de tangencia. Otro modo de resolver el problema se basa en que como el punto simétrico de F2 con respecto a la tangente t estará alineado con el punto de tangencia P y con F1, basta con unir F1 y P para hallar dicho simétrico en la focal del foco1 y obtener la tangente como eje de simetría. 5.2 Rectas tangentes a la elipse que pasan por un punto P exterior a la misma. Los pasos para resolver el problema son los siguientes: 1) Se realiza la circunferencia focal de uno de los focos, en este caso F1 (da igual cual, pero ocupa menos si se realiza la del foco opuesto a P). 2) Con centro en P se realiza un arco que pase por el foco contrario. 3) Ambos arcos se cortan en los puntos E y F. Estos puntos serán los simétricos del foco F2 con respecto a las rectas tangentes, así que las tangentes son las mediatrices de las cuerdas EF2 y FF2. 4) Antes de dibujar las tangentes deben determinarse los puntos de tangencia T1 y T2 uniendo los simétricos de F2, E y F, con el centro de la circunferencia focal, F1.

5 5.3 Rectas tangentes a la elipse según una dirección dada. Los pasos para resolver el problema son los siguientes: 1) Se realiza la circunferencia focal de uno de los focos, en este caso F1. 2) Se dibuja una recta r que pase por el foco contrario y sea perpendicular a la dirección dada. 3) La recta dibujada y la circunferencia focal se cortan en los puntos E y F. Las tangentes son las mediatrices de las cuerdas EF2 y FF2. 4) Antes de dibujar las tangentes deben determinarse los puntos de tangencia T1 y T2 uniendo E y F con el foco F1. 6. Intersección entre recta y elipse. 6.1 Solución por el método de la circunferencia focal. Los puntos en los que la recta intersecta a la elipse, P1 y P2, serán los centros de dos circunferencias tangentes a la focal de uno de los focos y que pasan por el otro. El método que se desarrolla se basa en hallar dichas circunferencias: 1) Se dibuja la recta circunferencia focal de un foco, en este caso la de F1. 2) Las circunferencias buscadas tienen su centro en r, son tangentes a la circunferencia focal y pasan por F2. Por tener su centro en r, pasarán también por F2', simétrico con respecto de r de F2. Dibujamos una circunferencia auxiliar cualquiera a que pase por F2, F2' y corte a la circunferencia focal en E y F. 3) El segmento F2F2' define el eje radical de las circunferencias solución buscadas y de la circunferencia auxiliar. El segmento EF define el eje radical de la circunferencia auxiliar y de la focal. Por lo tanto, el punto Pasf tiene igual potencia con respecto de las circunferencias solución, focal y auxiliar, y la distancia a los puntos de tangencia es igual. Esto permite obtener los puntos G y H de tangencia de las circunferencias solución con la circunferencia focal. 4) Las circunferencias solución s1 y s2 pasan por F2 y F2', y por G y H respectivamente, luego pueden ser dibujadas. Sus centros P1, P2 son los puntos de corte de la recta r en la elipse y se obtienen directamente uniendo los puntos de tangencia G y H con el centro de la circunferencia focal, F1.

6 6.2 Solución por afinidad. Se quiere encontrar los puntos en los que la recta r corta a la elipse definida por sus ejes principales. Según se vio en el punto 3.2, la elipse puede transformarse en una circunferencia aplicando una afinidad. En ese caso los puntos de intersección entre la recta dada y la elipse serán afines de los puntos de intersección entre la recta afín a la dada y la circunferencia. Los pasos son los siguientes: 1) Se dibuja la circunferencia afín de la elipse, definiendo una afinidad ortogonal de eje AB que transforma el punto C en C'. 2) Con ayuda de la recta auxiliar s, se halla el afín F' de un punto F cualquiera de la recta r. La recta transformada r' pasará por F' y por el punto doble GLG'. 3) Una vez obtenida la recta r', afín de la dada r, los puntos donde corta con la circunferencia, P1' y P2', serán afines de los buscados, P1 y P2. El problema se resolvería igual en el caso de que la elipse viniese definida por unos ejes conjugados. El método visto, consistente en resolver los porblemas en la circunferencia para después encontrar la correspondencia en la elipse, puede aplicarse también a los tres problemas de tangencias vistos en el punto 4.

7 CURVAS CÓNICAS HIPÉRBOLA 1. Definición como lugar geométrico. La hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas. Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a (siendo 2a el eje real de la hipérbola). PF1 - PF2 = 2a; P'F1 - P'F2 = 2a; 2. Propiedades y características de la hipérbola. 1. Está formada por dos ramas abiertas.tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre si que se cortan en O, centro de la hipérbola. 2. A los puntos de intersección de la hipérbola con el eje transversal se les llama vértices (V1 y V2). Como se puede deducir a partir de la definición como lugar geométrico, la distancia entre los vértices es 2a. Al segmento V1V2 se le denomina eje real de la hipérbola. 3. Los focos, F1 y F2, se sitúan sobre el eje transversal. La distancia entre los focos es 2c. 4. Los segmentos que unen los focos con cualquier punto P de la hipérbola reciben el nombre de radio vectores. La recta tangente a la hipérbola en un punto coincide con la bisectriz de los radio vectores de dicho punto. 5. Se cumple la siguiente expresión: c = a + b Al segmento 2b situado perpendicularmente al eje real, se le denomina eje virtual de la elipse. El valor de b se obtiene a partir de la expresión anterior. Dibujando un triángulo rectángulo se puede obtener gráficamente cualquiera de los valores a, b ó c a partir de los otros dos. 6. A las rectas tangentes a los puntos impropios de la hipérbola se les llama asíntotas. Son dos rectas que se cortan en el centro de la hipérbola y cuya pendiente es b a. 7. Se llama circunferencia principal de la hipérbola a la que tiene su centro en el centro de la hipérbola y radio a. Se llama circunferencias focales de la hipérbola a las circunferencias cuyos centros son los focos y sus radios 2a.!

8 ! 8. La proyección ortogonal de un foco sobre cualquier recta tangente a la hipérbola pertenece a la circunferencia principal. 9. El punto simétrico de un foco con respecto a cualquier recta tangente a la hipérbola pertenece a la circunferencia focal del otro foco. Si se une dicho punto simétrico con el centro de la circunferencia focal se obtiene el punto de tangencia. " # $ " % & ', $, & " # * ' - " * +., + ' - " - / ( La hipérbola también se puede definir como el lugar geométrico de puntos que son centros de circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal del otro foco: " # $ " % & ' ( ) $ # & " # ) * Si se considera que la hipérbola es la sección de una superficie reflectante, todo rayo de luz que parte de un foco se refleja en la hipérbola según una dirección que pasa por el otro foco. 3. Dibujo de la hipérbola. La hipérbola sólo puede dibujarse determinando sus puntos a partir de su definición como lugar geométrico. A partir de un número suficiente de puntos se puede estimar su trazado a mano alzada. Se necesita conocer la posición de los focos y de los vértices (la hipérbola queda determinada sabiendo dos de las dimensiones que se relacionan por la expresión c=a+b). Los pasos son los siguientes: 1) Se dibuja un segmento cualquiera AB> 2a. 2) A dicho segmento AB se le resta la medida del eje mayor, 2a. De esta manera se obtiene un punto C que define dos segmentos cuya diferencia de distancias es 2a: AB - BC = 2a 3) Tomando las medidas AB y BC desde los focos F1 y F2, obtendremos un punto P que pertenece a la hipérbola pues se cumple que la diferencia de distancias a los focos es 2a. 4) Por simetría, de cada punto obtenido se obtienen tres más. Repitiendo el procedimiento con otros segmentos iniciales se obtendrían más puntos.

9 4. Tangencias en la hipérbola. 4.1 Recta tangente a la h ipérb ola por un punto de la misma. La recta tangente a la hipérbola por un punto P de la misma, es la bisectriz de los radio vectores de P. 4.2 Rectas tangentes a la h ipérb ola desde un punto P ex terior a la misma. El procedimiento es idéntico al empleado para la elipse: 1) Se realiza la circunferencia focal de uno de los focos, en este caso F2. 2) Con centro en P se realiza un arco que pase por el foco contrario. 3) Ambos arcos se cortan en los puntos N y M. Estos puntos serán los simétricos del foco F1 con respecto a las rectas tangentes, así que las tangentes son las mediatrices de las cuerdas NF2 y MF2. 4) Antes de dibujar las tangentes deben determinarse los puntos de tangencia T1 y T2 uniendo los simétricos de F2, N y M, con el centro de la circunferencia focal, F Rectas tangentes a la h ipérb ola según una dirección dada. 0 Se desea dibujar las rectas tangentes a la hipérbola que son paralelas a la dirección d dada: 1) Se realiza la circunferencia focal de uno de los focos, en este caso F2. 2) Por la propiedad número 9 de las vistas anteriormente, el simétrico de F1 con respecto a una de las tangentes estará en la circunferencia focal de F2. Como conocemos la dirección que tiene la tangente, hallamos dicho simétrico (el punto F1'') prolongando la dirección ortogonal a la de la tangente hasta cortar a la focal. La tangente t2 es la mediatriz del segmento F1F''1 y el punto de tangencia está en la línea que une el simétrico con el centro de la focal (F''1 y F2). 3) Existe otra solución que puede obtenerse de la misma manera o aplicando simetría central con respecto al centro O de la hipérbola.

10 5. Intersección entre recta e hipérbola. La solución al problema de determinar geométricamente los puntos en los que una recta intersecta con una hipérbola se obtiene aplicando la definición de hipérbola como lugar geométrico de los puntos que son centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal del otro foco. Los puntos de intersección serán los únicos de la recta que cumplirán con la anterior definición. Los puntos en los que la recta intersecta a la elipse, P1 y P2, serán los centros de dos circunferencias tangentes a la focal de uno de los focos y que pasan por el otro. El método que se desarrolla se basa en hallar dichas circunferencias: 1) Se dibuja la recta circunferencia focal de un foco, en este caso la de F2. 2) Las circunferencias buscadas tienen su centro en r, son tangentes a la circunferencia focal y pasan por F1. Por tener su centro en r, pasarán también por F1', simétrico con respecto de r de F1. Dibujamos una circunferencia auxiliar cualquiera a que pase por F1, F1' y corte a la circunferencia focal en E y F. 3) El segmento F1F1' define el eje radical de las circunferencias solución buscadas y de la circunferencia auxiliar. El segmento EF define el eje radical de la circunferencia auxiliar y de la focal. Por lo tanto, el punto Pasf tiene igual potencia con respecto de las circunferencias solución, focal y auxiliar, y la distancia a los puntos de tangencia es igual. Esto permite obtener los puntos G y H de tangencia de las circunferencias solución con la circunferencia focal. 4) Las circunferencias solución s1 y s2 pasan por F1 y F1', y por G y H respectivamente, luego pueden ser dibujadas. Sus centros P1, P2 son los puntos de corte de la recta r en la elipse y se obtienen directamente uniendo los puntos de tangencia G y H con el centro de la circunferencia focal, F1.

11 CURVAS CÓNICAS PARÁBOLA 1. Definición como lugar geométrico. La parábola es una curva plana, abierta y con una sola rama. Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. En todos los puntos P de la parábola, la distancia a la recta directriz d y al foco F son iguales: F'P = PF; F''P' = P'F 2. Propiedades y características de la parábola. 1. Está formada por una sola rama y tiene un único eje de simetría. La recta directriz es ortogonal al eje de simetría y se corta con éste en el centro de la parábola. 2. Al punto de intersección de la parábola con el eje se le llama vértice. El vértice se sitúa en el punto medio entre el foco y el centro de la parábola (como se puede deducir a partir de la definición como lugar geométrico). 3. Se llaman radiovectores los segmentos que unen un punto P de la parábola con el foco y con la directriz. La recta tangente a la parábola en un punto de la misma coincide con la bisectriz de los radiovectores de dicho punto. 4. En la parábola la circunferencia principal es la recta tangente en el vértice (tiene radio h) 5. La circunferencia focal en la parábola coincide con la recta directriz. 6. La proyección ortogonal del foco sobre cualquier recta tangente a la parábola es un punto de la circunferencia principal. 7. El punto simétrico del foco con respecto de cualquier recta tangente es un punto de la circunferencia focal (recta directriz). 3 L 1 2 La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto a cada recta tangente a la parábola. Los radio vectores y el segmento FF' forman siempre un triángulo isósceles. La parábola también se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias que pasan por el foco y son tangentes a la directriz: 3 L 3 L 2

12 La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Análogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje. 3. Dibujo de la parábola. La parábola sólo puede dibujarse determinando sus puntos a partir de su definición como lugar geométrico. A partir de un número suficiente de puntos se puede estimar su trazado a mano alzada. Se necesita conocer la posición del foco y del centro (o del vértice, que está siempre en el punto medio del segmento OF). El dibujo de la parábola es inmediato a partir de su definición como lugar geométrico: 1) Se elige una medida cualquiera superior a la distancia OV, en este caso 15mm. 2) Los puntos P y P', ambos situados a la misma distancia (15mm) del foco F y de la recta directriz d, pertenecen, por definición, a la parábola. 3) Se repite el proceso con otra medida para obtener nuevos puntos pertenecientes a la parábola (Q y Q', etc.) 4. Tangencias en la parábola. 4.1 Recta tangente a la pará b ola por un punto de la misma. 1 2 La recta tangente a la parábola por un punto P de la misma, es la bisectriz de los radio vectores de P.

13 Rectas tangentes a la pará b ola desde un punto P ex terior a la misma. 5 El procedimiento es semejante al empleado para la elipse: 1) Se dibuja la circunferencia focal de la parábola (recta directriz). 2) Con centro en P se realiza un arco que pase por el foco de la parábola. 3) La recta directriz y el arco dibujado se cortan en los puntos N y M. Estos puntos serán los simétricos del foco F con respecto a las rectas tangentes, así que las tangentes t1 y t2 son las mediatrices de las cuerdas MF y NF. 4) Antes de dibujar las tangentes deben determinarse los puntos de tangencia T1 y T2 uniendo los simétricos de F2, N y M, con el centro de la circunferencia focal (está en el infinito). 4.3 Rectas tangentes a la pará b ola según una dirección dada. 5 Sólo existe una tangente paralela a la dirección d dada. El procedimiento para obtenerla es el siguiente: 1) Se dibuja la circunferencia focal (o recta directriz) de la parábola. 2) El simétrico del foco F con respecto a la tangente solución ha de estar en la circunferencia focal. Como conocemos la dirección que tiene la tangente, hallamos dicho simétrico (el punto F '') prolongando la dirección ortogonal a la de la tangente hasta cortar a la circunferencia focal. La tangente t es la mediatriz del segmento FF'' y el punto de tangencia está en la línea que une el simétrico F'' con el centro de la focal ( : ). 5. Intersección entre recta y parábola. Los puntos en los que la recta intersecta a la parábola, P1 y P2, serán los centros de dos circunferencias tangentes a la circunferencia focal (recta directriz) y que pasan por el foco F. El método que se desarrolla se basa en hallar dichas circunferencias: 1) Se dibuja la circunferencia focal o recta directriz. 2) Las circunferencias buscadas tienen su centro en r, son tangentes a la directriz y pasan por F. Por tener su centro en r, pasarán también por F', simétrico con respecto de r de F. Dibujamos una circunferencia auxiliar a cualquiera a que pase por F y F'. 3) El segmento FF' define el eje radical de las circunferencias solución buscadas y de la circunferencia auxiliar. Desde el punto Pas la potencia con respecto de las circunferencias solución y auxiliar es la misma y por lo tanto la medida de los segmentos tangentes a dichas circunferencias desde Pas es igual. Dibujando desde Pas el segmento tangente a la circunferencia auxiliar a (PasTa), obtenemos la medida de los segmentos PasT1 y PasT2, situando los puntos de tangencia de las circunferencias buscadas en d. 4) Las circunferencias solución s1 y s2 pasan por F y F', y por T1 y T2 respectivamente, luego pueden ser dibujadas. Sus centros P1, P2 son los puntos de corte de la recta r en la elipse y se obtienen directamente uniendo los puntos de tangencia T1 y T2 con el centro de la circunf. focal ( ).