Tema 6 La recta Índice

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1 Tema 6 La recta Índice 1. Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta Ecuación general de la recta Ecuación en forma explicita de la recta Pendiente de la recta Ecuación punto-pendiente Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Posiciones relativas de las rectas Rectas paralelas al eje OX Rectas paralelas al eje OY Rectas paralelas Rectas perpendiculares Rectas Secantes Ángulos que forman dos rectas Distancias Distancia de un punto a una recta Distancia al origen de coordenadas Distancia entre rectas... 7

2 1. Ecuación vectorial de la recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r, el vector tiene igual dirección que, luego es igual a multiplicado por un escalar: = k = - k ϵ Є R - = k = + k (x, y) = (x 1, y 1 ) + k (v 1, v 2 ) Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial. (x, y) = (-1,3) + k (2,5) 2. Ecuaciones paramétricas de la recta A partir de la ecuación vectorial: (x, y) = (x 1, y 1 ) + k (v 1, v 2 ) Realizando las operaciones indicadas se obtiene: º (x, y) = (x 1 + k v 1, y 1 + k v 2 ) La igualdad de vectores se desdobla en las dos igualdades escalares: x = x 1 + k v 1 y = y 1 + k v 2 Ejemplo: Una recta pasa por el punto A (-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas. x = -1 + k 2 y = 3 + k 5 3. Ecuación continua de la recta Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k. x = x 1 + k v 1 y = y 1 + k v 2 k = k =

3 Y si igualamos, queda: Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua. 4. Ecuación general de la recta Partiendo de la ecuación continua la recta Y quitando denominadores se obtiene: (x- x 1 ) v 2 = (y-y 1 ) v 1 v 2 x - v 2 x 1 = v 1 y - v 1 y 1 Trasponiendo términos: v 2 x - v 1 y + v 1 y 1 - v 2 x 1 = 0 Haciendo: A = v 2 B = -v 1 C = v 1 y 1 v 2 x 1 Se obtiene: Ax + By + C = 0 Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta. Las componentes del vector director son: = (-B, A) La pendiente de la recta es: m = - Ejemplo: Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1). x 1 = -2y + 10 x + 2y 11 = 0 Ejemplo: Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2. y 5 = -2 (x- 1) y-5 = -2x + 2 2x + y 7 = 0 5. Ecuación en forma explicita de la recta Si en la ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0 despejamos y, se obtiene la ecuación explícita de la recta: El coeficiente de la x es la pendiente, m. y = - x - y = mx + b El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta, siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY Ejemplo: Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2. y 5 = -2 (x- 1) y-5 = -2x + 2 y = - 2x Pendiente de la recta La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.

4 Pendiente dado el ángulo: Pendiente dado el vector director de la recta: Pendiente dados dos puntos: m = tag α m = m =!! Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo. Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo. 6. Ecuación punto-pendiente Partiendo de la ecuación continua la recta Y quitando denominadores se obtiene: (x- x 1 ) v 2 = (y-y 1 ) v 1 Y despejando: y y 1 = (x x 1 ) Como m = = Se obtiene: y y 1 = (x x 1 ) Ejemplo: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente. y 3 = (x + 1) Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2). m = = y + 3 = (x + 2) Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45. tag 45º = 1 y + 3 = x + 2

5 7. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean los puntos A (x 1, y 1) y B (x 2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es = "# Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5) Cuyas componentes son: v 1 = x 2 x 1 v 2 = y 2 y 1 Sustituyendo estos valores en la forma continua: $ -8x + 8 = y 3 8x + y 11 = 0 8. Posiciones relativas de las rectas 8.1.Rectas paralelas al eje OX Una recta paralela al eje OX y de ordenada en el origen b se expresa mediante la ecuación: y = b m = %% = 0 (o, b) &' y = 0x + b y = b 8.2.Rectas paralelas al eje OY Una recta paralela al eje OY y que corta al eje OX en el punto (a, O) se expresa mediante la ecuación: x = a m = &' (( = & ' R x = a 8.3.Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente. * = + m r = m s

6 8.4.Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. m s = -. / Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares. * / * 0 = o * 1 / 23,56 * 0 = (A, B) Ejemplos: Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5). m r m s m r = m s = - y 5 = - (x-3) 2y 10 = -x + 3 x + 2y 13 = 0 m r m s m r = - m s = 2 y 5 = 2 (x-3) 2x y 1 = 0 Ejemplos: Calcula k para que las rectas r x + 2y - 3 = 0 y s x - ky + 4 = 0, sean paralelas y perpendiculares. m r = - m s =, r s - =, k = -2 r s - = - k = 8.5.Rectas Secantes Cuando dos en rectas r y s tienen un punto común, se dice que tienen un punto de intersección. Para hallar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las rectas. Ejemplo: Hallar el punto de intersección de las rectas de ecuaciones r 2 x - y - 1 = 0 y s x - y + 1 = 0. 2x y 1 = 0 x y + 1 = 0 P (2, 3)

7 9. Ángulos que forman dos rectas Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de: Sus vectores directores cos α = + * + * >+ + >* * Ejemplo: Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son: 7= (-2, 1) y =(2, -3). Cos α = 1, 6 1,6 10. Distancias = : = 0,868 α = 29º Distancia de un punto a una recta Sus pendientes tag α =?....? La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto. d (P, r) = < d (P, r) = = = Ejemplo: Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0. d (P, r) = 16 = Distancia al origen de coordenadas d (O, r) = ; 3 Ejemplo: Hallar la distancia al origen de la recta r 3x - 4y - 25 = 0. d (O, r) = Distancia entre rectas = = 5 ; 16 Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas y calculamos su distancia a la otra recta d (r, s) = d (P, s)