SIMULACIÓN NUMÉRICA DE PROCESOS DE SOLIDIFICACIÓN DE ALEACIONES

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1 IMLCIÓ MÉRIC D ROCO D OLIICCIÓ D LCIO Ig. Frado. laco Hurtado RM a formulació umérica baada l método d lo volúm fiito y l algoritmo d olució cucial RIM, dtiada a la imulació dtallada d proco d olidificació d alacio mtálica domiio bidimioal, darrollada l prt artículo. La formulació icluy lo fcto dl movimito promovido por covcció atural la fa líquida, aí como la libració d calor latt la rgió patoa. l potcial d aplicació d la formulació prtada valuado mdiat u jmplo d imulació.. ITRODCCIÓ La prdicció dtallada d la trafrcia d calor proco d olidificació fudamtal para mucha opracio mtalúrgica. i mbargo, ólo año rcit ha ido poibl frtar la múltipl dificultad ihrt al tratamito matmático d t tipo d problma, gracia al darrollo d quipo computacioal d gra capacidad. La prcia d movimito promovido por covcció atural la fa líquida y la xitcia d ua itrfa ólido-líquido qu volucioa co l timpo o do fómo qu tora complicada xco la dcripció matmática d proco d olidificació y hac virtualmt impoibl la obtció d olucio aalítica. l objtivo fudamtal dl prt artículo l d motrar lo pao pricipal la cotrucció d ua formulació umérica dtiada a la obtció d imulacio d la diámica d proco d olidificació d alacio mtálica. ara mayor implicidad la prtació, la formulació ha rtrigido a problma bidimioal gomtría rctagular.. MODLO MTMÁTICO gú mutra qumáticamt la figura, cuado ua alació ufr u proco d olidificació, la fa ólida y líquida halla parada por ua rgió d mzcla bifáica domiada como rgió patoa [3], qu tá dlimitada por la tmpratura d ólido T ol y d líquido T liq y la cual calor latt librado. la fa líquida y la rgió patoa, la furza d flotació producida por la lv variació d didad dbida a la ditribució o uiform d tmpratura iduc l movimito d fluido, fómo qu coocido como covcció atural. l modlo matmático d u proco d olidificació, por tato, db comprdr toda la cuacio qu gobira l fómo d covcció atural y db icluir admá la libració d calor latt la rgió patoa. ara u cao bidimioal, t cojuto d cuacio comprd a la cuació d cotiuidad, la do compot d la cuació d momtum y la cuació d rgía.

2 Figura. Modlo fíico d u proco d olidificació u domiio bidimioal. ara flujo icompribl, toiao y tado o tacioario dicha cuacio, xprada otació difrcial- vctorial toma rpctivamt la iguit forma: ρ v 0 () ( ρu) p ρ uv µ u t x () ( ρ v) p ρ vv µ v ρgβ ( T T F ) (3) t y ( ρct ) f ρ ctv k T ρhf t t (4) l último térmio d la cuació d momtum dircció vrtical, cuació (3), rprta la furza volumétrica d flotació promotora dl movimito d covcció atural, xprada mdiat la aproximació d Bouiq []. or otra part, l último térmio d la cuació d rgía (4) rprta la rapidz d libració d calor latt la rgió patoa. ara compltar l modlo caria ua xprió matmática qu rlacio la fracció d ólido dicha rgió co la variabl pricipal dl modlo. toría t parámtro dbría r calculado a partir d la modlació d la uclació y l crcimito ddrítico [], i mbargo dbido a la xciva compljidad qu llo upo, la práctica acud a rlacio aproximada. La rlació má impl, la cual ha ido utilizada l prt trabajo, ua rlació lial co la tmpratura l rago d olidificació [3]: Tliq T f (5) T T liq La cuacio difrcial ()-(4) o válida todo l domiio ocupado por la fa líquida y la rgió patoa. la fa ólida o xit movimito y por tato ólo caria la cuació d rgía, qu rduc a la cuació d coducció d calor, para modlar l proco a rgió. la práctica, i la lv variacio d la propidad d la alació rpcto la tmpratura o igorada y ólo o coidrado valor mdio, ol rulta má covit traformar la variabl a la forma adimioal [5] uado como magitud d rfrcia la dimió lial L, la vlocidad α / L, la prió ρ (α / L) y l timpo L / α, dod α la difuividad térmica. La tmpratura uualmt adimioalizada la forma θ ( T TF ) /( TC TF), dod T C y T F o la tmpratura xtrma durat l proco d olidificació modlado. Co ta modificacio la cuacio difrcial adquir la iguit forma: 0 (6) r (7) r r Raθ Y (8) θ f θ θ t (9) D ta forma obti qu todo l proco d olidificació ta caractrizado por tr parámtro adimioal: l úmro d radtl (r), l úmro d Rayligh (Ra) y l úmro d tfa (t). Co l fi d facilitar l potrior proco d aproximació umérica, rulta vtajoo xprar toda la cuacio difrcial atrior como cao particular d la cuació gralizada d corvació: Γ Θ (0) La variabl y térmio corrpodit a cada cuació difrcial dl modlo coidrado ha rumido la tabla. Tabla. ariabl y térmio la cuació difrcial gralizada d corvació. cuació Γ Θ Cotiuidad 0 0 Momtum r Momtum Y r r Raθ Y rgía θ f t 3. FORMLCIÓ MÉRIC 3. DICRTIZCIÓ D L CCIÓ GRLIZD La olució umérica d la cuacio difrcial qu comprd l modlo matmático rquir como pao prvio l proco coocido como

3 dicrtizació, l qu dicha cuacio o aproximada mdiat itma d cuacio algbraica qu ti como icógita a lo valor d la variabl u cojuto d localizacio dicrta l pacio y l timpo. l proco d dicrtizació dcrito a cotiuació igu lo liamito dl método d lo volúm fiito. Coidér u domiio bidimioal rctagular mjat al motrado la figura, l cual válida la cuació gralizada d corvació (0). l fraccioamito d t domiio u cojuto d volúm d cotrol d cció rctagular coduc a la formació d ua rtícula tructurada qu dfi la ubicació d lo puto dod rá dtrmiado valor dicrto d la olució aproximada d la cuació difrcial, puto domiado odo computacioal. la figura mutra u volum d cotrol típico juto co la otació uualmt mplada para ombrar lo odo adyact a u volum. Figura. olum d cotrol gérico motrado la otació mplada para lo odo computacioal. l pao iicial l proco d dicrtizació dcrito la itgració d lo térmio d la cuació (0) u volum d cotrol (.) gérico: d d Γ d Θ d ().... Cada ua d la itgral db ahora aproximar uméricamt, i mbargo, prviamt covit traformar la itgral d volum d lo térmio covctivo y difuivo itgral d uprfici aplicado l torma d la divrgcia d Gau [], la iguit forma: d i d Γ i d Θ d ().... La uprfici d cotrol (.) dl volum gérico d magitud tá computa a u vz por cuatro uprfici (,, y), la cual l vctor uitario ormal i tá oritado tal como mutra la figura 3. Figura 3. ctor uitario ormal y otació mplada para la uprfici d u volum. La aplicació d la rgla dl puto mdio [] para aproximar uméricamt l valor d cada ua d la itgral prt la cuació (), coduc a la xprio iguit:.. i d. i d d. (3) (4) (5) Y Y Θ d Θ (6) La compot d vlocidad la cuació (4) ha dotado co atrico porqu u valor xacto o o coocido a priori y por llo db utilizar valor aproximado provit d itracio atrior, durat l proco cucial d rolució d lo itma d cuacio dicrtizada. l objtivo fial dl proco la obtció d ua cuació algbraica gérica xprada olamt fució d lo valor d la variabl pricipal lo odo d la rtícula. ara llo cario mplar rlacio d itrpolació para lo valor otro puto y xprio difrcia fiita para la drivada. Coidrado como jmplo la itrpolació para l puto mdio d la uprfici, éta pud xprar matmáticamt la forma: ( (7) λ) λ xit varia altrativa para la lcció dl factor d itrpolació λ má adcuado. Dd l puto d vita d la tabilidad dl proco d olució umérica, la forma má covit corrpod a la itrpolació D, la cual i mbargo itroduc la olució umérica rror d dicrtizació d tipo diipativo [4]. l factor d itrpolació para t cao

4 dpd d la dircció local dl flujo y pud r xprado la forma: 0 i ( i 0 D ) λ (8) i ( i ) < 0 quma d itrpolació altrativo qu origia rror d dicrtizació d mor magitud la olució umérica l quma CD, l cual quivalt a la itrpolació lial. l factor d itrpolació para t quma ólo dpd d la poició rlativa d lo puto coidrado: CD λ (9) u proco d olució cucial como l qu rá utilizado para rolvr lo itma d cuacio algbraica covit combiar la tabilidad dl quma D co la mayor xactitud dl quma CD. a forma d coguir aqullo mdiat la técica coocida como corrcció difrida [], la cual pud xprar mdiat ua rlació d itrpolació d la iguit forma: D D λ ) λ ( (0) l térmio d corrcció difrida, l cual ólo dpd d valor odal d itracio atrior, tá dado por: CD D ( λ λ )( ) () La drivada tmporal qu aparc la cuació (3) pud r aproximada mdiat ua xprió d primr ord difrcia fiita: o τ () l uo d t tipo d aproximació coduc a ua formulació umérica icodicioalmt tabl [4]. cuato a la drivada pacial caria para la cuació (5), éta pud r aproximada mdiat xprio dl tipo: (3) La utitució d toda la aproximacio umérica idicada la cuació () y la potrior agrupació d térmio coduc a la iguit forma fial para la dicrtizació d la cuació gralizada, mplado la otació para lo odo motrada la figura : B (4) Lo coficit y l térmio idpdit quda dfiido por la xprio iguit: B λ ( λ λ ( λ Θ D D D D Γ / o ) Γ ) Γ / Y / τ Γ / Y / / τ (5) 3. CCIÓ OLTI R L RIO l proco d dicrtizació dcrito la cció atrior aplicabl tato a la do compot d la cuació d momtum como a la cuació d rgía. roducto d a opració poibl obtr para cada cuació difrcial u itma d cuacio algbraica, l cual pud r mplado para obtr a u vz, mdiat u proco itrativo d olució, u cojuto d tato valor odal d lo campo d vlocidad y tmpratura como volúm d cotrol haya coidrado la rtícula. La cuació d cotiuidad mrc u tratamito pcial, puto qu, al o prtar igua variabl domiat, ólo pud r utilizada para calcular l campo d prió, traformádola ua cuació volutiva para ta variabl. ara tal fcto, coidér la itgració d la cuació d cotiuidad a travé d u volum d cotrol gérico, traformado lugo la itgral d volum ua itgral d uprfici: d i d 0 (6).. La aproximació d la itgral d uprfici mdiat la rgla dl puto mdio prmit obtr la cuació: 0 (7) poibl mplar la cuacio dicrtizada d momtum para xprar la compot d vlocidad fució d la prió, para aí traformar la atrior cuació otra co la prió como variabl pricipal. or jmplo, para l cao d la compot horizotal d vlocidad, la cuació dicrtizada d momtum pud rcribir la iguit forma: δ (8) δ La otació δ / δ ha utilizado para rprtar la aproximació d difrcia fiita d la drivada d prió. l térmio domiado comúmt como pudo-vlocidad y rú a todo

5 lo térmio o icluido dirctamt la cuació, dcir: ( ) B (9) La cuació (8) y ua cuació quivalt para la compot vrtical d vlocidad podría r rmplazada la cuació (7) para traformarla ua cuació para la prió, i mbargo, xit la dificultad d qu o caria la compot d vlocidad lo puto mdio d la uprfici dl volum gérico y o localizacio odal. ara ubaar dicho icovit, poibl coidrar la xitcia d volúm d cotrol itrmdio, para lo cual podría obtr cuacio quivalt a la cuació (8). or jmplo, para u volum alrddor dl puto mdio d la uprfici, tal como l motrado la figura 4, podría obtr ua cuació dicrtizada d momtum dircció horizotal d la forma: (30) Figura 4. olum d cotrol itrmdio. Co l fi d vitar la rptició dl cálculo d coficit para lo volúm itrmdio ficticio poibl ralizar la itrpolació d la cuacio dicrtizada lo volúm origial y d ahí obtr todo lo parámtro cario. quma d itrpolació qu garatiza la atifacció imultáa d la cuacio d cotiuidad y d momtum lo volúm d la rtícula pud r dfiido, para la pudo-vlocidad y l térmio dpdit dl coficit ctral ) ( cario para la cuació (30), iguit forma: ) ( CD CD δ δ λ δ δ λ (3) CD CD λ λ ) ( (3) La utitució d la cuació (30) y rlacio mjat la cuació (7) proporcioa, dpué d u rordamito d térmio, la iguit cuació volutiva para prió: B (33) La rlacio matmática para l cálculo d lo coficit y l térmio idpdit d la atrior cuació o la iguit: B Y Y ; ; (34) 3.3 LGORITMO D OLCIÓ l cojuto d itma d cuacio lial obtida mdiat l proco d dicrtizació db r rulto forma itrativa dbido a la o lialidad y al compljo acoplamito d variabl d la cuacio difrcial origial. l algoritmo d olució cucial qu ha ido mplado cojució co la formulació dcrita lo apartado prcdt l algoritmo RIM (rur Implicit, Momtum xplicit) [4], l cual ha ido adaptado para la obtció d imulacio umérica problma d olidificació y dcrib brvmt a cotiuació. Coocido lo valor odal para lo campo iicial d,, y T 0 τ, lo pao pricipal dl algoritmo proputo o lo iguit:. o timado lo valor odal d y τ τ τ.. Co lo valor actual dl campo d tmpratura idtifica la rgio dl domiio qu o ocupada por la fa líquida y ólida y por la rgió patoa. 3. o calculado lo coficit d la compot Y d la cuació d momtum l domiio ocupado por la fa líquida y la rgió patoa. 4. o calculada la pudo-vlocidad y lo puto odal, co cuacio aáloga a la cuació (9), y lugo o itrpolado lo valor cario lo puto mdio d la uprfici d lo volúm, co cuacio mjat a la cuacio (3) y (3).

6 5. Lo coficit d la cuació volutiva d prió o calculado a travé d la cuacio (34) y rulto l itma lial d cuacio rultat. 6. Lo valor odal d y o corrgido co xprio aáloga a la cuació (8). Co lo uvo valor rtora al pao 4 y itra u cirto úmro d vc. 7. o calculado valor d la fracció d ólido la rgió patoa a travé d la cuació (5). 8. o calculado lo coficit d la cuació d rgía y rulto l itma lial rultat. la zoa ocupada por la fa ólida la compot d vlocidad o coidrada ula. 9. rtora al pao y rpit toda la cucia d pao hata alcazar l ivl d covrgcia rqurido todo lo campo. t puto ha obtido la olució τ τ τ. 0. avaza u uvo itrvalo d timpo y todo lo pao o uvamt rptido. ara la rolució d lo itma lial d cuacio lo pao 5 y 8 ha mplado l método itrativo Gau-idl puto por puto [4]. 4. JMLO D LICCIÓ la figura 5 mutra qumáticamt u problma d olidificació mplado para jmplificar la aplicació d la formulació prtada. ua cavidad d cció cuadrada cutra τ 0 ua alació rpoo a la tmpratura θ, ocupado la fa líquida todo l domiio. La pard uprior, ifrior izquirda d la cavidad upo ailada térmicamt, mitra qu la pard drcha cutra omtida a la tmpratura adimioal uiform θ 0. ha prcrito qu l cambio d fa la alació ocurr l itrvalo dfiido por la tmpratura adimioal θ 0 3 y θ 0 5. ol. liq. Figura 5. Domiio y codicio iicial y d cotoro para l jmplo d aplicació prtado. ara la imulació prtada pcificaro lo iguit valor para lo parámtro adimioal: 6 úmro d Rayligh Ra 0, úmro d radtl r 0.0 y úmro d tfa t. ara la olució umérica dl problma utilizó ua rtícula uiform d volúm d cotrol y u itrvalo d timpo adimioal τ l proco itrativo d olució ralizó iguido lo liamito dcrito la cció 3.3, a travé d ua aplicació computacioal programada forma pcífica para la olució dl problma tratado y jcutada u computador proal co procador tium d 33 MHz co toro oprativo ido. la figura 6a-d y 7a-d o motrada gráfica corrpodit a ocho tapa d la imulació obtida para l problma d olidificació tratado l jmplo. La gráfica mutra la volució dl proco a travé d la rprtació d la lía d corrit dl flujo la fa líquida y la rgió patoa, la lía d valor cotat dl campo d tmpratura y l crcimito d la fa ólida y d la rgió patoa. La lía d corrit ha obtido mdiat la obtció d valor d la domiada fució d corrit [6], a partir d lo valor dtrmiado para l campo d vlocidad. La catidad d fluido movimito tr lía d corrit adyact la mima para toda la gráfica. la tapa iicial dl proco motrada la figura 6, pud aprciar claramt la furt iflucia dl movimito d covcció atural qu produc la fa líquida y la rgió patoa obr la cofiguració dl campo d tmpratura y por tato obr la ditribució d la zoa ocupada por la fa. dmá d ua zoa pricipal d flujo la qu l fluido circula cuai-cocétricamt, poibl obrvar la prcia d zoa co flujo circulat cudario la proximidad d lo vértic d la cavidad. imimo, xit ua clara tdcia d la lía d corrit a agrupar la prifria d la zoa pricipal d flujo djado l úclo ua rgió co fluido cuai-tático. or otra part, l crcimito d la fa ólida iicialmt muy lto, a difrcia dl crcimito d la rgió patoa qu rápidamt daloja a la fa líquida y paa a ocupar la mayor part dl domiio. mdida qu avaza l timpo y dcrc la zoa dod xit movimito promovido por covcció atural, la iflucia d ét obr la marcha dl proco rduc. la gráfica d la lía d corrit d la figura 7 obrva ua progriva dimiució la catidad d éta, hcho qu idica la rducció gradual la vlocidad dl movimito. imimo poibl obrvar u crcimito la zoa ocupada por lo flujo rcirculat cudario la part uprior dl domiio, lo cual ufr cotat cambio u cofiguració y ubicació rlativa a mdida qu avaza l timpo. la

7 Figura 6. Lía d corrit dl flujo, iotrma y gráfica dl crcimito d la fa ólida, corrpodit a cuatro tapa iicial d la imulació dl proco d olidificació d ua alació ua cavidad cuadrada. imulació prtada, l proco complto d olidificació, dd l iicio hata l itat qu la fa ólida llga a ocupar todo l domiio d olució, comprdió u itrvalo total d.4 timpo adimioal. 5. COCLIO a formulació umérica para la imulació d proco d olidificació d alacio ha ido prtada y valuada mdiat u jmplo d aplicació. La formulació prta u grado d implicidad tal qu ha ido poibl u implmtació u computador proal d rducida capacidad. Lo rultado d la imulacio o comparabl a lo obtido mdiat l mplo d otra mtodología má laborada y complja [3][5]. i mbargo, a par dl igificado altador d lo rultado obtido, vario apcto d la formulació prtada pud r mjorado l futuro. or jmplo, l flujo la rgió patoa mjat mucho apcto al flujo u mdio poroo y u modlació como tal igificaría ua mayor aproximació co la ralidad. or otra part, l jmplo prtado, la cuacio d momtum y cotiuidad furo rulta coidrado la frotra tr la fa ólida y la rgió patoa como ua curva irrgular acomodada a la rtícula, l tratamito d ta frotra como ua curva cotiua proporcioaría rultado má ralita aú. a otra altrativa d mjora ría la utilizació d propidad d alacio pcífica mdiat la icluió d corrlacio mpírica para la variació co la tmpratura d dicha propidad y d la fracció d ólido la rgió patoa. RFRCI BIBLIOGRÁFIC [] Duff.. Fluid flo apct of olidificatio modlig: imulatio of lo prur di catig. h.d. Thi. Dpartmt of Miig ad Mtallurgical girig, ivrity of Qulad, utralia [] Frzigr J. H., ric, M. Computatioal mthod for fluid flo dyamic. prigr-rlag [3] Li R.., Ravidra K. Fiit lmt imulatio of mtal catig. Itratioal Joural for umrical Mthod i girig. ol. 47, [4] Malika R. Trafrêcia d calor mcâica do fluido computacioal. Livro Técico Citífico ditora.. Rio d Jairo. 995.

8 Figura 7. Lía d corrit dl flujo, iotrma y gráfica dl crcimito d la fa ólida, corrpodit a cuatro tapa fial d la imulació dl proco d olidificació d ua alació ua cavidad cuadrada. [5] ithiarau. adaptiv fiit lmt procdur for olidificatio problm. Hat ad Ma Trafr. ol. 36, [6] laco F. Formulació d volúm fiito para la imulació d flujo compribl bidimioal tado tacioario. Ti d Graduació. Carrra d Igiría Mcáica. ivridad Técica d Oruro, Bolivia LIT D ÍMBOLO, B Coficit d la cuacio dicrtizada c Calor pcífico f Fracció d ólido maa g clració d la gravdad k Coductividad térmica i ctor uitario dircció ormal L Logitud caractrítica dl problma p rió rió adimioal pl / ρα r úmro d radtl µ c / k 3 Ra úmro d Rayligh ρ gβ ( TC TF ) L / αµ t úmro d tfa c ( TC TF) / hf t Timpo T Tmpratura T C Tmpratura máxima l itma T F Tmpratura míima l itma T liq Tmpratura ifrior d fa líquida T ol Tmpratura uprior d fa ólida u, v Compot cartiaa d la vlocidad, Compot adimioal d la vlocidad v ctor vlocidad ctor vlocidad adimioal v L / α x, y Coordada cartiaa rctagular, Y Coordada adimioal α Difuividad térmica β Coficit d xpaió térmica Γ Coficit cuació gralizada h f Calor latt d fuió Ára d la uprfici d u volum Magitud d u volum d cotrol, Y paciamito tr odo τ Itrvalo d timpo adimioal θ Tmpratura adimioal T T )/( T T ) ( F C F Θ Térmio fut cuació gralizada λ Factor d itrpolació µ icoidad diámica ρ Didad τ Timpo adimioal t α /L ariabl adimioal gérica

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