Área entre curvas. Ejercicios resueltos. 1. Calcular el área limitada por la curva y = x 2 5x + 6 y la recta y = 2x.

Transcripción

1 Área entre curvas Ejercicios resueltos 1. Calcular el área limitada por la curva y = x 2 5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

2 De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola. 2. Calcular el área limitada por la parábola y 2 = 4x y la recta y = x. De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta. 3.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x 2 e y = x 2 + 4x. En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

3 Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

4 4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x 2 2x, y = x 2 + 4x. Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

5 5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones: y = sen x, y = cos x, x = 0. En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones: La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración. Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas 1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

6 2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 x 2 y el eje OX. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 x 2 y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración. Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = Calcular el área del triángulo de vértices A (3, 0), B (6, 3), C (8, 0).

7 Calcular el área del triángulo de vértices A (3, 0), B (6, 3), C (8, 0). Ecuación de la recta que pasa por AB: Ecuación de la recta que pasa por BC: 4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y 2 = 4x e y = x 2. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y 2 = 4x e y = x 2.

8 5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 x 2 ) y la recta y = 1. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 x 2 ) y la recta y = 1.

9 7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x y la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (1, 4). Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x y la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (1, 4).

10 8. Hallar el área limitada por la recta, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4. Hallar el área limitada por la recta correspondientes a x = 0 y x = 4., el eje de abscisas y las ordenadas 9) Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 3x 3 y el eje de abscisas. Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 3x 3 y el eje de abscisas.

11 10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados. Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2. El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x. El área de rectángulo es base por altura. El área bajo la curva y = ln x es:

12 11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x 2 + y 2 = 9. El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas. Hallamos los nuevos límites de integración.

13 12. Hallar el área de una elipse de semiejes a y b. Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas. Hallamos los nuevos límites de integración.

14 13. Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = x 2 4x + 3 y el eje OX Hallar el área de la figura limitada por: y = x 2, y = x, x = 0, x = 2 Puntos de corte de la parábola y la recta

15 De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola. De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola. 15. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x x 2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX. Puntos de intersección: Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0): Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

16 LONGITUD DE ARCO La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida: Ejemplo Hallar la longitud del arco de curva en el intervalo [0, 1].

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