Para 0 z a La densidad de carga y el campo eléctrico están relacionados por medio de la ecuación diferencial del teorema E 1. = ρ ε 0 a z.

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1 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Contcto: ρ(z) V En el espcio vcío entre dos plcs conductors plns, y, de grn extensión, seprds un distnci, hy un estrto de crg de espesor, con un densidd volumínic ρ = ρ z/ Por medio de un terí se estlece un diferenci de potencil V entre ls plcs Clcúlese: ) El cmpo eléctrico en cd región ) El potencil en cd región c) L densidd superficil de crg lire en ls crs interns de ls plcs SLUCIÓN: ρ(z) región () V región (2) Cálculo del cmpo eléctrico en l región () Vmos denominr región () l región ocupd por l densidd volumínic de crg, y región (2) l región de vcío Puesto que ls plcs conductors tienen un grn extensión, supondremos que ls línes de fuerz del cmpo eléctrico no experimentn un dispersión precile, teniendo en todo punto l dirección del eje, y por lo tnto, el prolem es unidimensionl Comencemos por clculr el cmpo y el potencil en cd región, puesto que conocemos ls densiddes volumínics de crg en cd un de ells Pr z L densidd de crg y el cmpo eléctrico están relciondos por medio de l ecución diferencil del teorem de Guss: Por otr prte, E = ρ ε = ρ ε z E = de z [] [2] Igulndo los segundos miemros de [] y [2] y despejndo de z e integrndo en form indefinid E z = de z = ρ ε z expresión en l que qued por determinr l constnte C Cálculo del potencil eléctrico en l región () prtir de l relción entre el cmpo y el potencil, ρ ρ z 2 ε z = ε 2 +C [3] E z = V = dv se otiene, despejndo dv, y sustituyendo l expresión [3] del cmpo, e integrndo en form indefinid, se otiene que, pr z =, es V =, y por tnto dv = E z = ρ z 2 ε 2 +C V = ρ z 2 ε 2 +C = ρ 6ε z 3 C z +C 2 [4]

2 2 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí prtir de l relción [4] se deduce que ls superficies equipotenciles en l región () son superficies plns de z = constnte, es decir, plnos horizontles prlelos ls plcs conductors En ls relciones [3] y [4] fltn por determinr ls constntes C y C 2, que podremos clculr considerndo ls condiciones de fronter en l superficie z =, un vez que hymos clculdo ls expresiones del cmpo y potencil en l región (2) Cálculo del cmpo eléctrico en l región (2) Pr z L densidd de crg y el cmpo eléctrico están relciondos por medio de l ecución diferencil del teorem de Guss: E 2 = ρ ε = [6] Por otr prte, E 2 = d [7] Igulndo los segundos miemros de [6] y [7] y despejndo d d = e integrndo en form indefinid donde qued por determinr un nuev constnte C 3 Cálculo del potencil eléctrico en l región (2) prtir de l relción entre el cmpo y el potencil, [8] = V 2 = dv 2 se otiene, despejndo dv 2, y sustituyendo l expresión [8] del cmpo, e integrndo en form indefinid, se otiene dv 3 = V 2 = donde prece un nuev constnte, C 4, por determinr Por otr prte, pr z =, es V 2 = V, y por tnto C 3 z +C 4 [9] Condiciones en l fronter z = V +C 4 Un punto de coordend z =, puede considerrse que pertenece tnto l región () como l región (2) Por consiguiente, puesto que no existe en es fronter ningun densidd superficil de crg, l componente norml del cmpo dee ser continu, y por tnto E z z= = z= De ls relciones [3] y [8] se otiene E z = ρ +C z= 2ε [] =C z= 3 [] Igulndo los segundos miemros de [] ρ 2ε +C [2]

3 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 3 Como y se h indicdo nteriormente, en z = no existe densidd superficil de crg, y por consiguiente, demás de ser continu l componente norml del cmpo, es simismo continuo el potencil Por tnto, teniendo en cuent ls relciones [4] y [9] V z z= = ρ 2 6ε C +C 2 [3] Igulndo los segundos miemros de [3] V 2 z= +C 4 Si restmos miemro miemro ls ecuciones y [], otenemos ρ 2 6ε C +C 2 +C 4 [4] V C 4 y teniendo en cuent que qued V = V C 2 C 4 =V Ls ecuciones, [2] y [4] y formn un sistem con cutro incógnits ρ +C [2] 2ε ρ 2 C +C 2 +C 4 [4] 6ε C 2 C 4 =V Si eliminmos C 4 entre ls ecuciones [4] y, el sistem qued reducido de donde se otienen: ρ +C 2ε [2] C 3 + ρ 2 +C =V 2 6ε [6] C = V (3 2) 6ε [7] C 2 = [8] C 3 = V 2 3ε [9] C 4 = + 2 ρ 3ε [2] Ls constntes C 2 y C 4 quedn indeterminds puesto que no se conoce el potencil Si l plc estuviese conectd tierr, serí V =, y = V, y el prolem quedrí totlmente determindo Sustituyendo ls constntes en ls expresiones del cmpo y potencil se otiene:

4 4 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí Región () E = E z k ρ = 2ε z 2 + V (3 2) 6ε k [2] V = ρ 6ε z 3 V (3 2) 6ε z + [22] Región (2) E 2 = k = V + 2 3ε k [23] V 2 = V + 2 3ε z + 2 ρ + [24] 3ε Cálculo de ls densiddes superficiles de crg lire en ls plcs conductors Si designmos por i un punto de l superficie de l plc que está en contcto con el estrto de crg espcil es decir, en z =, y por i un punto de l superficie de l plc en z =, y teniendo en cuent que l relción entre el cmpo en un punto de l superficie de un conductor y l densidd superficil de crg en el mismo es: σ = ±ε E n donde E n es l componente norml del cmpo l superficie del conductor, correspondiendo el signo + si l componente norml del cmpo se lej de l superficie del conductor, y el signo, si l componente norml del cmpo se dirige hci el conductor De form que: [26] σ i = +ε E z = ε z= V (3 2) 6ε [27] σ i = +ε z= = ε V + 2 3ε [28] En principio, puede resultr sorprendente que ls densiddes de crg no sen igules en vlor soluto, como ocurre cundo un terí estlece un ciert diferenci de potencil entre dos plcs conductors entre ls que existe el vcío hor ien, ce esperr que l presenci del estrto de crg volumínic influy en el reprto de crgs entre ls plcs y modifique el vlor de ls misms Hy un form de compror que ls soluciones otenids pr ls densiddes de crg son corrects st plicr el teorem de Guss un superficie cilíndric circulr de genertrices normles ls plcs, de sección rect ritrri, y cuys ses se encuentren situds dentro de ls plcs conductors En l figur 3 se h representdo un sección verticl de ls plcs conductors y de l superficie gussin Si se clcul el flujo trvés de l superficie totl del cilindro, Φ = S E d = E d + E 2 d + E 2 L d L S hor ien, el cmpo en ls ses S y es nulo por estr todos sus puntos en el interior de dos plcs conductors en equilirio S 3

5 letos Físic pr Ciencis e Ingenierí 5 ρ(z) V S S L Y en los puntos de l superficie lterl S L, el cmpo y el vector que represent culquier elemento de superficie son vectores perpendiculres, por consiguiente, Φ = E d d L = E L d L cos 9º= = E L S S 3 Y por otr prte, si se plic el teorem de Guss dich superficie deemos otener un flujo nulo, de cuerdo con el resultdo nterior: Φ = Σq ε i = σ ε i S +σ i + ρdv = ε v ε V (3 2) 6ε S ε V + 2 3ε S + ρ 2 z S v = = ε ε V (3 2)ρ V 6ε 2 3ε S + ρ S z = ε ε (3 2)ρ 2 6ε 3ε S + ρ S z 2 = 2 = ε ε (3 2)ρ 2 2 6ε S + ρ 2 2 S = ε ε ρ 2ε S + ρ 2 S = ρ ε 2 S + ρ 2 S = [29] Resultdo que confirm que, efectivmente, ls densiddes superficiles de crg otenids nteriormente son corrects Se puede nlizr en qué condiciones serín igules los vlores solutos de ls densiddes superficiles de crg de ls dos plcs conductors Vemos: Si los vlores [27] y [28] fuesen igules en vlor soluto, se deerí cumplir que, Simplificndo, ε V (3 2) 6ε = ε V + 2 3ε (3 2)ρ 6ε = 2 ρ 3ε Psndo el primer miemro de l iguldd, l segundo, y scndo fctor común, cuy únic solución es ρ (3 2) + = 3ε 2 ρ = que confirm lo que y se hí dvertido nteriormente: que l presenci del estrto de crg volumínic influye en el reprto de crgs entre ls plcs l estlecer l diferenci de potencil por medio de l terí, y modific el vlor de ls misms Cundo un terí estlece un diferenci de potencil entre dos plcs conductors prlels, entre ls que existe el vcío, sin ningun otr influenci de crgs próxims o densiddes de crg, ls dos plcs dquieren crgs igules y de signos contrrios, que precen en ls crs interns de ls plcs, y en consecuenci, ls dos densiddes de crg son igules y de signos opuestos [3]

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