Capítulo II. Principios fundamentales del flujo de tránsito

Transcripción

1 Igeiería de Trásito II Capítulo II. Pricipios fudametales del flujo de trásito 2.. Itroducció La teoría del flujo de trásito cosiste e el desarrollo de relacioes matemáticas etre los elemetos primarios de u flujo ehicular tales como flujo, desidad y elocidad. Estas relacioes ayuda al igeiero de trásito para la plaificació, diseño y ealuació de la efectiidad de la implemetació de las medidas de igeiería de trásito e u sistema de carreteras. La teoría del flujo de trásito se usa e el diseño, para determiar las logitudes adecuadas de carril, para almacear a los ehículos ue da uelta a la izuierda; la demora promedio e las iterseccioes y las áreas de icorporació al trásito mediate rampas e los iaductos, así como cambios e el iel de comportamieto del iaducto debido a la istalació de dispositios de cotrol ehicular mejorados e las rampas. Otra aplicació importate de la teoría del flujo ehicular es la simulació, e la cual se utiliza algoritmos matemáticos para estudiar las complejas iterrelacioes ue existe etre los elemetos de u flujo ehicular y para estimar el efecto de los cambios e el flujo de trásito, sobre factores tales como accidetes, tiempo de iaje, cotamiació del aire y cosumo de gasolia. Se ha empleado métodos ue a desde físicos hasta empíricos, e estudios ue relacioados co la cuatificació y descripció del flujo de trásito. S i embargo, este capítulo itroducirá solamete auellos aspectos de la teoría del flujo de trásito ue puede emplearse para la plaificació, diseño y operació de los sistemas de carreteras Elemetos del flujo de trásito Los elemetos del flujo de trásito puede defiirse claramete co la ayuda del diagrama espacio-tiempo. Este diagrama es u gráfico ue describe la relació etre la ubicació de los ehículos e u flujo ehicular, y el tiempo a medida ue los ehículos aaza a lo largo de la ía. E la figura 2. se muestra u diagrama de espacio-tiempo para seis ehículos, co la distacia graficada e el eje ertical y el tiempo e el eje horizotal. Para el tiempo cero, los ehículos, 2, 3, y 4 se ecuetra a las respectias distacias d, d 2, d 3 y d 4 co base e u puto de referecia, mietras ue los ehículos 5 y 6 cruza al puto de referecia posteriormete e los istates t 5 y t 6, respectiamete. 2

2 Figura 2.. Diagrama Espacio - Tiempo Fuete: Garber y Hoel, 2005 Los elemetos primarios del flujo de trásito so el flujo, la desidad y la elocidad. Otro elemeto ue se asocia co la desidad es la separació o brecha etre dos ehículos e el flujo ehicular. A cotiuació se muestra las defiicioes de estos elemetos. El flujo ( es la tasa horaria euialete a la cual trasita los ehículos por u puto, e ua carretera durate u período meor a ua hora. Puede determiarse mediate: 3600 eh/h T dode úmero de ehículos ue trasita por u puto e el camio e T segudos el flujo horario euialete La desidad (, es el úmero de ehículos ue iaja sobre ua logitud uitaria de carretera para u istate de tiempo. E geeral, la logitud uitaria es de u ilómetro, por lo ue la uidad de desidad es el úmero de ehículos por ilómetro (eh/m. La elocidad ( es la distacia recorrida por u ehículo durate ua uidad de tiempo. Puede expresarse e ilómetros por hora (m/h. La elocidad de u ehículo para u istate t, es la pediete del diagrama espacio-tiempo para ese ehículo e el istate t. Por ejemplo, los ehículos y 2 e la figura 2. se muee a elocidad costate porue las pedietes de los gráficos asociadas so costates. El ehículo 3 se muee a ua elocidad costate etre el istate cero y el istate t 3, luego se detiee durate el período t 3 a t 3 (la pediete del gráfico es 3

3 igual a cero y luego acelera para moerse a ua elocidad costate hasta el fial. Existe dos tipos de elocidad media: la elocidad media e el tiempo y la elocidad media e el espacio. La elocidad media e el tiempo ( t es la media aritmética de las elocidades de los ehículos ue trasita por u puto de ua carretera durate u iteralo de tiempo. La elocidad media e el tiempo se calcula mediate: dode t i i úmero de ehículos ue trasita por u puto de la carretera i elocidad del i-ésimo ehículo La elocidad media e el espacio ( s es la media armóica de las elocidades de los ehículos ue trasita por u puto de ua carretera durate u iteralo de tiempo. Se calcula como: dode s s i i L elocidad media e el espacio s úmero de ehículos t i tiempo ue le toma al i-ésimo ehículo recorrer u tramo de la ía i elocidad del i-ésimo ehículo L logitud del tramo de carretera i t i La elocidad media e el espacio es la elocidad ue iteriee e las relacioes flujo-desidad. Esta elocidad es siempre más alta ue la elocidad media e el espacio. La diferecia etre estas elocidades tiede a dismiuir a medida ue aumeta los alores absolutos de las elocidades. 4

4 El iteralo etre ehículos e el tiempo (i es la diferecia etre el istate para el cual el frete de u ehículo llega a u puto de la carretera y el istate para el cual llega el frete del siguiete ehículo al mismo puto. El iteralo etre ehículos e el tiempo se expresa e segudos. Por ejemplo, e el diagrama espacio-tiempo de la figura 2., el iteralo i ue existe etre los ehículos 3 y 4 para d es i 3-4. El iteralo etre ehículos e el espacio (e es la distacia etre el frete de u ehículo y el frete del siguiete ehículo. Se expresa e metros. El iteralo etre ehículos e el diagrama espacio-tiempo de la figura 2. para los ehículos 3 y 4 para el istate t 5 es s Relacioes flujo-desidad La ecuació geeral ue relacioa el flujo, la desidad y la elocidad media e el espacio está dada como: Flujo desidad x elocidad media e el espacio s Cada ua de las ariables de la ecuació aterior tambié depede de otros factores, icluye las características del camio, del ehículo y del coductor, así como de factores del medio ambiete como el estado del tiempo Diagrama Fudametal del flujo de trásito U diagrama fudametal del flujo de trásito reporta la relació etre desidad y flujo de trásito correspodiete para ua carretera. Se ha postulado la siguiete teoría respecto de la forma de la cura ue represeta a esta relació:. cuado la desidad e la carretera es cero, el flujo tambié es cero porue o hay ehículos e la ía. 2. A medida ue aumeta la desidad, el flujo tambié aumeta 3. Cuado la desidad alcaza su máximo, deomiado desidad estática o de cogestioamieto ( j, el flujo debe ser cero porue los ehículos tederá a aliearse extremo co extremo 5

5 4. Se cocluye ue a medida ue la desidad aumeta desde cero, el flujo tambié aumetará iicialmete desde cero hasta u alor máximo. U icremeto cotiuo adicioal de la desidad, coducirá etoces a ua reducció cotiua del flujo, el cual fialmete será cero cuado la desidad sea igual a la desidad de cogestioamieto. Por tato la forma de la cura adopta la geometría mostrada e la figura 2.2a. Figura 2.2 Diagramas Fudametales de flujo de trásito Fuete: Garber y Hoel Se ha recopilado datos ue tiede a cofirmar el argumeto postulado ateriormete, pero existe algua cotroersia respecto a la forma exacta de la cura. Puede postularse u argumeto similar para la relació geeral etre la elocidad media e el espacio y el flujo. Cuado el flujo es muy bajo, existe poca iteracció etre los ehículos idiiduales. Por tato, los coductores tiee la libertad de iajar a la máxima elocidad posible. La elocidad máxima absoluta se obtiee a medida ue el flujo tiede a cero, y se le cooce como la elocidad libre ( f. La magitud de la elocidad libre media depede de las características físicas de la carretera. U 6

6 icremeto cotiuo del flujo resultará e u decremeto cotiuo de la elocidad. Si embargo, se alcazará u puto para el cual u mayor úmero de ehículos resultará e la reducció del úmero erdadero de ehículos ue trasita por u puto e la carretera (es decir, ua reducció de flujo. Esto coduce a u cogestioamieto, y fialmete tato la elocidad como el flujo se hace cero. E la figura 2.2c se muestra esta relació geeral. La figura 2.2b muestra la relació directa etre la elocidad y la desidad. De la ecuació fudametal se sabe ue la elocidad media e el espacio es igual al flujo diidido por la desidad, lo ue hace ue las pedietes de las rectas 0B, 0C y 0E de la figura 2.2a represete a las elocidades medias e el espacio para las desidades b, c y e, respectiamete. La pediete de la recta 0A es la elocidad a medida ue la desidad tiede a cero y existe poca iteracció etre los ehículos. Por tato, la pediete de esta recta es la elocidad libre media ( f ; es la elocidad máxima ue puede alcazarse e la carretera. La pediete de la recta 0E es la elocidad media e el espacio para el flujo máximo. Este flujo máximo es la capacidad de la carretera. Etoces, puede erse ue es coeiete ue las carreteras opere a desidades ue o sea mayores ue la ecesaria para el flujo máximo Relacioes matemáticas ue describe el flujo de trásito Las relacioes matemáticas ue describe el flujo del trásito puede clasificarse e dos tipos, macroscópico y microscópico, depediedo de efoue ue se use e el desarrollo de estas relacioes. El efoue macroscópico cosidera a las relacioes de la desidad del flujo, mietras ue el efoue microscópico cosidera al espaciamieto etre ehículos y las elocidades de los ehículos idiiduales. Efoue macroscópico El efoue macroscópico cosidera flujos ehiculares y desarrolla algoritmos ue relacioa el flujo, co la desidad y co las elocidades medias e el espacio. Los modelos macroscópicos más empleados so los modelos de Greeshields y de Greeberg. El modelo de Greeshields. Greeshields desarrolló uo de los primeros trabajos ue se cooce, e éste él estudia la relació etre elocidad y desidad. Postuló la hipótesis de ue existe ua relació lieal etre la elocidad y la desidad y la expresó como: 7

7 s f f f Puede desarrollarse relacioes correspodietes para el flujo y la desidad, y para el flujo y la elocidad. Como s, despejado y sustituyedo el alor e la ecuació aterior se obtiee: 2 s f s f j Tambié al sustituir el alor de s e la misma ecuació aterior se obtiee: f Las ecuacioes ateriores idica ue si se supoe ua relació lieal etre la elocidad y la desidad, etoces se obtiee relacioes parabólicas etre el flujo y la desidad, y etre el flujo y la elocidad. f 2 j El modelo de Greeberg. Este modelo utiliza la aalogía del flujo de fluidos. La forma del modelo es: s j c l Multiplicado cada lado de la ecuació por se obtiee: j s c l Aplicació del modelo. El uso de estos modelos depede de si se satisface los criterios de frotera del diagrama fudametal del flujo de trásito para la regió ue describe a las codicioes de trásito. Por ejemplo, el modelo de Greeshields satisface a las codicioes de frotera cuado la desidad se aproxima a cero, así como cuado la desidad se aproxima a la desidad de embotellamieto j. Por tato, el modelo puede emplearse para trásito ligero o deso. Por otro lado, el modelo de Greeberg satisface las codicioes de frotera cuado se aproxima a cero, lo ue sigifica ue el modelo es útil solamete para las codicioes de trásito deso. 8

8 Calibració de los modelos macroscópicos de flujo de trásito. Los modelos de trásito estudiados hasta ahora puede emplearse para determiar características específicas tales como elocidad y desidad para los cuales se preseta el flujo máximo, así como para la desidad de embotellamieto de ua istalació. Hacer la calibració de u modelo implica recolectar los datos apropiados e la istalació específica de iterés, y ajustar los putos de los datos obteidos a u modelo adecuado. El método de efoue más comú es el aálisis de regresió. Se puede usar regresió lieal si existe ua relació lieal etre las ariables depediete e idepediete y el de regresió lieal múltiple cuado existe ua relació lieal respecto a dos o más ariables Distribucioes estadísticas de ehículos A cotiuació sigue alguos ejemplos de estas distribucioes Llegadas. La probabilidad de ue y ehículos llegue o pase e u período de tiempo t se puede expresar como P(y.. Llegadas aleatorias, ocurre cuado el olume de trásito es muy bajo. E ese caso se puede aplicar la distribució Poisso. a. Se cosidera ue las llegadas so aleatorias si la media es igual a la ariaza. 2 σ x b. La fórmula de Poisso describe la probabilidad de ue y ehículos llegue e el tiempo t, dode λ es la rata promedio de llegada. P( y ( λt y e y! λt y m e y! m m λt y V λ T dode: m es el promedio de ehículos ue llega por período de tiempo e es la base del logaritmo eperiao (2,7928 y 0,, 2, 3,., V es el úmero total de ehículos ue llega para u istate T segudos λ es el úmero promedio de ehículos ue llega por segudo. 2. Tráfico más cogestioado, ocurre para olúmees más altos y muy cercaos a la capacidad. E ese caso se puede aplicar la distribució biomial. a. Las llegadas so más uiformes si la ariaza es mucho meor ue la media. 9

9 2 σ x b. La fórmula biomial es la siguiete: P << ( y P(0 si y 0 dode: P( y P( y p + y y 2 x σ p p x p x 3. Variacioes cíclicas, se usa la distribució biomial egatia. a. Las llegadas so cíclicas si aría del pico al o pico y la ariaza es mucho mayor ue la media 2 σ x >> 4. Volume costate, característico del flujo cogestioado, se puede usar distribució uiforme Iteralos. El iteralo medio etre ehículo sucesios es i. La probabilidad de iteralos etre ehículos es la probabilidad de ue 0 ehículos llegue e ese iteralo de tiempo. Por ejemplo, la probabilidad de 0 ehículos llegado e u tiempo de 7,0 segudos es la probabilidad de ue exista u iteralo etre ehículos de 7,0 segudos.. Si el flujo es aleatorio se puede usar la distribució expoecial egatia P( i t e t i 2. Para flujo cogestioado, dode los iteralos so muy peueños, se ha hecho uso de la distribució expoecial desplazada. 3. Para pelotoes, alguos ha sugerido usar la distribució logormal 20

10 2.5. Brecha y brecha aceptable Otro aspecto importate del flujo de trásito es la iteracció de los ehículos a medida ue se icorpora, sale o cruza u flujo ehicular. Ejemplos de éstos icluye a los ehículos e rampa ue se icorpora al flujo e u iaducto, los ehículos e los iaductos ue sale hacia ías laterales y el cambio de carriles de ehículos e ua carretera de arios carriles. El factor más importate ue u coductor cosidera al hacer estas maiobras es la dispoibilidad de ua brecha etre dos ehículos ue, de acuerdo co el juicio del coductor, sea adecuada para termiar la maiobra. La ealuació de las brechas dispoibles y la decisió de realizar ua maiobra específica, detro de ua separació específica so iheretes al cocepto de brecha aceptable. A cotiuació se muestra las medidas importates ue icluye al cocepto de brecha aceptable:. La cofluecia o icorporació es el proceso mediate el cual u ehículo e ua corriete ehicular se icorpora a otra corriete ehicular ue se muee e el mismo setido, tal como u ehículo e rampa ue se icorpora al flujo e u iaducto. 2. La separació o diergecia es el proceso mediate el cual u ehículo e u flujo ehicular, sale de ese flujo ehicular, tal como u ehículo ue sale del carril exterior de u camio de acceso cotrolado. 3. El etrecruzamieto o la mezcla del trásito es el proceso mediate el cual u ehículo se icorpora primero a u flujo ehicular, luego cruza a ese flujo e setido oblicuo, y eseguida se icorpora a u segudo flujo ue se muee e el mismo setido; por ejemplo, la maiobra ue se reuiere para ue u ehículo e rampa se icorpore al lado más alejado del flujo e u camio de acceso cotrolado. 4. La brecha es el iteralo etre ehículos e u flujo pricipal, el cual es ealuado por el coductor de u ehículo ue está e u flujo secudario y ue uiere icorporarse al flujo pricipal. 5. El desfasamieto de tiempo es la diferecia etre el istate e ue u ehículo ue se icorpora a u flujo pricipal, alcaza u puto e la carretera e el área de la icorporació y el istate e el cual u ehículo e el flujo pricipal alcaza el mismo puto. 6. El desfasamieto espacial es la diferecia para u istate de tiempo, etre la distacia ue separa a u ehículo ue se icorpora de u puto de referecia e el área de 2

11 icorporació y la distacia ue separa a u ehículo e el flujo pricipal del mismo puto. E la figura 2.3 se ilustra las relacioes tiempo-distacia para u ehículo ue está e ua itersecció cotrolada por ua señal de PARE esperado icorporarse, y para los ehículos e el carril cercao del flujo ehicular pricipal. Fuete: Garber y Hoel, 2005 Figura 2.3 Diagrama espacio-tiempo para ehículos e las cercaías de ua señal de PARE U coductor ue trata de icorporarse al flujo ehicular debe ealuar primero las brechas ue se preseta para determiar cuál, si existe algua, es lo suficietemete grade para pasar. Al aceptar esta brecha, el coductor piesa ue podrá termiar la maiobra de icorporació e itegrarse co seguridad al flujo pricipal. A esta acció se le deomia la aceptació de la brecha. Este factor tiee importacia cuado los igeieros está cosiderado la demora de los ehículos e camios secudarios, ue uiere icorporarse a u flujo ehicular e u camio pricipal e iterseccioes si semáforos, así como la demora de ehículos e rampa ue uiere icorporarse a ías de acceso cotrolado. Tambié puede usarse para croometrar la etrada de los ehículos ue está e la rampa de igreso de u camio de acceso cotrolado, de modo ue sea máxima la probabilidad de ue el ehículo etrate ecuetre ua brecha aceptable al llegar al camio de acceso cotrolado. Para emplear el factor de la aceptació de la brecha para la ealuació de las demoras, de tiempos de espera, logitudes de fila, etc., e las iterseccioes si semáforos y e las rampas de etrada, debe determiarse primero la logitud de brecha míima promedio ue los coductores a a 22

12 aceptar. Se ha dado arias defiicioes a este alor crítico. Greeshields lo llamó la brecha de tiempo míima aceptable y la defiió como la separació etre ehículos aceptada por el 50% de los coductores. Raff utilizó el cocepto de brecha crítica y la defiió como la brecha para la cual, el úmero de brechas aceptadas más cortas ue ésta es igual al úmero de brechas rechazadas mayores ue ésta. Puede emplearse u método gráfico o uo algebraico. E el uso del método gráfico, se traza dos curas de distribució acumulada como se muestra e la figura 2.4. Ua de ellas relacioa la logitud de la brecha t co el úmero de brechas aceptadas ue so meores ue t, y la otra relacioa a t co el úmero de brechas rechazadas mayores ue t. La itersecció de estas curas os da el alor de t para la brecha crítica. Fuete: Garber y Hoel Figura 2.4. Curas de distribució acumuladas para las brechas aceptadas y rechazadas 2.5. El efoue estocástico de los problemas de la brecha y de la brecha de aceptació El uso de la aceptació de la brecha para determiar la demora de los ehículos e los flujos meores ue a a icorporarse a los flujos pricipales, reuiere u coocimieto de la frecuecia de llegada de las brechas, ue sea cuado meos iguales a la brecha crítica. Ésto a su ez depede de la distribució de llegada de los ehículos de la corriete pricipal, al área de icorporació. E geeral, se acepta para u flujo ue aría de ligero a mediao e ua carretera, la llegada de los ehículos tiee ua distribució aleatoria. Por tato, es importate ue se estudie el efoue probabilística de este asuto. Es comú supoer ue para determiar la ariació de trásito ligero a mediao, la distribució es la de Poisso, auue tambié se ha plateado hipótesis para el uso de las distribucioes gamma y expoecial. 23

13 Supogamos ue la distribució para la llegada del flujo pricipal es la de Poisso, etoces la probabilidad de y llegadas para cualuier iteralo de tiempo de t segudos puede obteerse mediate la expresió P( y ( λt y e y! λt y m e y! m m λt y V λ T para y 0,, 2, 3,., dode los símbolos ya fuero explicados. Ahora, cosidere a u ehículo e ua itersecció si semáforos o e ua rampa esperado icorporarse al flujo ehicular pricipal, cuyas llegadas puede describirse mediate la ecuació aterior (Poisso. El ehículo proeiete del flujo meor a a icorporarse solamete si existe ua brecha de t segudos, igual ue o mayor ue, la brecha crítica. Esto a a ocurrir cuado o llegue ehículos durate u período ue dure t segudos. La probabilidad de esto es la probabilidad de ue llegue cero ehículos (y 0. Por tato, si se sustituye este alor e la ecuació de Poisso, el resultado será la probabilidad de ue ocurra ua brecha igual o mayor ue t (i t. P( 0 P( i t e λt e t i La ecuació aterior se cooce como la distribució expoecial y puede usarse para determiar el úmero de brechas aceptables ue ocurrirá e ua itersecció si semáforos o e el área de icorporació de la rampa de etrada a u camio de acceso cotrolado, durate u período T, si se acepta a la distribució Poisso para el flujo ehicular pricipal y tambié se cooce el olume ehicular V. Supoga ue T es igual a ua hora y ue V es el olume e eh/hr para el flujo ehicular pricipal. Ya ue se preseta (V- brechas etre V ehículos sucesios e u flujo ehicular, etoces el úmero esperado de brechas mayores o iguales ue t, está dado por Frecuecia( i t i λt ( V e ( V e t 24

14 2.6. Itroducció a la teoría de colas Ua de las pricipales preocupacioes de los igeieros de trásito, es el cogestioamieto ue existe e las ías urbaas, e especial durate las horas pico. Este cogestioamieto coduce a la formació de colas e las rampas de etrada y salida e los camios de acceso cotrolado, e las iterseccioes y e las ías co tráfico cotiuo dode pueda formarse colas e moimieto. Para u aálisis apropiado de los efectos de las colas, es esecial ua compresió de los procesos ue coduce a la formació de este tipo de colas y de las cosiguietes demoras e las carreteras. Por tato, la teoría de colas se ocupa del uso de algoritmos matemáticos para describir los procesos ue resulta e la formació de las colas, de modo ue pueda realizarse u aálisis detallado de los efectos de las colas. Estos algoritmos matemáticos puede usarse para determiar la probabilidad de ue ua llegada se retrase, el tiempo esperado de aguardar para todas las llegadas, el tiempo esperado de aguardar de ua llegada ue espera, etc. Se ha desarrollado arios modelos ue puede aplicarse a las situacioes del trásito, tales como, la icorporació del trásito e la rampa de los camios de acceso cotrolado, las iteraccioes e los cruces de peatoes y la reducció repetia de la capacidad e u camio de acceso cotrolado. Esta secció dará solamete las relacioes elemetales de la teoría de colas para u tipo específico, es decir la cola de u solo carril. Ua cola se forma cuado los arribos espera u sericio o ua oportuidad, como la llegada de ua brecha aceptada e u flujo pricipal de trásito, el cobro e ua caseta de peaje o e ua etrada a u estacioamieto. El sericio puede ofrecerse para u solo carril o para arios carriles. El aálisis apropiado de los efectos de ua cola de este tipo puede desarrollarse solamete si la cola está pleamete especificada. Esto reuiere ue se cuete co las siguietes características de la cola:. La distribució característica de las llegadas, por ejemplo, si es uiforme, si es Poisso, etc. 2. el método de sericio, tal como se atiede al primero ue lega, aleatorio o prioritario 3. La logitud de la fila, es decir, si es fiita o ifiita 4. la distribució de los tipos de sericio 5. la distribució de los carriles, es decir, si los carriles so idiiduales o múltiples, y e el caso de carriles múltiples, si so e serie o e paralelo. 25

15 Se ha utilizado arios métodos para la clasificació de las colas co base e las características ateriores, alguos de ellos se mecioa a cotiuació: Distribució de las llegadas. Las llegadas puede describirse como ua distribució determiística o ua distribució aleatoria. E geeral, el trásito ue a de ligero a mediao se puede describir mediate ua distribució Poisso, y comúmete se utiliza e las teorías de colas relacioadas co el flujo de trásito. Método de sericio. Las colas tambié puede clasificarse por el método ue se usa para prestar u sericio e las llegadas. Estos icluye ue se atieda al primero ue llega, e el cual las uidades so seridas e el orde de llegada, y al último ue llega es al primero ue se atiede, e el cual el sericio está iertido respecto del orde de llegada. El método por tipo de sericio tambié puede basarse e la prioridad, para lo cual las llegadas se caaliza a las filas específicas de los ieles apropiados de prioridad, por ejemplo, se da prioridad a los buses. Etoces se presta sericio a las colas de acuerdo co el iel de prioridad. Características de la logitud de la cola. Se especifica la logitud máxima de la cola, es decir, el úmero máximo de uidades e la cola, e cuyo caso la cola puede ser fiita o trucada, o puede o haber restricció a la logitud de la cola. Alguas eces so ecesarias las colas fiitas cuado el área de espera está limitada. Distribució de sericios. Geeralmete tambié se cosidera a esta distribució como aleatoria, y se ha utilizado las distribucioes de Poisso y la expoecial egatia. Números de carriles. Correspode al úmero de colas de espera, por tato se usa para hacer su clasificació, por ejemplo, como ua cola de u solo carril o ua cola de arios carriles. Colas sobresaturadas y por debajo de la saturació. Las colas sobresaturadas so auellas e ue la tasa de llegadas es mayor ue la tasa de sericio, y las colas por debajo de la saturació so auellas e ue la tasa de llegadas es meor ue la tasa de sericio. La logitud de ua cola por debajo de la saturació puede ariar, pero alcazará u estado 26

16 estacioario co la llegada de las uidades. Si embargo, la logitud de ua cola sobresaturada uca alcazará el estado estacioario sio ue seguirá aumetado co la llegada de las uidades. Fuete: Garber y Hoel, 2005 Figura 2.5. Ua cola de u solo carril Filas ifiitas por debajo de la saturació y de u solo carril E la figura 2.5 se muestra u esuema de ua cola de u solo carril para la cual la tasa de llegadas es de ehículos/hora y la tasa de sericio es de Q ehículos/hora. Para ua cola por debajo de la saturació, Q>, supoiedo ue tato la tasa de llegadas como la tasa de sericio so aleatorias, y puede desarrollarse las siguietes relacioes:. La probabilidad de uidades e el sistema, P( P( Q dode es el úmero de uidades e el sistema, icluyedo la uidad ue está siedo serida. 2. El úmero esperado de uidades e el sistema, E( E( Q 3. El úmero esperado de uidades ue espera por el sericio (es decir, la logitud media de la cola e el sistema, E(m Q 2 E( m Q( Q Obsere ue E(m o es exactamete igual a E(-, esto se explica porue existe ua probabilidad defiida de ue cero uidades esté e el sistema, P(0. 27

17 28 4. El tiempo promedio de espera e la cola, E(w ( ( Q Q w E 5. El tiempo promedio de espera de ua llegada, icluyedo la cola y el sericio, E( Q E ( 6. La probabilidad de pasar u tiempo t o meor e el sistema t Q e t P ( 7. La probabilidad de esperar u tiempo t o meor e la cola t Q e Q t w P ( 8. La probabilidad de ue esté e el sistema más de N ehículos, es decir P(>N ( + N Q N P Filas fiitas por debajo de la saturació y de u solo carril E el caso de ua cola fiita, se especifica el úmero máximo de uidades (N e el sistema. Sea la tasa de llegada y Q la tasa de sericio. Si tambié se supoe ue tato la tasa de llegadas como la tasa de sericio so aleatorias, puede desarrollarse las siguietes relacioes para la cola fiita:. Probabilidad de uidades e el sistema N P ρ ρ ρ ( + dode ρ /Q 2. El úmero esperado de uidades e el sistema ( ( N N N N N E ρ ρ ρ ρ ρ