56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

Transcripción

1 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si el coeficiente es distinto de 0, entonces este tipo de ecuciones tiene un únic solución igul b/. En los csos en que un ecución involucre hst potencis de orden de l incógnit, se dice que es un ecución de segundo grdo. Por ejemplo, x 3 = x, o x 4x = 4 Recordemos que un número x 0 es solución de l ecución si l reemplzr l incógnit por el número obtenemos un iguldd. A diferenci de ls ecuciones lineles, no tods ls ecuciones de segundo grdo tienen un solución rel pero sí es posible resolverl en el conjunto de los números complejos. A su vez, puede ocurrir que tengn un únic solución o que tengn dos soluciones diferentes. Un ecución de segundo grdo es un ecución que se puede escribir de l form x + bx + c = 0, siendo x l incógnit, y, b y c números reles, 0. Dmos continución lgunos ejemplos de resolución de ecuciones de segundo grdo. Ejemplo 1. Resolver l ecución x 5 = 0. Aquí se trt simplemente de despejr x, y determinr los vlores de x que stisfcen l ecución: x = Ejemplo. Resolver l ecución x + 4x + = 0. x = 5 5 5, y x =. Observemos que si extremos el fctor común, result ser el cudrdo de un binomio: por lo que debemos resolver l ecución x + 4x + = x + x + 1) = x + 1), x + 1) = 0. Es ecución tiene como únic solución el vlor x = 1.

2 .4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 57 Ejemplo 3. Resolver l ecución x + 5x 3 = 0. En este cso no se trt de extrer un ríz cudrd como en el Ejemplo 1, ni tmpoco consiste en el cudrdo de un binomio como en el Ejemplo. Sin embrgo, podemos operr lgebricmente pr obtener el cudrdo de un binomio. Pr ello, dividimos mbos miembros por el coeficiente de x, en este cso es : x + 5 x 3 = 0. Notemos que 5 x = 5 4 x, sí que si en el miembro izquierdo tuviérmos el término 5/4), entonces podrímos rmr el cudrdo del binomio x ): x + 5 ) = x + 5 ) x +. 4 Pero como este término no prece explícitmente, entonces lo summos y lo restmos en l expresión del miembro izquierdo: x + 5 x 3 = x ) 5 4 4) x + 3 4, y de est mner hemos completdo l expresión de modo que prezc el cudrdo de un binomio: x + 4) 5 ) = 0. Est ecución se resuelve de mner mucho más simple. En efecto, queremos hllr los vlores de x tles que x + 5 ) = y estos vlores son x = = 1 y x = = 3. Por lo tnto ls ríces de l ecución 5) son x = 1 y x = 3. El Discriminnte Consideremos hor l form generl de un ecución de segundo grdo: x + bx + c = 0,.6) donde,b y c son números reles rbitrrios y es distinto de cero. Nuestro objetivo es determinr cuáles son ls soluciones de est ecución. Si dividimos mbos miembros por obtenemos l siguiente expresión de l ecución: x + b x + c = 0..7) Un rtificio mtemático muy utilizdo, y que será de uso hbitul en nuestr inicición mtemátic universitri, es l sum y rest de un mism expresión numéric o lgebric conveniente. Algo similr lo que efectumos en el Ejemplo 5 l sumr y restr el término 5/4).

3 58 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO Así, si summos y restmos l expresión b en el miembro izquierdo de l ecución.7), hbremos completdo el 4 desrrollo del cudrdo de un binomio. Vemos esto. x + b x + c = x + b b x+ 4 b 4 + c ) b b = x + x + = x + b ) b 4 + c.8).9) ) b 4c 4.10) Así, l ecución.7) puede escribirse como x + b ) b 4c 4 = 0..11) L expresión b 4c recibe el nombre de discriminnte, y se lo simboliz con l letr grieg delt myúscul : = b 4c.1) Entonces, pr hllr ls soluciones o ríces de l ecución de segundo grdo.6) debemos resolver l ecución x + b ) 4 = 0.13) o equivlentemente x + b ) = 4..14) Pr resolver l ecución.14) tendremos en cuent tres csos: > 0, = 0 y < 0. Si > 0, entonces existen dos soluciones reles. En efecto, si x 0 es un solución, entonces x 0 stisfce un de ls siguientes ecuciones: x + b ) = o x + b ) =.15) Finlmente, despejndo x obtenemos que en este cso ls ríces son: x 1 = b + y x 1 = b.16). Ests soluciones suelen resumirse en l fórmul siguiente, conocid tmbién como l fórmul de Bskhr: x 1, = b ± b 4c El símbolo ± indic que hy dos soluciones, un con el signo + y l otr con el signo. Si = 0, entonces l únic solución es x 0 = b..17) En el cso en que < 0, l ecución.14) tiene soluciones en el cmpo de los números complejos. No es posible hllr ríces reles y que el cudrdo de un número rel no puede ser negtivo. Recordemos que el número imginrio i es tl que i = 1. Así, un solución x 0 de l ecución.14) pr el cso < 0 stisfce un de ls siguientes ecuciones: x + b ) = i Por lo tnto ls ríces de l ecución son x 1 = b + i 4c b o x + b ) = i..18) y x = b i 4c b..19)

4 .4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 59 Clsificción de ls Ríces Resumimos entonces qué tipo de ríces se obtienen en un ecución de segundo grdo según se el signo del discriminnte..) b 4c = > 0 En este cso se obtienen dos ríces reles y distints, dds por x 1 = b + b 4c y x = b b 4c.0) b.) b 4c = = 0 Si el discriminnte es cero, entonces hy un únic ríz rel doble: x 0 = b..1) Se dice que est ríz es doble, o que l ecución posee dos ríces igules, pues en este cso l ecución originl.6) puede escribirse de l form x x 0 ) = 0. c.) b 4c = < 0 En este cso existen dos ríces complejs conjugds y distints: x 1 = b + i 4c b Ejemplo 4. Anlicemos ls siguientes ecuciones de segundo grdo: y x = b i 4c b.) Los discriminntes respectivos son: ) x x 6 = 0, b) 3x 6x + 3 = 0, c) x + 1 = 0. ) = = 5, b) = = 0, c) = 0 4 = 4. Esto nos dice que l ecución dd en ) tiene dos ríces reles distints: x 1 = l ecución dd en b) tiene un únic ríz doble: = 3, x = 1 5 x 0 = y l ecución dd en c) tiene dos ríces complejs conjugds: x 1 = 0 + i 4 = 1, = i, x = 0 i 4 =, = i. Ejemplo 5. L ecución de segundo grdo x + bx + c = 0 tiene un ríz complej igul 1 3i. Existe otr solución de l ecución? L respuest es sí, porque l ríz dd es un número complejo con prte imginri no nul. L otr solución de l ecución es el conjugdo de 1 3i, es decir, 1 + 3i.

5 60 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO Propieddes de ls Ríces A prtir de ls expresiones dds en.0),.1) y.), clculremos l sum y l multiplicción de ls ríces de l ecución de segundo grdo x + bx + c = 0. Considermos el cso 0. Si summos los vlores de x 1 y x obtenemos: lo que conduce l siguiente relción: x 1 + x = b + ) + = b + b b ) = b x 1 + x = b Si multiplicmos ls ríces, entonces obtenemos b + ) b ) x 1 x = obteniéndose finlmente: = b) b) + b) ) + b) + ) ) = b + b b ) 4 = b 4 = b b + 4c 4 x 1 x = c = 4c 4.3).4) Si < 0 se obtienen ls misms relciones con l sum y multiplicción de ls ríces. En efecto: b + i ) 4c b x 1 + x = b i ) 4c b + = b + i 4c b b i 4c b = b Análogmente, l multiplicción de ls ríces es igul l producto de un de ells por su conjugdo, y por lo tnto es l sum de los cudrdos de ls prtes rel e imginri respectivmente: b + i ) 4c b x 1 x = b i ) 4c b = b) + 4c b ) ) = c Un vez conocids ests relciones entre ls ríces de un ecución de segundo grdo podemos reescribir ést en un form más simple, y en muchos csos conveniente. En efecto, notemos que reescribiendo l ecución cudrátic x + bx + c = 0 de l form x + b x + c ) = 0,

6 .4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 61 precen como coeficiente de x y como término independiente ls expresiones b y c, que hemos visto que son igules b = x c 1 + x ) y = x 1 x. Por lo tnto, podemos reemplzr dichos coeficientes por sus expresiones equivlentes: x + b x + c ) y como x x 1 ) es un fctor común, esto result: = x b )x + c ) = x x 1 + x ) x + x 1 x ) ) = x x x 1 x x + x 1 x ) = xx x 1 ) x x x 1 )) x x 1 )x x ) = 0..5) Ejemplo 6. L ecución x x 1 = 0 tiene ríces 3 y, siendo =, b = y c = 1. Podemos verificr ls relciones nteriores: 3 + ) = 1, 3 ) =, x x 1 = x 3)x + ). Resolución de Ecuciones de Grdo 4 con Exponentes Pres Otro conjunto prticulr de ecuciones, ls cules se les puede plicr l teorí desrrolld en este cpítulo, son ls ecuciones polinomiles de grdo 4 con exponentes pres. En ls misms, un decudo cmbio de vrible permite reducir el cálculo l resolución de un ecución de segundo grdo. Por ejemplo, se l siguiente ecución de curto grdo: Notemos que est ecución puede escribirse de l form x 4 5x + 4 = 0.6) x ) 5x ) + 4 = 0, es decir, es un ecución de segundo grdo con incógnit x. Denotemos provisorimente x con l letr u. Entonces, l ecución.6) se escribe en términos de u como: u 5u + 4 = 0. Ls soluciones de est ecución son u 1 = 4 y u = 1, y por lo tnto ls soluciones de.6) deben stisfcer x = 4 o x = 1. Los vlores posibles de x son entonces x =, x =, x = 1 y x = 1. Ejercicios con Ecuciones de Segundo Grdo 1. Cd un de ls siguientes expresiones corresponde un ecución de segundo grdo. Pr cd un de ells, ) clculr el discriminnte, b) determinr si tiene ríces reles distints, un únic ríz doble o dos ríces complejs, c) clculr ls ríces x 1 y x, y escribir cd ecución de l form x x 1 )x x ).

7 6 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO ) x 5x 5 = 0 b) x + x 1 = 0 c) 4x + 4 = 5x d) 3x 0x + 3 = 0 e) x 8x + 19 = 0 f) x + 7x 9 = 0 g) 3x 5x + = 0 h) 9x 8x + 1 = 0. Escribir un ecución de segundo grdo de l form x + bx + c = 0 sbiendo que l sum de sus ríces es y su producto tmbién. Clculr dichs ríces. 3. Escribir 3 o más ecuciones de segundo grdo cuys ríces sen de igul vlor bsoluto pero de distinto signo, por ejemplo, y ). >Qué form tienen ests ecuciones? 4. Un ecución de segundo grdo con coeficientes reles tiene un ríz igul + 3i. >Cuál es l otr ríz? 5. Considerr l ecución de segundo grdo cx + 1x + c = 0. ) Clculr el vlor de c si se sbe que l ecución tiene dos ríces reles igules y positivs. b) Clculr ls ríces de l ecución pr el vlor de c obtenido en el inciso nterior. 6. L ecución de segundo grdo x + 10x + = 0 tiene dos ríces igules. ) Indique cuál es el vlor de sbiendo que ls ríces son negtivs. b) Clcule ls ríces de l ecución pr el vlor de clculdo en el inciso nterior. 7. Considerr l ecución de segundo grdo 18x + bx + = 0. ) Clculr el vlor de b si se sbe que l ecución tiene dos ríces reles igules y negtivs. b) Clculr ls ríces de l ecución pr el vlor de b obtenido en ). 8. L ecución de segundo grdo x 3bx + 9b = 0 tiene dos ríces igules. ) Indique cuál es el vlor de b sbiendo que ls ríces son positivs. b) Clcule ls ríces de l ecución pr el vlor de b clculdo en el inciso nterior. 9. Resuelve ls siguientes ecuciones completndo cudrdos. Verific l respuest. ) x + 4x 4 = 0 b) x 8x 0 = 0 c) 9x + 36x + 0 = L sum de ls ríces de un ecución de segundo grdo es 1 y su producto es 6. Si l ecución es de l form x + bx + c = 0, encuentr el vlor de b y c. 11. Escribe un ecución de segundo grdo sbiendo que sus ríces son 1 y 3. >Es l únic ecución de segundo grdo posible con es propiedd? >Por qué? 1. Pr cd un de ls ecuciones siguientes se d el vlor de un ríz. Determinr el vlor de l constnte y el vlor de l otr ríz: ) x Kx + 6 = 0 x 1 = 3 b) y + 6y + K = 0 y 1 = 3 c) w + Kw + 4 = 0 w 1 = d) Kβ 3β + 4 = 0 β 1 = Resolver ls siguientes ecuciones. Verific que ls soluciones obtenids stisfgn l ecución.

8 .5. EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS 63 ) x 4 3x 4 = 0 b) x 4 8x + 15 = 0 c) x 4 4x + 4 = 0 d) x x + 4) = 5x SECCIÓN.5 Expresiones Algebrics Frccionris Expresiones Frccionris Un expresión lgebric frccionri es un cociente entre expresiones lgebrics. Por ejemplo, x x + 3, 1 b + b 3 z, + b z 3. En este cpítulo estudiremos ecuciones en ls cules l incógnit prece en un expresión lgebric frccionri. Usulmente l form de resolverls es trnsformndo est ecución en un expresión sin frcciones, de modo que se trte de resolver un ecución linel, o de segundo grdo, o de un grdo myor. Por otro ldo, en muchos csos es conveniente simplificr ests expresiones lgebrics pr fcilitr l resolución de l ecución en cuestión. Anlizremos vrios ejemplos con distintos grdos de complejidd l vez que mostrremos l form de resolver ests ecuciones, pero previmente nos referiremos l simplificción de expresiones. Simplificción de Expresiones Frccionris Si en un expresión lgebric frccionri prece un fctor común en el numerdor y en el denomindor, entonces podemos simplificrl. Por ejemplo en l siguiente expresión: x + x 3x 5x 3.7) x es un fctor común en el numerdor y en el denomindor. Esto es, x + x = xx + 1) y 3x 5x 3 = x3 5x ). Luego.7) puede escribirse como: xx + 1 x3 5x ). Si dividimos numerdor y denomindor por x, l expresión se simplific: xx + 1) x3 5x ) = x x..8) En otros csos l expresión por l que se divide es un polinomio de grdo myor que 1, y pr ello hy que detectr que se trt de un fctor común del numerdor y del denomindor. Por ejemplo, en l siguiente expresión x 3 + x x +.9) x + divide l numerdor y l denomindor, pues x 3 + x = x + )x, y x + = x + ) 1. Es decir: x 3 + x x + = x + )x x + )1. Luego podemos simplificr l expresión.9) dividiendo numerdor y denomindor por x + : x + )x x + )1 = x.