(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

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1 (Apuntes en revisión pr orientr el prendizje) MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA INTEGRACIÓN DE DIFERENCIALES TRIGONOMÉTRICAS Primer cso: m sen ucos n udu con m o n entero positivo impr. Se puede presentr sólo l función seno o l función coseno. L identidd que se utiliz es: Ejemplo. Resolver l integrl sen u + cos u = 5 sen d cos

2 Ejemplo. Resolver l integrl π cos 5 d 0 Segundo Cso: sen m u du o cos n u du o sen m ucos n u du con m n enteros positivos pres. Ls identiddes trigonométrics utilizds en este cso son: sen u = cos u cos u = + cos u Ejemplo. Resolver l integrl sen 4 d

3 Ejemplo. Resolver l integrl sen cos 4 d Tercer cso: senmcos n d con m n enteros positivos. Ls identiddes utilizds quí son: + sen + sen = sen cos + sen sen = cos sen

4 + cos + cos = cos cos + cos cos = sen sen Y prtir de ests identiddes se pueden presentr ls siguientes integrles: senmcos n d = sen m + n d + sen m n d senm senn d = cos cos m + n d + m n d cos m cos n d = cos ( m + n) d + cos ( m n) d Ejemplo. Resolver l siguiente integrl sencos d 4 m m Curto cso: sec udu o csc udu con m entero positivo pr. Ls identiddes utilizds quí son: sec u= tn u+ csc u= cot u+

5 5 Ejemplo. Resolver l integrl 4 csc d Ejemplo. Resolver l integrl definid π 4 6 π sec d 6

6 m m Quinto cso: tn udu o cot u du con m entero positivo pr o impr. Aquí tmién se utilizn ls identiddes tn u= sec u cot u= csc u 6 Ejemplo. Resolver l integrl tn 4 d Ejemplo. Resolver l integrl 6 cot d

7 m n m n Seto cso: sec utn udu o csc ucot udu con m entero positivo pr o con m n enteros positivos impres. En este cso se utilizn ls identiddes: sec u tn u= o csc u cot u= Ejemplo. Resolver l integrl 6 5 sec tn d 7 Ejemplo. Resolver l integrl sec tn 5 d

8 8 Not. El único cso que no se trtó fue el de secnte cosecnte elevds un eponente impr mor que uno. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Este método consider tres tipos de integrles, junto con los respectivos triángulos que se construen, son los siguientes: Cundo en el integrndo el inomio es de l form i) u El triángulo que se construe utiliz es: u ii) Cundo en el integrndo el inomio es de l form + u El triángulo que se construe utiliz es: u + u u

9 iii) Cundo en el integrndo el inomio es de l form u El triángulo que se construe utiliz es: 9 u u Ejemplo. Resolver ls integrles siguientes: d i) ; ii) d iii) ; iv) d d ( 8)

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11 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA DEL ANGULO MEDIO Eisten integrles cuos integrndos tienen inomios con ls funciones sen cos, ls que se sustituen por funciones de un nuev vrile " z " que se define como l tngente del ángulo medio " " como sigue: z = tn z + z z sen = sen cos = sen = = z + z + z + cos cos cos z = sen z = = = z + z + z + dz = ngtn z = ngtn z d = z + z

12 Ejemplo. Resolver ls siguientes integrles: d d i) ; ii) sen + cos 5 + cos

13 INTEGRACIÓN POR PARTES Sen dos funciones u v de l mism vrile independiente " ". L diferencil de su producto está dd por: de donde duv = udv+ vdu udv = d uv vdu Si se integrn mos miemros de est epresión se otiene: udv = uv vdu Ejemplo. Resolver ls siguientes integrles: i) sen d ; ii) sec d iii) ln d ; iv) ngtnd v) e d ; vi) e cos d vii) sectn d ; viii) ln d e i ngsen d d ) ; ) ( + )

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16 6 INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES RACIONALES i) Cundo en el polinomio del denomindor se tiene un fctor de l form n +, donde n, l descomposición de frcciones rcionles contiene l sum de ls " n " frcciones: ii) A A An con A ; i =,,, n Cundo en el polinomio del denomindor se tiene un fctor de l form ( c) i n + +, donde n n

17 4c< 0, esto es, donde el polinomio c tiene ríces complejs, l descomposición de frcciones n frcciones: rcionles contiene l sum de ls " " A + B A + B An+ Bn c + + c + + c con A B ; i =,, n Ejemplo. Resolver ls siguientes integrles: i) d ; ii) d 0 i i d 8 4 iii) d ; iv) d v) + n

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20 0 INTEGRACIÓN POR RACIONALIZACIÓN Y se hn relizdo lguns integrles con epresiones irrcionles, pero eisten muchs otrs entre ls cules lguns, medinte un sustitución decud, se pueden resolver por lguno de los métodos trtdos. Se presentrán lgunos csos. Cundo en el integrndo sólo h potencis frccionris de l vrile o de un función f de l mism formd por un inomio de l form +, se puede convertir éste en rcionl medinte l sustitución en donde " " n n z = o z = f n es el mínimo común múltiplo de los denomindores de los eponentes frccionrios de o f. Considérense los siguientes ejemplos, como pueden eistir muchos otros:

21 Ejemplo. Resolver ls integrles: Solución i) i) d ; ii) iii) d + d 4 + d = 4 ( ) ( ) d 4 4 z = 4 = z 4 d = dz z 4 = = Se sustitue se otiene d dz d z dz d z dz z dz z dz ( ) ( ) ( z ) ( z ) = = = z z z Se efectú l división se lleg : z dz dz = z + + dz = z dz + dz + z z z = z + z+ ln z + C d 4 4 = + + ln + 4 C ii) d +

22 6 6 5 z = = z d = 6z dz d = z dz = 6 z dz = 6 z dz z + z z + z z + Se efectú l división z dz 6 = 6 z z+ dz = z z + 6z 6ln z+ + C z+ z+ iii) d 6 6 = + 6 ln C + d + z = = z d = z dz d = z dz d z dz z dz = = + z + z z + z dz = = ngtnz + C z + d = ng + C + tn Cundo en el integrndo se present un epresión irrcionl, se sol o con lgun función de " " elevd un potenci impr, se sustitue l epresión irrcionl por un nuev vrile se procede como ntes. Ejemplo. Resolver ls integrles: 9 d + + i) d; ii) d; iii) + e

23 sen iv) d; v) d; vi) + d + cos Solución i) + 9 d + 9 = u + 9= u d = udu d = udu u u d = d = udu = du u 9 u 9 Se efectú l división se otiene: u 9 9 du = + du = du + du u 9 u 9 u 9 L primer integrl es direct pr l segund se reliz el siguiente cmio de vriles: u 9 du 9 v = u v = u dv = du ; = 9 = dv 9 v 9 = ln + C v v+ 9 u u = ln + C = ln + C u+ u+ Finlmente se unen ls integrles, se relizn ls sustituciones correspondientes, u u du = u + ln + C u 9 u +

24 d = C 9 ln ii) d + = u = u d = udu + + u u + u d = udu = du + + u u+ Se efectú l división lgeric se tiene que: 4 u + u du = u u + 4 du u+ u + du = u du udu + 4du 4u + Ls primers integrles son directs l curt es logrítmic. Así, u + u u du = u + 4u 4lnu + + C u + + d = + 4 4ln + + C + iii) d e e u e u e u udu = ln( u + ) d = u + = = = +

25 udu d du = = = e u u + tn + d = ngtn e + C e u + ng u C 5 iv) d + + = u + = u = u d = udu u d = udu = ( u ) du u + u = udu du= u+ C d = ( + ) + + C + v) sen cos d 4 u u cos = cos = = u u sen d udu udu u du d = d = sen 4 u

26 ( u ) 4 udu 4 4 sen d = u = u du cos u 5 4 u = du + u du = u + + C 5 sen 5 d = cos + cos + C cos 5 ( cos 5) cos = + C 5 6 vi) + d + = u + = u = u d = udu + + u u du d = d = udu = u u ( ) ( ) 4 Se resuelve por sustitución trigonométric u u u = sec du = sec tn d u = tn u = tn 4

27 u du d ( u ) = sec sec tn tn 4 sec d cos = = d tn sen cos = = = sen Se resuelve por prtes, d csc d csccsc d v = csc dv = csccot d dw = csc d w = cot d d csc d = csccot csccot d csc = csc cot csc csc d d csc = csc cot csc + csc d d d csc = csc cot + csc d = C csc csc cot lncsc cot csc d = csc cot + ln csc + cot + C 7 De l sustitución trigonométric se tiene que: u du u u ( u ) = + ln + + u u u u C

28 u du u u + = + ln + C u ( u ) ( u ) Y, finlmente se lleg : d = + ln + C 8 FUNCIONES NO INTEGRABLES CON LOS MÉTODOS TRATADOS Eisten funciones que no son integrles en términos de ls funciones conocids, llmds elementles, que se trtn en el Cálculo. L morí de ls funciones elementles no tienen ntiderivds elementles. Alguns de ells son: sen d ; e d ; + d sen d ; d ln APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA APLICACIONES GEOMÉTRICAS CÁLCULO DE ÁREAS Se un función f, continu vlud positivmente en un intervlo cerrdo,, tl como se muestr en l siguiente figur. El cálculo del áre limitd por su gráfic, el eje " " ls rects = =, conocid como áre jo l curv, se otiene, como se estudió, medinte l integrl definid señld.

29 f 9 A A = f d Si l función es continu negtiv: A A = f d Si l función en estudio es continu tiene un prte positiv otr negtiv: A c = A + A ; A = f d A = f d c f f A A c c c A = f d f d Ahor ien, si lo que se pretende es clculr el áre limitd por dos curvs, que son l representción gráfic de ls funciones f g, continus en el intervlo cerrdo

30 ,, el cálculo de est áre, comprendid por ls curvs ls rects = =, se hrá medinte l integrl: A= f g d no importndo culquier de ls situciones mostrds en ls siguientes figurs: f 0 A g f A g f A g

31 f f( ) > 0 f( ) < 0 Ejemplo. Clculr el áre de l región comprendid por l curv = 8+, el eje de ls sciss ls rects de ecuciones = = 5. g Ejemplo. Clculr el áre limitd por l gráfic de l función f = + el eje de ls sciss ls rects: = 0.5 = 4.5

32 Ejemplo. Clculr el vlor del áre limitd por l gráfic de l función f el eje de ls sciss ls rects = sen = 0 = π.

33 Ejemplo. Clculr el áre limitd por el eje de ls f = ln ls rects sciss, l gráfic de l función = 0 =.5. Ejemplo. Clculr el áre limitd por ls gráfics de ls funciones en el intervlo de f = sen g = cos π 5π = = 4 4

34 4 Ejemplo. Clculr el vlor del áre de l región limitd por ls curvs: = =.5 Ejemplo. Clculr el áre limitd por ls gráfics de l curv 4( ) = por l rect + = 8

35 5 Ejemplo. Clculr el áre limitd, en el primer cudrnte, por ls gráfics de ls curvs: Solución = ; = ; = ; = 8 8 = 4 = 0 ( ) = 0 = = 0 = 0 = = = 4 = 8 ( 8) = 0 = 8 = 0 = 0 = = 4 4 = 8 = ( 64) = 0 64 = = 0 = 0 = 4 = 4 = 8 = 8 ( 5) = 0 64 = 8 = 0 = 0 = 8 = 8

36 6 8 = = 8 ( 8, 8 ) 4 (, 4 ) A = 8 A (, ) A ( 4, ) 4 8 = ( ) ; ( 8 ) 4 A = d A = d 8 A = 8 d 4 8 A = d = = = A.4 u

37 4 A = d = 6 4 = A 6.0 u 8 4 A = d = = A 8.95 u AT = A+ A + A AT = 6. u ÁREA DE UNA REGIÓN POLAR π β r = f( θ ) θn θ i θ θ α Como se oserv, el áre requerid se divide en " n " susectores no superpuestos, lo que equivle un prtición 0

38 8 del áre. Primero se otendrá l epresión pr determinr el áre de un sector circulr: r θ Áre del sector circulr r π r = θ = θ r π TEOREMA. Se f un función continu no negtiv en el intervlo cerrdo α, β. Entonces, el áre de l región limitd por l gráfic de l función r = f( θ ) entre ls rects rdiles θ = α θ = β, está dd por: β β A= f d r d θ θ θ α = α NOTA. Est fórmul es válid si f es continu negtiv. No es necesrimente válid si tom vlores positivos negtivos en el intervlo considerdo. Ejemplo. Clculr el áre situd en el interior de l crdioide de ecución r = + cosθ rri del eje polr. π r = + cosθ π 4 0 π

39 9 Ejemplo. Clculr el áre limitd por ls curvs: r = 4senθ r = senθ π r = senθ r = 4senθ π 0 π

40 LONGITUDES DE ARCO DE CURVAS PLANAS 40 Se f un función continu en el intervlo cerrdo, (, ) = P0 A f A P P P Pi = P i f Pn P B n = (, f( ) ) = 0 i n i = n Se pretende determinr l longitud de l curv del punto A l punto B. Se hce un prtición con " n " celds, cu norm se denot con Δ. L mplitud de l i-ésim celd es igul : Δ i = i i Δ L PP + PP + PP + + P P + + P P = P P 0 i i n n i i i= (, ) P i i i P P = f L longitud de l cuerd i i es: P P = + i i i i i i Δ = Δ = se otiene: Se hce i i i i i i i i i (, ) P i i i i n

41 Pi Pi = ( Δ i) + ( Δ i) ( Δ ) i Se multiplic el rdicndo por el cociente ( Δi) ( i), Δ Δ P P = + Δ P P = + Δ i i i i i i i Δi Δi Como l función f es continu en el intervlo, i i derivle en el intervlo ierto, i 4, si es i, entonces se stisfce el Teorem del Vlor Medio del Cálculo Diferencil por lo que eiste un vlor α (, i i i) pr el cul se cumple que: Como = '( α )( ) f f f i i i i i f f = Δ = Δ i i i i i i entonces es posile escriir Δi Δ = f' ( α ) Δ = f' ( α ) ; < α < Δ i i i i i i i i Por lo tnto ( α ) Pi Pi = + f' i Δ i ; i < αi < i Si se hce l sumtori de ls longitudes de los " n " segmentos, se tiene que l longitud proimd de l curv en el intervlo, es: n n ' α L P P = + f Δ i i i i i= i= Se tomn límites se otiene el vlor ecto de l longitud de curv:

42 ( α ) L lim P P = lim + f' Δ i i i i Δ 0 Δ 0 Como l norm de l prtición tiende cero, entonces este límite equivle l integrl definid, por lo que finlmente se otiene: ' L = + f d De mner semejnte se puede clculr est longitud con respecto l eje " " medinte l fórmul: L = + g'( ) d c donde l función está definid por g( ) en cd, derivle en ( cd, ). d 4 = es continu Cundo l función está definid en form prmétric como () = f t f: ; t = g t si se sigue un procedimiento semejnte l nterior, es posile llegr l siguiente epresión que result de grn utilidd cundo l función está definid de form prmétric: β d d L = α + dθ dθ dθ Ejemplo. Verificr que un círculo de rdio igul l unidd tiene un circunferenci de longitud π : ) Medinte l ecución crtesin de l circunferenci. ) A prtir de ls ecuciones prmétrics de l curv.

43 4

44 Ejemplo. Dd l función f 4 longitud de su gráfic entre los puntos (, ) ( 8, 4 ) 4 = 4 =, determinr l. ( 8, 4 ) 44 8 (, ) 4

45 Ejemplo. Un cle eléctrico cuelg de dos torres seprds un distnci de 80 m como se oserv en l figur, l form que dopt el cle es l de l ctenri de ecución: = 60cosh 60 Clculr l longitud de rco de est ctenri entre ls dos torres en ls que se po m 80 m Solución Se coloc l figur en un sistem coordendo, Como se vio l estudir ls funciones hiperólics, l ecución de est ctenri tmién se pude epresr como: e + e = 60 cosh =

46 L derivd es: d d = 0 e + e d 0 0 = e e = e + e d 4 Entonces, tomndo en considerción l simetrí, l longitud del cle se clcul como: L = + f' d e e d = L = + f' d e e d = = e + + e d = e + e d = e + e d = 60 e e = 60 e e 0 0 = 60 e 60 ( ) m e Por lo tnto, l longitud del cle es de L Ejemplo. Clculr l longitud de un rco de l cicloide cus ecuciones prmétrics son: = θ senθ = cosθ m ; 0 θ π 46

47 47 LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES TEOREMA. Se f un función con derivd continu en un intervlo cerrdo α θ β. Entonces, l longitud de l curv, gráfic de l función r = f( θ ), desde θ = α hst θ β =, está dd por: β dr L = f + f d = r + d α β ' α θ θ θ θ dθ Ejemplo. Clculr l longitud de rco de l gráfic de l función π π r = 4cosθ de θ = θ =.

48 48 π r = 4cosθ π 4 0 π VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN MÉTODO DE DISCOS CILÍNDRICOS = f 0 f( 0 )

49 = f 49 f( 0 ) 0 Se efectú un prtición del intervlo, en " n " suintervlos no superpuestos como se oserv en l figur: = f f ( α i ) = 0 4 i Δ i n i n = Si se tom el i-ésimo rectángulo, de se f ( α i ) gir lrededor del eje " " como se oserv en l figur, de se i cuo volumen es: ( α ) V = π f Δ i i i Δ de ltur, se gener un cilindro, Δ, i f α de ltur i

50 = f 50 f ( α i ) L sum de Riemnn que d un proimción del volumen del sólido de revolución es: n i= π f α i Δi ; αi i, i Y l clculr el límite de est sum, se otiene el vlor ecto del volumen del sólido de revolución. Así, n ( α ) V = lim π f i Δ = n i Δ i π = π f d = f d Si el eje de revolución es el eje " ", entonces el volumen se epres prtir de l integrl definid: d d π π c c V = f d = f d Ejemplo. Verificr que el volumen de l esfer que se gener, l girr l circunferenci de ecución lrededor de uno de sus diámetros, es igul i + = r, 4 π r.

51 = r esfer 5 r r r r V = π f d ( ) r π ( ) = π r d = r d r r r = π r = π r r + r r r r = π r + r = π r r V = 4 π r u Ejemplo. Clculr el volumen del cono truncdo que se gener l hcer girr, lrededor del eje de ls sciss, l superficie limitd por ls rects: = 5 ; = 0 ; = 0 ; =

52 5 Ejemplo. Clculr el volumen que se gener l hcer girr l superficie limitd por ls gráfics de lrededor del eje: i) = 4 ; ii) = 5 ; iii) = = = 4,

53 5 Ejemplo. Clculr el volumen que se gener l girr, lrededor del eje =, l superficie formd por ls gráfics de l curv = l rect =. Grficr l superficie que gir el volumen que se otiene. Ejemplo. Clculr el volumen que se gener l hcer girr, lrededor de l rect =, l superficie limitd por ls gráfics de volumen pedido. = = 4. Grficr el áre el

54 54 Ejemplo. Clculr el volumen que se gener l hcer girr, lrededor del eje " ", l región limitd por ls gráfics de ls funciones 8 giro = = = = El volumen que gener est región, l girr lrededor del eje " " está ddo por: 8 8 V = π d = π 4 d = π π 5 = 5 0

55 55 V 07. u ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Se f un función continu derivle en un intervlo cerrdo,. Lo que se pretende es clculr el áre de l superficie que gener l curv, l girr lrededor del eje " " l región comprendid por ell, el eje de ls sciss ls rects = =. f ds Como se oserv en l figur, en el elemento diferencil, su ncho d se considerrá igul l longitud de curv ds que se produce l cortr l mism el elemento diferencil. Al girr éste lrededor del eje " ", ds gener un superficie cu áre está dd por: da = π f ds Al efectur un prtición, después un sumtori otener el límite de ést, se otiene un integrl que proporcion el áre totl de l superficie de revolución: A= π f ds Y el elemento de longitud de curv " " epresión estudid d f( ) ' ds = + f d ds se otiene con l

56 luego el áre de l superficie de revolución considerd l girr lrededor del eje " " l región limitd por l curv, gráfic de " f ", el eje de ls sciss ls rects = =, está dd por: A= π f + f' d Se present un tl pr clculr el áre de un superficie de revolución: Curv Eje de revolución Eje de revolución = f = f( ) c d " " " " = π + π ' A S = f + f d AS f' d = π d + ' d = π + ' c A S g d c A S g g d EJEMPLO. Clculr de dos mners el áre de l superficie que se gener l hcer girr l gráfic de l función = f =, en el intervlo 0,, lrededor del eje de ls sciss. Hcer un trzo proimdo de l gráfic de l curv de l superficie que se gener. 56 =

57 57 Ejemplo. Clculr, de dos forms, el áre de l superficie generd l girr l curv, gráfic de l función f = =, en el intervlo 0,, lrededor del eje de ls ordends. Hcer un trzo proimdo de l curv, sí como de l superficie que se gener. Solución L gráfic de l curv de l superficie de revolución son: (, ) = Primer form ' 0 AS = π + f d

58 f = f' = ; A S = π + 4 d u= + 4 du= 8 d ( 4 ) π u 4 udu= π + C= π + + C 4 6 π π AS AS 6 6 = ( + 4 ) = ( 7 ) π A S = A S u Segund form 0.64 ' AS = π g + g d 0 ' ; π 0 4 g = g = AS = + d 4 + AS = π d= π 4+ d 4 π π u u= 4+ du= 4 d ; u du C 4 = + 4 π π = + + = π AS = 7 AS.64 u 6 ( 4 ) C ; A( S) ( 4 )

59 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN EN POLARES 59 Ahor se trtrá el cso de un superficie que gener un curv l girr lrededor del eje polr o del eje copolr se sigue un proceso semejnte lo visto con nterioridd. Se f un función, en coordends polres, continu derivle en el intervlo cerrdo α θ β. Entonces el áre de l superficie generd l girr l gráfic de r = f ( θ ), desde θ = α hst θ = β, lrededor del eje indicdo, está dd por: β eje polr = + ' eje π S π f θ senθ f θ f θ dθ α β = cos + ' A S π f θ θ f θ f θ dθ α Ejemplo. Otener el áre de l superficie generd l girr, π θ =, el círculo ddo por = =. Grficr l curv. lrededor del eje r f( θ ) cosθ Solución L curv, que es un circunferenci con centro en el punto,0 de rdio π, se muestr continución: r = cosθ π π 0

60 60 Pr clculr el áre de revolución pedid, se utiliz l epresión: de donde β = cos + ' AS π fθ θ fθ f θ dθ α cos ' ' θ = θ θ = θ θ = θ f f sen f sen π AS = cos cos cos + sen d 0 π θ θ θ θ θ π π AS = π cos θ dθ = π cos d θ θ π sen θ AS = π θ + AS = π u 0 Ejemplo. Clculr el áre de l superficie generd l girr, lrededor del eje polr, l gráfic de l función r = cos, en el intervlo π 0 θ revolución que se gener con el giro.. Grficr l curv l superficie de Solución Se trt de l mitd de un circunferenci que tiene como centro el punto, 0 con rdio igul uno. Al girr est curv lrededor del eje polr, es evidente que se form un esfer cu superficie es: S = 4π r = 4π = 4π u Se comprorá este resultdo con l epresión correspondiente l cálculo de l superficie de revolución. θ

61 π r = cosθ 6 π 0 Pr clculr el áre de revolución pedid, se utiliz l epresión: Pr ello, β = + ' AS π fθ senθ fθ f θ dθ α r = f θ = cos θ r ' = senθ r ' = 4sen θ por lo que, π = cos 4cos + 4 AS π θ senθ θ senθ dθ 0 π π π sen θ AS = 8π senθ cosθ dθ AS = 8π 0 AS = 4π u vlor que efectivmente es el de l superficie de l esfer. 0 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN A PARTIR DE LA REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA Pr este cso, en el que l curv está dd por sus ecuciones prmétrics f( t) g( t) procede de mner semejnte. = =, se

62 6 Se un curv suve dd por sus ecuciones prmétrics () ; () = f t = g t, en el intervlo t. Entonces, el áre de l superficie de revolución generd l girr l curv lrededor de un eje coordendo, está dd por: π d d eje " " A S = g t + dt dt dt d d = π + eje " " A S f t dt dt dt gt () 0 f( t) 0 C el rco del círculo ddo por ls Ejemplo. Se " " ecuciones cost sent punto, l girr l curv " " = =, del punto,0 l. Clculr el áre de l superficie generd C lrededor del eje de ls sciss. Solución L gráfic de l porción de círculo considerd, sí como l superficie que gener l girr lrededor del eje " " se muestr en l figur:

63 , = cost f: ; 0 = sent t π 6 Como se oserv en el triángulo formdo por ls coordends del punto, que limit l prámetro " t " es: tn π t = ng = ngtn =, se deduce que el ángulo Pr plicr l epresión dd con l finlidd de clculr el áre de l superficie de revolución, se tiene que: () () = f t = cos t ; ' = sent = g t = sent ; ' = cost luego, π (,0 ) π ; 0 d d AS = π gt dt + dt dt t π

64 π A( S) = π sen t 9sen t + 9cos t dt 0 π π π 0 0 AS = 6π sentdt= 8 cost AS = 8π AS = 9π u 64 Ejemplo. Ls ecuciones prmétrics de un curv son: () () = f t = cost π π ; t = g t = sent Determinr el vlor del áre que se gener, l girr est curv lrededor del eje de ls ordends. Hcer un trzo proimdo del áre. Solución L gráfic proimd de est curv el áre que se gener () () = f t = cost π π ; t = g t = sent Pr plicr l epresión dd con l finlidd de clculr el áre de l superficie de revolución, se tiene que:

65 () () = f t = cos t ; ' = sent π π ; t = g t = sent ; ' = cost luego d d AS = π ft dt + dt dt π AS = π π cost 9sent+ 4cos tdt π = 6π π cost 5sen t+ 4dt 65 Se resuelve primero l integrl indefinid cos = 5 t sen t dt u sen t u= 5sent du= 5costdt = 4 = u u + du= u + + ln u+ u + + C sent 4 = 5sen t ln 5sent + 5sen t C 5 5 sent = 5sen t ln 5sent + 5sen t C 5 por lo que π 6π π cos 5 + t sen t dt

66 66 sent π sen t + + sent + sen t + + C ln u AS CENTRO DE MASA DE UNA BARRA O VARILLA El ojetivo de este tem es presentr un plicción más de l integrl definid en el cálculo del centro de ms o el centroide de un distriución de mteri, lo que podrí ser un vrill o un lámin delgd. m, m,, mn,,, n Se un conjunto de n mss respectivs distncis l origen muestr en l figur siguiente: π π sus, tl como se o m m m n n DEFINICIÓN. Se un ms puntul " m " situd sore el eje de ls sciss un distnci " " del origen, esto es, del eje de ls ordends. El momento con respecto l origen se define como el producto de l ms por su distnci l origen, esto es, Mo = m ( momento de ms ) DEFINICIÓN. Si se consider un sistem con ls " " n mss de l figur, l ms totl del sistem será l sum de tods ls mss, es, decir,

67 n = n = k= m m m m m el momento del sistem con respecto l origen es l sum de todos los momentos de ls mss del mismo, lo que se epres como: M = m + m + + m = m o n n k k k= Un sistem de mss se dice que está en equilirio si el momento del sistem con respecto l origen es cero, lo que se epres como: n k= m k k = 0 sistem en equilirio CENTRO DE MASA O CENTRO DE GRAVEDAD DEL SISTEMA DEFINICIÓN. El centro de ms o de grvedd del sistem de mss sore el eje de ls sciss se define como el punto donde podrín estr concentrds tods ls mss del sistem otiene prtir de: M o = = m m donde es l distnci dirigid del origen ese punto en el que puede considerrse que está concentrd l ms totl del sistem. Ejemplo. Se tienen tres puntos mteriles cus mss son 9 kg,5 kg,5kg. Se loclizn, respectivmente, en los = ; = 4; = 9. puntos del eje de ls sciss: Se requiere loclizr el centro de ms del sistem formdo por ests tres mss. Solución. k m k k n k 67

68 68 9 kg 5 kg 5 kg o 4 9 Ahor l ms totl el momento del sistem son: m= m= 9kg M = M = Luego, el centro de ms es: ( ) = = VARILLA CON DENSIDAD VARIABLE Considérese hor el prolem de loclizr el centro de ms de un vrill (con un número infinito de puntos mteriles) de longitud " L " que tiene densidd vrile " ρ ". Ce recordr que l densidd " ρ " es un mgnitud referid l cntidd de ms contenid en un determindo volumen, pero tmién como se puede hlr de densidd como l ms de un superficie o l ms de un distriución linel de mteri como es en este cso. Luego, l densidd se puede clculr prtir de epresiones como: ms ms ms ρ = ; ρ = ; ρ = volumen superficie longitud Considérese un vrill como l mostrd en l figur: 0 L Entonces l ms de l vrill se clcul considerndo primero l ms de un elemento diferencil de l vrill que

69 69 es igul l producto de l densidd, que en este cso es vrile por eso se denot con del elemento diferencil, esto es, ρ d ρ, por l longitud " d " Se puede hcer un sumtori de tods ls mss después scr límite cundo l norm de l prtición definid tiend cero, con lo que se otiene l ms de l vrill o distriución linel de mteri, que entonces es igul : m= L 0 ρ d De mner semejnte, el momento con respecto l origen de un elemento diferencil es el producto de su ms por l distnci l origen, es decir, ρ d Y, como en el cso nterior, se tiene que el momento de l vrill con respecto l origen es igul : L Mo = ρ d 0 Finlmente, el centro de ms de l vrill se otiene prtir del cociente del momento entre l ms, de donde: CM M o 0 = centro de ms = = = L m 0 L ρ d ρ d Se conoce como perfecto equilirio cundo l colgr l vrill de su centro de ms, ést es prlel l horizontl. Cundo l densidd es constnte entonces l distriución de ms es homogéne el perfecto equilirio de drá l suspender l vrill de su centro de grvedd, l que se d por llmr centroide. perfecto equilirio centro de ms

70 70 Ejemplo. Demostrr que si un vrill tiene densidd linel constnte, entonces el centro de ms se encuentr en su centro geométrico (considérese " L " l longitud ρ = k l densidd constnte). Solución. Est vrill se ilustr en l siguiente figur: ρ = constnte 0 L Se l densidd linel constnte denotd por " " ρ. Como es constnte, entonces sle de ls dos integrles que definen l ms totl el momento con respecto l origen, luego: L L L L m = ρ d = ρd = ρ d = ρ m = ρl L L L L L Mo = ρ d = ρd ρ d ρ M ρ 0 = = = Finlmente, el centro de ms se otiene como: CM: M L = o = 0 = = L m 0 ρ d ρ d se verific que está en el centro de l vrill. L ρ ρ L L Ejemplo. Un vrill de 4 cm de longitud tiene un grmos densidd linel centímetro dd por l ecución ρ =. Loclizr su centro de ms. ; 0 4 Solución.

71 7 En este cso, l densidd es vrile, lo que se puede ilustrr oteniendo su vlor en lgunos puntos de l vrill. Así, = 0cm ρ = 0 = 0 cm = 4cm ρ = g 4 = cm = 0 cm ρ = g 0.6 cm = 6 cm ρ = g 6 = 4 cm = 4 cm ρ = g cm Se plicn ls epresiones correspondientes se otiene: L 4 m= ρ d = d 78.8 g 0 = 0 5 L 4 Mo = ρ d = d = 0 5 Por lo tnto el centro de ms se encuentr en: L M ρ d 8.7 = = 4.4 m ρ d 78.8 o 0 cm L 0 CENTROIDE DE UNA REGIÓN PLANA Se un conjunto de n mss puntules en el plno, tl como se oserv en l siguiente figur: 4 0 g 4 0

72 7 m m 4 m k DEFINICIÓN. Supóngse que se tienen n mss puntules en el plno, entonces el centro de ms del sistem se define como el punto, en el cul: 5 m k k m m M n k k k= = = = n m M k= n k k k= = = = n m k= m m k m m k momento del sistem con respecto l eje "" ms totl momento del sistem con respecto l eje "" ms totl El momento con respecto un eje se otiene l multiplicr l ms por l distnci l eje, medid sore l perpendiculr l mismo. Ahor se trtrá el cso de un lámin homogéne o distriución pln de mteri con densidd constnte. CENTRO DE MASA (CENTROIDE) DE UNA LÁMINA Se trt de loclizr el centro de ms de un delgd cp idimensionl de mteri, o lámin, que tiene densidd ρ (ms por unidd de áre) constnte, por lo que se dice que

73 7 l lámin es homogéne. En l figur siguiente se ve l lámin uicd en un cierto sistem coordendo, por convenienci geométric, se consider un segmento diferencil rectngulr de ell, cu se es " d " cu " f ". ltur es Es importnte ver cómo ls coordends del centro de ms del elemento diferencil son l distnci " " de este centro l eje de ls ordends l mitd del vlor de l ordend, es decir, de l función, en dicho elemento diferencil. Con lo dicho nteriormente, es posile estlecer ls siguientes epresiones mtemátics con ls que se resolverá el prolem: m= ρ f d M ; = ρ f d M = ρ f d el centro de ms de l lámin está entonces ddo por: d M = = m M = = m ρ f d ρ f d = f ρ f, ρ f d d f

74 74 Cundo l densidd es constnte, sle del proceso de ls integrles se simplific, con lo que ls coordends del centroide son: M f d M = = ; = = A f d A f f d Ejemplo. Loclizr el centroide de l región del primer cudrnte limitd por l gráfic de l curv = 6, el eje " " el eje " ". Solución. Primero se reliz l gráfic de est región que podrí ser l de un distriución pln de mteri o de un lámin con densidd superficil constnte. Así, 6 = 6 d, f centroide Se procederá clculr ls coordends del centroide pr ello se utilizrán ls epresiones ntes vists que son: 4 4 M f d M = = ; = = A f d A f f d d

75 Primero se clculrá el áre: 4 ( 6 ) A= f d = d = 6 = = 4 56 A= 85. u Se clcul el momento con respecto l eje " " de donde, 4 ( 6 ) M = f d = d ( ) = = + = M = 0 Este resultdo es evidente que por simetrí l scis " " del centroide es cero, lo que se verific prtir de: M 0 = = = 0 A 56 Se clcul el momento con respecto l eje de ls sciss, M = f d = d = ( 56 + ) d = = ( 6 ) 75

76 = = M = 5. 0 Por lo que: 604 M = = = 6.6 A C 0, 6.6 Luego el centroide de l región dd es Ejemplo. Determinr ls coordends del centro de ms de de l lámin de densidd homogéne " ρ ", cu form es l de l región en el plno coordendo " " limitd por ls gráfics de: = ( + ) ; = 0 ; = ; = 76

77 77 EJEMPLO. Loclizr el centro de ms de l distriución pln con densidd constnte que tiene l form de l región limitd en el plno crtesino por ls gráfics de: = f = + 4 = f = 4 Solución Se resuelve el sistem formdo por ls dos ecuciones de ls práols se tiene: + 4 = 4 4 6= 0 = 0 = ; = ( + )( ) = 0 = ; = 5 Si se nliz cd práol se lleg : Vértice en = + 4 = 4 0,4, re hci jo su eje de simetrí es el eje " ". = 4 = Vértice en (, 6) = 6 = + 6, re hci rri su eje de simetrí es l rect = Se grfic l región que represent l distriución pln de mteri se tiene:

78 (, ) ( 0, 4) CM = En este cso, ls epresiones que se utilizn pr clculr el centro de ms de est lámin de densidd homogéne son: donde = 4 M = ; = m (, 6) (, 5), f f M m + m= ρ f f d M = ρ f f d M = f + f ρ f f d Como l densidd es constnte, sle del proceso de ls integrles.

79 ( 4) ( 4 ) ρ ( 4 6) m = ρ d d + = + + = ρ = ρ ( 8 8 8) ρ = ρ m = ρ ( 4 6) M = ρ f f d = + + d 4 = ρ ( ) d = ρ = ρ ρ 0 + = + 64ρ M = M = f f ρ f f d + = ρ ( 4) ( 4 ) + d { } = ρ f f d 4 4 = ρ ( 8 + 6) ( ) d 4 0 = ρ ( ) d ρ 8 + = = ρ ( ) 8 ρ = 79

80 64ρ M = Por lo tnto, ls coordends del Centro de Ms son: 64ρ 64ρ M M = = = ; = = = m 64ρ m 64ρ CM, 80 LA INTEGRAL DEFINIDA EN EL TRABAJO TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE Si se plic un fuerz " F " de mgnitud constnte que ocsion que un cuerpo se muev un distnci " d " en un ciert dirección, el trjo relizdo por l fuerz sore el cuerpo es igul T = Fd TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE Si l fuerz es vrile ctú en un rect que podrí ser el eje " ", en un determindo intervlo,, entonces, l hcer un prtición del mismo escoger un punto en cd uno de sus suintervlos, se podrí plicr en ellos l epresión del trjo como si fuer constnte. Después se construe l sumtori correspondiente se clcul su límite con lo que se otiene l siguiente integrl definid que equivle l trjo " T " relizdo por dich fuerz vrile F = F que ctú sore un ojeto que lo mueve lo lrgo del eje de ls sciss, en l dirección de l fuerz lo lrgo del intervlo. Este trjo está ddo por: T = F d

81 8 Ejemplo. Clculr el trjo que reliz un fuerz de F = 5 N = m hst m =. lo lrgo el eje de ls sciss, desde Solución. Se plic l epresión vist se tiene que: 5 T = 5 d = = + + = + 6 T Joules Ejemplo. Supóngse que se tiene un resorte cuo coeficiente de elsticidd es de. m. k = de longitud inicil de 4.8 N m i ) Cuánto trjo se necesit pr estirr el resorte hst un longitud de.6 m? ii ) un longitud de.8 m hst otr de. m? Cuánto trjo se necesit pr estirr el resorte desde Solución. Se utiliz l Le de Hooke que estlece que l fuerz pr estirr un resorte un longitud " " es proporcionl dich longitud, esto es: Se utiliz est epresión : i) =.6. = 0.4 m F = k

82 T = 4.8 d = 0 = T = 0.84 joules ii) T = 4.8 d 4.8 d = 4.8 d = =.4( 0.6) T = joules Ejemplo. Determinr el trjo relizdo l levntr un crg de 6,500 kg, desde l superficie de l Tierr, hst un ltur sore ell de 5,000 m. L ms de l Tierr es de kg su rdio de m. Solución. Pr resolver este prolem se utiliz l fuerz de l grvedd, dd por l epresión: mm F = k k = r N m kg ; Y en este cso, los límites de integrción son: l superficie de 6 l tierr, esto es, m, l sum de ést más los 6 5,000 m, es decir, m. Luego, el trjo pr levntr l crg es: mm T = k dr r T = ( )( 6 0 )( 6500) dr r

83 8 T = r = = T T = joules 6 APLICACIÓN DE LA INTEGRAL INDEFINIDA EN LA SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES En ingenierí otrs ciencis h prolems que cundo se formuln mtemáticmente, requieren de un función que dee stisfcer un ecución que contiene dich función sí como derivds de ell. Ests ecuciones se conocen como ecuciones diferenciles. EJEMPLO. Considérese l segund le de Newton m () dst dst = F t, s () t, dt dt Cundo en est epresión F se dee l grvedd, se puede escriir como: () dst dst m = mg = g dt dt Si se integr dos veces se otiene: ds() t () dt Como se puede intuir, pr determinr = gt + C s t = gt + C t + C st se necesitn dos condiciones, l posición l velocidd en lgún instnte.

84 84 Clsificción. Ls ecuciones diferenciles se clsificn en derivds ordinris en derivds prciles. Considérense los siguientes ejemplos pr ilustrr est clsificción: Ecuciones diferenciles en derivds ordinris dqt () dqt L + R + q() t = e() t dt dt C donde q es l crg, L l inductnci, R l resistenci, C l cpcitnci e el voltje plicdo. dr t dt () = kr t Decimiento de un sustnci rdioctiv como el rdio en función del tiempo. Ecuciones diferenciles en derivds prciles (, ) u(, t) u t t u(, ) u(, ) + = 0 u(, t) u (, t) = t α = ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (ecución del clor) (ecución del potencil) (ecución de ond) Definición. El orden es igul l de l derivd de más lto orden que prece en l ecución. Ejemplo. L ecución diferencil ordinri 4 ''' + e '' + ' = = f es de tercer orden pr l función

85 85 Definición. El grdo es el eponente de l derivd de más lto orden que prece en l ecución. Ejemplo. L ecución diferencil ordinri es de segundo grdo. d d + = d d Definición. L solución en el intervlo < < es un ( n) función ϕ tl que deen eistir sus derivds ϕ ', ϕ'',, ϕ stisfcer l ecución ( n ) 4 ( n ) ϕ = f, ϕ, ϕ',..., ϕ pr culquier vlor de " " en el intervlo < <. Definición. Un ecución diferencil ordinri es linel sí sólo si su función solución es linel en l vrile dependiente en sus derivds. Es posile firmr entonces que quells ecuciones en ls que precen potencis de ls derivds, productos de l derivds por l función solución " ", sí como funciones de " " no lineles, son ecuciones diferenciles ordinris no lineles. EJEMPLO. Pr ilustrr l linelidd el orden, considérense los siguientes csos de ecuciones diferenciles ordinris: ) '' ' cos i + + = linel / o orden d d ii) ( ) e d + d + = no linel / o orden iii) ''' + '' + = sen linel / er orden iv) d + = 0 d no linel / er orden

86 d v) + cos + = cos no linel / o orden d d d d vi) ( sen ) d + d + d + = linel / er orden Ejemplo. Verificr si l función dd es solución generl de l ecución diferencil ordinri. π + = sec ; 0 < < ; = ( cos) lncos + sen d d 86

87 MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES 87 Un ecución diferencil ordinri de primer orden primer grdo se puede escriir como: Md + Nd = 0 en donde M N son funciones de ls vriles. Definición. Tod ecución diferencil ordinri de primer orden, que puede ser escrit como: + g( ) d = 0 f d se denomin ecución de vriles seprles. Alguns ecuciones diferenciles ordinris de este tipo son tn simples que se pueden escriir de l siguiente form: + g( ) d = 0 f d Esto quiere decir que ls vriles pueden seprrse junto con su respectiv diferencil entonces su solución generl puede otenerse, en muchs ocsiones, de mner sencill. Medinte un proceso de integrción, est solución consiste en determinr un función F cu diferencil totl se g( ) d 0 f d + =. Entonces result evidente que l solución generl de l ecución diferencil ordinri será F = C, donde C es un constnte ritrri. L plicción de l integrl indefinid pr resolver lguns de ests ecuciones de vriles seprles consiste en lo siguiente. Dd l ecución diferencil ordinri de primer orden, se seprn sus vriles con su diferencil correspondiente, llegndo un epresión como: + g( ) d = 0 f d Después se integr por seprdo cd sumndo con respecto su respectiv vrile, es decir: f d + g( ) d = 0

88 88 Finlmente se resuelven ls integrles se lleg un función como (, ) F que es l solución generl de l ecución, l que puede drse de form eplícit o implícit. Ce decir que ls ecuciones diferenciles lineles siempre conducen funciones eplícits ls no lineles, generlmente funciones implícits, como soluciones. Ejemplo. Resolver l ecución diferencil ( ) = C + ' = 0 Solución. Se sepr l derivd considerándol como un cociente de diferenciles. ( + ) d = 0 ( + ) d d = 0 d Ahor se sepr cd vrile con su respectiv diferencil pr ello se divide tod l ecución entre que qued: ( + ) + con lo d d = 0 d d Antes de integrr, se reliz l división considerd en el segundo término, de donde: d d 0 = + Se integr se otiene l solución generl: d d 0 = + ln + ln + = C Es posile escriir l constnte ritrri en form logrítmic como sigue:

89 ln + ln + + lnc = 0 89 C = lnc. Se despej hor l vrile " " donde plicn propieddes de l función logrítmic. Así, se = ln + ln + + lnc = lnc + Se plic l función eponencil l solución generl qued como: e = C + que es más compct que l inicilmente otenid. Ejemplo. Otener l solución generl de ls siguientes ecuciones diferenciles ordinris. d d i) = tn ; ii) ln = d d iii) + ' + + = 0 iv e send d = ) cos 0 ) tn + sec = 0 v e d e d