Definición 1. Determinante de una matriz 2 2. Sea A una matriz 2 2 dada por A =

Transcripción

1 Determinante de una matriz Funciones como f(x) = senx y f(x) = x 2 asocian un número real f(x) a un valor real de la variable x Dado que tanto x como f(x) asumen valores reales, se llaman funciones reales de variable real (es decir, f : R R) Por su parte, el determinante de una matriz es una función real de variable matricial; es decir, el determinante es una función que asigna un número real f(a) a una matriz A y éste da información relevante acerca de la matriz o del sistema de ecuaciones representado por una matriz Antes de definir qué es y cómo hallar el determinante de una matriz n n y sus propiedades, se definirá de forma intuitiva el determinante de una matriz 2 2; se revisarán algunos conceptos útiles y posteriormente enunicaremos algunos teoremas que involucran el determinante de una matriz y sistemas de ecuaciones Determinante de una matriz 2 2 Empezaremos con una definición provisional para el eterminante de una matriz 2 2 Posteriormente se retomará esta definición como proposición y haremos su demostración Definición 1 Determinante de una matriz 2 2 Sea A una matriz 2 2 dada por [ a11 a 12 Se llama determinante de A (y se denota por deta) al número a 11 a 22 a 12 a 21 Otra notación para deta es A De este modo, como ejemplo, escribir [ a11 a det 12 o bien, a 11 a 12 indican ambas el determinante de la matriz cuadrada A 2 2 Para poder definir el determinante de una matriz n n es necesario dar algunas definiciones previas Empecemos con la definición de menor de una matriz Definición 2 Menor Sea A una matriz de n n y sea M ij la matriz de (n 1) (n 1) que se obtiene de A eliminando el renglón i y la columna j M ij se llama el menor ij de A Esta definición puede entenderse mejor con un par de ejemplos: Ejemplo 1 Sea A la matriz Entonces, el menor M 12 es la matriz 2 2 que resulta al quitar el renglón 1 y la columna 2 De este modo, [ 4 6 M 12 = AL-U3MATRICES-NOTAS-03-DETERMINANTE

2 Ejemplo 2 Sea B la matriz 4 4 B = Entonces, el menor M 32 es la matriz 3 3 que resulta al quitar el renglón 3 y la columna 2 De este modo, M 32 = mientras que el menor M 24 es M 24 = Definición 3 Cofactor Sea A una matriz de n n El cofactor ij de A, denotado por A ij, está dado por A ij = ( 1) i+j M ij Es decir, el cofactor A ij es el determinante del menor M ij multiplicándolo por ( 1) i+j ; esta partícula no hace más que determinar el signo del cofactor Observa que { ( 1) i+j 1 si i+j es impar = 1 si i+j es par Puedes imaginar el signo del cofactor como un tablero de ajedrez con las casillas blancas como signos positivos y las casillas negras como signos negativos (el cliché del bien y el mal): Observa que al elemento a 11 le corresponde el signo positivo, dado que ( 1) 1+1 = ( 1) 2 = 1, mientras que al elemento a 32 le corresponde el signo negativo porque ( 1) 3+2 = ( 1) 5 = 1 Analicemos la definición con un ejemplo: Ejemplo 3 Del ejemplo 2 se tiene que Entonces, el cofactor B 32 está dado por mientras que el cofactor M 24 es B = B 32 = ( 1) 3+2 B 32 = 8 B 24 = ( 1) B 24 = AL-U3MATRICES-NOTAS-03-DETERMINANTE

3 Ahora se definirá el determinante de una matriz n n utilizando cofactores Definición 4 Determinante de una matriz n n Sea A una matriz cuadrada n n La función determinante de la matriz A se denota por deta y está dado por o bien, de forma compacta: det a 11 A 11 +a 12 A a 1n A 1n det A esta última expresión se le llama expansión por cofactores n a 1i A 1i i=1 Ahora, retomemos la definición del determinante de una matriz 2 2 Mostraremos que es un caso particular de la definición anterior: Proposición 1 El determinante de una matriz 2 2 es Demostración Consideremos la matriz Su expansión por cofactores es det a 11 a 22 a 12 a 21 [ a11 a 12 det a 11 a 12 = a 11A 11 +a 12 A 12 donde los cofactores A 11 = ( 1) 1+1 M 11 y A 12 = ( 1) 1+2 M 12 Como estamos hablando de una matriz 2 2, cualquier menor es una matriz 1 1, es decir, un escalar Es obvio que el determinante de una matriz 1 1 es el mismo escalar Así, = a 11 a 22 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 que es lo que quería demostrarse Como podrás darte cuenta, el cálculo del determinante haciendo expansión por cofactores es un procedimiento recursivo Esto quiere decir que, por ejemplo, para calcular el determinante de una matriz 4 4 deben calcularse determinantes de cuatro matrices 3 3 (es decir, los determinantes de los menores) y para calcular estos últimos, deben calcularse determinantes de tres matrices 2 2 (los menores de las matrices 3 3) Esto, sin duda, vuelve más complejo el cálculo del determinante a medida que la dimensión de la matriz crece Observación 1 La definición 4 de determinante indica que los cofactores se obtendrán del primer renglón, dado que det a 11 A 11 +a 12 A a 1n A 1n Sin embargo, no necesariamente debe tomarse el primer renglón Puede tomarse cualquier renglón o columna de la matriz para hacer la expansión por cofactores Por tal motivo, se recomienda considerar el renglón o columna que contenga la mayor cantidad de elementos 0, para simplificar los cálculos 3 AL-U3MATRICES-NOTAS-03-DETERMINANTE

4 Ejemplo 4 Consideremos la matriz Calcular el determinante Solución En este caso, haremos el cálculo por medio de la expansión por cofactores utilizando el segundo renglón, siguiendo la observación anterior Nos conviene tomar este renglón porque dos de sus elementos son 0 Así, = 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) (1) Haremos el cálculo de cada determinante 3 3 que no se multiplica por 0 por separado: Tomando el tercer renglón de la matriz = 1 [ ( 1) Tomando la tercer columna de la matriz = 2 [ ( 1) se tiene [ +2 ( 1) se tiene [ +1 ( 1) [ +0 ( 1) [ +0 ( 1) Así, sustituyendo estos valores en la ecuación 1, se tiene que = 1[( 1)(3)+0+3[( 1)( 42)+0 = = = 3 = = 42 Propiedades de los determinantes Como ya habíamos hecho notar, la evaluación directa de determinantes a partir de la expansión por cofactores se vuelve más compleja conforme aumenta la dimensión de la matriz Esto conduce a dificultades de cómputo Es por esta razón que se analizan algunas propiedades de determinantes que simplificarán su evaluación Se empieza con un teorema fundamental sobre determinantes: Teorema 1 Propiedades fundamentales del determinante Sea A una matriz cuadrada 1 det deta T 2 Si A tiene un renglón de ceros o una columna de ceros, entonces, det 0 Gracias al punto 1 de este teorema podemos afirmar que, a menos que se indique lo contrario, los teoremas sobre 4 AL-U3MATRICES-NOTAS-03-DETERMINANTE

5 determinantes que contienen la palabra renglón en su enunciado son verdaderos también cuando en vez de renglón se escribe columna Si se quiere demostrar que una proposición para renglones es verdadera también para columnas, basta con transponer la matriz Una vez aclarado, se enuncia el siguiente teorema, útil para el simplificar el cálculo de determinantes: Teorema 2 Determinante de una matriz triangular Si A es una matriz triangular n n (ya sea triangular superior, inferior o diagonal), entonces deta es el producto de los elementos de la diagonal principal Dicho de otro modo, det a 11 a 22 a nn Ejemplo 5 Calcular el determinante de la matriz triangular a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a a 33 a a 44 Solución Tomemos la primer columna de la matriz det a 11 A 11 +0A 21 +0A 31 +0A 41 a 22 a 23 a 24 det a 11 0 a 33 a a 44 a det a 11 a 33 a a 44 det a 11 a 22 a 33 a 44 que es justamente el producto de los elementos de su diagonal Gracias a este teorema, será relativamente más sencillo calcular el determinante de una matriz cuadrada dada A ésta se le transforma con las operaciones elementales de renglones para llevarla a una forma triangular y posteriormente multiplicar los elementos de su diagonal Sin embargo, cada una de las operaciones elementales, al afectar uno o más renglones, afecta también el determinante El siguiente teorema indica en qué consisten esos cambios: Teorema 3 Modificaciones del determinante de una matriz triangular Si A es una matriz n n 1 Si B es la matriz que se obtiene cuando un solo renglón o una sola columna de A se multiplica por un escalar k, entonces det(b) = kdet(a) 2 Si B es la matriz que se obtiene cuando se intercambian dos renglones o dos columnas de A, entonces det(b) = det(a) 3 Si B es la matriz que se obtiene cuando un múltiplo de un renglón de A se suma a otro renglón o cuando un múltiplo de una columna se suma a otra columna, entonces det(b) = det(a) es decir, el determinante no se afecta Observación 2 Por el punto 1 del teorema 1 y por el teorema 3, sabemos que si una matriz tiene un renglón (o columna) que sea múltiplo de otro, podemos convertirlo en un renglón (o columna) de ceros por medio de las operaciones básicas y por lo tanto ésta matriz tendrá su determinante igual a 0 5 AL-U3MATRICES-NOTAS-03-DETERMINANTE

6 Regla de Cramer La regla de Cramer es un antiguo método para resolver sistemas cuadrados (con el mismo número de incógnitas y de ecuaciones) Consideremos el sistema Ax = b donde es la matriz de coeficientes del sistema; es el vector de incógnitas y a 11 a 12 a 1n a 1n a n1 x = a n2 a nn x 1 x 2 x n b 1 b 2 b = es el vector de términos independientes Ahora, si el determinante det(a) 0, entonces el sistema tiene solución única, y ésta está dada por x = A 1 b Puede desarrollarse un método para encontrar dicha solución sin necesidad de reducir por renglones y sin necesidad de calcular A 1 : Llamemos D al determinante det(a) y definamos las matrices: A 1 = b n b 1 a 12 a 1n b 2 a 22 a 2n b n a 2n a nn a 11 b 1 a 1n a 21 b 2 a 2n A 2 = a n1 b n a nn a 11 a 12 b 1 b 2 A n = a n1 a 2n b n Obsérvese que cada una de las matrices anteriores (es decir, la matriz A i ) se obtienen de la matriz A al sustituir la i-ésima columna por el vector b Una vez teniendo estas matrices, definamos Así, se tiene el siguiente teorema: D i = det(a i ) 6 AL-U3MATRICES-NOTAS-03-DETERMINANTE

7 Theorem 4 Regla de Cramer Sea A una matriz de n n y suponga que det(a) 0 Entonces, la solución única al sistema está dada por Proof Se sabe que la solución del sistema es x = A 1 b = 1 D (adja)b = 1 D Ax = b x 1 = D 1 D x 2 = D 2 D x n = D n D A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n a 2n A nn Tomemos en cuenta también que el producto (adja)b es un vector columna n 1 cuyo j-ésimo componente es b 1 [ b 2 A1j A 2j A nj = A 1jb 1 +A 2j b 2 + +A nj b n Ahora, consideremos la matriz Aj = b n a 11 a 12 b 1 a 1n b 2 a 2n a n1 a n2 b n a nn Si se calcula el determinante por medio de expansión por cofactores de esta matriz Aj con la columna j, se tiene pero para hallar el cofactor de D j = b 1 (Cofactor de b 1 )+b 2 (cofactor de b 2 )+ +b n (cofactor de b n ) b 1 b 2 b n 7 AL-U3MATRICES-NOTAS-03-DETERMINANTE