EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

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1 EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4 f( ) arccos a) La función f( ) s racional, por lo tanto, no stá dfinida n aqullos puntos qu anulan l dnominador. Para dtrminarlos s rsulv la cuación 6 cuya solución s ± 4 ± 5, lugo D R - {-3, }. 3 b) Como f( ) stá dfinida por una raíz cuadrada, sólo s pud calcular si l radicando s no ngativo, s dcir, si. Dspjando s tin 3 y por tanto, D [-3, ). c) La función f( ) ln s composición d una función logarítmica y una racional, por tanto, para calcular su dominio hay qu tnr n cunta qu las dos stén dfinidas. El logaritmo npriano sólo s pud hallar d prsions positivas, lugo, s ncsario qu >. Para studiar l signo utilizarmos la tabla siguint: Signo (-, -) (-, ) (, ) S cumpl qu > n (-, ). Admás, por sr no nulo y por llo,. un cocint su dnominador db d sr Por tanto, D (-, ). d) En la función 3 4 arctg aparcn las funcions arco tangnt, raíz cúbica y ponncial admás d un cocint, por lo qu s tin qu considrar los puntos dond todas llas stén dfinidas. Para llo hay qu tnr n cunta lo siguint: La función stá dfinida para cualquir valor d. Proycto d innovación ARAGÓN TRES

2 La función 3 4 por star dada por una raíz índic impar, stá dfinida para cualquir valor d. El cocint 3 4 cualquir valor d. tin dnominador no nulo ya qu >, y por lo tanto, stá dfinido para La función arco tangnt tin por dominio R, y por llo, stá dfinida para cualquir valor d. Por tanto, D R. ) Como f( ) stá dfinida por una raíz cuadrada s tin qu cumplir qu. S factoriza l polinomio qudando ( )( ) tabla qu sigu: Signo (-, -) (-, ) (, ) ( )( ) -, y s studia su signo n la Tnindo n cunta qu - y vrifican la dsigualdad s tin qu D (-, -] [, ). f) La función ponncial 5 dcir, si. Lugo, D R - {-}. f( ) stá dfinida simpr qu lo sté su ponnt 5 g) La función f( ) sn s composición d la función sno y una racional. Como l dominio 9 d la función sno s R, f() stá dfinida cuando ista la función racional, s dcir, si 9 9, lo qu s lo mismo Por tanto, D R - {3, -3}. 9 ( )( 3), d dond s tin qu 3, h) La función f( ) arccos s composición d la función arco cosno y una racional. El dominio d la función arco cosno s [-, ], por lo qu para podr dfinir f() s db vrificar qu , s dcir, s tin qu cumplir l sistma d incuacions 4 4 Oprando para rsolvr la primra incuación quda:, s Proycto d innovación ARAGÓN TRES

3 En la tabla siguint s studia l signo d : Signo 3, 3,, S tin qu la solución d la primra incuación s 3,. Oprando d forma análoga con la sgunda incuación quda: En la tabla siguint s studia l signo d 6 7 : Signo 3, 3 7, 6 7, S tin qu la solución d la sgunda incuación s 3, 7, 6 Así, la solución dl sistma d incuacions s la intrscción d las solucions antriors y nos da 3 l dominio d f, D, 3 7 7,, 6, 6. Dadas las funcions f ( ) 5, g ( ) y h ( ) ; ralizar las siguints opracions: f 3g h, f h, f. g, f g, g f, f g h. ( f 3 g h)( ) f( ) 3 g( ) h( ) 5-3 f f( ) ( ) h h( ) 5 Proycto d innovación ARAGÓN TRES 3

4 ( ) (. f g )( ) f( ) g( ) ( 5 ) ( 5 )( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( f g)( ) f g( ) f ( ) ( ) ( g f)( ) g f( ) g ( ) ( ( )) ( ) ( f g h)( ) ( f g) h( ) f g h( ) ( ) f g f Indicar qué caractrísticas tinn las funcions cuyas gráficas son las siguints curvas: a) b) a) En l intrvalo 5, - la función s strictamnt crcint y strictamnt conva. En l intrvalo 5 -, la función s strictamnt crcint y strictamnt cóncava. En l intrvalo, la función s strictamnt dcrcint y strictamnt cóncava. En l intrvalo, la función s strictamnt dcrcint y strictamnt conva. En l intrvalo (, ) la función s strictamnt crcint y strictamnt conva. Admás, stá acotada infriormnt por y no lo stá supriormnt. No s par, ni impar y tampoco priódica. b) Es una función priódica d priodo π, por llo basta analizarla n l intrvalo [, π ]. π En l intrvalo, 4 3 π, 4 strictamnt dcrcint. π la función s strictamnt crcint y n l intrvalo π 3π, 4 4 Proycto d innovación ARAGÓN TRES 4

5 π π La función s strictamnt cóncava n, y strictamnt conva n, π. Admás, stá acotada infriormnt por y supriormnt por. 4. Calcular los límits latrals d las siguints funcions n los puntos qu s indican: a) c) 5 f( ) n b) f( ) n d) f( ) 3 f( ) 3 n n a) Como al sustituir n l polinomio dl dnominador, ést s anula, vamos a factorizarlo 5 5 para sparar l factor ( ) qudando f( ). ( )( ) Para calcular los límits latrals s utiliza notación simbólica qudando: lim lim ( )( ) lim lim ( )( ). b) lim lim 3 c) Para calcular st límit hay qu rcordar la dfinición d valor absoluto: Así, los límits latrals qudan lim lim lim lim d) lim lim si. si < Proycto d innovación ARAGÓN TRES 5

6 5. Calcular los límits, si istn, d la función qu tin la siguint gráfica n los puntos: -5/, -, : En -5/, hallamos los límits latrals ya qu l comportaminto d su gráfica cambia ants y dspués dl punto, qudando lim f( ) y lim f( ). Como no coincidn, s pud afirmar qu no ist lim f( ) En - s v claramnt obsrvando la gráfica qu s tin qu lim f( ). lim f( ) y ( ) lim f( ) ( ), por tanto, En, la función no stá dfinida a su drcha por lo qu sólo s pud calcular l límit por la 3 izquirda obtniéndos lim f( ) lim f( ). 6. Estudiar la continuidad d las siguints funcions: a) f( ) 3 5 b) 4 ( 3) si 7 f( ) 7 6 si 7 < 8 c) si f( ) si d) sn si f( ) si a) Como la función stá dada por un cocint, hay qu dtrminar los puntos qu anulan l dnominador, s dcir, los puntos qu son solución d la cuación Rsolvindo la cuación quda: y como n l procso d rsolución s ha lvado al cuadrado, s ncsario comprobar si - y vrifican la cuación inicial: 3 ( ) , Por tanto, - y son solucions d la cuación. Proycto d innovación ARAGÓN TRES 6

7 Lugo, la función s continua n R - {-, }. En los puntos - y prsnta discontinuidads no vitabls ya qu: 3 lim f( ) lim 3 5 y 3 lim f( ) lim lim f( ) lim 3 5 y 3 lim f( ) lim 3 5 b) La función 4 ( 3) si 7 f( ) 7 6 si 7 < 8 vrifica: En l intrvalo (, 7) s l polinomio 4 ( 3), lugo s continua y n l intrvalo (7, 8) s l polinomio 7 6, y por llo continua. El único punto qu rquir un studio s 7 ya qu la dfinición d f cambia ants y dspués d él, por lo qu s calculan los límits latrals qudando: lim f( ) lim 4 ( 3), lim f( ) lim 7 6 y f (7). Por tanto, f s continua n 7. si c) Para studiar la función f( ), convin primro scribirla sin l valor si si < y absoluto qudando f( ) si si Los únicos puntos qu rquirn un studio spcial son y ya qu n los dmás casos la función s continua por las propidads d continuidad ya vistas. En s cumpl: lim f( ) lim, lim f( ) lim lugo, la función s discontinua no vitabl n st punto. En s cumpl: lim f( ) lim, lim f( ) lim, f () lugo la función s continua n st punto. sn si d) La función f( ) si funcions continuas. s continua si por sr producto y composición d Proycto d innovación ARAGÓN TRES 7

8 En s cumpl acotada, y f () lim sn, por sr producto d una función qu tind a y una función Por tanto, f también s continua n. 7. Dtrminar l valor d a para qu la función f( ) a < 3 5 si 7 si sa continua n S calculan los límits latrals n ya qu la dfinición d la función cambia ants y dspués lim 7 5 lim a 5 a y f () 5. dl él: ( ), ( ) Para qu la función sa continua n los trs valors antriors dbn coincidir, lugo, a 5 y por tanto, a Hallar lim a ( a) a a sgún los distintos valors rals d a. lim a ( a) a a ( a)( ) lim lim ( a )( a ) a a a si a a a si a Proycto d innovación ARAGÓN TRES 8