Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES

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Alberto Rubio Juárez
hace 6 años
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1 Repaso de º de Bachllerato Números Complejos PREGUNTAS MÁS FRECUENTES. Qué es la udad magara? Es u elemeto del que coocemos úcamete su cuadrado:.obvamete, o se trata de u úmero real.. Qué es u úmero complejo? Es u úmero que dspoe de dos característcas dsttas -de ahí el ombre de complejo. Tee algo de real y algo de magaro. Se suele utlar la letra e su defcó que e su forma cartesaa es x y sedo x, y dos úmeros reales. A todos los úmeros reales se les cosdera como úmeros complejos co y = 0.. Cuáles so las defcoes más mportates e los úmeros complejos escrtos e forma cartesaa? La Parte Real es el úmero real que o multplca a la udad magara. Se utla la expresó Re. Para el úmero complejo x y será: Re( x La Parte Imagara es el úmero real que multplca a la udad magara. Se utla la expresó Im. Para el úmero complejo x y será: Im( y Sedo Re(, Im( ) Sedo Re(, Im( ) Sedo 7 Re( 0, Im( ) 7 Sedo Re(, Im( ) 0. Cómo se represeta gráfcamete u úmero complejo escrto e forma cartesaa? Se utla u plao cartesao de maera que cada puto del plao equvale a u úmero complejo y vceversa. Los úmeros reales está stuados sobre el eje X y los magaros puros sobre el eje Y. E cosecueca al eje X se le llama eje real y al eje Y, eje magaro. De esta maera al úmero complejo le correspode el puto P(, ).. Qué se etede por cojugado de u úmero complejo? Dado u úmero complejo cualquera, se deoma su cojugado a aquel que tee su msma parte real y opuesta parte cartesaa. Por ejemplo y so cojugados. E el plao cartesao estaría stuados smétrcamete respecto del eje real. Pasa de uo a otro se deoma cojugar, operacó que alguos textos represeta co u segmeto horotal sobre el úmero complejo: Por ejemplo: * astersco: Por ejemplo: y otros co u. Cómo se suma úmeros complejos escrtos e forma cartesaa? Se suma partes reales co partes reales y partes magaras co partes magaras. La defcó es: x y ) ( x y ) ( x x ) ( y y ) ( ) ( 7) ( ) ( 7) 8 ( 7. Cómo se multplca u úmero real por u úmero complejo escrto e forma cartesaa? Se multplca el úmero real por la parte real y por la parte magara del º complejo. La defcó es: k ( x y) kx ky ( 7) 0 8

2 Repaso de º de Bachllerato 8. Cómo se multplca dos úmeros complejos escrtos e forma cartesaa? Se utla la sguete defcó: x y ) ( x y ) ( x x y y ) ( x y x y ) ( E la práctca se multplca dstrbuyedo el producto cual s fuese polomos pero aplcado que ( ) ( 7) Cómo se dvde u úmero complejo escrto e forma cartesaa etre u úmero real? Se dvde tato la parte real como la parte magara etre el úmero real Cómo se dvde dos úmeros complejos escrtos e forma cartesaa? Se multplca tato el umerador como el deomador por el cojugado del deomador. Así quedaría u úmero real e el deomador aplcádose el apartado ateror. 7 ( 7)( ) 0 7 ( )( ) Cómo se eleva la udad magara a u expoete etero? Empecemos co expoetes eteros postvos. El resultado de cualquer poteca será uo de estos cuatro resultados:,, -, -. Para dstgurlos se dvde el expoete etre cuatro y se mra el resto. S el resto es cero (es decr, que el expoete es múltplo de cuatro) la poteca resulta. S el resto es uo la poteca resulta. S el resto es dos la poteca resulta - y s el resto es tres la poteca resulta -. E la práctca cosste e susttur el expoete por el resto de su dvsó etre cuatro. Y como mucho sólo quedaría realar dcha poteca. S el expoete es etero egatvo, se dvde etre la poteca co expoete postvo. De uevo sólo resulta uo de los cuatro resultados:,, -, Cómo se eleva u úmero complejo escrto e forma cartesaa a u expoete etero? Empecemos co expoetes eteros postvos. Se aplca el bomo de Newto susttuyedo las potecas de la udad magara segú se explcó ates. S el expoete es etero egatvo, se dvde etre la poteca co expoete postvo. ( ) ( ) () ( ) () ( ) () () 9 ( ) ( ) 8 / / 0 ( ) ( ) ( ) 8 / 8

3 Repaso de º de Bachllerato. Cómo se hace la raí de u úmero complejo escrto e forma cartesaa? E forma cartesaa sólo se puede hacer la raí cuadrada. Se guala a u úmero complejo geérco, se eleva al cuadrado, se detfca la parte real co la parte real y la parte magara co la parte magara para acabar resolvedo u sstema de dos ecuacoes co dos cógtas que os lleva a ua ecuacó bcuadrada. Se obtee dos raíces cuadradas opuestas. Se explcará más adelate u método más efca. x y ( x y) x x ( ) x x xy y x x x xy y x x ( x x y y ) xy xy y x x 0 x / / 0 ( ) ( ) ( ) 9 x y S solucó 8 / 8. Qué es la forma polar de u úmero complejo? Es ua escrtura alteratva a la forma cartesaa. Está dseñada para realar rápdamete las operacoes que os llevaría más trabajo realadas e forma cartesaa: Radcacó, Potecacó, Dvsó y Multplcacó. E lugar de coocer su parte real y su magara, cooceremos su dstaca (postva) al orge (módulo) y el águlo (argumeto) que forma la parte postva del eje Real y el segmeto que ue el úmero complejo al orge. Como dsttos valores de este águlo (por ejemplo 0º y 90º) podría represetar la msma poscó del úmero complejo, se deoma argumeto prcpal cuado es postvo meor de 0º. El módulo de u úmero complejo se suele represetar co dos rayas vertcales (como las del valor absoluto) y sempre es postvo. El argumeto se represeta co Arg. Se escrbe prmero el valor del módulo y como subídce el argumeto. Por ejemplo: 0 º sgfca u úmero complejo de módulo y argumeto 0º.. Cómo se pasa u úmero complejo de la forma polar a la forma cartesaa? Para el úmero complejo m se utla la sguete fórmula: m(cos se ) (cos7º se7º ),9 0, 7 7º. Cómo se pasa u úmero complejo de la forma cartesaa a la forma polar? El módulo del úmero complejo x y se halla co: x y (Ptágoras, e deftva) El argumeto depede de la poscó e que esté stuado el úmero complejo: x 0, y 0 Arg( 0º er Cuadrate Arg( arctg y x x 0, y 0 Arg( 90º Para x y : º ó º Cuadrate Arg( arctg y 80º x x 0, y 0 Arg( 70º º Cuadrate Arg( arctg y 0º x El úmero complejo 0 tee cero de módulo pero su argumeto queda defdo.

4 Repaso de º de Bachllerato Arg( 0º 0º Arg( 90º 90º ( ) Arg( 80º 80º ( ) Arg( 70º 70º Arg( arctg( / ),º,º ( ) Arg( arctg( / ) 80º,º,º ( 8) ( ) Arg( arctg( 8 / ) 80º 7,99º 7,99º ( 0) 0 Arg( arctg( 0 / ) 0º 7,8º 7,8º 7. Cómo se suma o resta dos úmeros complejos escrtos e forma polar? No hay gua fórmula rápda que permta deducr el módulo y el argumeto del resultado de la suma o resta. Estas operacoes debe realarse e forma cartesaa. S se propoe e forma polar debe pasarse prmero a forma cartesaa, sumarse, y covertr el resultado a la forma polar. 8. Cómo se multplca dos úmeros complejos escrtos e forma polar? Se multplca los módulos y se suma los argumetos: m p ( m p) reduce al argumeto prcpal. ( ) 7º º 7 º 8º º. S el argumeto pasase de 0º se 9. Cómo se dvde dos úmeros complejos escrtos e forma polar? m Se dvde los módulos y se resta los argumetos: m. S el argumeto resultase egatvo se reduce al p p argumeto prcpal. º, 7º, 8º º º º 0. Cómo se eleva u úmero complejo escrto e forma polar a u expoete etero? Se eleva el módulo al expoete y multplca el argumeto por el expoete. Es la coocda como fórmula de Movre: ( m ) ( m ). La fórmula srve tato para expoetes eteros postvos como egatvos. S el argumeto pasase de 0º ó resultase egatvo se reduce al argumeto prcpal. º ( ) º 88º 808 º º ( ) º º 9º

5 Repaso de º de Bachllerato. Cómo se halla la raí eésma de u úmero complejo escrto e forma polar? Lo prmero que debemos saber es que tedremos tatas solucoes como el ídce de la raí. Se radca el módulo y se dvde el argumeto sumado a vueltas completas etre el ídce: m ( m) para k = 0,,...,. 0k S teemos que hallar la raí de u úmero complejo escrto e forma polar, prmero lo pasaríamos a forma polar, aplcaríamos lo explcado para hallar sus raíces y por últmo podríamos pasarlo a forma cartesaa. 8º ( 8) 0k 7º 0k 70º 70º 0k º 0k 7º 9º º º 0º 0,88 0,99 º 0,99 0,88 º 8º 0,88 0,99 º 0,99 0,88 8º ( 8) 0k 8º 90k 8º 8º 8º 8º. Cómo es la forma de Euler de u úmero complejo? E prcpo el úmero complejo debe teer módulo gual a. Es ua forma expoecal co expoete magaro. Este expoete es el argumeto, expresado e radaes, multplcado por la udad magara. Las tres formas de u msmo úmero complejo: Polar, Euler y Cartesaa, so: e cos se A esta fucó se le llama cs ( ) S el módulo o fuese sería muy smlar: m m e m (cos se) cos80º se80º e cos º º º se 80º e 7 0º e (cos 0º se 0º) m ( ) 0,97º e Arg arctg( /) 80º 0,97º, rad,

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