SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

Transcripción

1 6 Pág. Página 86 El maestro carpintero reparte entre sus dos ayudantes la construcción de un gran armario. Y cada uno de ellos, a su vez, imagina su parte de la obra despiezada para poder construirla a partir de sus elementos. Análogamente, en matemáticas, es conveniente a veces descomponer los números y los polinomios en sus piezas básicas para trabajar con ellos. El producto de las edades de tres hermanos es 240, y no se llevan más de tres años. Cuáles son dichas edades? Para resolver este problema, descompón 240 en factores primos y con los factores compón tres números que cumplan las condiciones exigidas. Con los polinomios se puede hacer como con los números: descomponerlos en factores. Es lo que aprenderemos en esta unidad. Descomponiendo 240 en factores primos, obtenemos: 240 = = Tomando = 8, 2 = 6 y 5 obtenemos tres números que cumplen las condiciones exigidas. Las edades de los tres hermanos son 5, 6 y 8 años. Página 87 Saca factor común en cada uno de los siguientes polinomios: a) A(x) = x 2x 2 +5x b) B(x) = 2x 4 2x + 2x 2 c) C(x) = 20x + 5x d) D(x) = 2x 6 + 4x 2x a) A(x) = x 2x 2 + 5x = x(x 2 2x + 5) b) B(x) = 2x 4 2x + 2x 2 = 2x 2 (x 2 x + ) c) C(x) = 20x + 5x = 5x(4x 2 + ) d)d(x) = 2x 6 + 4x 2x = 2x(x 5 + 2x 2 ) 2 Extrae factor común en cada uno de estos polinomios: a) P(x) = 490x 420x 2 +90x b) R(x) = 20x x x 2 c) S(x) = 8x 4 6x 2 d) T(x) = 4x 00x 5 a) P(x) = 490x 420x 2 +90x = 0x(49x 2 42x +9) b) R(x) = 20x x x 2 = 5x 2 (4x 4 + 2x 2 +9) c) S(x) = 8x 4 6x 2 = 9x 2 (9x 2 4) d)t(x) = 4x 00x 5 = 4x( 25x 4 )

2 6 Pág. 2 Página 88 Sacando factor común cuando sea posible e identificando productos de binomios, factoriza los siguientes polinomios: a) A(x) = x 2 + 4x + 4 b) B(x) = x 2 6x +9 c) C(x) = x 2 d) D(x) = x 4x e) E(x) = 4x 2 + 2x +9 f) F(x) = x 2 9 g) G(x) = x 4 0x + 25x 2 h) H(x) = 9x x + 6 i) I(x) = x 2 j) J(x) = x 2 + 2x k) K(x) = 50x 2x l) L(x) = 490x 420x x m) M(x) = 20x x x 2 n) N(x) = 8x 4 6x 2 ñ) Ñ(x) = 2x 5 x a) A(x) = x 2 + 4x + 4 = (x +2) 2 b) B(x) = x 2 6x + 9 = (x ) 2 c) C(x) = x 2 = (x )(x +) d)d(x) = x 4x = x(x 2 4) = x(x 2)(x +2) e) E(x) = 4x 2 + 2x + 9 = (2x) x + 2 = (2x + ) 2 f)f(x) = x 2 9 = (x )(x +) g) G(x) = x 4 0x + 25x 2 = x 2 (x 2 0x + 25) = x 2 (x 5) 2 h)h(x) = 9x x + 6 = (x) x = (x + 4) 2 i) I(x) = x 2 = ( ) ( x ) x + 6 2x 9 4 j) J(x) = x = x x + ( ) 2 = ( x + ) 2 k) K(x) = 50x 2x = 2x(25x 2 ) = 2x(5x )(5x + ) l) L(x) = 490x 420x x = 0x(49x 2 42x + 9) = = 0x ((7x 2 ) 2 7x + 2 ) = 0x(7x ) 2 m) M(x) = 20x x x 2 = 5x 2 (4x 4 + 2x 2 + 9) = = 5x 2 ((2x 2 ) x ) = 5x 2 (2x 2 + ) 2 n)n(x) = 8x 4 6x 2 = 9x 2 (9x 2 4) = 9x 2 (x 2)(x + 2) ñ)ñ(x) = 2x 5 x = x(4x 4 ) = x(2x 2 )(2x 2 + ) = = x ( 2 x )( 2 x + )(2x 2 + ) 4

3 6 Pág. Página 89 a) Explica por qué A(x) = x x 2 x + no puede ser divisible por x 2. b) Indica qué expresiones del tipo x a podremos considerar como posibles divisores de A(x). c) Comprueba cuáles de las expresiones consideradas en el apartado b) son divisores de A(x). Para ello, realiza las divisiones con la regla de Ruffini. a) Porque a = 2 no es divisor del término independiente de A(x), que es. b) Los divisores de son,,,. Por tanto, podríamos considerar como posibles divisores de A(x) las siguientes expresiones: x, x +, x y x +. c) A(x) = x x 2 x Las expresiones x, x + y x sí son divisores de A(x), mientras que x + no lo es. Página 90 Calcula P(a) en los siguientes casos, utilizando la regla de Ruffini: a) P(x) = 7x 4 5x 2 + 2x 24 para a = 2, para a = 5 y para a = 0. b) P(x) = x 8x 2 + x para a =, para a = y para a = 2. a) P(x) = 7x 4 5x 2 + 2x P(2) = P( 5) = 4 26

4 6 Pág P(0) = b) P(x) = x 8x 2 + x P( ) = P() = P(2) = 2 Página 92 Factoriza los siguientes polinomios: a) P(x) = 9x 4 + 8x x 2 8x + 2 b) Q(x) = x 4 + 2x + 4x 2 + 6x + a) P(x) = 9x 4 + 8x x 2 8x + 2 Buscamos las raíces de P(x) entre los divisores de 2:,, 2, 2,,, 4, 4, 6, 6, 2, es raíz de P(x) es raíz de P(x) En el polinomio de segundo grado que nos queda, 9x 2 4, reconocemos una identidad notable: 9x 2 4 = (x 2)(x +2) Así: P(x) = (x )(x +)(x 2)(x +2)

5 6 Pág. 5 b) Q(x) = x 4 + 2x + 4x 2 + 6x + Los divisores de son,, y, posibles raíces enteras de Q(x): es raíz de Q(x) es raíz (doble) de Q(x) El polinomio x 2 + es irreducible. Así: Q(x) = (x + )(x +)(x 2 + ) Q(x) = (x + ) 2 (x 2 + ) Página 9 2 Factoriza los siguientes polinomios: a) A(x) = x 2 5x 6 b) B(x) = x 5 5x 4 6x c) C(x) = x x d) D(x) = x + x 2 4x e) E(x) = x 4 5x f) F(x) = x +4x 2 + 4x g) G(x) = x x + 2 a) A(x) = x 2 5x 6 Buscamos las raíces de A(x) entre los divisores de 6: A(x) = (x + )(x 6) b) B(x) = x 5 5x 4 6x B(x) = x (x 2 5x 6) = x (x +)(x 6) apartado a) c) C(x) = x x C(x) = x(x 2 ) = x(x )(x +) identidad notable d)d(x) = x + x 2 4x D(x) = x(x 2 + x 4) Buscamos las raíces de x 2 + x 4 entre los divisores de 4:

6 6 Pág x 2 + x 4 = (x )(x +4) Así: D(x) = x(x )(x + 4) e) E(x) = x 4 5x Buscamos las raíces de E(x) entre los divisores de 4: es raíz de E(x) es raíz de E(x) x 2 4 = (x +2)(x 2) Así: E(x) = (x )(x +)(x +2)(x 2) f)f(x) = x + 4x 2 + 4x F(x) = x(x 2 + 4x +4) = x(x +2) 2 identidad notable g) G(x) = x x +2 Buscamos las raíces de G(x) entre los divisores de 2: es raíz de G(x) es raíz de G(x) otra vez Así: G(x) = (x )(x )(x + 2) G(x) = (x ) 2 (x + 2) Factoriza estos polinomios: a) H(x) = x 4 + 2x 2x 2 60x b) I(x) = x 5 +8x 4 + 2x + 8x 2 c) J(x) = 9x 4 6x + 26x 2 + 4x d) K(x) = 2x 5 + 2x 4 2x 2x 2 e) L(x) = 4x 4 7x 2 +9 f) M(x) = 6x 4 + 2x + 24x 2 +9x g) N(x) = x 5 + 0x 4 + 2x + 40x 2 + x + 0

7 6 Pág. 7 a) H(x) = x 4 + 2x 2x 2 60x H(x) = x(x + 2x 2 2x 60) Factorizamos el polinomio x + 2x 2 2x H(x) = x(x + 2x 2 2x 60) = x(x + )(x 5)(x + 4) b) I(x) = x 5 + 8x 4 + 2x + 8x 2 I(x) = x 2 (x +8x 2 + 2x + 8) Factorizamos x +8x 2 + 2x + 8: Observamos que x 2 +6x + 9 = (x +) 2, producto notable. Así: I(x) = x 2 (x +8x 2 + 2x + 8) = x 2 (x + 2)(x + ) 2 c) J(x) = 9x 4 6x + 26x 2 + 4x Identificamos una identidad notable en el polinomio de segundo grado que nos queda: 9x 2 = (x )(x + ) Luego: J(x) = (x )(x )(x )(x +) d)k(x) = 2x 5 + 2x 4 2x 2x 2 K(x) = 2x 2 (x + x 2 x ) Factorizamos el polinomio x + x 2 x : 2 2 0

8 6 Pág. 8 Observamos que x 2 + 2x + = (x +) 2. Así: K(x) = 2x 2 (x )(x +) 2 e) L(x) = 4x 4 7x Como 4x 2 = (2x )(2x + ), tendremos que: L(x) = (x )(x +)(2x )(2x + ) f)m(x) = 6x 4 + 2x + 24x 2 +9x M(x) = x(2x +7x 2 +8x + ) Descomponemos en factores 2x +7x 2 +8x + : Así: M(x) = x(x + ) 2 (2x + ) g) N(x) = x 5 + 0x 4 + 2x + 40x 2 + x El polinomio x 2 + no tiene raíces. N(x) = (x + 2)(x +)(x +5)(x 2 + ) Página 94 Descompón factorialmente estos polinomios: a) x 6 + 2x 5 2x x 2 b) x 6 + 2x 5 4x 4 + 5x + 4x x

9 6 Pág. 9 a) x 6 + 2x 5 2x x 2 x 2 x 4 + 2x 2x x x + x 2 + x + x + x 2 + 2x + x + x + x + x 6 + 2x 5 2x x 2 = x 2 (x )(x + ) b) x 6 + 2x 5 4x 4 + 5x + 4x x x x 5 + 2x 4 4x + 5x 2 + 4x + 20 x 2 x 4 + 4x 6x 2 7x 0 x 2 x + 6x 2 + 6x +5 x +5 x 2 + x + x 2 + x + Luego: x 6 + 2x 5 4x 4 + 5x + 4x x = x(x 2) 2 (x +5)(x 2 + x + )