La integral. x p. b 2 C 1. x p es continua en R.
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- Vanesa Valverde Piñeiro
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1 CAPÍTULO L integrl.8 L ntieriv y l integrl inefini El teorem Funmentl el Cálculo constituye un herrmient muy oeros r el cálculo e ls integrles, ues nos ermitirá consierr csos c vez más comlejos, que iremos borno más elnte. Recoremos el TFC I: b siemre que F./ se continu en Œ; F./ D F./ b D F.b/ F./; De est mner, culquier fórmul e erivción se uee convertir en un fórmul e integrción. Por ejemlo, si F./ D C, entonces F./ D D f./ y sí: C b clrno que l función f./ D C D C b D es continu en R. C b C C ; Cuno F./ es un rimitiv o ntieriv e f./, se mencion que es un ntieriv orque en reli hy un infini e funciones que son ntierivs e l función f./, or ejemlo: G./ D C C &./ D C son tmbién ntierivs e f./ D C : Y hemos visto que os ntierivs e un mism función ifieren en un constnte. Est situción nos llev l siguiente efinición: cnek.zum.m: / / 7
2 Cálculo integrl Definición. El conjunto infinito e rimitivs f F./ C C g e l función f./, se enomin integrl inefini e f./ y se enot or: f./ D F./ C C: Est integrl inefini no es un función, sino un fmili infinit e funciones, e moo que os e ells ifieren entre sí solo or un constnte. Dicho e otr form, l notción introuci equivle : f./ D F./ C C ( F./ D f./: Con est notción oemos trnsformr culquier fórmul e erivción en un fórmul e integrl inefini. Vemos lgunos ejemlos: Ejemlo.8. Trnsformr ls siguientes fórmuls e erivs en fórmuls e integrles inefinis: r D r r.r /.. C / D. C /. [. C /. C / ] D. C / C. C /. r r D r C C.. C / D C C C. Œ. C / C. C / D. C /. C / C C. Ejemlo.8. Convertir ls siguientes integrles inefinis en fórmuls e erivción:.. C / D C C C C D C C C. C. / D. C / C C. ( C C C D C. ( C C C D. C / D [ ]. C / C C C. D. C /. / D C. /:
3 .8 L ntieriv y l integrl inefini.8. Relción entre l integrl efini y l inefini Es reciso eterminr l relción que hy entre l integrl efini e inefini, r evitr osibles confusiones. b Pr emezr, recormos l lector que un integrl efini f./ tiene límites o etremos e inte- grción y como resulto un número o un eresión que no contiene l vrible e integrción. Frecuentemente est vrible se le llm vrible mu y que se uee sustituir con otr literl sin cmbir el resulto. Así or ejemlo: D D D y tmbién t t D w w D : Esto es, se cul se l literl utiliz en el integrno, el resulto es el mismo número rel. b f./ D b f.t/ t D b f.u/ u: Como y se mencionó, l integrl inefini f./ reresent l fmili infinit e funciones que son ntierivs e f./. Si f./ D F./ C C Por el TFC I b b f./ D ŒF./ C C D D ŒF.b/ C C ŒF./ C C D F.b/ F./ D F./ b : F b Resumieno: r clculr l integrl efini f./, oemos rimero clculr l integrl inefini b f./ y luego consierr los etremos, b r eterminr f./. Esto es: b ( f./ D b f./ : Por ejemlo: ( D D. C C/ D. C C/. C C / D : En l ráctic no es necesrio usr l constnte C, llm constnte e integrción, r clculr l integrl efini. Ejemlo.8. Utilizr los ejemlos.8. y.8. r evlur ls siguientes integrles efinis:... C /. Œ. C / C. C /.. Por el ejemlo.8. (. tenemos:. C / D C D C.. C. C. / : C D D D 99 :
4 Cálculo integrl. Por el ejemlo.8. (. vemos:. Del ejemlo.8. (. obtenemos: Œ. C / C. C / D. C /. C / D./.7/././ D : C D C D. / C. / C D 9 D : Observe que el integrno C es un función continu en Œ ;.. Por último el ejemlo.8. (. concluimos que C. / D. C / D D. C /. C / D D D : Observe que f./ D C. / es un función continu en Œ;..8. Proiees básics e l integrl inefini L integrl inefini f./ comrte con su eriv f./ lguns roiees imortntes, que enumermos continución:. Aitivi. Si ls integrles f./ & g./ se conocen, entonces:.f./ g.// D f./ g./ : (. Est roie ese luego se uee etener culquier sum finit e funciones.. omogenei. Si k es culquier constnte, entonces: kf./ D k f./ : (.. Integrl inefini e funciones otenci. Pr culquier eonente r : Ejemlo.8. Clculr ls siguientes integrles inefinis: (. C. r D rc C C: (. r C. 7.
5 .8 L ntieriv y l integrl inefini.. C /. Ls tres rimers integrles se clculn licno ls roiees.,.,. e l integrl inefini y lguns oerciones lgebrics. Es imortnte reclcr que, en l mei e lo osible, nte roblems como estos result conveniente simlificr (lgebricmente ls funciones ntes e integrr. (. C D C D.. D C D C C C: 7 D 7 D D 7 D. C / D. C / D D. C C / D C C D 7 C C: C D D 7 C C C D 7 7 C 8 C C: En síntesis, hemos visto en est sección que l integrl inefini f./ es un notción ecu r reresentr l fmili e tos ls ntierivs e f./, que ifieren entre sí or un constnte itiv, y que to fórmul e erivción se uee convertir en un fórmul e integrl inefini, junto con sus roiees elementles. Ejercicios.8. L integrl inefini. Soluciones en l ágin Clculr ls siguientes integrles inefinis:.. C /... C /... C /. /... C /. /... C /. / C /.. (.. C /. /.. /.. C.. (. Clculr ls siguientes integrles efinis:
6 Cálculo integrl.. C /. /... C /. /.... C /. /. C.. 8 C..8. Integrles e funciones trscenentes Ls erivs e funciones trscenentes nos ermiten clculr otro tio e integrles.. Logritmo nturl: sbemos que ln j j es un función efini r, continu y con eriv ln j j D ; or lo que D ln j j C C: Ejemlo.8. Clcule ls siguientes integrles:. T T D ln D ln T D ln D ln T ( D D ln D ln ln D ln T. ( D ln. ln D.ln ln / D ln ln. y y D Otr form e clculr est integrl es D ln j j D ln j j ln j j D ln ln :
7 .8 L ntieriv y l integrl inefini 7. D No eiste, ues no es continu en Œ ;.. Eonencil nturl: l función e es l únic que goz e l roie e ser su roi eriv, Por consiguiente su integrl inefini es e D e : e D e C C: Aemás e es continu y iferencible r too, or lo que est fórmul e integrción se lic sin restricciones. Por l regl e l Cen r culquier constnte se tiene or lo que e D e ; o e D e I e D e C C: Ejemlo.8. Clcule ls integrles. e. e. e.. e D e D e e. e D e e D e ( e D D e e D.e /. e D.e e /.. Logritmos y eonenciles e otrs bses: si > &, tenemos ls fórmuls e erivción.log / D ln I e ls cules resultn ls integrles inefinis: ln D log C CI. / D ln I ln D C C: Ejemlo.8.7 Clcule ls integrles 7
8 8 Cálculo integrl ln ln D log ln D 7 D log 7 log. D D ln. D.. Funciones trigonométrics: ests funciones son continus y iferencibles en sus resectivos ominios, con erivs: sen D cos tn D sec cos D cot D sen csc sec D sec tn csc D csc cot Convirtieno ess erivs en integrles inefinis, obtenemos: cos D sen C C sen D cos C C sec D tn C C csc D cot C C sec tn D sec C C csc cot D csc C C Al clculr integrles efinis e funciones trigonométrics se ebe tener buen cuio e hcerlo sobre intervlos en one l función el integrno se continu. Ejemlo.8.8 Evlur ls integrles.. cos. sec. csc cot : en D. cos D sen D sen ( sen D. / D. 8
9 .8 L ntieriv y l integrl inefini 9 sec D tn ( D tn tn./ D. csc cot no eiste, ues csc cot tiene un iscontinui e tio en D.. Funciones trigonométrics inverss: su ominio, rngo (imgen y eriv son Función Dominio Rngo Deriv rcsen Œ ; [ ; ] rcsen D rccos Œ ; Œ; rccos D rctn Œ ; [ ; ] rctn D C rccot Œ ; Œ; rccot D C rcsec. ; [ Œ; / rccsc. ; [ Œ; / [ ; ( ] [ ; [ ( ; [ ; ] rcsec D jj rccsc D jj Ls funciones que más se emlen son ls que tienen eriv ositiv, or lo que solo incluimos ls integrles inefinis e ells: D rcsen C CI D rctn C CI C jj D rcsec C C: Observción: l rimer integrl solo uee hcerse sobre intervlos contenios en.; / y l últim sobre intervlos entro e. ; / o bien.; / : Ejercicios.8. L integrl inefini. Soluciones en l ágin Clculr ls siguientes integrles inefinis: 9
10 Cálculo integrl.... C.. sen cos C sec /.. tn sec C /cos. cot csc sen. sen.. 7. tn sec cos. cos ( u u u u. ( e u 8 u. C u u Clculr ls siguientes integrles efinis:..... sen cos C sec /.. tn sec C /cos. cot csc sen sen tn sec cos cos e ( e u u. C u u C.. ( e t t C t. t C
11 .8 L ntieriv y l integrl inefini Ejercicios.8. L integrl inefini. Pregunts, ágin Clculr ls siguientes integrles inefinis:. C C C.. C C C C.. 8 C C C.. = 8 C 7 7 C C.. C C C.. C 9 C C. 7. C C 7 7 C C C C C C. 9. C C C C.. C C C C.. C 9 C C.. C C C. Evlur ls siguientes integrles efinis: :978. Ejercicios.8. L integrl inefini. Pregunts, ágin 9 Clculr ls siguientes integrles inefinis:. ln C C C.. cos sen C tn C C.. cos C sen C C.. C cot csc C C.. C sec tn C C.. rcsen u rcsec u C C. 7. rctn u C e u 8ln u C C. Clculr ls siguientes integrles efinis:. :.. :88.. :77.. :8.. :8.. :7. 7. :. 8. :877.
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