CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda CURVAS. 1.2 Longitud de una curva. Parámetro arco.
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- Eugenio Torregrosa Macías
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1 CURVAS. 1.2 Longitud de una curva. Parámetro arco.
2 1.1 Definición de curva parametrizada espacial. Representación implícita. 1.2 Longitud de una curva. Parámetro arco. 1.3 Curvatura y torsión. Triedro de Frenet. 1.4 Curvas notables: hélices, curvas de Bézier.
3 Sea C una curva parametrizada con parametrización regular α : I R R 3, α(t) = (x(t), y(t), z(t)). CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda La longitud del vector tangente α (t) = (x (t), y (t), z (t)) en cada punto α(t) de C es la norma del vector tangente α (t) = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2. Fijado un valor del parámetro t 0 I. La longitud del arco de la curva C entre los puntos α(t 0 ) y α(t) se calcula mediante la integral: s(t) = t t 0 α (u) du. La función s : I R recibe el nombre de función longitud de arco.
4 Obsérvese que como estamos suponiendo α regular α (t) 0, t I y así (por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral) s es una función diferenciable en t con s (t) = ds(t) dt = α (t). Sea ϕ : J = Im(s) I la función inversa de la función longitud de arco. Es decir, ϕ(s(t)) = t, t I y así ϕ (s(t))s (t) = 1, de donde ϕ (s(t)) = 1 s (t) = 1 α (t) = 1 α (ϕ(s(t))).
5 Obsérvese que como estamos suponiendo α regular α (t) 0, t I y así (por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral) s es una función diferenciable en t con s (t) = ds(t) dt = α (t). Sea ϕ : J = Im(s) I la función inversa de la función longitud de arco. Es decir, ϕ(s(t)) = t, t I y así ϕ (s(t))s (t) = 1, de donde ϕ (s(t)) = 1 s (t) = 1 α (t) = 1 α (ϕ(s(t))).
6 Llamamos a s = s(t) parámetro arco (longitud del arco de curva desde un punto P de la curva) y se tiene que ϕ 1 (s) = α (ϕ(s)) 0, s J. Lo que demuestra que ϕ es un cambio admisible de parámetro.
7 Llamamos a s = s(t) parámetro arco (longitud del arco de curva desde un punto P de la curva) y se tiene que ϕ 1 (s) = α (ϕ(s)) 0, s J. Lo que demuestra que ϕ es un cambio admisible de parámetro. La reparametrización β : J R 3, β(s) = α(ϕ(s)) recibe el nombre de parametrización por la longitud de arco de C, o representación paramétrica natural de C. Se tiene que β (s) = 1 y por tanto s β (u) du = du = s s 0 s 0 s 0 es la longitud del arco de curva C entre los puntos β(s 0 ) y β(s). s
8 Ejemplos. 1. Obtenemos una representación paramétrica regular α de la curva C intersección de las superficies S 1 y 2 + (z 1) 2 = 1 y S 2 x + y 2 = 1. Utilizamos α para calcular la expresión de la función longitud de arco (con t 0 = 0).
9 Ejemplos. 1. Obtenemos una representación paramétrica regular α de la curva C intersección de las superficies S 1 y 2 + (z 1) 2 = 1 y S 2 x + y 2 = 1. Utilizamos α para calcular la expresión de la función longitud de arco (con t 0 = 0). Solución α(t) = (1 cos(t) 2, cos(t), sen(t) + 1), t I = [0, 2π). t α (t) 0 y s(t) = sen2 (u) + 1du, t I. 0
10 2. Calcular la expresión de la función longitud de arco (con t 0 = 0) de la curva regular C parametrizada por α(t) = ((t + π)cos(t), (t + π) sen(t), t 2 /2 + πt + π 2 /2]), t [ 2π, 2π].
11 2. Calcular la expresión de la función longitud de arco (con t 0 = 0) de la curva regular C parametrizada por α(t) = ((t + π)cos(t), (t + π) sen(t), t 2 /2 + πt + π 2 /2]), t [ 2π, 2π]. Solución s(t) = t (u + π)2 du.
12 3. Obtener la representación natural de la hélice C parametrizada por ( 1 t α(t) = 2 sen(t),, 1 ) cos(t), t [0, + ). 2 2
13 3. Obtener la representación natural de la hélice C parametrizada por ( 1 t α(t) = 2 sen(t),, 1 ) cos(t), t [0, + ). 2 2 Solución s(t) = t y por tanto t es el parámetro arco y α la representación natural de C.
14 3. Obtener la representación natural de la hélice C parametrizada por ( 1 t α(t) = 2 sen(t),, 1 ) cos(t), t [0, + ). 2 2 Solución s(t) = t y por tanto t es el parámetro arco y α la representación natural de C. 4. Obtener la representación natural de la hélice C parametrizada por α(t) = (acos(t), a sen(t), bt), t [0, + ).
15 3. Obtener la representación natural de la hélice C parametrizada por ( 1 t α(t) = 2 sen(t),, 1 ) cos(t), t [0, + ). 2 2 Solución s(t) = t y por tanto t es el parámetro arco y α la representación natural de C. 4. Obtener la representación natural de la hélice C parametrizada por α(t) = (acos(t), a sen(t), bt), t [0, + ). Solución s(t) = a 2 + b 2 t y la representación natural es ( ( ) ( ) ) s s s β(s) = α(ϕ(s)) = acos, a sen, b, a2 + b 2 a2 + b 2 a2 + b 2 con s [0, + ).
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