Unidad didáctica 2. Trazados básicos

Transcripción

1 Unidad didáctica 2. Trazados básicos 2.1 Paralelas, perpendiculares y ángulos Trazado de paralelas 1. Se coloca la hipotenusa de la escuadra sobre la línea a la que se quieren trazar paralelas. 2. Se coloca la hipotenusa del cartabón bajo la escuadra. 3. Se deslaza la escuadra apoyada sobre el cartabón y se trazan las paralelas Trazado de perpendiculares 1. Se colocan la escuadra y el cartabón en la posición de paralelas. 2. Se gira el cartabón que pasa de estar apoyado en un cateto a estar apoyado en el otro. 3. Se desplaza la escuadra sobre el cartabón y se trazan las perpendiculares Trazado de rectas que forman 30º ó 150º con una dada 1. Se colocan la escuadra y el cartabón en la posición de paralelas. 2. Se desplaza hacia abajo la escuadra. 3. Se apoya el cateto del ángulo de 30 º sobre la escuadra y se traza Trazado de rectas que forman 60º ó 120º con una dada 1. Se colocan la escuadra y el cartabón en la posición de paralelas. 2. Se desplaza hacia abajo la escuadra. 3. Se apoya el cateto del ángulo de 60 º sobre la escuadra y se traza Trazado de rectas que forman 45º ó 135º con una dada 1. Se coloca la hipotenusa del cartabón sobre la línea a la que se quieren trazar paralelas. 2. Se coloca la hipotenusa de la escuadra bajo el cartabón. 3. Se desplaza hacia abajo el cartabón. 4. Se apoya uno de los catetos de la escuadra sobre el cartabón y se traza. Trazados básicos 1

2 2.2 Herramientas básicas Mediatriz de un segmento La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento. Es la línea perpendicular a una dada que la divide en dos partes iguales. 1. Se traza el segmento AB. 2. Desde A y B se trazan dos arcos iguales de radio arbitrario (mayor que la mitad de AB). 3. Por el punto de corte de los arcos, se traza una perpendicular a AB Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas. Es la línea que divide un ángulo en dos partes iguales. 1. Trazar el ángulo AOB. 2. Trazar con centro en O un arco de radio arbitrario. 3. Desde los puntos de corte de dicho arco con el ángulo, se trazan dos arcos de igual radio. 4. Trazar la recta que pasa por el punto de corte de los dos arcos y por O Construir un ángulo igual a otro dado 1. Sobre una recta se elige un punto O (vértice del ángulo). 2. Desde el vértice del dato se traza un arco de radio arbitrario y después se traza sobre la recta. 3. Se toma con el compás la distancia marcada por el arco trazado en el dato. 4. Se trasporta dicha distancia al otro arco y se une O con el punto de corte Dividir un segmento en n partes iguales. Teorema de Thales. 1. Se traza una línea por uno de sus extremos. 2. Se llevan sobre esa línea n segmentos iguales cualesquiera (por ejemplo con el compás). 3. Se unen los extremos libres de la línea dividida y del segmento dado. 4. Se trazan por cada marca del segmento dividido paralelas a la línea anterior. Trazados básicos 2

3 2.3 Construcción de polígonos regulares dado el radio de la circunferencia circunscrita Este problema equivale a dividir una circunferencia de radio r en n partes iguales. Interpretación Gráfica Triángulo equilátero inscrito Sea el radio r 3 de una circunferencia. 1. Trácese la circunferencia de radio r 3 y un diámetro cualquiera. 2. Con centro en uno de sus extremos y radio r 3 se traza un arco que corta a la circunferencia. 3. Los dos puntos de corte y el otro extremo del diámetro son los vértices del triángulo Cuadrado inscrito Sea el radio r 4 de una circunferencia. 1. Trácese la circunferencia de radio r Trácense dos diámetros perpendiculares. 3. Los cuatro puntos de corte de los diámetros con la circunferencia son los vértices Hexágono regular inscrito Sea el radio r 6 de una circunferencia. 1. Trácese la circunferencia de radio r 6 y un diámetro cualquiera. 2. A partir de uno de los puntos de corte del diámetro con la circunferencia, se lleva la longitud r 6 hasta dar la vuelta a la circunferencia Heptágono regular inscrito Es necesario aclarar que una circunferencia no se puede dividir exactamente en siete partes iguales. Los pitagóricos de la antigua Grecia ya lo sabían. Sin embargo, puede utilizarse la construcción que encontró Durero, pues, aunque empírica, sorprende por su gran aproximación. Sea el radio r 7 de una circunferencia. 1. Trácese la circunferencia de radio r 7 y un diámetro cualquiera. 2. Se traza la mediatriz del radio. 3. Se lleva sobre la circunferencia con el compás la distancia entre el punto medio del radio y el punto de corte de la mediatriz con la circunferencia Octógono regular inscrito Sea el radio r 8 de una circunferencia. 1. Trácese la circunferencia de radio r 8 y dos diámetros perpendiculares que dividen la circunferencia en cuatro partes iguales. 2. Dibujar las bisectrices de cada una de las cuatro partes. 3. El octógono se traza en los puntos de corte de los diámetros con la circunferencia y en los puntos de corte de las bisectrices con la circunferencia Polígono regular de n lados inscrito Sea el radio r n de una circunferencia. 1. Trácese la circunferencia de radio r n y dos diámetros perpendiculares. Trazados básicos 3

4 2. Divídase uno de los diámetros en n partes con el teorema de Thales. 3. Con centro en el extremo final del diámetro dividido y con radio el diámetro de la circunferencia se traza un arco que corte al otro diámetro. 4. Únase el ese punto de corte con la división 2 del diámetro y prolónguese dicha recta hasta que corte a la circunferencia. 5. Se lleva sobre la circunferencia con el compás la distancia entre ese punto de corte y el extremo más cercano del diámetro dividido. Trazados básicos 4

5 2.4 Tangencias Generalizando, y sea cual fuera la curva a la que queremos trazar la tangente, se definirá ésta según lo siguiente: Se dice que una recta es tangente a una curva plana en un punto, cuando sólo puede ser común a ésta en un punto. Se dice que dos curvas son tangentes en un mismo punto, si tienen allí la misma recta tangente. La tangente es la posición límite de una secante, cuando los puntos de intersección tienden a acercarse infinitamente Tangente de radio R a dos rectas perpendiculares 1. Con centro en el punto de corte de las perpendiculares y radio R se traza un arco que corta a las rectas en A y B. 2. Desde A y B con radio R se trazan sendos arcos que se cortan en O. 3. Con centro en O y radio R se traza el arco que buscamos que es tangente a las dos rectas Tangente de radio R a dos rectas cualquiera que se corten 1. Se traza la bisectriz del ángulo que forman las rectas. 2. Se traza una paralela a una distancia R a una de las rectas que se corta con la bisectriz en O. 3. Por O se trazan perpendiculares a las rectas que las cortan en A y B que son los puntos de tangencia. 4. Con centro en O y radio R se traza el arco buscado desde A hasta B Trazar dos arcos tangentes a dos rectas concurrentes 1. Por dos puntos A y B, uno en cada recta, se trazan dos perpendiculares a las rectas. 2. Sobre ellas se lleva la misma distancia dando lugar a los segmentos AO y BC. 3. Se dibuja el segmento CO y se traza la mediatriz del citado segmento que corta a BC en O. 4. Se une O con O y se prolonga hasta que corte una de las rectas en D. 5. Desde O se traza el arco AD y desde O se traza el arco D B Trazar una tangente a una circunferencia desde un punto (A) de una recta. 1. Trazar por A una perpendicular a la recta. 2. Con centro en A trazar un arco que corte hacia abajo en P a la perpendicular y que tenga por radio el de la circunferencia. 3. Unir P con el centro de la circunferencia (O) y trazar la mediatriz de PO que corta a la perpendicular trazada a la recta en O. 4. Unir O con O para determinar el punto de tangencia. 5. Con centro en O y radio O A trazar el arco buscado desde A al punto de tangencia Tangentes cóncava de radio R a dos circunferencias 1. Con centro en O 1 trazar una circunferencia de radio R+r Con centro en O 2 trazar una circunferencia de radio R+r 2 que se corta con la anterior en O. 3. Unir mediante rectas O con O 1 y O 2 que cortan a las circunferencias en T 1 y T 2. Trazados básicos 5

6 4. Desde O con radio OT 1 se traza un arco desde T 1 a T 2. Interpretación Gráfica Tangentes convexa de radio R a dos circunferencias 1. Con centro en O 1 trazar una circunferencia de radio R-r Con centro en O 2 trazar una circunferencia de radio R-r 2 que se corta con la anterior en O. 3. Unir mediante rectas O con O 1 y O 2 y prolongar esas rectas hasta que corten a las circunferencias en T 1 y T Desde O con radio OT 1 se traza un arco desde T 1 a T Tangentes interiores a dos circunferencias 1. Con centro en O 2 trazar una circunferencia de radio R 1 + R Se unen los centros de las circunferencias con una recta y haciendo centro en el punto medio de O 1 O 2 se traza una circunferencia que pase por los centros y que corta a la circunferencia anterior en 1 y Se une O 2 con 1 y 2 y en los puntos de corte con la circunferencia se determinan T 1 y T Para calcular los puntos de tangencia en la otra circunferencia se trazan paralelas a O 2 T 1 y O 2 T 2 por O Se trazan las rectas T 1 - T 2 y T 2 - T Tangentes exteriores a dos circunferencias 1. Con centro en O 2 trazar una circunferencia de radio R 2 - R Se unen los centros de las circunferencias con una recta y haciendo centro en el punto medio de O 1 O 2 se traza una circunferencia que pase por los centros. 3. Se une O 2 con 1 y 2 y se prolonga hasta que corte a la circunferencia en T 1 y T Para calcular los puntos de tangencia en la otra circunferencia (T 1 y T 2 ) se trazan paralelas a O 2 T 1 y O 2 T 2 por O Se trazan las rectas T 1 - T 1 y T 2 - T 2. Trazados básicos 6

7 2.5 Espirales El interés de esta curva es enorme. Con toda seguridad es, después de la circunferencia, la más usada en la historia de la humanidad. Esta curva tiene un importante desarrollo dentro de la cultura mediterránea, hasta el punto de que la hace suya como ninguna otra. El momento de más genial desarrollo y empleo lo encontramos en la civilización griega, y aunque ya la habían empleado culturas prehelénicas, son los griegos de la península los que la elevan a una categoría trascendente en las volutas de los capiteles jónicos. Su trazado más genuino es bien sencillo, ya que se origina por el movimiento de un punto que gira alrededor de un núcleo, pero ampliando continuamente sus radio Espiral de centro triple 1. Se traza un triángulo equilátero 1, 2, 3 y se prolongan los lados del mismo. 2. Con centro en 1 y radio 1-3 se traza un arco desde 3 hasta la prolongación del lado Con centro en 2 se continúa la curva hasta la prolongación del lado Con centro en 3 se continúa la curva hasta la prolongación del lado Espiral de centro cuádruple 1. Se traza cuadrado 1, 2, 3, 4 y se prolongan los lados del mismo. 2. Con centro en 1 y radio 1-4 se traza una arco desde 4 hasta la prolongación del lado Con centro en 2 se continúa la curva hasta la prolongación del lado Con centro en 3 se continúa la curva hasta la prolongación del lado Con centro en 4 se continúa la curva hasta la prolongación del lado Espiral de Arquímedes 1. Se toma un segmento OA, llamado paso de la espiral y se divide en un número determinado de partes (1, 2, 3,...) 2. Se traza la circunferencia de radio OA y se divide en 8 sectores circulares iguales (8 partes). 3. Con centro en O y radio 1 trazamos un arco hasta la primera división del círculo. Punto Con centro en O y radio 2 trazamos un arco hasta la segunda división del círculo. Punto Con centro en O y radio 3 trazamos un arco hasta la tercera división del círculo. Punto Se unen todos los puntos a mano alzada Espiral Armónica 1. Se traza un cuadrado ABCD y con centro en A el arco BD. 2. Con centro en el punto medio de BC y pasando por A, se traza un arco que debe cortar a la prolongación de BC en E. 3. A partir de E se construye el cuadrado BEFG y se procede como en el paso 1 con el nuevo cuadrado. Trazados básicos 7

8 2.6 Rectificación de circunferencias Se denomina rectificación de una circunferencia al trazado que desarrolla la circunferencia sobre una recta. Es decir, es el cálculo gráfico de la longitud de la circunferencia. Naturalmente, al igual que ocurre con el cálculo numérico, el resultado no es exacto Rectificación de Arquímedes 1. Se traza un diámetro de la circunferencia y se divide en siete partes iguales mediante el Teorema de Thales. 2. Sobre una línea se lleva tres veces la longitud del diámetro y a continuación se añade la mediada de una de las divisiones del diámetro Rectificación por el método de los polígonos (media circunferencia) 1. Se inscribe en la circunferencia un triángulo equilátero y un cuadrado utilizando para ello los mismos diámetros. 2. Sobre una línea se lleva con el compás el lado del cuadrado y, a continuación, el lado del triángulo para conseguir la longitud de media circunferencia Rectificación de Mascheroni (un cuarto de circunferencia) 1. Se traza un diámetro de la circunferencia de extremos A y B. 2. Con centro en A y B y radio R se trazan sendos arcos que cortan a la circunferencia en C y D. 3. Con centro en B y radio BC se traza una arco que corta al diámetro perpendicular a AB en E. 4. Con centro en D y radio DE se traza un arco que corta a la circunferencia en F. Trazados básicos 8