Tema 1: Matrices. A es una matriz en la que hemos significado las dos primeras filas y columnas, la fila p ésima y la última fila y columna.

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1 Tema 1: Matrices 1. Matrices y tips de matrices El cncept de matriz alcanza múltiples aplicacines tant en la representación y manipulación de dats cm en el cálcul numéric. 1.1 Terminlgía Cmenzams cn la definición de matriz de dimensión u rden mxn cm un cuadr de númers dispuests en m filas y n clumnas. Su representación cn letras mayúsculas es A = (a ij ) dnde i = 1,, m es indicativ de fila y j = 1, n es indicativ de clumna: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a p1 a p2 a pn ( a m1 a m2 a mn ) A es una matriz en la que hems significad las ds primeras filas y clumnas, la fila p ésima y la última fila y clumna. Así, en la matriz de dimensión 2x3 A = (a ij ) = ( ) identificams algun de sus elements según su psición: a 12 = 1 a 23 = 5. Llamams M mxn al cnjunt de matrices de rden mxn; est ns permitirá ser rigurss a la hra de enunciar cierts resultads prpiedades. 1.2 Igualdad de matrices Ds matrices de la misma dimensión sn iguales si y sl si l sn ls elements que cupan la misma psición en cada una de ellas, est es: Sean A, B M mxn A = (a ij ) = B = (b ij ) a ij = b ij i = 1,, m j = 1,, n 1.3 Tips de matrices Pasams ahra a definir ls distints tips de matrices: matriz fila, matriz clumna, matriz nula, matriz cuadrada, matriz rectangular y, dentr de las matrices cuadradas, a definir la diagnal principal y la secundaria. Matriz fila es tda matriz de dimensión 1xn (vectr fila): A = (2 1 5) Matriz clumna es tda matriz de dimensión mx1 (vectr clumna): A = ( 2 3 ) 0 0 Matriz nula es tda matriz en la que tds sus elements sn nuls: O = ( 0 0) 0 0 Matriz cuadrada es tda matriz que tiene igual númer de filas y de clumnas. Se hablará de matriz cuadrada de rden n (dimensión nxn): A = ( ) Llamarems M n al cnjunt de matrices cuadradas de rden n. En tda matriz cuadrada distinguims la diagnal principal, frmada pr ls elements a ii y la diagnal secundaria, elements a ij cn i + j = n

2 a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n 1 a 1n a A = ( 21 a 22 a 2n a ) ; A = ( 21 a 22 a 2n 1 a 2n ) a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn 1 a nn A las matrices n cuadradas las llamarems rectangulares. Matriz diagnal es tda matriz cuadrada en la que ls elements que n están en la diagnal principal valen cer A = ( 0 1 0) Matriz escalar es tda matriz diagnal en la que ls elements de la diagnal principal sn iguales A = ( ) Matriz unidad es una matriz escalar en la que ls elements de la diagnal principal valen la unidad I 3 = ( ) matriz unidad de rden Matriz triangular superir es una matriz cuadrada en la que ls elements pr debaj de la diagnal principal sn nuls. A = (a ij ) M n es triangular superir a ij = 0 i > j Matriz triangular inferir es una matriz cuadrada en la que ls elements pr encima de la diagnal principal sn nuls. A = (a ij ) M n es triangular inferir a ij = 0 i < j Ejercici 1: Determina ls valres de las incógnitas para que las matrices sean iguales. A = ( 1 2 y x ) B = ( y + x ) 2. Operación cn matrices Definims las peracines de suma en el cnjunt M mxn y la de prduct de númer real α pr una matriz de M mxn. Terminarems cn la traspsición de matrices y el prduct de ds matrices. 2.1 Suma de matrices Sean A, B M mxn, A = (a ij )y B = (b ij ) definims su suma A + B cm una matriz C = (c ij ) M mxn en la que c ij = a ij + b ij i = 1,, m j = 1,, n, est es, una nueva matriz de la misma dimensión que las dadas en la que el element que cupa la psición fila i y la cluma j es la suma de ls elements que cupan esa misma psición en A y B. Ejempl 1: ( ) + ( ) = ( ) Definims la puesta A de una matriza = (a ij ) cm A = ( a ij ) y la resta de ds matrices de la misma dimensión: A B = A + ( B). 2

3 Prpiedades de la suma de matrices A, B M mxn se tiene: Cnmutativa: A + B = B + A Asciativa: (A + B) + C = A + (B + C) Element neutr: O M mxn / A + O = A Element puest: ( A) = ( a ij ) M mxn A + ( A) = O (M mxn, +)grupcnmutativ 2.2 Prduct de un númer real (escalar) pr una matriz Sean α R y A = (a ij ) M mxn. Definims el prduct α A cm la matriz (α a ij ) M mxn Ejempl 2: ( 1/2 3 1 ) = ( 1 1 3/ ) Prpiedades α, β R, A, B M mxn se tiene: Distributiva respect de la suma de matrices: α (A + B) = α A + α B Distributiva respect de la suma de escalares: (α + β) A = α A + β A Asciativa de escalares: α (β A) = (α β) A 1 A = A (Puede ser interesante hacer ntar que la peración prduct que hems significad cn es distinta de la peración prduct entre númers reales que la significams de la misma frma; n hay cnfusión alguna puest que siempre sabems a qué afecta el mism.) 2.3 Traspsición de matrices Sea A = (a ij ) M mxn. Se llama matriz traspuesta de A, y se escribe A t a la matriz de dimensión nxm que resulta de intercambiar entre sí las filas y las clumnas de A, est es A t = (a ji ) M nxm. Ejempl 3: A = ( 1 6 2) y A t = ( 4 6 2) Prpiedades de la traspsición de matrices (A + B) t = A t + B t La traspuesta de la suma es la suma de traspuestas. (α A) t = α A t (A t ) t = A Matriz simétrica es tda matriz cuadrada que cincida cn su traspuesta. A simétrica A = A t Matriz antisimétrica es tda matriz cuadrada que cincida cn la puesta de su traspuesta. A antisimétrica A = A t Terema: Tda matriz cuadrada se puede descmpner en suma de una simétrica B = 1 2 (A + A t ) y una antisimétrica C = 1 2 (A At ) 3

4 2.4 Prduct de matrices Es imprtante señalar que n tdas las matrices se pueden multiplicar unas pr tras. La definición que se va a dar implica necesariamente que el númer de clumnas de la matriz multiplicand cincida cn el númer de filas de la matriz multiplicadr, bteniend, en este cas, una matriz que tendrá tantas filas cm la matriz multiplicand y tantas clumnas cm la matriz multiplicadr. Pr ejempl, n tendrá sentid multiplicar A B siend A M 2x3 y B M 2x3 pues n cincide el númer 3 de clumnas de A cn el númer 2 de filas de B. Sean A = (a ij ) M mxn y B = (b jk ) M nxp definims su prduct A B cm una nueva matriz C cn C = (c ik ) M mxp dnde el element c ik se btiene sumand ls prducts de cada element de la fila i de la matriz A pr ls de la clumna j de la matriz B, est es: n c ik = a ij b jk = a i1 b 1k + a i2 b 2k + + a in b nk j=1 Ejempl 4 Multiplicams una matriz de dimensión 3x2 pr tra de dimensión 2x3 incidiend en que se pueden multiplicar y la dimensión de la matriz prduct: 1 3 ( 1 2) ( ) = ( ) Prpiedades N cnmutativa. Basta cnsiderar ds matrices que n cnmuten. Asciativa: A M mxn, B M nxp, C M pxq A (B C) = (A B) C Distributiva del prduct respect de la suma: A (B + C) = A B + A C siend A M mxn y B, C M nxp. Element neutr (unidad): Dada A M mxn, existen las matrices unidad de rden n I n y de rden m I m tales que A I n = A y I m A = A. (A B) t = B t A t Matriz rtgnal es una matriz cuadrada de rden n A tal que A A t = I n. 2.5 Ptencia de una matriz Una ptencia, de expnente natural, de una matriz cuadrada n es más que una frma abreviada de expresar el prduct de dicha matriz pr sí misma un ciert númer de veces: (n A M n A n = A A A Matriz idemptente: cincide cn su cuadrad Matriz nilptente: cincide cn una de sus ptencias 3. Inversa de una matriz cuadrada Sea A M n. La inversa de A, si existe, se define cm una matriz cuadrada que escribirems A 1 que cumple A A 1 = A 1 A = I n. Ejempl 5 Cnsiderems la matriz cuadrada A = ( ). Su inversa será a b A 1 = ( c d ). Obligand a que A A 1 = I btenems ds sistemas de ecuacines lineales cn ds incógnitas que reslvems fácilmente. Así: La matriz inversa es A 1 3/5 1/5 = ( 2/5 1/5 ) 4

5 4. Dependencia e independencia lineal. Rang de una matriz Vams a dar el cncept de cmbinación lineal de filas (clumnas) de una matriz, dependencia e independencia lineal de filas (clumnas) de una matriz y definir el rang de una matriz A. 4.1 Cmbinacines lineales Cnsiderems la matriz A = ( ) Pdems bservar que la fila tercera F 3 es el resultad de sumar a la segunda el triple de la primera: F 3 = 3 F 1 + F 2. Direms de la fila F 3 es cmbinación lineal def 1 y F 2 y que el cnjunt {F 1, F 2, F 3 } es linealmente dependiente. En general, en una matriz, una fila F es cmbinación lineal de tras filas {f 1, f 2,, f k } cuand se puede expresar F = α 1 f 1 + α 2 f α k f k siend ls ceficientes α 1, α 2,, α k númers reales escalares algun de ells n nul. (Análg para clumnas) 4.2 Dependencia e independencia lineal Un cnjunt de filas de una matriz es linealmente dependiente si existe al mens una de ellas que es cmbinación lineal de las demás. En cas cntrari se dice que sn linealmente independientes, (análg para clumnas) 4.3 Rang de una matriz El rang de una matriz es el númer máxim de filas (clumnas) linealmente independientes. 4.4 Métd de Gauss para calcular el rang de una matriz 1. Escalnams la matriz aplicand el métd de Gauss cn sus transfrmacines elementales. 2. Una vez escalnada, el rang de la matriz es el númer de filas n nulas (análg para clumnas) Ejempl 6 Cnsiderems la matriz A = ( ) Aplicams el métd de Gauss para escalnarla: ( ( ) ) F2 +F 1 F 3 +F 1 El númer de filas n nulas es 2. Pr tant rg(a) = 2. 5