Modelado y Simulación de Sistema de Control de Llenado de estanques mediante Simulink.

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1 Modelado y Simulación de Sistema de Control de Llenado de estanques mediante Simulink. Por: Felipe Fernández G., Escuela Universitaria de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. Universidad de Tarapacá, Sede Esmeralda. Iquique, Chile. Resumen En este documento se realiza el estudio del modelo de control de llenado del un estanque de dimensiones convenientes. Para construir el modelo se hace un estudio de los parámetros físicos que rigen el comportamiento del fluido, ello determina la ecuación diferencial que luego permitirá realizar el control proporcional del sistema. Por otra parte el objetivo del control es regular el nivel del estanque para mantener una presión estable en el despiche, ello mediante el control de una válvula ON-OFF ubicada en la salida del sistema. Luego de obtener un modelo de control para un estanque, se realiza nuevamente el proceso de modelado para un sistema que contempla dos estanques conectados en cascada. Ambos modelos son simulados mediante MATLAB y su herramienta SIMULINK, con esto se obtienen los gráficos que luego dan paso a los análisis y conclusiones sobre el comportamiento del sistema y su control. Sabiendo que el caudal está dado por el producto entre la velocidad del fluido y el área transversal por la cual circula: Y que de acuerdo a la ecuación de Torricelli la velocidad real está dada por la altura de la columna de agua, la aceleración de gravedad y el coeficiente de descarga: Sabiendo que el caudal de entrada es constante, el área transversal de salida y reemplazando (2) en (1), se obtiene la siguiente expresión. INTRODUCIÓN. Supóngase un estanque de área transversal con un caudal de entrada constante, el volumen es función de la altura del líquido, el estanque cuenta con un despiche ubicado en el fondo, este último está compuesto por una tubería de área transversal y un coeficiente de descarga (roce) característico de cada válvula. El sistema es controlado mediante la válvula ubicada en el despiche, esta puede estar completamente abierta o completamente cerrada (ON-OFF), el objetivo de controlar la apertura o cierre de la válvula para así regular el caudal de salida y con ello mantener un nivel deseado. Expuesto ya el problema, es posible identificar la entrada del sistema como la altura deseada, la salida como el caudal en el despiche y la válvula ON-OFF como actuador, con estos elementos descritos es posible conformar un diagrama de bloques de lazo cerrado. I. MODELO MATEMÁTICO PARA UN SISTEMA DE UN ESTANQUE. Si se considera inicialmente un estanque con una entrada continua y una salida continua, se puede obtener una tasa de cambio de volumen que está en función de la diferencia de los caudales de entrada ( y salida ( ). En donde es importante tener presente que es el área transversal del estanque y que es el área transversal del tubo de despiche, luego reordenando la ecuación 3: De la ecuación 4 se puede interpretar que el caudal de salida está dado por la siguiente función: Por el momento se puede dejar de lado el objetivo de conocer el comportamiento del sistema para plantear temporalmente el objetivo de buscar una expresión para el Set Point (SP) del sistema. La Ec. 5, puede tener una aproximación adecuada mediante el uso de las series de Taylor.

2 Lo anterior permite obtener una linealización de la función del caudal de salida situándose en la vecindad de un Set Point elegido para el sistema. Un ejemplo se puede ver en el gráfico 1, para el cual se utilizan parámetros adecuados curva en la cual se puede ver la aproximación lineal acotada. Figura 1. Configuración del sistema. La ecuación diferencial (ver Ec. 9), describe el comportamiento del sistema observado en la figura 1. Basándose en esta es posible obtener una función de transferencia en el plano de Lapalace: Gráfico 1. Curva ejemplo de linealización de la función de caudal. Luego se puede hacer la siguiente relación reemplazando la Ec.6 en la Ec.4, y tomando en consideración la Ec.5 se obtiene: Teniendo en cuenta que: Se acomodan los términos de la Ec. 7: La Ec. 10 representa la función de transferencia para el sistema, en tanto que al despejar en la ecuación diferencial (Ec. 11) es posible determinar un modelo para la planta en SIMULINK (ver figura 2). En este punto es importante recordar que es el SP deseado para el sistema. Luego es posible volver a adecuar la ecuación determinando nuevas variables que describan desviaciones. Reemplazando en la Ec. 8 se obtiene: Figura 2. Modelo de la planta representativo del sistema de llenado de estanque. Es importante mencionar que se trata de un modelo de lazo abierto en donde no existe aún un control para el sistema, sin

3 embargo esta representación puede ser expresada tal que su representación queda simplificada a un diagrama de bloques. Considerando el diagrama de la figura 2, agregando parámetros adecuados (ver Tabla 1), es posible obtener el comportamiento del sistema en lazo abierto, y tal como se puede observar en el gráfico 2 el estanque es llenado hasta que la presión del fluido consigue equiparar el caudal de entrada con el caudal de salida, por ello el nivel se establece en [m] cuando se impone un caudal de entrada de 2.5 [m 3 /s]. En el gráfico 3 se puede ver las diversas respuestas de acuerdo a una variedad de factores de para el control. Tabla 1. Parámetros convenidos para el sistema. Parámetro Resistencia hidráulica (R H ) Caudal de entrada (Q i ) Área trans. Estanque (A) valor 0.42 [m 2 /s]. 2.5[m 3 /s]. 5[m 2 ]. Gráfico 3. Respuestas del sistema de acuerdo a diferentes ganancias. II. MODELO MATEMÁTICO PARA UN SISTEMA DE DOS ESTANQUES. Basado en el modelo anteriormente expuesto, es posible plantear un nuevo diseño en el que se tenga en cuenta que la salida de un primer estanque haga ingreso a un segundo estanque de características similares, para lo cual es importante considerar una segunda entrada de caudal ( ) ficticia en el segundo estanque, la cual será de valor cero. De lo anterior se determina un sistema como el descrito en la figura 4. Gráfico 2. Respuesta del nivel en el estanque para un caudal de entrada determinado. Este sistema tiene una respuesta definida para una determinada entrada de caudal, pero aunque el sistema tiene un punto de estancamiento del nivel de fluido no existe un control propiamente tal, por lo cual es posible, utilizando el modelo de planta ya diseñado, determinar un control proporcional que ajuste el comportamiento de la planta a un SP deseado. Para tales efectos y como ya se ha mencionado, se recurre a reducir el sistema de la figura 2 en un único bloque que formará parte de un sistema controlado proporcionalmente. Figura 4. Configuración para un sistema de dos estanques en serie. Figura 3. Topología de control proporcional para el estanque. De acuerdo a lo descrito por la Ec. 9 se realiza un despeje en el cual se observa que la variación del nivel relativo al set point respecto del tiempo está en función del área transversal del

4 estanque, del caudal de entrada, de los parámetros de la válvula y del nivel instantáneo existente en el tanque. La Ec. 13 nos permite determinar un modelo para el sistema en lazo abierto, el cual al ser expresado como diagrama de bloques ofrece la siguiente configuración (ver figura 5.): Teniendo en cuenta que esta última ecuación describe el comportamiento para un sistema de un estanque simple y diferenciando los parámetros para ambos estanques, al hacer una analogía se puede obtener la siguiente expresión: Figura 5. Modelo de planta representativo para el segundo estanque del sistema. Donde: Despejando el nivel del segundo estanque ( ): En estricto rigor podría tener cualquier valor de caudal, sin embargo se centrará la atención cuando esta variable es cero, luego para esta condición se observa que el sistema responde a una topología idéntica a la del sistema basado en un único estanque, lo cual no genera grandes diferencias. Las diferencias que pueda representar este sistema están relacionadas con el funcionamiento de los estanques en conjunto, asumiendo en todo momento las mismas características físicas para ambos (ver figura 6). Figura 6. Modelo de planta representativo para la totalidad del sistema de dos estanques en serie. En el diagrama de bloques se puede observar la topología de cada uno de los sistemas de forma independiente de acuerdo a las ecuaciones 11 y 13 para el primer y segundo estanque respectivamente. Naranjo: Sistema para el primer estanque, Azul: Sistema para el segundo estanque.

5 El gráfico 3 representa la respuesta obtenida a un estímulo en donde la entrada es un caudal de entrada caracterizado por un impulso escalón, en tanto que las salidas corresponden a mediciones del nivel en cada estanque. Se puede observar la diferencia existente entre la razón variación de nivel del primer estanque y la del segundo estanque. El fenómeno describe para el primer estanque una curva que parte con una pendiente que diverge rápidamente desde infinito hacia una pendiente cero en donde se hace presente el estado estacionario, el cual no es más que la representación del equilibrio creado cuando la presión ejercida por la columna de fluido es suficiente como para aumentar el caudal de salida hasta que el nivel se mantenga constante. El segundo estanque por su parte describe una curva diferente pues existe un retardo en la entrada del fluido (delay), pues si se examina la variación de la pendiente de la curva en el estado transiente se observa que esta parte con una pendiente cero, que alcanza luego un máximo para finalmente establecerse en el régimen estacionario. En este punto es de interés el estudio de la curva pertinente al nivel del segundo estanque, por lo cual es importante hacer énfasis que para efectos de la simulación en SIMULINK se consideran parámetros idénticos en ambos estanques, sin embargo la variación de los parámetros entre los estanques, ya sea área transversal, características de paso en la salida, flujos externos, etc. harán variar la curva, acercándola o alejándola del comportamiento descrito por el nivel del primer estanque. Figura 7. Topología de control proporcional para la planta descrita anteriormente. El bloque denominado Sys Gx corresponde a la reducción del sistema presentado en la figura 6. Gráfico 3. Comparación de la respuesta de la salida del sistema de estanques respecto a un estímulo de caudal de entrada de tipo escalón. Tal como se realizó en el sistema compuesto por un único estanque, es posible implementar una topología de control de tipo proporcional para el sistema, para ello se recurre a reducir el modelo de la planta descrito en la figura 6, luego se ingresa un parámetro de ganancia (Proporcional P ) para efectos del control con realimentación unitaria proveniente desde la salida del primer estanque, (ver figura 7). Luego es posible observar en el gráfico 4 los resultados para distintos valores de ganancia. Gráfico 4. Respuestas obtenidas al aumentar el valor del controlador proporcional ( P ) en el lazo. La línea azul representa el nivel de fluido en el primer estanque, en tanto que la roja representa el nivel de fluido en el segundo estanque.

6 En todos los casos, independiente del valor de ganancia en el controlador, es posible notar el retardo (delay) existente entre el aumento de nivel en el primer estanque y el segundo estanque. III. CONCLUSIONES. Una primera observación importante tiene relación con la linealización del modelo físico, dado que, dependiendo de la cantidad de términos que se apliquen en la serie de Taylor utilizada es posible aumentar o reducir drásticamente la dificultad en el modelado del sistema, así también es posible aumentar la fidelidad del modelo en torno al aumento de la cantidad de términos utilizados en la serie, pero por tratarse en este caso de un sistema más bien robusto, resulta suficiente utilizar el primer término de la serie de Taylor. Luego es posible interiorizar la idea de que la correlación entre el modelo y la realidad estará en directa proporción a la cantidad de términos utilizados, mas si se considera como criterio base la robustez del sistema, existe la posibilidad de plantear un equilibrio que garantice un proceso de modelado mucho más eficaz. Para efectos del control proporcional implementado en las simulaciones, y en particular para el sistema de estanque simple, se puede observar que el aumento en la ganancia del controlador genera que la curva de nivel de llenado muestre una tendencia a mejorar su respuesta ajustándose cada vez más al ideal de un escalón, en donde la señal de salida alcanza rápidamente un valor deseado en el mínimo de tiempo. considerar un estado estacionario del sistema, cabe señalar que la ganancia del controlador debe superar las 5 unidades para que la respuesta de las señales de salida pueda ser considerada en la categoría de Sub-Amortiguada. De esto nace la idea de que los este sistema puede ser realimentado desde diferentes puntos del proceso en la planta, además es posible establecer que dependiendo de donde se cierre el lazo de control puede variar la estabilidad del sistema desde un sistema con una estabilización ágil a un sistema con una estabilización lenta y sumamente oscilante. Gráfico 5. Comparación de las respuestas de sistema con plantas idénticas bajo un controlador tipo P, para ganancias idénticas, con realimentaciones unitarias nacidas desde la señal de nivel de llenado del primer estanque (arriba) y desde el segundo estanque (abajo). Figura 8. Sistema de control proporcional con cerrado del lazo de control desde la señal de nivel del segundo estanque (salida final del sistema en el sistema de la figura 6). El sistema compuesto por dos estanques no está ajeno a lo anteriormente descrito, sin embargo existen dos fenómenos de relevancia para este caso: en primer lugar, es posible observar e incluso tantear el tiempo de retardo presentado en la curva de llenado del segundo estanque. En segundo lugar, es posible observar un fenómeno relacionado con la intuición puesto que naturalmente la topología de control determina que se debe conectar la salida final del sistema de tal manera de determinar un error adecuado que permita la corrección de la señal, pero al considerar la última salida, es decir, la señal de nivel del segundo estanque (ver figura 8), se obtuvo un comportamiento poco esperado (ver gráfico 5) en el sistema dónde la señal de error al ser excesiva provoca que la respuesta del sistema sea Sub-Amortiguadas en los niveles de salida de ambos estanques, teniendo así un retardo bastante amplio al momento de poder IV. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. [1] K. Ogata, Ingeniería de control moderna, Madrid: PEARSON EDUCACIÓN, S.A, [2] V. L. Streeter, Mecánica de los Fluidos, 4 a Ed. ed., Michigan: McGraw-Hill, [3] M. Echeverría, G. Orozco y A. Pérez, «QUIMIART,» Sept [En línea]. Available: [Último acceso: 28 May. 2015].