MATRICES: INVERSA GENERALIZADA DE MOORE-PENROSE. Jorge Eduardo Ortiz Triviño

Transcripción

1 MTRIES: INVERS GENERLIZD DE MOORE-PENROSE Jorge Edurdo Ortiz Triviño

2 Mtrices Elemeto: ij Tmño: m Mtriz cudrd: orde ) Elemetos de l digol: m m m Vector colum mtriz ) Vector fil mtriz ) )

3 9 8, B 9 9 ) 9 8) B Sum: m ij m m m k k k k k k k k k k k ) Multiplicció por u esclr:

4 Si, B, so mtrices m, k y k so esclres: i) + B = B + ii) + B + ) = + B) + iii) k k ) = k k ) iv) = v) k + B) = k + k B vi) k + k ) = k + k

5 ) ) Not: E geerl, B B 8 9, B 8 8 ) 9 8 ) 9 B, 8 B ) ) ) ) 8 ) 8 ) B Multiplicció:

6 Potecis de u mtriz Se, u mtriz Defiimos l poteci m-ésim de como: m m fctores

7 Trspuest de u mtriz : T m m m i) T ) T = ii) + B) T = T + B T iii) B) T = B T T iv) k) T = k T Not: + B + ) T = T + B T + T B) T = T B T T

8 Determites det det det Epsió por cofctores lo lrgo de l primer fil 8

9 det El cofctor de ij es ij = ) i+ j M ij dode M ij se llm meor det = + + O por l tercer fil: det = + + Podemos epdir por fils o colums 9

10 det ) ) ) ) ) )

11 )] [) )] [) )] [) ) ) ) det det ) ) ) ) det Más corto desrrolldo por l segud fil

12 8 )] [) ) ) 8 ) ) ) 8 det 8

13 Ivers clásic L mtriz B deotd por - ) se deomi ivers clásic) de l mtriz si B = B = I - o eiste pr tods ls mtrices - eiste úicmete si es u mtriz cudrd y Si - eiste etoces el sistem de ecucioes lieles tiee u úic solució

14 Ivers de u mtriz Se u mtriz Si eiste u mtriz B tl que B = B = I dode I es l mtriz idetidd, etoces se dice que es u mtriz o sigulr o ivertile Y B es l mtriz ivers de Si crece de ivers, se dice que es u mtriz sigulr Se, B mtrices o sigulres i) - ) - = ii) B) - = B - - iii) T ) - = - ) T

15 Se u mtriz L mtriz formd por l trspuest de l mtriz de cofctores correspodietes los elemetos de : se llm djut de y se deot por dj T Mtriz djut

16 Ecotrr l mtriz ivers: Se u mtriz Si det, etoces: Pr =: dj ) det det det dj det

17

18 8

19 9 m m m m, m m m, X m B X = B Si m =, y es o sigulr, etoces: X = - B

20 /,

21 9 8,, 9

22 c c c det det B X - det det det k k k k k Regl de rmer

23 Ivers Geerlizd Pr u mtriz de orde pq se dice que l mtriz G de orde q p es su ivers geerlizd cudo: Ejemplo: G Es fácil verificr que : G G

24 Ivers Geerlizd udo tiee ivers clásic G Siempre eiste ) Pr mtrices rectgulres ) Pr mtrices clásics c) Pr mtrices sigulres G No es úic ) Eiste por lo meos u G ) Es úic pr mtrices cudrds de rgo completo

25 Eisteci de G Se pq de form que es u sumtriz de orde y rgo r rr Tomdo : G q p Es clro que: G Puesto que es de rgo r K K K

26 lgoritmo pr ecotrr u G Se u mtriz de orde pq lcule r Rgo T Iicilice G p q Se culquier meor de rgo completo M r r T M lcule B Reemplce cd elemeto de B T e G teiedo e cuet l posició del meor e Determie G r r G T T pq M r r

27 Se Etoces : Tmié : Tomdo : sí que: T G Por lo tto : r Ejemplo M M B T G

28 Defiició B deotd por - ) se deomi ivers geerlizd de Moore Perose de si B = BB = B B)' = B B)' = B Oservció : - es úic Demostrció: Se B y B mtrices que stisfce: B i = B i B i = B i B i )' = B i B i )' = B i

29 Por lo tto: B = B B = B B B = B B ) ' B ) ' = B B ' ' B ' ' = B B ' ' = B B = B B B = B )B )B = B ) ' B ) ' B = ' B ' ' B ' B = ' B ' B = B ) ' B = B B = B L solució geerl del sistem de ecucioes Está dd por : I z I Dode z Es ritrrio

30 Supog que u solució eiste : Se: I z Etoces : I z z

31 álculo de l g-ivers de Moore-Perose Se u mtriz de orde p q de rgo q < p, Demostrció: I si que : I y I Tmié: I es simétric y es simétric

32 Se B u mtriz de orde p q de rgo p < q, B B BB Demostrció : BB B B BB BB BB I si que : BB B IB B y B BB B I B Tmié : BB I es simétric y B B B BB B es simétric

33 Se u mtriz de orde p q de rgo k < mip,q), o = B dode es u mtriz de orde p k de rgo k y B es u mtriz de orde k q de rgo k Etoces B BB Demostrció: B B BB Es simétric, como tmié lo es: B BB B B BB B Tmié B B y B BB B B BB B BB