En este capítulo 5 estudiaremos una serie de conceptos básicos, y que serán fundamentales para el posterior desarrollo de la inferencia estadística.

Transcripción

1 TEMA 5. Muestreo y dstrbucoes e el muestreo Nuestro objetvo fudametal es saber qué modelo va a segur la poblacó, y para ello haremos uso de la formacó que obtegamos de ua parte de esa poblacó llamada muestra. Hacemos así troduccó a la fereca estadístca: Que pretede estmar los parámetros de ua poblacó (su medda, su varaza, etc.) a partr de la formacó coteda e ua o varas muestras. E este capítulo 5 estudaremos ua sere de coceptos báscos, y que será fudametales para el posteror desarrollo de la fereca estadístca. 5.1 Al falzar el tema el alumo debe coocer... Importaca de la fereca estadístca. Coceptos fudametales de la fereca estadístca como: Poblacó, muestra, parámetro poblacoal, estadístco muestral, estmacó. Característcas de la muestra. Fucó de dstrbucó empírca. Característcas de la dstrbucó de probabldad de estadístcos muestrales. Característcas de la dstrbucó de probabldad de estadístcos muestrales e poblacoes ormales. Dstrbucó de la proporcó muestral. 5. Importaca de la fereca estadístca. El aálss exploratoro de datos busca descubrr y resumr la formacó que cotee los datos utlzado gráfcos y resúmees umércos. Las coclusoes que obteemos del aálss de datos se refere a los datos cocretos que examamos. A meudo, queremos exteder estas coclusoes a algú grupo mayor de dvduos y debemos teer e cueta que s uestros datos o represeta de ua maera adecuada a este grupo, las coclusoes que obteemos a partr de los datos o puede extederse al grupo mayor

2 E los próxmos apartados dedcaremos gra parte de uestra atecó a aalzar problemas que tee por objeto averguar las propedades de u grupo de dvduos, a partr de la formacó proporcoada por u subcojuto relatvamete pequeño de los msmos: Llamaremos poblacó a u grupo etero de dvduos, objetos o meddas que tee ua característca comú observable y muestra al subcojuto de dvduos, objetos o meddas de la poblacó, cuyas característcas ha sdo observadas. E fereca estadístca se razoa desde lo partcular, la muestra, hasta lo geeral, la poblacó, y se trata por tato de u razoameto ductvo. Por el cotraro, e el cálculo de probabldades que hemos vsto aterormete se razoaba de u modo deductvo, puesto que se partía del coocmeto total de la poblacó. Alguos ejemplos de poblacoes puede ser: - La reta de todas las famlas que vve e la Comudad Autóoma de Madrd. - Los dvdedos auales obtedos por cada uo de los valores egocados e la Bolsa de Madrd. - El coste aual que les supoe a todas las empresas del sector dustral la mao de obra que utlza e el proceso productvo. - Los errores que aparece e la Cotabldad de ua empresa a lo largo de u año. La prcpal razó por la que se observa ua muestra e lugar de la poblacó completa, es el hecho de que es geeralmete mposble estudar a todos los membros de ua poblacó dada. Porque la poblacó, tal como se ha defdo, tee u úmero fto de elemetos o es ta grade que u aálss exhaustvo de la msma realzado cesos exge la movlzacó de muchos recursos humaos y suele ser muy costosa. Ate tal stuacó, exste métodos alteratvos cuyo coste ecoómco y tempo se reduce cosderablemete. Estos métodos está costtudos por las muestras cuya faldad es costrur modelos reducdos de la poblacó total y usarlas para estmar - -

3 el valor de los parámetros, co resultados extrapolables al uverso del que procede. Covee recordar el Isttuto Nacoal de Estadístca orgasmo autóomo de carácter admstratvo adscrto al Mstero de Ecoomía y Haceda, para elaborar sus trabajos (srva como ejemplo las estadístcas sataras, la ecuesta de poblacó actva (EPA, etc.) recurre a muestras. Evdetemete deseamos seleccoar estas muestras de modo que sea represetatvas de la poblacó de dode provee. Imagemos que la Cosejería de Ecoomía y Haceda de la Comudad Autóoma de Castlla-La Macha quere teer formacó sobre los gresos por hogar e la Comudad, resultaría poco acosejable que se estudara sólo los hogares de la provca de Toledo. Es poco probable que este grupo de hogares represete adecuadamete a toda la poblacó. Ua forma de evtar este tpo de problemas es utlzar u proceso de seleccó de la muestra basado e el prcpo de aleatorzacó. 5.3 Muestra aleatora smple. Ua muestra aleatora smple de tamaño cosste e objetos (dvduos) de ua poblacó de N objetos ( dvduos ), escogdos de maera que cualquer cojuto de objetos de la poblacó tega la msma oportudad de covertrse e la muestra realmete seleccoada. Ua muestra aleatora smple o sólo da a cada dvduo la msma oportudad de ser escogdo evtado por tato el sesgo e la seleccó (dremos que el dseño de u estudo es sesgado s favorece sstemátcamete certos resultados), so que també da a cada posble muestra la msma oportudad de ser escogda. Puede pesarse e el proceso de muestreo aleatoro smple de la forma sguete: Supogamos que los N membros de la poblacó se troduce e u eorme sombrero y se mezcla cocezudamete. Ua muestra aleatora smple se obtee extrayedo a de ellos. E la práctca o es ecesaro hacerlo de este modo, los programas estadístcos puede escoger ua muestra aleatora smple cas de forma statáea de ua lsta de dvduos de ua poblacó, o també se puede - 3 -

4 aleatorzar utlzado ua tabla de dígtos aleatoros. Por el mometo os lmtaremos a muestras que haya sdo seleccoadas medate esquemas de muestreo aleatoro smple. S embargo, debemos aclarar que este o es el úco procedmeto que exste para elegr dvduos de ua poblacó, y que, e determadas crcustacas, puede resultar preferbles esquemas de muestreo alteratvos. 5.4 Parámetros poblacoales y estadístcos muestrales. Geeralmete dremos que los parámetros poblacoales so las característcas umércas de la poblacó. E la estadístca clásca u parámetro se puede cosderar como ua costate fja cuyo valor se descooce. Uo de los problemas más comues e la estadístca ferecal es estudar ua poblacó co ua fucó de dstrbucó F x, dode la forma de la fucó de dstrbucó es coocda pero depede de u parámetro descoocdo, ya que s fuese coocdo tedríamos totalmete especfcada la fucó de dstrbucó. U estadístco es ua varable aleatora, que es fucó de las observacoes muestrales y o cotee gú valor o parámetro descoocdo. Cotuado co la poblacó de fucó de dstrbucó F x,, y cosderado ua muestra aleatora smple x,, 1 x costtuda por varables aleatoras depedetes e détcamete dstrbudas podemos defr como estadístcos: x1 x x1 x eˆ 1 eˆ etc. Por tato, parámetro y estadístco so coceptos muy dferetes. U parámetro es ua costate que descrbe la poblacó y cuado se cooce queda determado el modelo probablístco y u estadístco es ua varable aleatora cuyo valor depede de las observacoes muestrales. Veamos el sguete cuadro: Dada ua poblacó fta de tamaño N, y ua muestra aleatora smple de tamaño, x,, 1 x, obteda de la poblacó de partda, teemos: - 4 -

5 Parámetros poblacoales Estadístcos muestrales Meda Varaza N 1 N N 1 x x N x S 1 1 x 1 x x Proporcó p úmero de éxtos e N N pruebas pˆ x úmero de éxtos e pruebas S la poblacó de partda o es fta utlzaremos la msma otacó para desgar a estos parámetros poblacoales, pero estos o puede ser calculados a partr de muestras ftas, so que tedremos que recurrr al cálculo de valores esperados de varables aleatoras de tpo cotuo. La estadístca ferecal o ductva cosste e utlzar u estadístco para llegar a ua coclusó o fereca sobre el parámetro poblacoal correspodete. Por ejemplo, podemos calcular la meda artmétca de ua muestra, recurredo al estadístco x, y utlzarlo como estmacó de la meda artmétca de la poblacó ; el estadístco se utlza como estmador del parámetro. 5.5 Fucó de dstrbucó empírca. La fucó de dstrbucó empírca tee las msmas propedades que la fucó de dstrbucó de la varable aleatora, lo que mplca que cuado el tamaño de la muestra crece, la gráfca de la fucó de dstrbucó empírca se aproxma bastate a la de la fucó de dstrbucó de la poblacó, co lo que puede utlzarse como estmador de la msma. F ( x ) Sedo N( x) N x el úmero de valores observados meores o guales que x

6 5.6 Dstrbucó muestral de estadístcos. Es mportate recordar que e el aálss estadístco tee mucha mportaca la formacó obteda de ua muestra represetatva de la poblacó: u drector de ua empresa elge ua muestra represetatva para determar el grado de satsfaccó que preseta los usuaros de su producto, u partdo polítco seleccoa ua muestra de cudadaos para aalzar s su programa polítco producrá los resultados deseados, etc e estos casos los resultados obtedos sólo so estmacoes de lo que ocurre e toda la poblacó. El valor del estadístco es aleatoro porque depede de los elemetos elegdos e la muestra seleccoada y, por lo tato, el estadístco tee ua dstrbucó de probabldad la cual llamamos Dstrbucó Muestral del Estadístco. Esta dstrbucó depederá del tamaño de la muestra, luego podemos decr que exste dfereca etre la dstrbucó de la poblacó de la cual se ha tomado la muestra y la dstrbucó de algua fucó de esa muestra. La dstrbucó muestral de u estadístco se puede obteer tomado todas las posbles muestras de la poblacó de u tamaño fjado "" calculado el valor del estadístco para cada ua de las muestras y costruyedo la dstrbucó de estos valores. Como para cualquer dstrbucó, las dos meddas fudametales so la meda y la desvacó típca, també deomada error típco. E esta asgatura estudaremos las dstrbucoes muestrales del los estadístcos meda, varaza y proporcó muestral, pues so de bastate utldad e dferetes aplcacoes estadístcas. Dstrbucó muestral del estadístco meda muestral. Cuado se cooce la varaza poblacoal: S teemos ua muestra aleatora de tamaño procedete de ua poblacó co dstrbucó ormal N, etoces la dstrbucó del estadístco meda muestral será: X x N,, s tpfcamos Z X N(0,1) - 6 -

7 S la dstrbucó o es ormal, basta que 30 para que la meda muestral sga ua dstrbucó ormal, por el Teorema Cetral del Límte. Cuado o se cooce la varaza poblacoal Calculamos la varaza muestral y la usamos como varaza poblacoal (cuasvaraza) X 30 Z N(0,1) s X 30 T t s 1 Dstrbucó muestral del estadístco varaza muestral. A partr de la defcó de la cuasvaraza muestral, obteemos: S Cuado o se cooce la meda poblacoal. ( x x) 1 ( 1) S ( x x ) dvdmos todo por ( 1) S ( x x) 1 Cuado se cooce la meda poblacoal. ( x ) Estos estadístcos so depedetes. Recordar que los grados de lbertad, so los úmeros de varables que tegra, e este caso, el estadístco. Dstrbucó muestral del estadístco proporcó muestral Sea ua muestra aleatora smple de tamaño procedete de ua poblacó co dstrbucó B(1, p) - 7 -

8 X pq PX N p, EP ( ) p X pq V( Px ) Z S tpfcamos: PX p pq N(0,1) 5.7 Resume y pregutas frecuetes x X S X N, Z N(0,1) x s X 30 X N, Z N(0,1) s No N(, ) x s X 30 X N, T t s 1 ( 1) S ( x x) No 1 (x ) S Explque cual es el objetvo básco de la fereca estadístca. Explque s exste algua dfereca etre Poblacó y muestra. Poga u ejemplo. Cuádo podemos decr que ua muestra es válda para realzar fereca? Cocepto de muestra aleatora smple. Qué es u parámetro poblacoal? Poga algú ejemplo. Qué es u estadístco? Poga algú ejemplo. Qué utldad tee la Fucó de dstrbucó empírca? Explque qué es la dstrbucó de probabldad de ua poblacó y la dstrbucó de probabldad de u estadístco muestral. se puede afrmar que es lo msmo? - 8 -

9 Cómo se obtee la dstrbucó muestral de u estadístco? Cuál es la meda y varaza del estadístco meda muestral? y de la varaza muestral? Qué dstrbucó sgue la meda muestral cuado se cooce la varaza poblacoal? y cuado o se cooce la varaza poblacoal? Qué dstrbucó sgue la varaza muestral? Qué dstrbucó sgue la proporcó muestral? - 9 -

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