PROGRAMACIÓN LINEAL. FUNCIÓN OBJETIVO (Beneficio (en euros) obtenido por la venta de los dos tipos de cable):
|
|
- María del Rosario Fernández González
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Ejercicio 159 Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se venderán a 1,50 y 1 el metro, respectivamente, se emplean 16Kg de plástico y 4Kg de cobre para cada hectómetro del tipo A y 6Kg de plástico y 12Kg de cobre para cada hectómetro del tipo B. Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252Kg de plástico ni más de 168Kg de cobre, determine la longitud, en hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima. SOLUCIÓN: Sean = hm de cable A y = hm de cable B FUNCIÓN OBJETIVO (Beneficio (en euros) obtenido por la venta de los dos tipos de cable): = 150x + 100y El cable A se venderá a 1,50 el metro, es decir, a 150 el hectómetro. El cable B se venderá a 1 el metro, es decir, a 100 el hectómetro. Queremos maximizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: 0 La cantidad vendida de cada tipo de cable no puede ser un nº negativo y 0 Para la fabricación del cable A se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre por cada hectómetro y para la fabricación del cable B 6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre por cada hectómetro. Además, no 16 x + 6y 252 pueden emplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre 4x + 12y 168 La longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y 2x Por tanto, las posibles formas de fabricar los dos tipos de cable son las soluciones del sistema de inecuaciones: x 0 y 0 16x + 6y 252 RESTRICCIONES 4x + 12y 168 y 2x Página 1
2 Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 0 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) (:2) 16x + 6y = 252 8x + 3y = 126 x 0 63 = 15, y ( 0,0) 16x + 6y 252? Sí, ya que 16 (0) + 6 (0) = 0 < 252 (:4) 4x + 12y = 168 x + 3y = 42 x 0 42 y 14 0 ( 0,0) 4x + 12y 168? Sí, ya que 4 (0) + 12 (0) = 0 < 168 y = 2x x 0 10 y 0 20 ( 10,0) y 2x? Sí, ya que 0 < 20 Página 2
3 Por tanto, Región factible = {( x, al recinto de vértices A, B, C, D} Determinamos los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE: = 0 A A(0,0) y = 0 y = 2x B B(6,12) 4x + 12y = 168 4x + 12y = 168 C C(12,10 ) 16 x + 6y = 252 y = 0 63 D D,0 16 x + 6y = Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el máximo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el mayor valor está el máximo buscado. = 150x + 100y A ( f x y = + = 0,0) (, ) 150 (0) 100 (0) 0 B ( 6,12) = 150 (6) (12) = 2100 C ( 12,10) = 150 (12) (10) = 2800 MÁXIMO D,0 = (0) = 2362, Por tanto, Se deben fabricar 12 hectómetros de cable A y 10 hectómetros de cable B, para qué verificándose las restricciones, el beneficio obtenido por su venta sea el mayor posible. En tal caso, el beneficio máximo sería de Página 3
4 Ejercicio 164 La encargada de una floristería ha de hacer el pedido semanal de plantas de interior y exterior. El precio que ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 1 y de 2 por cada una de exterior. A día de hoy, sabe que por lo menos ha de poder atender la demanda que un cliente ya le ha hecho, de 20 unidades de interior y 30 de exterior. Además, el transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y le supone unos costes que son de 0,60 por cada planta de interior y de 0,80 por cada planta de exterior, y la floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen las 48 por pedido semanal. Asimismo, la encargada obtiene una prima de 0,60 por cada planta de interior que venda y de 0,50 por cada una de exterior, y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 30. a) Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido, cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir? Cuánto deberá pagar al proveedor? Cuáles serán los costes de transporte? SOLUCIÓN: a) Cuántas unidades de cada tipo puede pedir la encargada para cumplir todos los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. Sean = y = nº de unidades de plantas de interior nº de unidades de plantas de exterior Determinamos las RESTRICCIONES del problema: El nº de plantas de cada tipo tiene que ser un nº natural. Además, por lo menos, se ha de poder atender la demanda que ha realizado un cliente de 20 unidades de interior y 30 de exterior. 20 con x, y Ν y 30 El transporte del pedido semanal hasta la floristería lo realiza una empresa especializada y supone unos costes de 60 céntimos por cada planta de interior y de 80 céntimos por cada planta de exterior. La floristería tiene por norma que estos costes de transporte no sobrepasen los 48 por pedido semanal 60x + 80y 4800 La encargada obtiene una prima de 60 céntimos por cada planta de interior que venda y de 50 céntimos por cada una de exterior y quiere que las primas que se puedan alcanzar vendiendo todo el pedido sean de al menos 30 60x + 50y 3000 Por tanto, las posibles formas de elaborar el pedido son las soluciones del sistema de inecuaciones: Página 4
5 x 20 y 30 60x + 80y x + 50y 3000 x, y Ν RESTRICCIONES Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 20 (recta vertical) y = 30 (recta horizontal) (:20) 60x + 80y = x + 4y = 240 x 0 80 y 60 0 ( 0,0) 60x + 80y 4800? Sí, ya que 60 (0) + 80 (0) = 0 < 4800 (: 10) 60x + 50y = x + 5y = 300 x 0 50 y 60 0 ( 0,0) 60x + 50y 3000? No, ya que 60 (0) + 50 (0) = 0 < 3000 Página 5
6 Por tanto, Conjunto de posibles soluciones = {( x, al recinto de vértices A, B, C, D con x, y Ν} b) Si la floristería quiere además minimizar el precio que ha de pagar al proveedor por el pedido, cuántas unidades de cada tipo ha de adquirir? Cuánto deberá pagar al proveedor? Cuáles serán los costes de transporte? FUNCIÓN OBJETIVO (Coste, en euros, de las plantas adquiridas): Sabemos que, el precio que se ha de pagar al proveedor por cada planta de interior es de 1 y de 2 por cada una de exterior, por tanto, = 1 x + 2 y = x + 2y Queremos minimizar la función objetivo sujeta al conjunto de restricciones anteriores. La función que proporciona el coste (en euros) del transporte en función de las unidades adquiridas es: g( x, = 0,60x + 0, 80y Determinamos los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE: = 20 A A(20,45) 60x + 80y = 4800 y = 30 B B(40,30) 60x + 80y = 4800 y = 30 C C(25,30) 60x + 50y = 3000 = 20 D D(20,36) 60x + 50y = 3000 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo, = x + 2y, alcanza el mínimo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el menor valor está el mínimo buscado. = x + 2y A ( 20,45) = (45) = 110 B ( 40,30) = (30) = 100 C ( 25,30) = (30) = 85 MÍNIMO D ( 20,36) = (36) = 92 Página 6
7 En el vértice C ( 25,30) la función g( x, = 0,60x + 0, 80y toma el valor: Por tanto, C ( 25,30) g( x, = 0,60 (25) + 0,80 (30) = 39 Se deben adquirir 25 plantas de interior y 30 de exterior para qué, verificándose las restricciones, los costes del proveedor sean mínimos. En tal caso, la cantidad que habrá que pagar al proveedor serán 85 y los costes del transporte serán de 39. (OPCIONAL) TAMBIÉN PODEMOS RESOLVER EL PROBLEMA GRÁFICAMENTE: Dada la función objetivo = x + 2y sean: r k x + 2 y = k las rectas de nivel k (= coste, en euros, de las plantas adquiridas) asociadas a ella. r (10) r v r = ( 2,1) v r = ( 20,10) el vector director de r k (indica la dirección de las rectas de nivel; todas ellas son paralelas a este vector) r (10) r n r = (1, 2) n r = (10, 20) el vector normal a r k (indica el sentido en que aumenta el nivel a medida que nos desplazamos en el plano paralelamente a v r r ) Representamos gráficamente r 0 (recta de nivel 0) y, desplazándonos paralelamente a ella, las rectas de nivel que pasan por los vértices de la región factible r A, r B, r C y r D. Página 7
8 Como el nivel aumenta en la dirección del vector n r r se observa que la recta de nivel mínimo es la que corresponde al vértice C. Es decir, la función objetivo = x + 2y (coste, en euros, de las plantas adquiridas) alcanza el mínimo en el punto C (25,30). C ( 25,30) = (30) = 85 MÍNIMO La función que proporciona el coste (en euros) del transporte en función de las unidades adquiridas es g( x, = 0,60x + 0, 80y C ( 25,30) g( x, = 0,60 (25) + 0,80 (30) = 39 Por tanto, Se deben adquirir 25 plantas de interior y 30 de exterior para qué, verificándose las restricciones, los costes del proveedor sean mínimos. En tal caso, la cantidad que habrá que pagar al proveedor serán 85 y los costes del transporte serán de 39. Página 8
9 Ejercicio 165 En un depósito se almacenan bidones de petróleo y de gasolina. Para poder atender la demanda se han de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina. Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo, siendo la capacidad del depósito de 200 bidones. Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones. El gasto de almacenaje de un bidón de petróleo es de 60 céntimos y el de uno de gasolina es de 90 céntimos. Se desea saber cuántos bidones de cada clase han de almacenarse para que el gasto de almacenamiento sea mínimo. Sean = y = nº de bidones de petróleo nº de bidones de gasolina FUNCIÓN OBJETIVO (coste (en euros) del almacenamiento de los bidones): = 0,60x + 0, 90y Queremos minimizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: El nº de bidones de cada tipo tiene que ser un nº natural. Además, para poder atender la demanda se han 10 de tener almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y 20 de gasolina con x, y Ν y 20 Siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo y > x La capacidad del depósito es de 200 bidones, es decir, el total de bidones almacenados debe ser menor o igual que 200 x + y 200 Por razones comerciales, deben mantenerse en inventario al menos 50 bidones, es decir, el total de bidones debe ser mayor o igual que 50 x + y 50 Por tanto, las posibles formas de almacenamiento son las soluciones del sistema de inecuaciones: x 10 y 20 y > x x + y 200 x + y 50 x, y Ν RESTRICCIONES x = 10 (recta vertical) y = 20 (recta horizontal) Página 9
10 y = x x 0 10 y 0 10 ( 0,10) y > x? Sí, ya que 10 > 0 x + y = 200 x y PROGRAMACIÓN LINEAL ( 0,0) x + y 200? Sí, ya que = 0 < 200 x + y = 50 x 0 50 y 50 0 ( 0,0) x + y 50? NO, ya que = 0 < 50 Por tanto, Conjunto de posibles soluciones = {( x, al recinto de vértices A, B, C, D con x, y Ν} Página 10
11 Determinamos los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE: = 0 A B(10,190 ) x + y = 200 y = x B B(100,100 ) x + y = 200 = y C C(25,25) x + y = 50 = 10 D C(10,40) x + y = 50 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el mínimo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el menor valor está el mínimo buscado. = 0,60x + 0, 90y A ( 10,190) = 0,60 (10) + 0,90 (190) = 177 B ( 100,100) = 0,60 (100) + 0,90 (100) = 150 C ( 25,25) = 0,60 (25) + 0,90 (25) = 37,50 MÍNIMO C ( 10,40) = 0,60 (10) + 0,90 (40) = 42 Aunque en el punto C (25,25) la función objetivo alcanza un mínimo tenemos que rechazar esta solución ya que hay una condición del problema que nos dice que siempre debe haber más bidones de gasolina que de petróleo. Tomamos como solución un punto de la región factible próximo a C: Por tanto, E ( 25,26) = 0,60 (25) + 0,90 (26) = 38,40 Se deben almacenar 25 bidones de petróleo y 26 bidones de gasolina para qué, verificándose todas las restricciones, el coste de almacenaje sea el menor posible. En tal caso, el coste mínimo sería de 38,40. Página 11
12 EJERCICIO 162 Una tienda de golosinas dispone de dos tipos de bolsas para cumpleaños con el siguiente contenido: TIPO I : 2 chicles, 3 piruletas, 8 caramelos y 1 bolsa de patatas fritas. TIPO II : 4 chicles, 4 piruletas, 5 caramelos y 2 bolsas de patatas fritas. En un determinado día, el número de chicles de que dispone la tienda para el envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades y el número de piruletas no puede superar las 300 unidades. Además, por problemas de envases, el número de bolsas del Tipo II no puede ser superior a 40. El beneficio por la venta es: 1,50 por cada bolsa del Tipo I y 2,25 por cada bolsa del Tipo II. Halla el número de bolsas de cada tipo que deberían vender ese día para que el beneficio obtenido sea el mayor posible. SOLUCIÓN: x = Bolsas de Tipo I Sean y = Bolsas de Tipo II FUNCIÓN OBJETIVO (Beneficio obtenido por la venta de las bolsas de golosinas): = 1,50 x + 2, 25y Queremos maximizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: El nº de bolsas de cada tipo que se pueden elaborar tiene que ser un nº natural. Además, el nº de bolsas 0 de Tipo II no puede ser superior a 40 con x, y Ν 0 y 40 El número de chicles para el envasado de las bolsas no puede ser superior a 240 unidades 2x + 4y 240 x + 2y 120 El número de piruletas no puede superar las 300 unidades 3x + 4y 300 Por tanto, las posibles formas de elaborar las bolsas de golosinas son las soluciones del sistema: x 0 0 y 40 x + 2y 120 RESTRICCIONES 3x + 4y 300 x, y Ν Página 12
13 Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 0 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) y = 40 (recta horizontal) x + 2 y = 120 x y 60 0 ( 0,0) x + 2y 120? Sí, ya que (0) = 0 < x + 4y = 300 x y ( 0,0) 3x + 4y 300? Sí, ya que 3 (0) + 4 (0) = 0 < 300 Por tanto, Región factible = {( x, al recinto de vértices A, B, C, D, E, con x, y Ν} Página 13
14 Determinamos los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE: = 0 A A(0,0) y = 0 x = 0 B B(0,40) y = 40 x + 2y = 120 C C(40,40) y = 40 x + 2y = 120 D D(60,30) 3x + 4y = 300 y = 0 E E(100,0) 3x + 4y = 300 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el máximo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el mayor valor está el máximo buscado. = 1,50 x + 2, 25y A ( 0,0) = 1,50 (0) + 2,50 (0) = 0 B ( 0,40) = 1,50 (0) + 2,50 (40) = 100 C ( 0,40) = 1,50 (40) + 2,50 (40) = = 160 D ( 60,30) = 1,50 (60) + 2,50 (30) = = 165 MÁXIMO E ( 100,0) = 1,50 (100) + 2,50 (0) = 150 Por tanto, Se deben vender 60 bolsas de Tipo I y 30 bolsas de Tipo II para que verificándose las restricciones el beneficio obtenido sea el mayor posible. En tal caso, el beneficio máximo sería de 165. Página 14
15 EJERCICIO 166 Un colegio prepara una excursión a la montaña para 114 alumnos. Para ello, dispone de 8 vehículos de 6 plazas cada uno y otros 8 de 15 plazas, pero para el día de la excursión sólo dispone de 10 conductores. El viaje de ida y vuelta con un vehículo de 6 plazas cuesta 160 y con uno de 15 plazas 420. Calcula cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar el colegio para que el coste del transporte sea mínimo. Explica los pasos seguidos para obtener la solución. Solución: x = vehículos de 6 plazas Sean y = vehículos de15 plazas FUNCIÓN OBJETIVO (Coste del transporte): = 160x + 420y Queremos minimizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: Los vehículos disponibles de cada tipo son 8 el número de vehículos de cada tipo que se utilizan para 0 x 8 realizar la excursión tiene que ser un nº natural comprendido entre 0 y 8 con x, y Ν 0 y 8 Hay 10 conductores disponibles, por tanto, el número total de vehículos utilizados para realizar la excursión tiene que ser como máximo de 10 x + y 10 La excursión es para 114 alumnos, por tanto, el total de plazas (entre todos los vehículos utilizados) debe ser al menos de 114 6x + 15y 114 Por tanto, las posibles formas de realizar la excursión son las soluciones del sistema: 0 x 8 0 y 8 6x + 15y 114 RESTRICCIONES x + y 10 x, y Ν Página 15
16 Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 0 (recta vertical) x = 8 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) y = 8 (recta horizontal) 6 x + 15y = 114 x y 0 5 ( 0,0) 6x + 15y 114? No, ya que 6 (0) + 15 (0) = 0 < 114 x + y = 10 x 10 0 y 0 10 ( 0,0) x + y 10? Sí, ya que = 0 < 10 Página 16
17 Los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE son: x = 0 A A(0,8) y = 8 + y = 10 B B(2,8) y = 8 x + y = 10 C C(4,6) 6x + 15y = 114 6x + 15y = D D 0, x = 0 5 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el mínimo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el menor valor está el máximo buscado. = 160x + 420y A ( 0,8) = 160 (0) (8) = 3360 B ( 2,8) = 160 (2) (8) = = 3680 C ( 4,6) = 160 (4) (6) = = 3160 MÍNIMO D 0, = 160 (0) = Por tanto, El colegio debe utilizar 4 vehículos de 6 plazas y 6 vehículos de 15 plazas para que el coste del transporte sea mínimo. En tal caso, el coste mínimo sería de 3160 Página 17
18 EJERCICIO 167 Una fábrica de madera produce dos líneas de muebles: el clásico (C) y el funcional (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. a) Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Qué combinaciones de muebles puede fabricar? c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación B = 3 C + 2F, cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? Cuál es el beneficio máximo? SOLUCIÓN: a) Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. x = muebles clásicos Sean y = muebles funcionales Determinamos las RESTRICCIONES del problema: 0 El nº de cada tipo de muebles tiene que ser un nº natural. con x, y Ν y 0 El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. Recogemos esta información en la siguiente tabla: Unidades de tiempo de construcción Unidades de tiempo de pintura Mueble clásico (x) 1 3 Mueble funcional ( 2 1 Total x + 2y 3 x + y La situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura. + 2y 10 3x + y 15 Por tanto, las posibles combinaciones de muebles que se pueden fabricar son las soluciones del sistema de inecuaciones: Página 18
19 x 0 y 0 x + 2y 10 RESTRICCIONES 3x + y 15 x, y Ν Representamos gráficamente el conjunto de posibles soluciones, es decir, determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 0 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) x + 2 y = 10 x 0 10 y 5 0 ( 0,0) x + 2y 10? Sí, ya que (0) = 0 < 10 3 x + y = 15 x 5 0 y 0 15 ( 0,0) 3x + y 15? Sí, ya que 3 (0) + 0 = 0 < 15 Página 19
20 b) Qué combinaciones de muebles puede fabricar? Hay 25 posibles combinaciones: PROGRAMACIÓN LINEAL Punto Muebles clásicos Muebles funcionales A 1(0,0) 0 0 A 2(0,1) 0 1 A 3(0,2) 0 2 A 4(0,3) 0 3 A 5(0,4) 0 4 A (0,5) A (1,0) A 8(1,1) 1 1 A 9(1,2) 1 2 A (1,3) A 11(1,4) 1 4 A 12(2,0) 2 0 A (2,1) A 14(2,2) 2 2 A (2,3) A (2,4) A (3,0) A (3,1) A 19(3,2) 3 2 A (3,3) A 21(4,0) 4 0 A 22(4,1) 4 1 A (4,2) A 24(4,3) 4 3 A 25(5,0) 5 0 c) Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación B = 3 C + 2F, cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar el beneficio? Cuál es el beneficio máximo. La función que nos da el beneficio en función del número de muebles clásicos y muebles funcionales fabricados (función objetivo) es: B( x, = 3x + 2y Página 20
21 Como la región factible es un recinto cerrado y acotado, la función objetivo alcanza el máximo en uno de sus vértices. Por tanto, evaluamos la función objetivo en cada uno de ellos y donde alcance el mayor valor está el máximo buscado. A1(0,0) B ( 0,0) = 3(0) + 2(0) = 0 A6 (0,5) B ( 0,1) = 3(0) + 2(5) = 10 A24(4,3) B ( 4,3) = 3(4) + 2(3) = 18 MÁXIMO A (5,0) 25 B ( 5,0) = 3(5) + 2(0) = 15 Por tanto, Deben fabricarse 4 muebles clásicos y 3 muebles funcionales para maximizar el beneficio. En tal caso, el beneficio máximo es de 18 (unidades en la que se mida el beneficio) Página 21
22 EJEMPLO DE OPTIMIZACIÓN EN RECINTO NO ACOTADO Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función determinado por las inecuaciones: x 20 2x + y 40 x y 15 SOLUCIÓN = 3x + 5y, en el recinto del plano Determinamos la REGIÓN FACTIBLE x = 20 (recta vertical) ( 0,0) x 20? Sí, ya que 0 > 20 x 0 20 y x + y = 40 ( 0,0) 2x + y 40? Sí, ya que 2 (0) + (0) = 0 < 40 x 0 15 y 15 0 x y = 15 ( 0,0) x y 15? Sí, ya que (0) (0) = 0 > 15 Por tanto, Conjunto de posibles soluciones = {( x, al recinto abierto de vértices A, B} Página 22
23 Los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE son: 2x + y = A A, x y = = 20 B B( 20, 5) x y = 15 COMO LA REGIÓN FACTIBLE ES UN RECINTO NO ACOTADO RESOLVEMOS EL PROBLEMA GRÁFICAMENTE: Dada la función objetivo = 3x + 5y sean: r k 3 x + 5y = k las rectas de nivel k asociadas a ella. v r = ( 5, 3) el vector director de r k (indica la dirección de las rectas de nivel; todas ellas son paralelas a r este vector) n r = (3, 5) el vector normal a r k (indica el sentido en que aumenta el nivel a medida que nos r desplazamos en el plano paralelamente a v r r ) Representamos gráficamente r 0 (recta de nivel 0) y, desplazándonos paralelamente a ella, las rectas de nivel que pasan por los vértices de la región factible r A y r B. Página 23
24 Como el nivel aumenta en la dirección del vector n r r se observa que la recta de nivel máximo es la que corresponde al vértice A, es decir, la función objetivo alcanza el máximo en el punto A, 3 3 = = 425 MÁXIMO A, 3 3 Como la región factible no está acotada inferiormente y el nivel aumenta en la dirección del vector n r r o lo que es lo mismo disminuye en sentido contrario a n r r la función objetivo NO alcanza el mínimo. Página 24
25 EJERCICIO 163 El tratamiento de cierta enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C 1 y C 2. Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C 1 y 200 mg de C 2. Estos complejos se presentan en dos comprimidos diferentes: el comprimido de color rojo que cuesta 0,25 la unidad y que contiene 15 mg de C 1 y 25 mg de C 2, y el comprimido de color azul que también cuesta 0,25 la unidad y que contiene 28 mg de C 1 y 10 mg de C 2. Cuántos comprimidos de cada color debe tomar un individuo en una semana para que el coste del tratamiento sea mínimo? Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. Sean = comprimidos y = comprimidos de de color color rojo azul FUNCIÓN OBJETIVO (Coste semanal (en euros) del tratamiento): = 0,25x + 0, 25y Queremos minimizar la función objetivo sujeta a un conjunto de restricciones. Determinamos las RESTRICCIONES del problema: 0 El nº de comprimidos de cada tipo tiene que ser un nº natural. con x, y Ν y 0 El tratamiento de la enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C 1 y C 2. Cada uno de los comprimidos contiene unas cantidades determinadas de los complejos vitamínicos: el comprimido de color rojo contiene 15 mg de C 1 y 25 mg de C 2, y el comprimido de color azul contiene 28 mg de C 1 y 10 mg de C 2. Recogemos esta información en la siguiente tabla: C 1 C 2 Comprimido rojo (x) Comprimido azul ( Total 15 x + 28y 25 x + 10 y 15 x + 28y 450 Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C 1 y 200 mg de C 2 25x + 10y 200 Por tanto, las posibles formas de elaborar el tratamiento son las soluciones del sistema: x 0 y 0 15x + 28y x + 10y 200 x, y Ν RESTRICCIONES Página 25
26 x = 0 (recta vertical) y = 0 (recta horizontal) 15 x + 28y = 450 x y = 16, ( 0,0) 15x + 28y 450? No, ya que 15 (0) + 28 (0) = 0 < 450 (:5) 25x + 10y = 200 5x + 2y = 40 x 8 0 y 0 20 ( 0,0) 25x + 10y 200? No, ya que 25 (0) + 10 (0) = 0 < 200 Por tanto, Conjunto de posibles soluciones = {( x, al recinto abierto de vértices A, B, C, con x, y Ν} Los VÉRTICES DE LA REGIÓN FACTIBLE son: = 0 A A(0,20) 25x + 10y = x + 28y = 450 C C(30,0) y = 0 25x + 10y = 200 B B(2,15) 15 x + 28y = 450 Página 26
27 COMO LA REGIÓN FACTIBLE ES UN RECINTO NO ACOTADO RESOLVEMOS EL PROBLEMA GRÁFICAMENTE: Dada la función objetivo = 0,25x + 0, 25y sean: r k 0,25x + 0, 25y = k las rectas de nivel k asociadas a ella (en este caso el nivel representa el coste semanal del tratamiento) r 20 r v r = ( 0 25, 0 25) v r = ( 5,5) el vector director de r k (indica la dirección de las rectas de nivel; todas ellas son paralelas a este vector) r 20 r n r = (0 25, 0 25) n r = (5,5) el vector normal a r k (indica el sentido en que aumenta el nivel a medida que nos desplazamos en el plano paralelamente a v r r ) Representamos gráficamente r 0 (recta de nivel 0) y, desplazándonos paralelamente a ella, las rectas de nivel que pasan por los vértices de la región factible r A, r B y r C. Como el nivel aumenta en la dirección del vector n r r se observa que la recta de nivel mínimo es la que corresponde al vértice B, es decir, la función objetivo alcanza el mínimo en el punto B (2,15) = 0,25x + 0, 25y A ( 0,20) = 0,25 (0) + 0,25 (20) = 5 B ( 2,15) = 0,25 (2) + 0,25 (15) = 4,25 MÍNIMO C ( 30,0) = 0,25 (30) + 0,25 (0) = 7, 5 Por tanto, SE DEBEN TOMAR 2 COMPRIMIDOS DE COLOR ROJO Y 15 COMPRIMIDOS DE COLOR AZUL A LA SEMANA PARA QUE EL COSTE DEL TRATAMIENTO SEA MÍNIMO. EN TAL CASO, EL COSTE MÍNIMO DEL MISMO SERÍA DE 4,25 Página 27
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (SELECTIVIDAD)
(3 puntos) Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada uno. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000 relojes,
Más detallesIII. Escribir las Restricciones en formas de Inecuaciones. A B C X (Grupo 1) Y (Grupo 2) Total
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. (JUN 02) Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B y
Más detallesASIGNATURA: MATEMÁTICAS CCSS 2º BACHILLERATO. ÁLGEBRA Boletín 3 PROGRAMACIÓN LINEAL
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS CCSS 2º BACHILLERATO TEMA: ÁLGEBRA Boletín 3 PROGRAMACIÓN LINEAL 1) Un taller fabrica y vende dos tipos de alfombras, de seda y de lana. Para la elaboración de una unidad se necesita
Más detallesUTALCA IMAFI. Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método gráfico. Para ello:
Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método gráfico. Para ello: (a). Modelar matemáticamente la situación planteada. (b). Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, todas las restricciones
Más detalles1. ( SEPTIEMBRE 2010 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )(Puntuación máxima: 3 puntos)
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD / COMUNIDAD DE MADRID MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II UNIDAD: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. ( SEPTIEMBRE 2010 / OPCIÓN A / EJERCICIO 1 )(Puntuación máxima:
Más detallesEXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL
EXAMEN DE PROGRAMACIÓN LINEAL Se recomienda: a) Antes de hacer algo, leer todo el eamen. b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del eamen en una hoja distinta. d)
Más detallesMatemáticas aplicadas a las CC.SS. II 2º Bachillerato
4. PROGRAMACIÓN LINEAL 4.1. Introducción 1. Determina las variables, la función objetivo y el conjunto de restricciones de los siguientes problemas de programación lineal: a) En una empresa de alimentación
Más detallesPogramación Lineal. Matemáticas Aplicadas Ciencias Sociales II. José Manuel del Toro Programación Lineal - 1
Pogramación Lineal 1) (Junio-00) Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de mesas y sillas que vende a 2000 pts y 3000 pts por unidad, respectivamente.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio
Más detallesSOLUCIONES EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL
SOLUCIONES EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL Ejercicio nº 1. a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones: 1 0 b) Indica si los puntos (0, 0), (, 1) (1, ) forman parte
Más detallesEJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL
EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL 1.- Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L 2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 2, Ejercicio
Más detallesColegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. PL con solución
PL con solución Problema 1: Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1800 kg de avellanas y 420 kg de almendras para hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación:
Más detallesx + y 20; 3x + 5y 70; x 0; y 0
PROGRAMACIÓN LINEAL: ACTIVIDADES 1. Sea el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x + y 20; 3x + 5y 70; x 0; y 0 a) Razone si el punto de coordenadas (4.1, 11.7) pertenece al recinto.
Más detallesHabilidad para lograr aprendizajes efectivos en matemática
Curso: Habilidad para lograr aprendizajes efectivos en matemática Titulo: Programación lineal: Ejercicio Unidad: 2 Ejercicio Grandes tiendas encargan a un fabricante de Indonesia pantalones y chaquetas
Más detalles{x 3 y 3. Ejercicios. y la función objetivo que hay que maximizar es
Ejercicios 1. [S/97]Cada mes una empresa puede gastar, como máximo, un millón de pesetas en salarios y un millón ochocientas mil pesetas en energía (electricidad y gasóleo). La empresa sólo elabora dos
Más detallesSegmentos del borde o frontera Lados o aristas Intersecciones de éstos Vértices
UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL 1 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RECINTOS CONVEXOS La solución de un sistema de inecuaciones lineales (SIL) con dos incógnitas viene representada por
Más detalles1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
TEMA 2: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. Se llama inecuación lineal con dos incógnitas a una inecuación de la forma: a x +b y c ( puede ser >,
Más detallesExamen bloque Álgebra Opcion A. Solución
Examen bloque Álgebra Opcion A EJERCICIO 1A (2 5 puntos) Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial A2 X = A B C, siendo A, B y C las matrices Halle la matriz X que verifique la ecuación matricial
Más detallesPROBLEMAS PROGRAMACION LINEAL SELECTIVIDAD 2º BTO CCSS
PROBLEMAS PROGRAMACION LINEAL SELECTIVIDAD 2º BTO CCSS 1. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses de 40 plazas y 10
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 3 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesProgramación lineal. 1. Dibuja la región del plano definida por las siguientes inecuaciones: x 0, 0 y 2, y + 2x 4. Solución:
1 LRJS05 1. Dibuja la región del plano definida por las siguientes inecuaciones: 0, 0 y 2, y + 2 4 Representando las rectas asociadas a cada una de las inecuaciones dadas se obtiene la región sombreada
Más detallesAPUNTE: Introducción a la Programación Lineal
APUNTE: Introducción a la Programación Lineal UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática Carreras: Lic. en Administración Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: do Año: 06 Definición La
Más detallesLlamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II. Resumamos los datos en una tabla:
Ejercicio nº.- En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 1 unidades de una sustancia A otras 1 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases
Más detallesEJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. RECUPERACIÓN
EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. RECUPERACIÓN 1.- Ejemplo resuelto Un herrero dispone de 80 kg. de acero y 120 kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente
Más detallesColegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Repaso de la 2ª evaluación. (Con solución)
Repaso de la 2ª evaluación (Con solución) Problema 1: Se considera la función f (x) = 2x 3 2ln x. Calcula: Problema 2: Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T 1, T 2 y T 3. Los precios
Más detallesUniversidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua. Curso de Investigación de Operaciones
Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua UNAN-Managua Curso de Investigación de Operaciones Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Estudiantes: FAREM-Carazo Unidad II Modelos de Programación Lineal
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Sistemas, matrices, programación lineal resueltos.
Sistemas, matrices, programación lineal resueltos. Problema 1: Sean las matrices Encuentra el valor o valores de x de forma que B 2 = A Problema 2: En la remodelación de un centro de enseñanza se quiera
Más detallesPROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. PROGRAMACIÓN LÍNEAL
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. PROGRAMACIÓN LÍNEAL 1. Se dispone de 200 hectáreas de terreno en las que se desea cultivar patatas y zanahorias. Cada hectárea dedicada al cultivo de patatas necesita 12,5 litros
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL 25.- (Jun. 2008, 3 ptos) 26. (Sep. 2008, 3 ptos)
PROGRAMACIÓN LINEAL 25.- Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2000 y 3000 por tonelada, respectivamente. Cada almazara
Más detallesProblemas de programación lineal.
Matemáticas 2º Bach CCSS. Problemas Tema 2. Programación Lineal. Pág 1/12 Problemas de programación lineal. 1. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante
Más detallesse trata de un problema de PROGRAMACIÓN LINEAL. Al conjunto de todas las soluciones del problema se le llama conjunto de soluciones factibles.
TEMA 11: PROGRAMACIÓN LINEAL Ciertos problemas que se plantean en la economía, en la industria, en la medicina, tienen como objeto MAXIMIZAR O MINIMIZAR una función llamada FUNCIÓN OBJETIVO, sujeta a varias
Más detalles(Selectividad Madrid)
EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (Selectividad Madrid) Ejercicio 1 (Curso 1999/2000) Modelo (3 puntos) Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar le lleva dos horas y hacer una pulsera una
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Matrices y programación lineal
Matrices y programación lineal Problema 1: En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados, que se envasan en dos tipos de caja del modo siguiente: Caja tipo 1: 200 g de polvorones
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio
Más detallesProteinas Hidratos Grasas Coste/kg A B MATEMATIZACIÓN DEL PROBLEMA. A B Necesidades
PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener
Más detallesEJERCICIOS UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL
EJERCICIOS UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. (011-M-B-1) Se considera el recinto R del plano determinado por las siguientes inecuaciones: 1x + 8y 600; ( x ) ( y ); x 4y 0. a) (1.75 punto) Represente gráficamente
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
PROGRAMACIÓN LINEAL La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Más detalles2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 2.- PROGRAMACIÓN LINEAL
2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 2.- PROGRAMACIÓN LINEAL FICHA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Más detallesR E S O L U C I Ó N. a) Lo primero que hacemos es dibujar el recinto y calcular los vértices del mismo
Sea el sistema de inecuaciones siguiente: x + y 12;3 y x; x 1; y 1 a) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices b) En qué punto de esa región, F( x, y) = 25x + 2 y alcanza el máximo?
Más detallesTema 4. Programación lineal
Tema 4. Programación lineal x + y 5 x + 3y 9 1. Representa la región factible que determina el conjunto R { de restricciones y halla de x 0 y 0 forma razonada el punto o puntos de la región factible donde
Más detallesPROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE ÁLGEBRA
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE ÁLGEBRA 1. Un restaurante ofrece cada día desayunos, comidas y cenas. Los desayunos cuestan 4 euros, las comidas 8 y las cenas 10. El último sábado se sirvieron tantas
Más detallesa) LLamamos x al número de collares e y al número de pulseras. Las restricciones son: x + y 50 2x + y 80 x, y 0
Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Hoja, ejercicios de programación lineal, curso 2010 2011. 1. Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar le
Más detallesEJERCICIOS UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL
EJERCICIOS UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. (001-M1;Sept-B-1) (3 puntos) Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños; el número de niños asistentes no
Más detallesColegio Portocarrero. Departamento de matemáticas. Tarea navideña.
Dadas las circunstancias, será obligatorio realizar, en lugar del trabajo sobre la película Una mente maravillosa, la siguiente relación de ejercicios de forma obligatoria para entregar el día 7 de enero.
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL (Selectividad) 2ºBachillerato C.C.S.S. Noviembre 2015
PROGRAMACIÓN LINEAL (Selectividad) 2ºBachillerato C.C.S.S. Noviembre 2015 1. (S2015) Un heladero artesano elabora dos tipos de helados A y B que vende cada día. Los helados tipo A llevan 1 gramo de nata
Más detallesPara hallar, gráficamente, la solución de un problema de Programación Lineal con dos variables, procederemos del siguiente modo:
Siempre que el problema incluya únicamente dos o tres variables de decisión, podemos representar gráficamente las restricciones para dibujar en su intersección el poliedro convexo que conforma la región
Más detallesRelación de Ejercicios: Programación Lineal. Modelos para la Prueba de Selectividad de a
Relación de Ejercicios: Programación Lineal. Modelos para la Prueba de Selectividad de 2 005 a 2 008. EJERCICIO 1.- (3 puntos) Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla
Más detallesCurso COLEGIO SANTÍSIMA TRINIDAD. Dpto de Matemáticas. Sevilla
COLEGIO SANTÍSIMA TRINIDAD Sevilla Dpto de Matemáticas Curso 2009-10 Boletín de Programación Lineal Matemáticas 2º Bach CC.SS. 1. Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 21 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
Pág. Página 58 PRACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valo- y res como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola: a) y = + b) y = c)
Más detallesINSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 25 AÑOS Curso 2015 2016 MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 2 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
Más detallesTEMA 2: PROGRAMACIÓN LINEAL.
TEMA : PROGRAMACIÓN LINEAL.. 1. INTRODUCCIÓN. La Programación Lineal (PL) puede considerarse como uno de los grandes avances científicos habidos durante la primera mitad del siglo XX y sin duda es una
Más detallesAlgunos conceptos que utilizaremos en lo sucesivo son: Sistema de restricciones lineales: conjunto de todas las restricciones.
A partir del planteamiento del problema de Programación Lineal expresado en su formulación estándar, vamos a estudiar las principales definiciones y resultados que soportan el aspecto teórico del procedimiento
Más detallesSOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD
5 Pág. Página 5 PRACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola: y a) y = + b) y = c)
Más detallesMATEMATICAS APLICADAS II SELECTIVIDAD-PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO RESUELTOS. Sea x=nº de viviendas tipo A y= nº de viviendas tipo B.
1º) MATEMATICAS APLICADAS II SELECTIVIDAD-PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO RESUELTOS Sea x=nº de viviendas tipo A y= nº de viviendas tipo B. Planteamiento: Max: Z =20000x+40000y (Función objetivo) Sujeto
Más detallesAPUNTE DE PROGRAMACION LINEAL ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. AÑO: 2010
Pagina APUNTE DE PROGRAMACION LINEAL ASIGNATURA: MATEMATICA II - U.N.R.N. AÑO: 00 Muchos problemas de administración y economía están relacionados con la optimización (maximización o minimización) de una
Más detallesEJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS
EJERIIOS PROLEMS RESUELTOS 1. Se tiene una región factible determinada por el polígono de vértices: (2, 1), (, 0), (6, 2), (, ) y E(0, 4) a) Representa gráficamente dicha región, así como las rectas de
Más detallesEJERCICIO A. Problema 1. Dada la siguiente ecuación matricial: 10 x y. obtener de forma razonada los valores de x, y, z.
Baremo: Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que sólo se harán TRES de los cuatro problemas. Cada problema se puntuará de 0 a 3,3. La calificación final será la suma de 0,1 más la suma de las
Más detallesApellidos: Nombre: 2º Grupo: _D _ Día: 22-XI-2010 CURSO
MATEMATICAS CC SS ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: º Grupo: _D _ Día: -XI- CURSO - EJERCICIO Sean las matrices A y B 3 a) ( punto) Calcule A t B AB t b) (5 puntos) Resuelva la ecuación matricial AX + BA
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD OPCIÓN A
OPCIÓN A a) (1 punto) Dada la matriz a 1 A =, calcule el valor de a para que A a 0 sea la matriz nula 1 1 t b) ( puntos) Dada la matriz M =, calcule la matriz ( M M ) 1 1 x + 1 Sea la función f definida
Más detallesHacia la universidad Análisis matemático
Hacia la universidad Análisis matemático OPCIÓN A. a) Deriva las funciones f( ) = 8, g ( ) =, h ( ) = e. f( ) si 0 b) Indica si la función m ( ) = es continua en =. g ( ) si < c) Escribe la ecuación de
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio
Más detallesUniversidad de Managua Al más alto nivel
Universidad de Managua Al más alto nivel Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Curso de Programación Lineal MÉTODO GRÁFICO PARA PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Estudiantes: Facultad de Ciencias Económicas
Más detallesÁLGEBRA Tema 2) PROGRAMACIÓN LINEAL
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II ÁLGEBRA Tema 2) PROGRAMACIÓN LINEAL Orientaciones para la PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD en relación con este tema: Inecuaciones lineales con una o dos
Más detallesCurso ON LINE "Tema 06"
033 034 035 036 Una copistería de reciente apertura ofrece al público dos tipos de fotocopias: en blanco y negro y en color. Cada fotocopia le supone un cierto coste: 1 PTA por copia para las de blanco
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos.
Análisis, y programación lineal resueltos. Problema 1: Se considera la función f(x) = ax 3 + b ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada
Más detallesINECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
pág.1 INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Llamamos inecuación de primer grado con dos incógnitas es una desigualdad algebraica que se puede transformar en otra equivalente a una de las siguientes
Más detallesx + y 4 2x + 3y 10 4x + 2y 12 x 0, y 0
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL JUNIO 2000. OPCIÓN B. Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de mesas y
Más detalles2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 4.- PROGRAMACIÓN LINEAL ACTIVIDADES PROPUESTAS PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
1.- INECUACIONES LINEALES Y SISTEMAS CON DOS INCÓGNITAS. PROGRAMACIÓN LINEAL 1 Sea la región factible definida por las siguientes inecuaciones: x + y 20 ; x y 0 ; 5x 13y + 8 0 a) Represéntela gráficamente
Más detallesExamen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Simulacro 2010) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos
Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Simulacro 2010) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente
Más detallesProgramación lineal. 1. Resolver cada inecuación grá camente por separado indicando mediante echas o sombreando, el semiplano solución.
I.E.S. CASTILLO DE LUNA Programación lineal En un problema de programación lineal con dos variables x; y, se trata de optimizar (hacer máximo o mínimo, según los casos) una función, llamada función objetivo
Más detalles1.- (2 puntos) De un problema de programación lineal se deducen las siguientes restricciones:
MTEMÁTICS º CHILLETO 0--009.- puntos De un problema de programación line se deducen las siguientes restricciones: x y 60 ; y 0 ; 0 y x ; x 0 ; y 0 a epresente gráficamente la región factible y ccule sus
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. a) Dibuja dicha región y determina sus vértices. b) Calcula el mínimo de la función objetivo z = 4x + 5y, en el recinto anterior.
PROGRAMACIÓN LINEAL 1. La región factible de un problema de programación lineal es la intersección de primer cuadrante con los tres semiplanos definidos por las siguientes inecuaciones: x y x y x y + 1
Más detallesEJERCICIOS UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL
EJERCICIOS UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL 1. (001-M1;Sept-B-1) (3 puntos) Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños; el número de niños asistentes no
Más detallesEJERCICIOS. Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio
EJERCICIOS EJERCICIO 1 En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran
Más detallesTema 8: Programación lineal. Nociones elementales. Ejemplos.
Tema 8: Programación lineal. Nociones elementales. Ejemplos.. Introducción / motivación: -La optimización en problemas reales depende en general de varias variables -Las técnicas de diferenciabilidad siguen
Más detallesModelo 2014. Problema 2A.- Septiembre 2012. Ejercicio 1A. Septiembre 2010. F.M. Ejercicio 1A. Septiembre 2010. F.G. Ejercicio 1B.
Modelo 2014. Problema 2A.- (Calificación máxima: 2 puntos) Un astillero recibe un encargo para reparar barcos de la flota de un armador, compuesta por pesqueros de 500 toneladas y yates de 100 toneladas.
Más detallesProgramación lineal -1-
Programación lineal 1. (j99) Los alumnos de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragarse los gastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de mantecados
Más detallesEJERCICIOS: TEMA 4: PROGRAMACIÓN LINEAL.
EJERCICIOS: TEMA 4: PROGRAMACIÓN LINEAL. 1º/ Un taller de fabricación de muebles de oficina dispone de 700 kg de hierro y 1000 kg de alumnio para la producción de sillas y sillones metálicos. Cada silla
Más detallesa) El beneficio es el resultado de restar los ingresos y gastos. Esto es,
Análisis: Máimos, mínimos, optimización 1. Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I( ) 8 6000, mientras que sus gastos (también en euros) pueden
Más detallesUNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL
UNIDAD 6.- PROGRAMACIÓN LINEAL 1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una inecuación que en forma reducida se puede expresar de la siguiente forma:
Más detallesIntroducción a la Programación Lineal
Introducción a la Programación Lineal J. Montealegre I. Flores Febrero de 2015 1. Desigualdades en el plano cartesiano Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el
Más detallesProblemas de Sistemas de Inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Problema 1. Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: + 5 + 3 9 0, Representar la región factible que determina el sistema de inecuaciones anterior hallar de forma
Más detallesTema 7: Programación lineal En este tema veremos solamente unas nociones básicas de programación lineal.
Tema 7: Programación lineal En este tema veremos solamente unas nociones básicas de programación lineal. 1. Concepto de problema de programación lineal Un problema de programación lineal consiste en un
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL-SELECTIVIDAD (MADRID)
PROGRAMACIÓN LINEAL-SELECTIVIDAD (MADRID) 1.- (Junio 99). Los alumnos de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragar los gastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta
Más detalles2. (a) Calcula los puntos del recinto 2x y[20 que hacen mínima la función f(x, y) = 2x + y. Cuántas soluciones hay? (7 puntos)
Alumno... Fecha: 25 Noviembre 2011 Opción A 1. En una empresa se produce queso y mantequilla. Para fabricar una unidad de queso se necesitan 10 unidades de leche y 6 unidades de mano de obra y para fabricar
Más detalles5 Inecuaciones ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN. 1. Resuelve y representa sobre la recta real las soluciones de las siguientes inecuaciones:
ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN Inecuaciones. Resuelve y representa sobre la recta real las soluciones de las siguientes inecuaciones: 8 4 a) 4 b) 4. Se desea obtener 6 kilos de una mezcla de café puro de 4,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL Junio, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio
Más detallesEJERCICIO A. Problema 2. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX = 2B - C, siendo:
Baremo: Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que sólo se harán tres de los cuatro problemas. Cada problema se puntuará de 0 a 3,3. La calificación final será la suma de 0,1 más la suma de las
Más detallesInvestigación Operativa I. Programación Lineal. Informática de Gestión
Investigación Operativa I Programación Lineal http://invop.alumnos.exa.unicen.edu.ar/ - 2013 Exposición Introducción: Programación Lineal Sistema de inecuaciones lineales Problemas de optimización de una
Más detallesTEMA 4: INECUACIONES Y PROGRAMACIÓN LINEAL
TEMA 4: INECUACIONES Y PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas (Recuerda: Si multiplicamos o dividimos por un número negativo los dos miembros de una inecuación, debemos
Más detallesProgramación lineal. Tema Introducción / motivación
Tema Programación lineal Mientras que para funciones reales de variable real la derivación ha permitido resolver el problema de optimalidad en su conjunto, en este tema, la programación lineal resuelve
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO GRÁFICO
1 PROGRAMACIÓN LINEAL MÉTODO GRÁFICO Dado un problema de programación lineal se debe: 1. Graficar cada una de las restricciones. 2. Encontrar el Polígono de factibilidad, que es la intersección de los
Más detallesExamen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Junio 2007) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos
Examen de Matemáticas Aplicadas a las CC. Sociales II (Junio 2007) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro
Más detallesREPASO MATEMÁTICAS APLICADAS I
REPASO MATEMÁTICAS APLICADAS I SISTEMAS 1. Resolver los siguientes sistemas homogéneos: x y z 0 3x y z 0 a) 3x y z 0 b) 4x y z 0 x y z 0 x z 0 Solución x=0 y=0 z=0. Resolver los sistemas de ecuaciones:
Más detalles+ 1, obtenemos x = 2, que divide. . Los puntos de ( 2, + ` ), así como el punto 2, verifican la inecuación dada, por lo que la solución es [ 2, + ` ).
Programación lineal NTES E OMENZR REUER 00 calcula tres valores de x que sean solución de estas inecuaciones. x a) x + 5 < b) 0 c) 3x 3 a) Tres soluciones son: x = 8, x = 9 y x = 0 b) Tres soluciones son:
Más detalles5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 116
Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 6 Pág. P RACTICA Funciones lineales Asocia a cada función su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente. a) y + = 0 b) y = c) y = 6 d) y = b) y = 6
Más detalles5 de mayo de Evaluación 1 PETROLEO MUNDIAL C.A. El Constructor. Gasolina. Fábrica de calzados. calzados. Analisis de Sensibilidad
- INSTITUTO TECNOLOGICO METROPOLITANO INGENIERIA DE PRODUCCCION Investigacion de operaciones I sensibilidad-teoria de la Wbaldo Londoño 5 de mayo de 206 Contenido - 2 3 4 5 6 7-8 - La empresa puede comprar
Más detallesProgramación Lineal Introducción
Programación Lineal Introducción Curso: Investigación de Operaciones Ing. Javier Villatoro fjvillatoro.wordpress.com Curso: Catedrático: Investigación de Operaciones Ing. Javier Villatoro Comunicación
Más detalles