NÚMEROS REALES, R. Es el conjunto de números que se obtiene al unir el conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales.

Transcripción

1 NÚMEROS REALES, R CPR. JORGE JUAN Xuvi-Nrón Es el conjunto de números que se obtiene l unir el conjunto de los números rcionles con el conjunto de los números irrcionles. R= QI Los números reles poseen ls siguientes propieddes: Existenci del elemento neutro pr ls operciones de sumr y multiplicr Sumr er / R +e= e+= e= 0 Multiplicr er / R.e= e.= e= 1 Existenci del elemento opuesto pr l sum y del inverso pr l multiplicción Sumr R, -R opuesto de,, +(-)= (-)+= 0 El, 0, es el elemento neutro de l sum Multiplicr R, 1 R inverso de,,. 1 = 1.= 1 El, 1, es el elemento neutro de l multiplicción Conmuttiv pr ls operciones de sumr y multiplicr Sumr,bR +b= b+ Multiplicr,bR.b= b. Distributiv de l operción de multiplicr con respecto l operción de sumr,b,cr.(bc)=.b.c Asocitiv pr ls operciones de sumr y multiplicr Sumr,b,cR +(b+c)= (+b)+c números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 70

2 Multiplicr,b,cR.(b.c)= (.b).c Existe un correspondenci biunívoc entre los números reles y los puntos de un rect, en el sentido de que cd número rel,, le corresponde un único punto, A, de l rect y vicevers. El número rel,, socido l punto, A, de l rect se llm coordend del punto, A. El punto, O, de l rect que se corresponde con el número rel, 0, es el origen. Asignr coordends los puntos de l rect equivle estblecer un sistem coordendo pr dich rect. 0 L rect que tiene signdo un sistem coordendo se denomin, eje coordendo. A un eje coordendo, prtir del origen, O, se le sign un sentido positivo y un sentido negtivo. El sentido positivo se indic trzndo un flech en el extremo del eje coordendo. Los puntos situdos hci el sentido positivo se les denomin, números reles positivos, mientrs que los situdos hci el sentido negtivo se les llm, números reles negtivos. Estblecido el eje coordendo, entre los puntos que lo conformn se estblece: Expresr en notción científic los siguientes números Escribir los siguientes números con tods sus cifrs , Expresr ls siguientes cntiddes en notción científic 15 giglitros micrómetros nnometros megmetros termetros picolitros números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 71

3 Relción de orden,br/ b- 0 b ó b L relción de orden tiene ls propieddes: Reflexiv R, Trnsitiv,b,cR, si b, bc c Antisimétric,bR, si b, y, b = b Orden totl,br, si <b, ó, b< = b Si los dos miembros de un desiguldd se le sum ó rest un mísmo número rel, ó un mism expresión lgebric, l desiguldd que se obtiene tiene el mismo sentido.,b,cr, si >b +c>b+c,b,cr, si >b -c>b-c Si los dos miembros de un desiguldd se multipicn ó dividen por un mismo número rel: Se obtiene un desiguldd en el mismo sentido si el número rel es positivo,br, cr >0, si >br.c>b.c Se obtiene un desiguldd en sentido contrrio si el número rel es positivo,br, cr <0, si >br.c<b.c Vlor bsoluto, El vlor bsoluto de un número rel, R, viene definido por l expresión R, = si 0 si 0 El vlor bsoluto de un número rel tiene ls siguientes propieddes: R, 0 números reles si 0 R : si 0 Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 7

4 hy dos posibles csos. 0 = 0 < 0 = - 0 pues si, < 0 -> 0 R, = 0 x= 0 R, = -,br,.b=.b Pr demostrrl es conveniente recordr que: n n, R :, si n es pr en prticulr, R : teniendo en cuent este resultdo,br, b 0, b b R, =. b. b. b. b. b b b b b b Si,, es un vrible rel y, k, es un número rel positivo, entonces, = k = k, ó, = -k Interpretción geométric de est propiedd. como, R : se verific = k = k elevndo mbos miembros de est últim iguldd l cudrdo números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 7

5 = k de donde se escribe = k psndo todos los términos l primer miembro de est ecución -k = 0 el primer miembro no es más que el desrrollo de l sum por diferenci. Por lo que se escribe (+k).(-k)= 0 si el producto de estos dos fctores es nulo, entonces lguno de ellos lo h de ser ó +k= 0, = -k -k= 0, = k Si,, es un vrible rel y, k, es un número rel positivo, entonces, < k -k<< k Como, R : se verific < k < k elevndo mbos miembros de est últim iguldd l cudrdo < k de donde se escribe < k psndo todos los términos l primer miembro de est inecución -k < 0 el primer miembro de est inecución no es más que el desrrollo del producto notble de sum por diferenci. Por lo que se escribe (+k).(-k)< 0 pr resolver est inecución, se resuelve l ecución que define su expresión (+k).(-k)= 0 pr que el producto de esos dos fctores se nulo h de serlo lguno de ellos - + números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 74

6 +k= 0, = -k -k -k=0, = k - + l solución gráfic de l inecución es k k es decir los vlores de,, que stisfcen l inecución son: (-k,k), es decir, k<<k k Si,, es un vrible rel y, k, es un número rel positivo, entonces, > k > k, ó, < -k Como, R : se verific > k > k elevndo mbos miembros de est últim iguldd l cudrdo > k de donde se escribe > k psndo todos los términos l primer miembro de est inecución -k > 0 el primer miembro de est inecución no es más que el desrrollo del producto notble de sum por diferenci. Por lo que se escribe (+k).(-k)> 0 pr resolver est inecución, se resuelve l ecución que define su expresión (+k).(-k)= 0 pr que el producto de esos dos fctores se nulo h de serlo lguno de ellos - + +k= 0, = -k -k -k=0, = k - + k números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 75

7 l solución gráfic de l inecución es k k es decir los vlores de,, que stisfcen l inecución son: <-k > k Si,, es un vrible rel y, k, es un número rel positivo, entonces, k -k k Como, R : se verific k k elevndo mbos miembros de est últim iguldd l cudrdo k de donde se escribe k psndo todos los términos l primer miembro de est inecución -k 0 el primer miembro de est inecución no es más que el desrrollo del producto notble de sum por diferenci. Por lo que se escribe (+k).(-k) 0 pr resolver est inecución, se resuelve l ecución que define su expresión (+k).(-k)= 0 pr que el producto de esos dos fctores se nulo h de serlo lguno de ellos - + +k= 0, = -k -k -k=0, = k - + l solución gráfic de l inecución es k k k números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 76

8 es decir los vlores de,, que stisfcen l inecución son: [-k,k], es decir, kk Si,, es un vrible rel y, k, es un número rel positivo, entonces, k k, ó, -k Como, R : se verific k k elevndo mbos miembros de est últim iguldd l cudrdo k de donde se escribe k psndo todos los términos l primer miembro de est inecución -k 0 el primer miembro de est inecución no es más que el desrrollo del producto notble de sum por diferenci. Por lo que se escribe (+k).(-k) 0 pr resolver est inecución, se resuelve l ecución que define su expresión (+k).(-k)= 0 pr que el producto de esos dos fctores se nulo h de serlo lguno de ellos - + +k= 0, = -k -k -k=0, < k - + l solución gráfic de l inecución es k k k es decir los vlores de,, que stisfcen l inecución son: -k k números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 77

9 R, - si 0 R : si 0 0 como, 0-0, y como, 0 - de estos dos últimos resultdos se deduce - < 0 = - - = -(-)= - demás como < 0, 0 se tiene entonces - por lo que se concluye que R, - b -b b b b ó -b = b = b ó = -b +b +b desiguldd tringulr Lem Se,,b,c,dR, con, b, y, c d. Entonces, +c b+d +c b+c= b+c b+d +c b+d Otr form de obtener este resultdo es sumndo los primeros miembros números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 78

10 Con el resultdo obtenido en el lem nterior se tiene: - -b b b. -(+b) +b (+b) +b< +b Distnci entre dos puntos, A, y, B, del l rect rel L distnci entre dos puntos, A, y, B, de l rect rel de coordends los números reles,, y, b, respectivmente, viene dd por el número rel ddo por l expresión d(a,b)= b- y su vlor represent l longitud del segmento, AB d(a,b) b A B Se deduce prtir de l definición: L distnci desde el punto, A, de coordend el número rel,, hst el punto, B, de coordend el número rel, b, es l mism que l distnci desde el punto, B, hst el punto, A. d(a,b)= b-= -(-b)= -b= d(b,a) L distnci de un punto, A, de coordend el número rel,, l origen, O, de coordend el número rel, 0, viene dd por Intervlos d(o,a)= -0 = L relción de orden permite definir lgunos subconjuntos del conjunto de los números reles, R, que tienen un interpretción geométric sencill sobre l rect rel y que se utilizn de form generlizd en ls inecuciones y en ls funciones. Estos subconjuntos hcen referenci zons concrets del eje coordendo, pr lo cul se indicn sus extremos,, y, b. Los tipos de intervlos existentes son: Abierto, (,b) (,b)= {xr/ <x<b} Cerrdo, [,b] [,b]= {xr/ xb} Semibierto, [,b) [,b)= {xr/ x<b} (,b] (,b]= {xr/ <xb} Infinito (, ) (, )= {xr/ x>} [, ) [, )= {xr/ x>} (-,) (-,)= {xr/ x<} (-,] (-,]= {xr/ x} (-, ) (-, )=R b b b números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 79

11 Del mismo modo que se signn coordends los puntos de un rect, se puede introducir un sistem coordendo rectngulr o sistem crtesino considerndo en dicho plno dos ejes coordendos perpendiculres entre sí que se corten en el origen, O, de mbos ejes. A menos que se especifique lo contrrio, en cd rect se elige l mism unidd de longitud. Se costumbr colocr uno de los ejes, el eje X, o eje de bsciss en dirección horizontl con el sentido positivo hci l derech, y el otro eje, el eje Y, o eje de ordends en dirección verticl con el sentido positivo hci rrib. El plno en el que se dibujn los ejes coordendos se le denomin plno coordendo, XY. Los ejes coordendos, X,Y, dividen l plno en cutro cudrntes: I C II C III C IV C Ángulo [0º,90º) [90º,180º) [180º,70º) [70º,60) De est form se sign cd punto, P, del plno un pr ordendo de números único, (,b), siendo,, su bscis o coordend, x, del punto y, b, su ordend o coordend, y, del punto que indicn su posición. Recíprocmente todo pr ordendo, (,b), determin un punto, P, en el plno, XY, de coordends,, y, b. Se puede entonces hblr del punto, (,b), o, P(,b), pr indicr el punto, P, con bscis,, y ordend, b. Pr representr un punto, P(,b), se locliz en el plno coordendo, XY, y se le represent por un pequeño círculo. Estblecido el sistem coordendo rectngulr, l distnci entre dos puntos, A, y, B, de un plno, cuys coordends rectngulres son los pres de números reles, (x 1,y 1 ), y, (x,y ), respectivmente, l número rel ddo por l expresión d(a,b)= (x -x 1 ) +(y -y 1 ) = d(b,a) y B y y 1 Potencis de exponente rcionl y 1 A x -x 1 O Se,, un número rel, R. Si este número se multiplic consigo mismo n-veces, siendo, n, un número rcionl, nq... n... dicho producto se puede escribir en form brevid en l form n y se dice que se h relizdo un potenci de exponente rcionl del número rel,. El vlor y el signo finl de est potenci depende tnto del signo que teng l bse como de l pridd del denomindor del número rcionl que hy en el exponente, verificándose: números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 80

12 Bse, R, positiv Culquier que se el exponente rcionl existe siempre l potenci, pero su signo depende del denomindor del exponente rcionl: Denomindor pr Existen dos potencis opuests. 1 4 Denomindor impr Existe un únic potenci de signo positivo. 1 8 Bse, R, negtiv Numerdor del exponente rcionl pr Existe l potenci de exponente rcionl y su signo es positivo. 4 4 Numerdor del exponente rcionl impr Denomindor del exponente rcionl pr No existe l potenci de exponente rcionl. 1 4 No existe est potenci Denomindor del exponente rcionl impr Existe l potenci de exponente rcionl y tiene signo negtivo. 1 8 Ls potencis del número rel, R, de exponente rcionl tienen ls siguientes propieddes: El producto de potencis de exponente rcionl que tengn l mism bse es otr potenci de exponente rcionl que tiene l mism bse que ls primers y cuyo exponente es l sum de los exponentes rcionles de dichs potencis. m n m n mqnp p q p q pq. El cociente de potencis de exponente rcionl que tengn l mism bse es otr potenci de exponente rcionl que tiene l mism bse que ls primers y cuyo exponente es l diferenci de los exponentes rcionles de l potenci del numerdor o dividiendo y de l potenci del denomindor o divisor. números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 81

13 m m n m n mq np p q p q pq n q p : El producto de potencis con el mismo exponente rcionl es otr potenci que tiene por bse el producto de ls bses de dichs potencis y por exponente el mismo exponente rcionl que tienen ls potencis que se multiplicn. m m p p. b. b m p El cociente de potencis con el mismo exponente rcionl es otr potenci que tiene por bse el cociente de ls bses de dichs potencis y por exponente el mismo exponente rcionl que tienen ls potencis que se dividen. m m m p p p : b m p b b m p L potenci de un potenci es otr potenci que tiene l mism bse y por exponente rcionl el producto de los exponentes rcionles. n m q m n m. n. p p q p. q Ls potencis de números reles con exponente rcionl definen los rdicles, puesto que se pueden escribir en form de ríz según: b c c b c índice del rdicndo o ríz b rdicndo Expresr como potenci únic: 5..= 5++1 = 9 (-5) 7 :(-5) = (-5) 7- = (-5) 5 = -5 5 (-7) -.(-7).(-7) 0 = (-7) -++0 = (-7) 1 = -7 1 (-) - :(-) = (-) -- = (-) -5 = ( ) [(-4) ] = (-4). = (-4) 6 = = (.5) 4 = (-) = [8.(-)] = (-16) = -16 (-8) :4 = [(-8):4] = (-7) = -7 (-).(-).(-)= (-) ++1 = (-) 6 = 6 (- ) =. = 6 (((- ) ) 5 ) = (- ).5. = (- ) 45 = : x x x x x números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 8

14 Rdicles Sen,, y, b, números reles,,br. Se dice que el número rel, b, es un ríz, n-ésim, del número rel,, y se escribe n b si se verific l potenci b n = En todo rdicl se denomin : n índice del rdicl rdicndo El vlor y el signo del rdicl dependen tnto del signo del rdicndo como de l pridd del índice: Índice pr Rdicndo positivo El rdicl tom dos vlores opuestos. Se dice que tiene dos ríces opuests. 4 Rdicndo negtivo El rdicl no tom ningún vlor. Se dice que no tiene ríz lgun. 4 Índice impr Rdicndo positivo El rdicl tom un vlor positivo. Se dice que tiene un ríz positiv. 8 Rdicndo negtivo El rdicl tom un vlor negtivo. Se dice que tiene un ríz negtiv. 8 Los rdicles de los números reles tienen ls siguientes propieddes: El producto de rdicles de igul índice es otro rdicl del mismo índice y cuyo rdicndo es el producto de los rdicndos.. b. b n n n números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 8

15 El cociente de rdicles de igul índice es otro rdicl del mismo índice y cuyo rdicndo es el cociente de los rdicndos. n n b n b L ríz de un ríz es otro rdicl cuyo índice es el producto de los índices de los rdicles ddos. m n m. n L potenci de un rdicl es otro rdicl del mismo índice y cuyo rdicndo es el del rdicl ddo elevdo dich potenci. m n n m L ríz de un potenci no vrí si se multiplicn o dividen por el mismo número el exponente del rdicndo y el índice del rdicl. n m n. r m. r De est propiedd se deduce: Un rdicl se simplific dividiendo el índice y todos los exponentes del rdicndo por un divisor común, que es el máximo.común.divisor. de todos ellos. Si el máximo común divisor del índice del rdicl y del exponente del rdicndo es l unidd, dichos números son primos entre sí, en cuyo cso el rdicl se dice irreducible. Ddos vrios rdicles se pueden elegir rdicles igules los ddos tomndo como índice común un múltiplo de todos los índices, generlmente el múltiplo elegido es el mínimo.común.múltiplo. de todos ellos No se pueden multiplicr o dividir rdicles que tengn diferentes índices. Form típic de un rdicl. Un rdicl, n, está en su form típic cundo se puede escribir en l form, siendo el índice, n, y el rdicndo, c, los números menores posibles. b. n c, Dos rdicles se dicen semejntes si sus respectivs forms típics tienen el mismo índice y el mismo rdicndo. Ddos dos rdicles semejntes, l sum de ellos es otro rdicl semejnte cuyo coeficiente es l sum de los coeficientes de los sumndos. números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 84

16 Simplificr y extrer fctores 7 b ( 1 ) 6 b (1 ) b (1 ) b b( 1 ) y x y.. x x y y x. 5 x...5 x 5 m n. 81 x 5. m n. x 5. m. n.. x Introducir coeficientes en el rdicl c. c c c ( m n) c m n ( m n).( m n) m n ( m n) ( m n).( m n) m n Aplicr ls propieddes de los rdicles 64 b ( 1 ) 6 b (1 ). b. b (1 ) ' Por cuánto se tiene que multiplicr un número pr que su ríz quede multiplicd por?. Por números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 85

17 Decir si son verdders o flss ls siguientes expresiones. b b b b b b b 4 Si No b b No existe l ríz Simplificr los rdicles: Extrer fctores de los rdicles: ( ) Relizr ls siguientes operciones ( 10 5) xy 5.x. x y y.x 5x.x x y. x (y 5 9 ) xy 5 6x 4 6x y x x y. x Reducir índice común los rdicles 6 4 6, 4 m.c.m.(4,6)=.= , 7, m.c.m.(,5,15)=.5= , , 7, Indicr cul es el rdicl myor 4 1 8, 5, 600 m.c.m.(4,,1)=.= , 5, , 65, números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 86

18 Se h de procurr que el resultdo de tod operción mtemátic no conteng ríces en su denomindor. De hberlos, el proceso que se sigue pr eliminrlos recibe el nombre de rcionlizción. Rcionlizr Rcionlizr un frcción con ríces en el denomindor consiste en convertirl en otr frcción equivlente sin ríces en el denomindor. El procedimiento seguir pr conseguir esto v depender de l form que teng el rdicl del denomindor de l frcción. Se distinguen los siguientes csos: Hy únicmente un ríz cudrd en el denomindor escrit o no en su form típic Se multiplic dich frcción por l unidd, tomndo ést como un frcción que teng igules el numerdor y el denomindor, y siendo éste l ríz del denomindor de l frcción originl Hy ríz cudrd en el denomindor sumndo o restndo otros sumndos Se multiplic dich frcción por l unidd, tomndo ést como un frcción que teng igules el numerdor y el denomindor, y siendo éste el conjugdo del denomindor de l frcción originl Hy sólo un ríz de índice, n, en el denomindor escrit o no en su form típic Se multiplic dich frcción por l unidd, tomndo ést como un frcción que teng igules el numerdor y el denomindor, y siendo éste un ríz de índice, n, y rdicndo el del denomindor de l frcción originl elevdo un exponente igul l diferenci entre el índice de l ríz originl y el exponentes del rdicndo de dich ríz originl números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 87

19 Rcionlizr x x 1 x 1 x 1 1 x. x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Rcionlizr números reles Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi Leopoldo E. Álvrez 88