ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR. T: la tangente de la curva Segmento comprendido entre el punto extremo del arco ( PC o FC) y

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1 ELEMENTOS DE LA CURVA CIRCULAR Estos elementos, definidos en relación a un arco de circunferencia y teniendo como datos el radio R y el ángulo al centro Δ (delta), son los siguientes (ver dibujo al final): T: la tangente de la curva Segmento comprendido entre el punto extremo del arco ( PC o FC) y el P.I. (punto de intersección) de las alineaciones rectas C: cuerda es el segmento comprendido entre los puntos extremos del arco (PC FC) E: externa es el segmento que va desde el P.I. hasta el C.C. (punto central de la curva) F: flecha es el segmento que va desde el C.C. hasta el punto medio de la cuerda (M) Lc: longitud del arco, medido desde el PC hasta el FC, siguiendo la curva Aclaración: cuando nos referimos a un segmento, es un tramo de recta, con principio y fin. Cuando hablamos de arco es similar a un segmento, pero perteneciendo a una circunferencia.- Para calcular una curva circular, generalmente son datos el radio R de la curva, y el ángulo (delta) que forman las alineaciones rectas en el punto de intersección de las mismas (el P.I.) Este ángulo está directamente relacionado con los acimuts (θ thita) de las alineaciones: = θ 2 θ 1 Una vez trazado el arco de circunferencia de radio R, de tal manera que en sus extremos (PC FC) sea tangente a las alineaciones rectas, se forma un dibujo que tiene ciertas proporciones y propiedades perfectamente definidas. Por tal motivo, es posible deducir expresiones que vinculan a todos los elementos de la curva circular con el radio R y el ángulo 1

2 Vemos que el ángulo aparece también como ángulo al centro de la curva. Eso se comprueba muy fácilmente ya que en el cuadrilátero O-PC-PI-FC la sumatoria de los ángulos internos es 360 por lo tanto y considerando que los radios en PC y FC son normales a las respectivas tangentes (90 ) entonces el ángulo que completa el cuadrilátero es el suplementario de. Entonces es el mismo ángulo que forman las alineaciones en P.I. 2

3 Este es el mismo dibujo, pero ahora se muestran las tangentes de la curva T, la cuerda C, y la línea recta que une O (centro de curvatura) con P.I..Su intersección con la cuerda es el punto M y su intersección con la curva es el punto CC o centro de curva Con respecto a la cuerda PC FC la línea O-PI es una mediatriz, o sea que el punto M divide a la cuerda en dos mitades, en una intersección a 90.- Considerando que el triángulo PC-FC-O es isósceles, y que el punto M divide a su base en dos mitades, vemos que la línea O-PI es también bisectriz del ángulo, por eso indicamos en el dibujo los respectivos /2 definidos por la bisectriz.- 3

4 Aquí hemos remarcado el triángulo PC PI O. Vemos que se trata de un triángulo rectángulo, ya que el ángulo en PC es 90 Sus catetos entonces son T y R, y considerando el ángulo /2, los catetos quedan relacionados por la siguiente relación trigonométrica: Tg ( /2) = Cateto opuesto/ Cateto adyacente = T / R Por lo tanto despejando a T quedaría: T = R. tg( /2) 4

5 Aquí tenemos otro triángulo rectángulo, donde el ángulo recto es entre la cuerda y la mediatriz, o sea en el punto M En este triángulo, el cateto opuesto al ángulo /2 (que es la mitad de la cuerda C ), y el radio R (que en este caso sería la hipotenusa del triángulo) se relacionan de la siguiente manera: Sen ( /2) = cateto opuesto / hipotenusa = (C/2) /R Despejando C/2 = R. sen ( /2) Y finalmente C = 2 R. sen ( /2) 5

6 Ahora analizamos nuevamente el triángulo rectángulo PC-PI-O Formando la hipotenusa O-PI vemos a la externa E (segmento CC-PI) en línea punteada, más el radio R Entonces se ve fácilmente que la externa se obtiene restando R a la hipotenusa E = (hipotenusa) R Esta hipotenusa, por el teorema de Pitágoras, se expresa en función de los catetos: Hipotenusa = (E + R ) = R 2 + T 2 Entonces despejando la externa E = R 2 + T 2 - R Y reemplazando T por su expresión ya demostrada T = R tg ( /2) E = R 2 + (R tg ( /2)) 2 - R E = R 2 + R 2 tg 2 ( /2) - R Sacando factor común R 2 dentro de la raíz E = R 2 (1+ tg 2 ( /2)) - R Aplicando la propiedad distributiva de la radicación respecto al producto 6

7 E = R 2. (1+ tg 2 ( /2)) - R E = R. (1+ tg 2 ( /2)) - R Y finalmente sacando factor común R a toda la expresión E = R ( 1+ tg 2 ( /2) - 1 ) Ahora analizamos la flecha F (el segmento que va desde CC hasta M, en línea de puntos): En el dibujo hemos resaltado además el triángulo rectángulo O-PC-M, y vemos que el cateto mayor O-M de este triángulo sumado a la flecha, es igual al radio, o sea: F + OM = R Entonces despejando la flecha: F = R OM 7

8 Respecto al ángulo /2, se da la relación : Cos ( /2) = cateto adyacente /hipotenusa = OM / R Entonces despejando el cateto OM = R. cos ( /2) Y reemplazando en la expresión de la flecha F = R OM = R - R. cos ( /2) Sacando factor común R F = R (1 - cos ( /2) Finalmente para completar esta descripción de los elementos que forman la curva circular, analizamos la longitud del arco (Lc). La hemos resaltado en la figura anterior. En base a la definición de la unidad del sistema radial, el Radian, que sabemos es el ángulo formado cuando la longitud del arco es igual a la longitud del radio, o sea: 8

9 1 radián = Lc / R (cuando Lc = R) Podemos deducir fácilmente que cuando Lc es el doble que el radio entonces se forman 2 radianes, igualmente cuando Lc = 3 R entonces se forman 3 radianes, etc, etc. Entonces cuando Lc =. R el ángulo formado es precisamente en radianes.. y esa es la relación que estábamos buscando: Lc =. R (con en radianes) Conviene tener presente los factores de conversión entre grados sexagesimales y radianes: π/180 (para convertir grados a radianes) 180 /π (para convertir radianes a grados) Este apunte Elementos de la curva circular es un esfuerzo de la cátedra tendiente a facilitar la comprensión del tema. De ninguna manera reemplaza al dictado de clases en el aula, sino que lo complementa. Se recomienda, por lo tanto, la asistencia al 100 % de las clases, aunque se disponga del presente apunte.- Ing. D.F.C. 9