Población 1. Población 1. Población 2. Población 2. Población 1. Población 1. Población 2. Población 2. Frecuencia. Frecuencia

Transcripción

1 MAT-3 Estadístca I Tema : Meddas de Dspersón Facltador: Félx Rondón, MS Insttuto Especalzado de Estudos Superores Loyola Introduccón Las meddas de tendenca central son ndcadores estadístcos que resumen con un solo valor el conjunto de datos u observacones estudados. Sn embargo, no dan nformacón sobre que tan homogénea es una poblacón sobre una característca específca. 7 7 Frecuenca 3 Poblacón Poblacón 3 3 La fgura muestra dos dstrbucones correspondentes a los pesos (kg) de dos poblacones de cerdos. Frecuenca 3 Poblacón Poblacón 3 3 Ambas dstrbucones tenen Meda, Medana y Moda gual a 3. En la poblacón, algunos cerdos tenen peso muy bajo (kg) y otros pesos muy alto (kg) Pesos en Klogramos Pesos en Klogramos 7 7 Frecuenca 3 Poblacón Poblacón 3 3 Los cerdos de la poblacón están menos dstantes de su valor central que los de la poblacón. Frecuenca 3 Poblacón Poblacón 3 3 Según esto, los cerdos de la dstrbucón son menos varables (más homogéneos) que los cerdos de la dstrbucón Pesos en Klogramos Pesos en Klogramos

2 Meddas de Dspersón Rango Son ndcadores que mden la varacón o dspersón de los datos con respecto a una medda de tendenca central o promedo. Complementan a las meddas de tendenca central y muestran que tanto se alejan los datos del promedo. Las más usadas son: El Rango La Desvacón meda La Varanza La Desvacón o Típca El Coefcente de Varacón Categoría Valor o Marca de clase (X ) Es la dferenca entre el valor más alto y el más bajo en un sere de datos. El rango de datos agrupados es la dferenca que hay entre el límte superor de la clase más alta y el límte nferor de la clase más baja. R Desvacón Meda Es el promedo de los valores absolutos de las desvacones de un conjunto de datos con respecto a su meda artmétca. DM X Observacón Total de datos X X x Desvacón Meda La anteror es la Desvacón Meda para la poblacón. Usualmente lo que se calcula es la DM de la muestra: X X DM x n X Observacón Total de datos Desvacón Meda : Cuál es la desvacón meda de los sguentes datos? 9,, 7,, X DM DM DM.9 Desvacón Meda Para datos agrupados: X Xf DM x f X Marca o punto medo de cada clase. f Frecuenca de la cada clase Total de datos

3 Desvacón Meda La DM de la muestra para datos agrupados: X Xf DM x f X Marca o punto medo de cada clase. f Frecuenca de la cada clase Total de datos Desvacón Meda : sabendo que el promedo es.7 Clase Mar ca (X ) Frec.( f) 8 9 X -X X-X f X Xf DM 7.8 DM 3 DM.9 Varanza Es el promedo de los cuadrados de las desvacones de un conjunto de datos con respecto a su meda artmétca. ( X X) ( x ) σ Varanza En realdad lo que usualmente se calcula es la varanza de la muestra (S ) ( X X) ( x ) S Varanza Varanza : Hallar la varanza de los sguentes datos: 9,, 7,, X. (9.) + (.) + (7.) + (.) σ (3.) + (.) + (.) + (.) + (.) σ 3. σ. + (3.) La varanza se da en undades que son los cuadrados de los undades orgnales. Para tener una medda de dspersón que esté expresada en las msmas undades que las orgnales se hace necesaro sacar la raíz cuadrada de la varanza. El ndcador que se obtene al sacar la raíz cuadrada de la varanza es la Desvacón. 3

4 Desvacón Desvacón Es la raíz cuadrada de la varanza. Es la medda de dspersón más utlzada en estadístca. Su fórmula es: σ ( X X) ( x ) La fórmula para calcular la desvacón estándar de la muestra (S) es: S ( X X) ( x ) En el ejemplo anteror, la desvacón estándar es gual a: σ.. Varanza: ( X X) f (x ) f σ Desvacón : σ ( X X) f (x ) f Varanza de la muestra: X X) f S ( (x ) f S X X) f Desvacón de la muestra: ( (x ) f : sabendo que el promedo es.7 Clase Marc a (X ) Frec.( f) 8 9 X -X (X -X) (X-X) f ,38.7 Varanza:,38.7 σ. 3 Desvacón : σ..8

5 Varanza y/o Desvacón (Fórmula de Computacón) Las fórmulas anterores para varanza y desvacón estándar tenen algún nconvenente en la práctca cuando se trabaja con muchos números o con decmales. Para facltar los cálculos, especalmente con el uso de calculadoras, se utlza la sguente fórmula: σ X ( X ) Varanza y/o Desvacón (Fórmula de Computacón) En caso de una muestra: S X ( X ) n Varanza y/o Desvacón (Fórmula de Computacón) : Hallar la varanza y la desvacón estándar de los sguentes datos: 9,, 7,, 3. X X (8) 8 σ. σ.. Varanza y/o Desvacón (Fórmula de Computacón) Para datos agrupados: σ S ( X f ( X f X f ) n X f ) Varanza y/o Desvacón (Fórmula de Computacón) para datos agrupados. Varanza y/o Desvacón (Fórmula de Computacón) Para datos agrupados: Clase Marca (X ) Frec. (f) 8 9 X X f X f 3, 3,,,9,, , 3,,3 9,,, (,88) 9, σ 3 3 σ ,77,88 9,

6 Propedades de la Desvacón En estadístca, se consdera que una poblacón tene dstrbucón normal cuando cumple con las sguentes condcones: 8.7% de los datos están comprenddos a una desvacón estándar de la meda. 9.% están comprenddos a dos desvacones de la meda % están comprenddos a tres desvacones de la meda. Propedades de la Desvacón 8.7% X σ X X + σ 9.% X σ X X + σ 99.73% X 3σ X X + 3σ % % 3% 3% % % % % % % Propedades de la Desvacón x x σ x + σ x σ x 3σ 8.7% 9.% 99.73% x + σ x + 3σ Propedades de la Desvacón Tomemos como ejemplo los promedos de notas de %. Sabendo que la meda es 3.3 y la desvacón estándar es.3. k X-kσ X+kσ n %.. 3.% % % Coefcente de Varacón o de Pearson Es una medda de dspersón útl para comparar dspersones de dos o más varables expresadas en dstntas escalas. Permte comparar la dspersón de una varable entre dos poblacones dstntas. La dspersón de dos varables dferentes dentro de una msma poblacón. Coefcente de Varacón (CV) o de Pearson El CV es la relacón entre la desvacón estándar y la meda artmétca (promedo). Se expresa de la sguente manera: S CV x

7 Coefcente de Varacón (CV) o de Pearson : Sabendo que el promedo es.7 y la desvacón estándar es.8, entonces:.8 CV.7 CV.8% Coefcente de Varacón (CV) o de Pearson Algunas propedades del CV: Típcamente menor que uno. Para su mejor nterpretacón se expresa como porcentaje. Cuando el promedo es o muy próxmo a este valor el C.V. perde sgnfcado ya que puede dar valores muy grandes que no necesaramente mplcan dspersón de datos. Bblografía Caballero, W (98). Introduccón a la estadístca. San José: IICA. Rvera,. (7). Apuntes de estadístca para el curso propedéutco de la maestría en admnstracón de empresas [folleto]. Santo Domngo: UASD. Spelgel (sf). Estadístca (da ed). 7