PROYECCIÓN CÓNICA CONFORME DE LAMBERT Prof. Ricardo Martínez Morales

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1 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA PROYECCIÓN CÓNICA CONFORME DE LAMBERT Prof. Ricardo Martíz Morals INTRODUCCIÓN El físico, astróomo y matmático alsaciao J.H.Lambrt tuvo ua prolífica producció l ára d la cartografía como coscucia d lo cual, hoy día so varias las proyccios qu s idtifica co su ombr. Etr otras podmos rcoocr: - Proycció plaa quivalt d Lambrt (o proycció d Lorsa) - Proycció cóica quivalt d Lambrt - Proycció azimutal quivalt d Lambrt - Proycció cilídrica quivalt d Lambrt - Proycció cóica coform d Lambrt E l prst trabajo s dsarrollara la Proycció Cóica Coform d Lambrt, idada por ést l año 77. Caso gral Como su ombr lo idica, sta proycció cosrva los águlos (formas d las figuras), utiliza como suprfici subjtiva d trasició al coo, por la posició dl j dl cilidro s dircta, y por l método d proycció podmos dcir qu s sudo-gométrica pus los parallos s rprsta por arcos d circufrcia cocétricos l polo, y los mridiaos por rctas covrgts al mismo, pro como vrmos más adlat, la ly d la proycció supo xprsios matmáticas compljas. E sta proycció prscidirmos dl aplastamito trrstr, cosidrado a la Tirra como ua sfra pusto qu al aplicars para la rprstació d grads porcios d la suprfici trrstr, y por tato scalas muy pquñas, los rrors por o cosidrarla lipsoídica o supra la prcisió gráfica d ¼ d milímtro a la scala d la carta. Imagimos pus u coo tagt a la sfra modlo a lo largo d u parallo d latitud ϕ o lo qu s lo mismo, d colatitud (Vr Fig. )

2 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA El vértic dl coo s cotrará la prologació dl j polar, y la proycció srá tocs ua proycció cóica ormal o dircta (i oblicua, co l j dl coo icliado, i paralla, co l j dl coo l cuador). Al proyctar los parallos y mridiaos sobr la suprfici dl coo, s dcir al costruir l cavás d la proycció, los parallos s rprstará por arcos d circufrcias cocétricos l vértic, y los mridiaos por rctas corrspodits a las gratrics dl coo y por tato cocurrts l vértic. El dsarrollo dl coo srá u sctor circular (Vr Fig. )

3 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 3 El arco aba dl sctor circular corrspodit al parallo d tagcia d colatitud srá igual a la circufrcia d st parallo. Etocs podmos scribir: aba πrs sido Rs l radio dl parallo d tagcia d latitud ϕ, o colatitud (Fig.) E l dsarrollo d la suprfici cóica u plao, al águlo d 36º o π radias, dscrito por ua gratriz como VA (Fig. ), l corrspodrá l águlo ctral dl sctor circular ava (Fig. ) Etocs: arco aba a Va ˆ m llamado m al radio d la trasformada dl parallo d tagcia. D la Fig. obtmos: por lo tato m R πrs a Va ˆ π cos R Vmos tocs qu cuado dsarrollamos la suprfici cóica u plao, l águlo d 36º o π radias l vértic dl coo s rducido la proporció d π cos cos π

4 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 4 Etocs, llamado dλ al águlo tr dos mridiaos cualsquira, podmos dcir qu, la proycció dsarrollada, a tal águlo l corrspodrá u águlo dλ igual a.dλ. El coficit s llamado coficit d rducció. Coocida la Ly d la Proycció: mf(), y l coficit d rducció cos, s podrá trazar l cavás d ua proycció cóica ormal, dtrmiádos los putos a rprstar, por sus coordadas polars: m f ( ) ; λ λ calculadas fució d las coordadas gográficas (ϕ;λ) d los putos cosidrados (Fig. 3) S podrá tambié mplar u sistma d coordadas rctagulars, cosidrado como orig u dtrmiado poto O dl parallo d tagcia, y como js coordados l mridiao s puto y ua prpdicular a s mridiao por l puto O. Las coordadas rctagulars x y, o tambié llamadas st (E), ort (N) s calcula por las fórmulas (Fig. 3): E x m. s λ m. s( λ) N y OV P V R m.cos λ R m.cos( λ ) Coficits d aamorfosis Los coficits d dformació stá dados por la rlació tr la magitud d u lmto ifiitsimal la proycció y la magitud dl lmto corrspodit la sfra modlo. a) Coficit d dformació mridiao

5 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 5 Cosidrmos u lmto ifiitsimal la rprstació plaa dado por dm, al qu l corrspod la sfra modlo u arco Rd Por tato l coficit d dformació mridiao s dm β Rd b) Coficit d dformació trasvrsal o parallo Cosidrmos u lmto ifiitsimal d arco d parallo d colatitud la sfra modlo. Su logitud s: Rs.dλ Sido m l radio d la trasformada dl parallo cosidrado y sabido qu l águlo dλ l dsarrollo dl coo srá rducido a dλ.dλ, l coficit d dformació trasvrsal srá α m.. dλ m. Rs. dλ Rs c) Coficit d dformació suprficial El coficit d dformació suprficial stá dado por l producto d los coficits d dformacios mridiao y parallo m.. dm µ α. β R s. d d) Dformació agular máxima El dsarrollo d st coficit rsulta d poco itrés dado qu la proycció aálisis s coform. No obstat, d forma gérica vi dado por la xprsió u MAX α β α + β Codició d coformidad La codició d coformidad s obti por la igualdad d los coficits d dformació las dirccios pricipals, st caso, parallo y mridiao, por tato αβ. Así tmos: m. α β Rs dm Rd tocs dm d.cosc. d m s Itgrado sta cuació difrcial tmos: Pro, Lm + c L(cosc co ) + c"

6 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 6 cos s (cosc - co ) L L L L s s s cos Podmos scribir tocs Lm + c L + c" Hacido c - c c, tmos Lm L + c Cosidrado c Lc, tmos Fialmt Lm L + Lc m c El valor d la costat d itgració c s dtrmia por la codició d bord dada por la colatitud dl cuador 9º, tocs m corrspodrá al radio d la trasformada dl cuador Tmos st caso 45º y llamado m al radio d la trasformada dl cuador obtmos m c; por lo tato la Ly d la Proycció s: m m y λ λ Los coficits d dformació so: Coficit d dformació mridiao β igual al coficit d dformació parallo α por la codició d coformidad impusta:. m m. α β Rs Rs Coficit d dformació suprficial µ

7 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 7 µ α. β m R s Dformació agular máxima Dado qu la proycció s coform, la dformació agular ula: u MAX Proycció cóica coform co u parallo padró Ly d la proycció Admás d la codició gral d coformidad qu ti sta proycció, s pud obtr dformacios lials ulas dtrmiado parallo llamado parallo padró o d rfrcia, mdiat la atribució d valors covits a los parámtros ivolucrados la Ly d la Proycció, sto s y m. Supogamos qu l parallo padró s l parallo d tagcia d colatitud. E stas codicios, si atribuimos a l valor cos, l radio d la trasformada dl parallo d tagcia stará dado por la xprsió (Fig. ) m R tocs podmos stablcr la siguit rlació m R m cos qu os prmit calcular l valor d m m R R cos cos Itroducido pus st valor d m la xprsió d la Ly d la Proycció, tmos m m R cos cos. por lo tato, cos m R ; λ cos λ

8 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 8 costituy la Ly d la Proycció Cóica Coform co u parallo padró o d rfrcia. Coficits d aamorfosis Coficits d dformació parallo y mridiao α β m. Rs cos R Rs cos α β s s cos S vrifica qu, para l parallo padró, s dcir para, tdrmos αβ. Coficit d dformació suprficial µ α. β s s cos Dformació agular máxima Dado qu la proycció s coform, la dformació agular ula: u MAX Propidads E sta proycció, la scala varía d forma cotiua al variar la latitud. No obstat, la scala l parallo y l mridiao d cualquir puto s la misma, por lo qu s cosrva los águlos. Esto s válido strictamt térmios ifiitsimals, pus como s dijo, la variació d scala por variació d la latitud implica, para toros fiitos, variació los águlos. E la práctica, tato, s cosidra la propidad d cosrvació d los águlos (cosrvació d las formas u ortomorfismo) como vrdadra, tambié para áras pquñas. Sobr l parallo padró la scala s vrdadra; a partir d él, la scala aumta hacia l cuador y dismiuy hacia l polo. Estas variacios d scala s tora muy sigificativas a mdida qu os apartamos d la latitud dl parallo padró, por lo qu, sta proycció stá limitada por la xtsió latitud dl ára a rprstar. Esta proycció pus s adcuada para la rprstació d rgios co pquñas difrcias d latitud. E st caso, o sólo la forma d las áras s cosrva, sio qu la prcisió d la scala s satisfactoria. Sido así, lla s prsta para cartas d utilidad gral.

9 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 9 Proycció cóica coform co dos parallos padros Ly d la proycció Es posibl xigir a la proycció, qu vz dl parallo d tagcia, sa dos los parallos rprstados si dformació: los corrspodits a las colatituds y. E s caso, las cuacios d codició para stablcr la Ly d la Proycció, so dos, pus tato para, como para, db cumplirs qu αβ; por tato las cuacios d codició srá:.. Rs m Rs m El problma implica rsolvr st sistma d cuacios cuyas icógitas so y m. E fcto, dspjado l valor d m fució d y podmos scribir: Rs Rs m Para dtrmiar l valor d tmos: ó s s s s Aplicado las propidads d los logaritmos, tmos: log.log s s tocs log log s s

10 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA fialmt, srá: log log ( s ) log( s ) log Rcordado la Ly Gral d la Proycció: m m para u valor d c m y sustituydo l valor d m por l hallado, s: m Rs Rs cuació qu rprsta la Ly d la Proycció Cóica Coform co dos parallos padros, o Proycció Cóica Coform d Lambrt. Etocs, la xprsió complta d la Ly d la Proycció fució d, y cosidrado la xprsió dl coficit d rducció, fució d s: Rs m ; λ λ log( s ) log( s ) log log y fució d : Rs m ; λ λ

11 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA log log ( s ) log( s ) log E sta proycció, por tratars d dos parallos padros, l coo dja d sr tagt a la sfra l parallo d colatitud, para sr scat los parallos d colatituds y (Fig. 4) Podmos imagiar u coo ficticio, tagt a la sfra modlo u parallo, dtrmiado por ( s ) log( s ) log cos log log Fialmt, y fució d las xprsios d las coordadas cartsiaas vistas más arriba s: E x m. s( λ) N y R m.cos( λ) Coficits d aamorfosis Coficits d dformació parallo y mridiao

12 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA α β m. Rs Rs Rs ó α β s s Coficit d dformació suprficial µ αβ s s S vrifica qu tato para como para s αβ. Dformació agular máxima Dado qu la proycció s coform, la dformació agular ula: u MAX Propidads La propidad d coformidad s mati toda la proycció. Esa propidad como s vio, s obti itroducido para cada puto d la proycció la codició d igualdad las dformacios paralla y mridiaa (αβ). O sa qu cada puto d la proycció, la scala sobr l parallo s igual a la scala sobr l mridiao. Como coscucia d st ajust d scalas, los águlos s cosrva co sus vrdadros valors, y coscucia s cosrva las formas d las figuras. Esta propidad s válida rigurosamt para figuras lmtals; pus cuado s trata d figuras más xtsas latitud, la variació d scalas produc csariamt dformacios. Sobr los parallos padros, la scala vrdadra (αβ). Etr los parallos padros, la scala sobr los parallos y sobr los mridiaos s rducida pro cosrvado la igualdad tr llas (α<), (β<); fura d la faja dfiida por los parallos padró, la scala sobr parallos y mridiaos s ampliada pro tambié cosrvádos iguals tr ambas (α>), (β>). El polo tato, s rprstado por u puto. E cuato a la scala, la proycció cóica coform d Lambrt prsta gra prcisió. A modo d jmplo, cosidrmos la rprstació d ua faja co ua xtsió d 5º latitud (4º ϕ 49º), co los parallos padros corrspodits a ϕ 45º y ϕ 33º. E stas codicios, y d la aplicació d las xprsios dsarrollada hasta ahora, los coficits d dformació los parallos xtrmos 4º y 49º so rspctivamt,.76 y.4. El rror scala srá tocs d.76% l límit Sur y d.4% l límit Nort. Etr los parallos padros, l rror máximo srá dl ord dl.5%.

13 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 3 Otra propidad importat d sta proycció s la d rprstas círculos máximos, aproximadamt, como lías rctas. A psar d sr apas ua aproximació (porqu sabmos qu solamt la proycció plaa gómica los círculos máximos so xactamt rprstados por lías rctas), sto s suficit para divrsas fialidads prácticas. D st modo, la proycció cóica coform d Lambrt co sa propidad, juto co la d la coformidad y la gra prcisió d scala, prmit rsolvr, co prcisió y rapidz, los problmas d distacia y dircció.

14 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 4 Ejmplos Vamos alguos jmplos d cavás corrspodits a sta proycció Fut: Cartographic Projctio Procdurs for th UNÍS Eviromt A Usr s Maual Grald I. Evd Sptmbr 4, 995

15 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 5 Lt b th logitud, th rfrc logitud, th latitud, th rfrc latitud, ad ad th stadard parallls. Th th trasformatio of sphrical coordiats to th pla via th Lambrt coformal coic projctio is giv by X Y whr F ro ro Th ivrs formulas ar Fi Lamda whr ro tita with,, ad as dfid abov. Fut:

16 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 6 Proycció cóica coform cosidrado la Tirra lipsoídica La dducció d las fórmulas sguirá u procso todo similar al dsarrollado atriormt. E st caso cosidrarmos a la Tirra rprstada o por ua sfra sio por u lipsoid d rvolució cuyos radios d curvatura pricipals so ρ y N, y la xctricidad s. Para impor la codició d coformidad, basta co stablcr la igualdad d aamorfosis a lo largo d los parallos y d los mridiaos. Para l caso d la Tirra lipsoídica, la codició d coformidad quda xprsada tocs por: ρdϕ dm N cosϕdλ mdλ Al cosidrar las xprsios fució d la latitud ϕ y o d la colatitud, corrspod l sigo d pus al aumtar ϕ, m dismiuy. Ahora bi, como ya vimos, d λ dλ cos dλsϕ lugo, sustituydo y oprado covitmt: dm m ρdϕ N cosϕ sido sϕ o cos como ya vimos Como ρ N cosϕ cosϕ Sustituydo itgrado s: s dscompo fraccios simpls la forma: cosϕ cosϕ + + sϕ sϕ dm dϕ cosϕ cosϕ + dϕ m cosϕ + sϕ sϕ ϕ π sϕ Lm L + + L + Lc 4 + sϕ dod c s la costat d itgració; lugo s m ϕ π ϕ + 4 s + ϕ c

17 CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA 7 Si ahora, como l caso d la Tirra sférica, cosidramos la colatitud ϕ o 9, dducimos qu: 4 π ϕ y sumado 4 π a los dos mimbros 4 π π ϕ + tmos cot 4 π π ϕ g + y c g m + cos cos cot co lo qu llgamos fialmt al valor dl radio dl parallo d colatitud dspués d itroducir m como costat d itgració, y qu al igual qu l supusto d la Tirra sférica rprsta l radio corrspodit al Ecuador. cos cos cos + m m ; cos λ dλ d Esta s dfiitiva la Ly d la Proycció, cosidrado la Tirra lipsoídica. Ua vz obtido l valor d m y d dλ, l cálculo d las coordadas plaas (E;N) s l mismo qu l visto para la Tirra sférica.

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