Prueba Integral Lapso /5

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1 Prueba Integral Lapso /5 Universidad Nacional Abierta Introducción a la Probabilidad (Cód. 737) Probabilidad (Cód. 747) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: Fecha: MODELO DE RESPUESTAS Objetivos del al 8. OBJ PTA Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes, respectivamente, cuántas palabras pueden formarse que consten de 4 consonantes diferentes y 3 vocales diferentes? 7 5 Las 4 consonantes puede elegirse de maneras, las 3 vocales pueden elegirse de maneras, y las letras resultantes (4 consonantes y 3 vocales diferentes, respectivamente) pueden ordenarse entre sí de 7! Formas. Por lo tanto, la cantidad de expresiones que pueden formarse son: ! = (35) (0) (5040) = OBJ 2 PTA 2 Se van a seleccionar dos concejales de una ciudad, de un total de cinco, para formar un subcomité que estudiará los problemas de tránsito de la ciudad. Cuál es la probabilidad de que sean seleccionados los concejales Pérez y Castro? Esta probabilidad se calcula como: p = 5 2 5! 2!.3! 0. OBJ 3 PTA 3 Una caja contiene 6 bolitas blancas y 4 negras, se extraen dos bolitas sucesivamente y sin reposición. Determine: a) La probabilidad de que ambas bolitas sean blancas b) La probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra c) La probabilidad de que la primara sea negra y la segunda blanca d) La probabilidad de que ambas sean negras Criterio de evaluación: Para el logro de este objetivo debe responder correctamente tres de los cuatro literales. Definamos los siguientes eventos: B : Primara bolita extraída es blanca

2 Prueba Integral Lapso /5 B 2 : Segunda bolita extraída es blanca N : Primara bolita extraída es negra N 2 : Segunda bolita extraída es negra Donde, P(B ) = 0 6, P(N ) = 0 4 El espacio de probabilidad asociado a las experiencias a), b), c) y d) en consideración se representa por el siguiente diagrama de árbol: Con las probabilidades: a) Por el camino U B B 2 : P(B ) =, P(B2 B ) = P(B B 2 ) =. = b) Por el camino U B N 2 : P(B ) =, P(N2 B ) = P(B N 2 ) =. = c) Por el camino U N B 2 : P(N ) =, P(B2 N ) = P(N B 2 ) =. = d) Por el camino U N N 2 : P(N ) =, P(N2 N ) = P(N N 2 ) =. =

3 Prueba Integral Lapso /5 OBJ 4 PTA 4 Supongamos que en las familias de 3 hijos, los ocho eventos elementales relativos al sexo de los hijos son equiprobables. A es el evento La familia tiene hijos de ambos sexo y B es el evento a lo sumo hay una niña Compruebe si los eventos A y B independientes. Se debe determinar los 8 eventos elementales. Para ello, denotaremos con v a los varones y n para las niñas. Esto permitirá definir los elementos de los conjuntos A y B. Esto nos conduce a las siguientes probabilidades Por qué? Y como: 6 3 P ( A) ; P ( B) ; 8 2 P( A B) 3 3 P( A B). P( A). P( B) Por lo tanto, A y B son eventos independientes. OBJ 5 PTA 5 Se implementa un nuevo sistema de vigilancia nocturna. En este sistema un vigilante puede visitar cierta localidad de su ronda un número de veces Y = 0,, 2, 3,.. en períodos de media hora. El sistema está arreglado de modo que el vigilante pasa por cada localidad una vez, en promedio, por cada período. Supongamos que Y tiene una distribución de probabilidad de Poisson. a) Calcule la probabilidad de que el vigilante no pase por cierta localidad durante un período de media hora. b) Cuál es la probabilidad de que visite la localidad al menos una vez? NOTA: El objetivo se considera logrado, respondiendo correctamente ambos literales. En este caso, el período de visitas es media hora. La media de las visitas por intervalos de media hora es =. Dado que Y tiene una distribución de Poisson, entonces: n λ P( Y= n ) = λ e n!, > 0, n= 0,,2,... a) El evento que consiste en que el vigilante falla en visitar una cierta localidad, en un período de media hora, corresponde a n = 0. Por lo tanto, P (Y=0) Por qué? b) La probabilidad de que visite la localidad al menos una vez es: P(Y ) Por qué?

4 Prueba Integral Lapso /5 OBJ 6 PTA 6 Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribución de Poisson de parámetros y 2 respectivamente. Demuestre que S = X + X 2 tiene distribución de Poisson con parámetros + 2. Ver libro texto UNA (737), seccione 75, ejercicio propuesto 2, páginas 240 y 242. OBJ 7 PTA 7 Suponga que X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f definida por: x f(x) = para x =, 2, 3, i= a) Demuestre que b) Calcule E(X). P X = x i =. NOTA: Para el logro del objetivo debe responder correctamente ambos literales. a) Tenemos que P(X = x i ) = f(x i ), por lo tanto: 0 P X = x i = f(x ) i = = = i= i b) Por definición tenemos que: 0 E(X) =x f(x i i i ) 385 = = 7 Por qué? 55 OBJ 8 PTA 8 Una línea aérea sabe que el 5% de las personas que hacen reservaciones en un cierto vuelo, al final no se presentan. Si la aerolínea vende 60 boletos para este vuelo, y sólo hay 55 asientos en el avión, cuál es la probabilidad de que todo pasajero con reservación que se presente al aeropuerto tenga un puesto en el vuelo? Sean X una variable aleatoria que representa el número de personas que hacen reservaciones en un cierto vuelo y se presentan. Sea n=60 el número de boletos vendidos y p=0.95, la probabilidad de éxito. Es decir, la probabilidad de que se presenten el 95% de las personas con reservación. En este problema X se distribuye binomial de parámetros n y p. X np Sea Z. Luego, aplicando del Teorema Central del Límite tenemos que la variable np( p) aleatoria Z se distribuye normal de media np y varianza np( p), Así

5 Prueba Integral Lapso /5 P( X 55) P( X 55 55) np P Z ( ) np p P Z 2.75 P Z FIN DEL MODELO.