TEMA 3. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Ficha 1. P x
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- Alfonso José María Coronel Quiroga
- hace 6 años
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1 Ficha. Dados los siguientes polinomios, ordenarlos en orden decreciente, indicar cuál es su grado, decir cuántos términos tiene, señalar cuál es el término independiente, calcular su valor numérico para x = y comprobar si es completo o no: a) x 7x 5x x 9x x Completo; Grado 6; 7 términos Término independiente: P x x 5x x 7x 9x x Px b) 5x 8x x 8x 5x 6 5 Qx 8x x 5x 5x 8x Incompleto; Grado 6; 6 términos Término independiente: 6 5 Q Haz las siguientes sumas y restas de polinomios: () ( x 5x 48x 9x 7x ) (x 6x 8 x 7x x )= =(5x 5 9x 4 8x 7x x 4)+(7x 5 x 4 x x 6x 8) =x 5 0x 4 0x 5x 8x () ( x 5x x ) (9 x 4x) ( x 0 x 6x ) = =(x 4 5x x) ( x 4x 9) (6x x x 0) =x 4 5x x x 4x 9-6x x x-0 = =x 6x 5 x x =x 6x x x () x 8x 7x 8x x 6 x 7x x x x 8 8x 4 7x 6 x 5 x +x x 6 x 6 x 5 x 4 x 7x x 8 4 7x 6 x 5 x +x x 6 x 6 +x 5 x 4 x +7x -x x x x 5 x +0x 5x (4) x x 8 4x 5x x x x x 8 4x 5x x x x x
2 Ficha. Aplicar las fórmulas de las igualdades notables a las siguientes expresiones: () (x y) x x y y 9x 6xy y () (5a b) 5a 5a b b 5a 0ab 4b () (x y) (x y) = x y 4x 9y 4 (4) (x y) x x y y x 4x y 4y (5) ( 5a b) 5a 5a b b 5a 5ab b (6) x y x x y y x xy y (7) ( a b) ( a b) = a b a b. Hacer las siguientes operaciones: () (x y) (x y) (x y) = x y xy x y x 4y 4xy x 4y 8y 4xy 4 4 () (a 4b) (a 4b) (a 4b) = 4a 6b 6a b 4a 6b 4 4 4a 6b 6a b 4a 6b b 6a b () (a b) ab 9b 4a 9b ab ab 9b 4a (4) (5x y) (5x y) (x 5y) (x 5y) = 5x 9y 9x 5y 5x 9y 9x 5y 6x 6y. Rellenar los huecos que quedan en las siguientes expresiones: () (x) x 4 4x () (x ) (x ) 4x 9 () ( a b ) 4a b 4ab (4) ( x 5 ) ( x 5 ) x 5 (5) ( x y ) x 9y 6xy (6) ( 4 a ) ( 4 a ) 6 a (7) ( 6a 7b ) 6a 49b 84ab (8) ( a ) ( a ) 4a
3 Ficha 4. Calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios: () ( x 7x 5x 0):(x ) ( ) d( x) x C x x x ( ) 5 Rx ( ) 4 () (9x 6x 7x ):(x) ( ) d( x) x C x x x ( ) 5 Rx ( ) () (7x x 47x 75):(x 5) 5 4 ( ) d( x) x 5 C x x x x x 4 ( ) 0 5 Rx ( ) 0 4 (4) (x 5x x 5x ):(x x) x 4 ( ) 5 5 d( x) x x C x x x ( ) 6 R( x) x 5 5 (5) (5x x 5x 7x ):(x x ) x 5 ( ) d x x x ( ) C x x x x ( ) 4 9 R( x) 50x 60 4 (6) (7 7x x 6x):( x x) 4 ( ) d x x x ( ) C x x x ( ) R( x) 5x 8. Aplicando la regla de Ruffini, calcular el polinomio cociente y el resto de las siguientes divisiones: 4 5 () ( x 4x x ):(x ) 5 4 ( ) 4 d( x) x C x x x x x 4 ( ) 4 8 Rx ( ) 4 4 () (4x 7x x ):(x ) 4 ( ) 7 4 d( x) x C x x x x ( ) Rx ( ) 0 4 () (5x x x 6x ):(x ) x 4 ( ) 5 6 d( x) x C x x x x ( ) 4 7 Rx ( ) 4 (4) (x 49x 5x 4):(x ) 4 ( ) d( x) x C x x x x ( ) Rx ( ) 7
4 Ficha 5. Calcular el resto de los siguientes cocientes de polinomios, sin hacer la división: 4 4 () x x 5x : x () x 5x 0x 8: x 4 () x x 4x 5x 7: x (4) x x 5x 40: x 4 (5) x x 5x 6: x (6) x 5x 5x 4x 6: x Aplicamos el teorema del resto, que dice que el resto de una división se calcula sustituyendo el valor de a en el polinomio dividendo: R = D(a). 4 () D() () D( ) () D() (4) D( ) (5) D() (6) D( ) Comprobar, si los siguientes valores de x, son raíces o soluciones de los respectivos polinomios: () x y x del polinomio P(x) x 5x () x y x del polinomio P (x) x 4x x 6 Sustituimos los valores de x en cada uno de los polinomios. Según el teorema del resto, si el resultado es 0 concluiremos que son raíces o soluciones. () x y x del polinomio P(x) x 5x P ( ) P () x = es raíz o solución del polinomio () x y x del polinomio P (x) x 4x x 6 P ( ) P ( ) x = ; x = son raíces o soluciones del polinomio 4
5 Ficha 6 Para descomponer un polinomio en producto de factores aplicando la regla de Ruffini, se dan los pasos siguientes:. Se ordena el polinomio en orden decreciente de su variable y se escriben en fila sus coeficientes, poniendo un cero cuando falte un término.. Se hallan los divisores del término independiente.. Se divide el polinomio entre (x a), siendo a el primero de los divisores del término independiente y se comprueba, que sea una raíz. En el caso de que no lo sea, se prueba con el segundo de los divisores y así sucesivamente, hasta que se encuentre el primero de ellos que sea una raíz, es decir que de cero de resto. 4. Se repite el proceso anterior, pero con el polinomio cociente obtenido de la división, probándose inicialmente con la primera de las raíces obtenidas, ya que puede ser una raíz doble, e incluso triple. 5. Se repite todo el proceso hasta que se llegue a un polinomio cociente de primer grado, o bien, que ya no exista ningún divisor que sea raíz del polinomio.. Descomponer en producto de factores los siguientes polinomios, aplicando la regla de Ruffini: () x x 9x 9 = x x x () x x 8x = x x x () x 5x 4x 0 = x x x 5 (4) 4 x 0x 9 = x x x x Si la ecuación de segundo grado ax bx c 0 tiene como soluciones x y x, el trinomio de segundo grado ax bx c, se puede descomponer en producto de factores de la siguiente forma: ax bx c a(x x )(x x ). Descomponer los siguientes polinomios de segundo grado en producto de factores, resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada: () P(x) x x 40 = x 8x 5 P (x) x 5x 6= x 9 x 4 () P (x) x x 7 = x 7 x x 4 x x 7x () 4 P (x) x x 56= x 8 x 7 (4) P (x) x 4x 5= x 5 x x 5 x x 5x (5) (6) P (x) 8x x =8 x x 4 x x 4x x 6 5
6 Para descomponer un polinomio en producto de factores se puede hacer de las formas siguientes:. Sacando factor común.. Utilizando las igualdades notables para reconocer binomios cuadrados perfectos o diferencia de cuadrados.. Hallando las raíces de un polinomio de segundo grado. 4. Aplicando la regla de Ruffini.. Descomponer en producto de factores los polinomios siguientes: () x x 6x = xx x 6 xx x () x 9y 6xy = x y () x x 4x = x x x (4) 4x 0x 5 =4 x x x x 4 Otra forma: 4x 0x 5 x 5 x 5x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 (5) 4 x 8x x 8x = xx 8x x 8 xx 4x x (6) 4 49x 6 = 7x 67x 6 6
7 Ficha 7 Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios: de grado mayor que 0. P x Q x, donde Q(x) es un polinomio La suma y la diferencia de fracciones algebraicas, se realizan de la misma manera que en el caso de fracciones numéricas:. Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o se restan directamente los numeradores y se pone el mismo denominador.. Si las fracciones tienen distinto denominador, será necesario calcular el m.c.m de los denominadores, para poder reducirlas a fracciones de igual denominador.. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas, descomponiendo previamente su numerador y su denominador en producto de factores: () () x 4x x x x x x 6 x x x x x x x 5x x x 4x x x 7 x 7 x 7 () (4) x 4 x x x x x 0 x 5 x x 5 x 6x 9 x x x 9x 8 x 6 x x 6. Hacer las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas: ) ) ) 5 5 x 5x 8x 6 x x x 4 4x x x x x x x x x x 8x 4 x 9 5x x 9 x 96x x x x x x x x x x x 8x 5 x x x x x x x x x x 4) x x 4 4 x 4 x x x x x x x x x x x x x x 4 x x x x 6x 4x 4 x x 6x 8x x x x x x x 7
8 5) x x x x x 5 x x 4 4x x x x 6 x x x 4x x 4x 4 5x 0 x 5x 6 x x x x 6) x x xx x x x x x x x 6x x x x x x x x x x x x x x x 8x x x x Ficha 8 El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción, que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. P (x) P (x) P (x) P (x) Q (x) Q (x) Q (x) Q (x) Ejemplo: 5x 5x x x 5x(x ) (x ) 5x(x )(x ) 5(x ) x x x (x )(x ) x(x ) (x )(x )x(x ) (x ) El cociente de dos fracciones algebraicas, se calcula multiplicando la primera de ellas por la inversa de la segunda. P (x) P (x) P (x) Q (x) : Q (x) Q (x) Q (x) P (x) P (x) Q (x) Q (x) P (x) 8
9 . Hacer los siguientes productos y cocientes de fracciones algebraicas: ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) x x x x x 4 x x x x x x 4 4x x 4 4x x 8x 8x x 9 8x x x x x x 6 x x 4x x x x 4x x x x x x 9 x x 6 x x x x x x x x : : x x 6 x 4 4x x x x x x x x x 5 x 0x x 5 0x x x 5 x 5 x x 5 x x 5 x x : : x x x 6x 5 x x x x 5 x x x x x x x x x 4 x x x x x x x x x x x x x x x 4 x x x x x x x 5x 6 x x x x x x x x 6 x x 5 5 : x x x x x x x : x 4x 5 x 8x 5 x x 5 x x 5 x x 5 x x x 5 x x 4 5x 5x x x 4 5x x x x 4 0 x 4 : : x 6 0x 40 x 4 x 4 0 x 4 x 4 x 4 5x x x 9
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