KMN : JKL : Pagina 1 de 16 SOLUCIONES OCTUBRE 2016

Transcripción

1 agina de 6 UIE URE 06 utor: Riard eiró i Estruh tubre - entro de un retángulo se han insrito 6 irunferenias de igual radio r (ver figura) eterminar la medida de los lados del retángulo oluión: ea el retángulo de lados El triángulo J de lado J r, J 60º J 0º, J r pliando el teorema del oseno al triangulo J : (r) (r) r r os0 º implifiando: 7 r iga J a, b pliando el teorema del oseno al triangulo J : J (r) (r) 7 r r 7 r os implifiando: 5 7 os ea la proyeión de sobre la reta a r 6r pliando razones trigonométrias al triangulo retángulo : a r 6r os 5 7 a Resolviendo la euaión: sin b r 6r pliando razones trigonométrias al triangulo retángulo b r 6r : sin b 7 Resolviendo la euaión: tubre - (I)

2 Resultado:, m agina de 6 En un uadrado sobre dos lados onseutivas se han dibujado dos semiirunferenias (ver figura) Una irunferenia es tangente exterior a las dos semiirunferenias y a los otros dos lados eterminar el radio de la irunferenia oluión: ea el uadrado de lado ea el punto medio del lado entro de la semiirunferenia de diámetro ea el entro de la irunferenia ea ea la proyeión de sobre el lado, r, r, r r su radio pliando el teorema de itágoras al triangulo retángulo r r ( r) implifiando: r r 0 Resolviendo la euaión: r,7 m Resultado: 0,56 m : Resultado: 0,75 m tubre - (II) En un uadrado de lado se han dibujado dos semiirunferenias de diámetro dos lados del uadrado os irunferenias, ada una de ellas, es tangente a las semiirunferenias y a un lado del uadrado eterminar el radio de les irunferenias,7 m oluión: Resultado: 0,56 m ea el uadrado de lado ean, los puntos medios de los lados Resultado:, 0,75, m respetivamente ea el entro de la irunferenia tangente al lado ea el punto de tangenia ea r el radio ea x ea la proyeión de sobre el lado r, r, r, x pliando el teorema de itágoras al triangulo retángulo r r x implifiando: x () r pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo : :

3 agina de 6 r x r implifiando: 8r x x () onsideremos el sistema formado por las expresiones () (): r 8r x x Resolviendo el sistema: x x 6 r 9 tubre 5-6 En la figura, el uadrado exterior tiene lado os irunferenias son tangentes a los dos aros y la pequeña tangente al uadrado grande y la grande tangente al uadrado pequeño eterminar el radio de las dos irunferenias oluión: ea el uadrado de lado ean I, J los puntos medios de los lados,, respetivamente ea el uadrado de lado x ea el punto medio del lado x,, x pliando el teorema de itágoras al triangulo retángulo : x x Resolviendo la euaión: x 5 ea el entro de la irunferenia grande ea el entro de la irunferenia pequeña ea r el radio de la irunferenia grande I x r r, r, I 5 pliando el teorema de itágoras al triangulo retángulo ( r) r 5 Resolviendo la euaión: 9 r 0 ea J s el radio de la irunferenia pequeña I s, s I : J I

4 agina de 6 pliando el teorema de itágoras al triangulo retángulo I : ( s) ( s) s 6 Resolviendo la euaión: tubre 7-8 En la figura, la irunferenia tiene radio R e ha dibujado un uadrado y un triángulo equilátero eterminad el radio de las tres irunferenias oluión: ea la irunferenia de radio R y entro ea el uadrado insrito en la irunferenia R ea el triángulo equilátero insrito en la irunferenia ea el punto medio del lado es el barientro del triángulo pliando la propiedad del barientro: R R pliando el teorema de itágoras al triangulo retángulo isóseles : R ea E r el radio de la irunferenia de entro E El radio de la irunferenia insrita al triangulo r R 60º, entones, 5º es: pliando el teorema de itágoras al triangulo retángulo R pliando razones trigonométrias al triangulo retángulo : J : J tg5º tg(5º 0º ) e donde, J 6R R J E R J 6 os5º os(5º 0º ) e donde, J R

5 agina 5 de 6 iga s el radio de la irunferenia de entre El radio de la irunferenia insrita al triangulo J es: 0,6 m Resultado: 0,6 m,8 m tubre 9-6 En la figura, el uadrado tiene lado y el triángulo es equilátero alulad la medida de los radios de les dos irunferenias oluión: ea el uadrado de lado ea el triángulo equilátero a reta orta el lado en el punto ea la proyeión de sobre 0º 75º 80º (60º 75º ) 5º ea x pliando el teorema del oseno al triángulo x os 0º x ea r el radio de la irunferenia insrita al triángulo El área del triángulo es: x sin 0º r r ea y y, y, y r Resolviendo la euaión: pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo ( y) y ( y) y Resolviendo la euaión: ea s el radio de la irunferenia insrita al triangulo 0,6 m : : Resultado: 0,6 m,8 m

6 agina 6 de 6 El área del triángulo es: y y s s 6 6 s Resolviendo la euaión: tubre 0-7 En la figura, dentro de un triángulo equilátero de lado hay un uadrado que tiene un vértie en el punto medio de un lado y el otro vértie en la altura sobre este lado e han dibujado dos irunferenias insritas en dos triángulos y una terera tangente al triángulo equilátero que pasa por el vértie superior del uadrado eterminad el radio de las tres irunferenias oluión: ea el triángulo equilátero de lado ea el uadrado 5º ea J la proyeión de sobre el lado ea J J x J x J x x pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo : J x ( x) Resolviendo la euaión: x ea r el radio de la irunferenia insrita a los triángulos x x x r Resolviendo la euaión: r 5 6, r ea paralelo al lado es el punto medio del lado os triángulos equiláteros, son semejantes ea s el radio de la irunferenia insrita al triangulo E J El radio de la irunferenia insrita al triangulo es: R x, x

7 agina 7 de 6 pliando el teorema de ales: s x s tubre - En la figura, la irunferenia exterior tiene radio R os dos uadrados son iguales, el vértie omún es el entro de la irunferenia y los opuestos a este forman un diámetro eterminad el radio de las dos irunferenias tangentes a los uadrados y a la irunferenia exterior oluió: ea el entro de la irunferenia exterior y R su radio ea el entro de la irunferenia superior y r su radio ea el entro del uadrado de la izquierda ea el punto de tangenia de la irunferenia de entro y el uadrado de la izquierda ea el punto de tangenia de la irunferenia de entro y el uadrado de la dereha ea el punto de tangenia de la irunferenia exterior y la de entro ea la reta r tangente a la reta que pasa por el punto ea la interseión de la reta r y la reta ea la interseión de la reta r y la reta El triángulo es retángulo e isóseles: R R 8 85 R 8 El radio de la irunferenia insrita en el triángulo retángulo s R R s R

8 agina 8 de 6 tubre -0 En la figura el uadrado exterior tiene lado Hay dos semiirunferenias de diámetros dos lados opuestos Un uadrado que tiene los dos vérties en las semiirunferenias y los otros dos sobre un lado del uadrado eterminad el radio de las dos irunferenias oluión: ea el uadrado de lado ean E,, G H los puntos medios de los lados del uadrado ea IJ el uadrado de lado IJ x ea G r el radio de la irunferenia superior ( el entre) ea la proyeión de sobre el lado H r, H r, H pliando el teorema de itágoras al triangulo retángulo H : r r r os triángulos retángulos 8 Resolviendo la euaión: EJ, J EJ or tanto, E,, están alineados ea la proyeión de sobre el lado x, x, E son semejantes ya que pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo x x Resolviendo la euaión: x 5 ea s el radio de la irunferenia inferior ( el entre) ea la proyeión de sobre el lado s, x s s, 0 pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo s 9 s 60 s 0 Resolviendo la euaión: : : I G E J

9 agina 9 de 6 tubre -5 ea el retángulo ean y los puntos medios de los lados,, respetivamente eterminad la proporión entre las áreas del triángulo y el retángulo oluión : ea el área del retángulo es el punto medio de los segmentos, ea X el área del triángulo os triángulos que tienen la misma altura tienen las áreas proporionales a las bases 8 8 os triángulos os triángulos,, or tanto, X 8 8 son iguales, por tanto: son semejantes y de razón : X 8 X X Resolviendo la euaión: X or tanto, 8 X /8 /8 /8 oluión : os triángulos que tienen la misma altura tienen las áreas proporionales a les bases 8 os triángulos, son iguales, por tanto: os triángulos, son semejantes y de razón : or tanto,

10 agina 0 de 6, 8 or tanto, tubre 8-9 En un triángulo equilátero de lado se ha insrito dos semiirunferenias tangentes a dos lados y que tienen el diámetro en el terer lado Una irunferenia se tangente exterior a las dos semiirunferenias y a un lado del triángulo (ver figura) alulad el radio de la irunferenia oluión: ea el triángulo equilátero de lado El entro de las dos semiirunferenias es el punto medio e los lados y, respetivamente ea el punto medio del lado, k el entro de la semiirunferenia ea el punto de tangenia de la semiirunferenia de entro y el lado ea r su radio pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo :, r as dos semiirunferenias son simétrias respeto de la mediatriz del lado or tanto, la irunferenia es simétria respeto de la mediatriz anterior El punto de tangenia de la irunferenia y el lado es el punto medio del lado ea el entro de la irunferenia y s su radio ea la proyeión de sobre el segmento r s, r s pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo ( r s) (r s) 6 rs s 6 r 6 8 :

11 agina de 6, m tubre - ea un uadrado de lado ean E y los puntos medios de los lados,, respetivamente eterminad el radio de las irunferenias insritas en los triángulos E, y el uadrilátero E, m oluión: ea G el entro de la irunferenia insrita en el triángulo retángulo E y GH r su radio pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo E : E 5 E El radio de la irunferenia insrita al triángulo E es: 5 E E 5 r ean y puntos de tangenia de la irunferenia insrita en el uadrilátero E on los lados E, E, respetivamente ea el entro de la irunferenia y s el radio, s G H E ( s) ea E, entones, 5º pliando razones trigonométrias al triángulo retángulo s sin(5º ) ( s) : s os sin ( s) s 5 5 ( s) implifiando: s 5 ( s) Resolviendo la euaión: 5 s

12 agina de 6 tubre En la figura, el uadrado tiene lado eterminad el radio de las dos irunferenias oluión: ea el uadrado de lado ea el entro de la irunferenia pequeña ea el entro de la irunferenia grande V x ea a reta es bisetriz del ángulo, y a además, i son tangentes a la semiirunferenia, por tanto, pasa por punto medio del lado tg or tanto, tg tg tg J tg or tanto, pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo : 5 V ea r el radio de la irunferenia de entro El radio de la irunferenia insrita en el triángulo retángulo es: 5 r a ' 5 a or tanto, ea la proyeión de sobre el lado ea la proyeión de sobre U ' r, ' r, " r or tanto, los triángulos retángulos ', " son iguales, y de aquí: UV " ' ea la interseión de las tangentes i UV ea V x : V x UV x Resolviendo la euaión: V x, ea J la interseión de la tangente UV y la reta os triángulos J, U ' son semejantes y de razón : : : " U U'

13 agina de 6 tubre /-5 En un uadrado de lado se han dibujado dos uadrantes, de radio, el lado y una semiirunferenia de diámetro un lado os irunferenias tangentes, ada una de ellas, es tangente a los uadrantes y a la semiirunferenia eterminad el radio de las irunferenias oluión: ea el uadrado de lado ea el punto medio del lado ea el entro de la irunferenia mayor y r su radio pertenee a la diagonal ea E la proyeión de sobre el lado ea la proyeión de sobre el lado E x ea la proyeión de sobre el lado x, r, x, r, x pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo : ( r) x ( x) () pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo : r x ( x) () onsideremos el sistema formado por las expresiones () (): r r x x Resolviendo el sistema: r r x x 5 x 7 r 7 ea el entro de la irunferenia menor y s su radio ea la proyeión de sobre el lado ea la proyeión de sobre el segmento ean y, z r s, x z, s, y x, s, y x pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo ( r s) y ( x z) () pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo E : : s z y x ()

14 agina de 6 pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo ( s) z (y x) (5) : Resolviendo el sistema formado por las expresiones () () (5): 6 y 87 0 z s tubre 6-7 En la figura i EG son uadrados a irunferenia es tangente a los lados i y pasa por el punto 5º, y la reta es tangente a la irunferenia i el lado del uadrado EG es igual al diámetro r de la irunferenia, determinad la medida del lado G oluión: E E r ea el entro de la irunferenia ea el punto de tangenia de la irunferenia y el lado r es el punto medio del segmento Entones, el entro pertenee a la diagonal del uadrado pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo E : G E r pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo : E r ea el lado del uadrado pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo : r r r Resolviendo la euaión: 6 r r

15 , m Resultado: 0,67 agina 5 de 6 tubre 8 ea el uadrado de lado,7 m Resultado: 0,56 m eterminad el radio de las tres irunferenias de la figura oluión: ea el entro del uadrado y entro de la irunferenia ea el punto de tangenia de la irunferenia y el uadrado de entro pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo isóseles : El radio de la irunferenia es: r ea el entro de la irunferenia superior ea el punto de tangenia de la irunferenia entral y la superior ea s el radio de la irunferenia superior r s s s pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo ( s) s s Resolviendo la euaión: s tubre 9-0 En la figura, r es el diámetro de la irunferenia de entro es un triángulo equilátero eterminad el radio de las otras tres irunferenias oluión: ea la irunferenia de diámetro, su radio es r

16 agina 6 de 6 ea el punto de tangenia de la irunferenia de entro y el triángulo su radio r ea r r r r pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo : r r r () pliando el teorema de itágoras al triángulo retángulo r r r r () r r r () ustituyendo la expresión () en la expresión (): r r r r (r r ) r r r () r r r r r (5) Resolviendo la euaión: r r 9 : ea el punto de tangenia de la irunferenia de entro y el triángulo su radio r ea r r, m Resultado: 0, º, r r r r r