de Muestreo de Medias, Inferencia Estadística (Naturaleza de las Pruebas ) (Cap. 7 y Sec. 8.3)

Transcripción

1 Variabilidad Muestral, Distribuciones de Muestreo de Medias, Inferencia Estadística (Naturaleza de las Pruebas ) (Cap. 7 y Sec. 8.3)

2 Distribución muestral de un estadístico Es la distribución de valores de un estadístico (a), obtenidas de muestras repetidas, todas del mismo tamaño y extraídas de la misma población. P = { 0, 2, 4, 6, 8} Distribuciones muestrales Cuando obtenemos de una población de tamaño N, muestras de tamaño n, el número de muestras posibles será diferente si el muestreo lo hacemos con reemplazo (urnas) o sin reemplazo. Número de muestras posibles (muestreoconreemplazo)seobtieneconlafórmulan n. Ej.5 2 =25arreglos.

3 Distribución muestral de un estadístico Es la distribución de valores de un estadístico (a), obtenidas de muestras repetidas, todas del mismo tamaño y extraídas de la misma población. { } P = 0, 2, 4, 6, 8 µ = N x = 20 5 = 4 σ x = x N 2 N x 2 = 2 = = =

4 (0,0) (0,2) (0,4) (0,6) (0,8) 2 (2,0) (2,2) (2,4) (2,6) (2,8) 4 (4,0) (4,2) (4,4) (4,6) (4,8) 6 (6,0) (6,2) (6,4) (6,6) (6,8) 8 (8,0) (8,2) (8,4) (8,6) (8,8) 5 2 = 25 puntos muestrales

5 x

6 ( ) x P x P( x) ( x) P i = x ( x) 2 P ( x)

7 i) Media poblacional : µ x = x ( ) P x ii) Varianza poblacional : σ 2 x = [ 2 2 ( )] x P x µ iii) D.S. = σ x = x 2 ( ) 2 µ P x

8 Teorema del Límite Central (TLC) Si de cualquier población con media µ y desviación estándar σ, se toman todas las posibles muestras aleatorias cada una de tamaño n, entonces la distribución de medias(promedios : 1. media µ = µ x σ 2. D. S. es σ = x n. La Distribución Muestral de Medias se aproxima a la Normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. La Distribución de Medias se aproximará más estrechamente a la Distribución Normal. x ~ N ( 2 µ, σ )

9 Elerrorestándardelamediaesladesviaciónestándardela Distribución de Muestreo de Medias. D.S. es σ x = σ x n Ejemplo: Los niños de pre-escolar tienen estaturas que se distribuyen de manera Normal alrededor de una media de 39 pulgadas y una D.S. igual 2 pulgadas. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 25 y se calcula la media. Cuál es la probabilidaddequeestevalormedioestéentre38.5 y40?

10 µ x Z

11 Teorema del Límite Central (TLC) La distribución de medias muestrales está distribuida alrededor de una media poblacional, con un error estándar D.S. Si la población muestreada aleatoriamente está distribuida normalmente, entonces la Distribución de Medias está distribuida normalmente para todos los tamaños muestrales. Si la población muestreada aleatoriamente no está distribuida normalmente, entonces la Distribución de Medias está distribuida normalmente en forma aproximada para tamaños de muestra que sean lo suficiente grandes. ElTLCsepuedeaplicaramuestraspequeñas(n=15omayor de 15) cuando los datos ofrecen una indicación de una distribución unimodal que en forma aproximada es simétrica.

12 TLC Si hay evidencia de alguna asimetría en los datos, entonces el tamaño de la muestra necesita ser mucho mayor (quizas n mayor o igual que 50). Si los datos muestran evidencia de una distribución extremadamente sesgada, el TLC aplicará si el tamaño de la muestra es suficiente grande. Puede ser el caso que no sea práctico para el estudio. Según los autores, no hay una regla que defina el tamaño de n suficientemente grande ya que varía en gran medida acorde a la distribución de la población.

13 Ejemplo:Seindicaquelaslongitudesdelospecesdelago llamados De Moivre se comportan normalmente con una media de 15.6 y una desviación estándar de 3.8. Cuál es la probabilidad de que un pez De Moivre seleccionado aleatoriamente mida menos de 15.0? Si se pescan 16 peces De Moivre (muestra aleatoria), cuál es la probabilidad de que la longitud media de la pescatotalmidamenosde15.0? Cuál es la probabilidad de que la longitud media de la pescatotalmidamayorque 17.0?

14 Ejemplo: Los diámetros de las manzana De Moivre se comportan normalmente con una media de 2.63 y una desviación estándar de Cuál es la probabilidad de que las manzanas De Moivre seleccionadas aleatoriamente midan (diámetro) menos de2.25? Si se seleccionan 100 manzanas De Moivre (muestra aleatoria), cuál es la probabilidad de que el diámetro promediodelasmanzanasseamayorque2.56?

15 Margen de error (E) Es la máxima diferencia probable (nivel de confianza) entre la media muestral observada x y el verdadero valor de la media de la población µ Eeselerrormáximodeestimaciondelamediapoblacional. Grado de confianza Significancia Valor crítico 90% 10%= % 5%= % 1%= ± 1.65 ± ± 2. 58

16 Sin reemplazo σ x = σ n N n N 1 Hay dos razones importantes para las que una media de muestra es un mejor estimador de una media poblacional que otros estimadores como la mediana o la moda. En muchas poblaciones, la distribución de las medias de muestras tiende a ser más uniforme (con menos variación) que las distribuciones de otros estadísticos. Para todas las poblaciones, decimos que la media de muestras es un estimador no predispuesto de la media poblacional, lo que quiere decir que la distribución de las medias muestrales tiende a centrarse alrededor del valor de la media poblacional.

17 Estimación puntual de un parámetro Es el valor de la estadística de la muestra correspondiente, o sea E E ( ) x = Estadística insesgada µ ( 2 ) s = σ 2 Es la estadística cuya distribución muestral tiene un valor medio igual al valor del parámetro que se está estimándose.

18 Rationale for Inferential Tests Types I, II (Errors) and probabilities α and β

19 Distribución de muestreo de un estadístico Teorema del Límite Central (TLC) Así, se ha presenciado un fenómeno asombroso: no importa cuál sea la forma de una población original, la distribución de medias es Normal o se aproxima a la Normal cuando n aumenta (n>30). Pruebas de hipótesis Supuestos= son las condiciones que deben existir para aplicar correctamente un procedimiento estadístico (debe tener certeza). Por ejemplo, la población muestreada está

20 Por ejemplo, la población muestreada está distribuida normalmente. Hipótesis es un enunciado verdadero Prueba de hipótesis estadística= es el proceso por el que se toma una decisión entre dos hipótesis opuestas. Las dos hipótesis opuestas se establecen de modo que una es la negasión de la otra (verdadera vs falsa). Por lo tanto se prueba una hipótesis esperando que pueda demostrar ser un evento improbable, lo cual implica que es probable que la otra hipótesis sea verdadera. Las dos hipótesis se conocen como nula y alterna. Nota: La prueba estadística usa la técnica de prueba por contradicción.

21 Hipótesis es un enunciado verdadero Hipótesis nula (Ho)= es una hipótesis estadística que describe el parámetro como un valor en específico μ= μ 0. Por ejemplo, Ho: El envase pesa 12 onzas. Hipótesis alterna (Ha or H1)= es la hipótesis de investigación, es la que tenemos que verificar. Se acepta cuando se rechaza la Ho. El rechazo de la Ho implica la verdad probable de la Ha. Cumple con la ley de la tricotomía del álgebra. La prueba estadística usa la técnica de prueba por contradicción.

22 Por ejemplo Ha: A mayor grado de satisfacción global en el trabajo que perciben los empleados, mayor será el compromiso con la organización. Otro ejemplo Ha: Existe diferencia significativa (difieren las medias 1 y 2) entre los sujetos que tienen centro de control interno y los que tienen centro de control externo en el aprovechamiento académico. Los 4 resultados posibles pueden obtenerse por el hecho de que la Ho sea verdadera o falsa y la decisión de rechazarla o no la Ho.

23 Error de tipo I= es el rechazo de una hipótesis nula (Ho) verdadera, cuando en realidad debería no rechazarla. Ej. El sujeto es encontrado culpable, cuando en realidad es no culpable. α es la probabilidad de cometer el error de tipo I. Error de tipo II= es el no rechazo de una hipótesis nula (Ho) falsa, cuando en realidad debería rechazarla. Ej. El sujeto es encontrado no culpable, cuando en realidad es culpable. β es la probabilidad de cometer el error de tipo II.

24 Evaluación de la seriedad relativa de los errores I vs II: Ejemplo: Ho: La droga experimental es segura (efectiva) para el cáncer. Error de tipo I: Rechazó la Ho. La droga no es efectiva, cuando en realidad es efectiva. Qué puede pasar en este caso? Error de tipo II: No rechazó la Ho. La droga es efectiva, cuando en realidad no es efectiva (segura). Qué puede pasar en este caso?

25 Rationale for Inferential Tests: Types I, II (Errors) and probabilities α and β Ej. Una doctora llega al lugar de un accidente grave y examina a cada víctima (paciente) del accidente, administra la asistencia médica apropiada a todas las víctimas (a menos que esté segura de que la víctima está muerta). H 0 : La víctima está viva ( moribunda ). H a : La víctima no está viva (muerta). H 0 : La víctima está viva ( moribunda ).

26 P H 0 : La víctima está viva ( moribunda ). P(error Tipo I)= ( asistida como si no estuviera viva dado que la vìctima estaba viva ("moribunda " )) = α P(error Tipo II) ( viva ) = β P asistida como si estuviera viva "moribunda " dado que la vìctima no estaba Decisión Verdadera Falsa No rechazar la H 0 Rechazar la H 0 Correcta(TipoA);Prob.=1 α Verdad: La víctima está viva. Investigador indicó que la víctima está viva. En realidad, la víctima estaba viva y fue tratada o Error(Tipo II); Prob.= β Verdad: La víctima no está viva. Investigador indicó que la víctima está viva. En realidad, la víctima no estaba viva asistida como si estuviera viva ( moribunda ). y fue tratada o asistida como si estuviera viva( moribunda ). II no es grave, la víctima está recibiendo atención médica que no esde valor. Error(TipoI);Prob.=α Verdad: La víctima está viva. Investigador indicó que la víctima no está viva. En realidad, la víctima estaba viva (o sea moribunda) y fue tratada o asistida como si no estuviera viva (muerta). I es muy grave ya que la víctima puede morir si no recibe atención médica en el momento. Correcta(Tipo B); Prob.= 1 β Verdad: La víctima no está viva. Investigador indicó que la víctima no está viva. En realidad, la víctima no estaba viva y fue tratada o asistida como si no estuviera viva(muerta). OK.

27 1 α es la probabilidad de una decisión correcta cuando la hipótesis nula (H 0 ) es verdadera. 1 β es la Potencia de la Prueba Estadística o sea la medida de la capacidad de una prueba inferencial para rechazar una hipótesis falsa, una característica muy importante. Equilibrio de α, β y n: Si α se reduce, entonces β aumenta o n aumenta. Si β se reduce, entonces α aumenta o n debe aumentar. Si n se reduce, entonces α aumenta o β aumenta. Ej. H 0 : La droga experimental es efectiva. H a : La droga experimental no es efectiva. H 0 : La droga experimental es efectiva.

28 Decisión Verdadera Falsa No rechazar la H 0 Rechazar la H 0 H 0 : La droga experimental es efectiva. Correcta(Tipo A); Prob.=1 α Verdad: La droga experimental es efectiva. Investigador indicó que la droga experimental es efectiva. En realidad, la droga experimental es efectiva y coincide con lo encontrado por el investigador. Salvar vidas!!!!!!!!!!!!! Error(Tipo II); Prob.= β Verdad: La droga experimental no es efectiva. Investigador indicó que la droga experimental es efectiva cuando en realidad la droga experimental no es efectiva. II puede ser muy grave ya que la droga fue vendida siendo no efectiva. Efectos secundarios o muertes!! Correcta(Tipo B); Prob.=1 β Verdad: La droga experimental no es efectiva. Investigador indicó que la droga experimental no es efectiva cuando en realidad la droga experimental no es efectiva. Ok. Por lo tanto no administra la droga. investigador. Salvar vidas!!!!!!!!!!!!! que la droga fue vendida siendo no Error(TipoI);Prob.=α Verdad: La droga experimental es efectiva. Investigador indicó que la droga experimental no es efectiva cuando en realidad la droga experimental es efectiva. I es grave ya que guardó la droga y evitó salvar vidas humanas.

29 P(error Tipo I)= ( dado que la drogaes efectiva) = α P drogano seautilizada por"no ser efectiva" P(error Tipo II)= P ( droga sea utilizada "por ser efectiva" dado que la droga no es efectiva ) = β

30 Ej. Usted sospecha que un jabón de marca supera el jabón de una tienda, y usted quiere probar los dos jabones ya que preferirá comprar la marca más barata. La sospecha de usted es que el jabón de marca supera el de la tienda, porlotantoseconvierteenlaha.lashipótesisson: H 0 : No hay diferencia en el rendimiento de los jabones. H a : El jabón de marca supera al jabón vendido en la tienda. H 0 : No hay diferencia en el rendimiento de los jabones. (Suponer que el Investigador=consumidor) Completar la tabla siguiente:

31 Decisión Verdadera Falsa No rechazar la H 0 H 0 : No hay diferencia en el rendimiento de los jabones. Correcta(Tipo A); Prob.=1 α Verdad: No hay diferencia entre los jabones Investigador indicó que. En realidad, El consumidor compró el jabón más barato, ahorrando dinero y obteniendo los mismos resultados. Error(Tipo II); Prob.= β Verdad:El jabón de marca es mejor. Investigador indicó que cuando en realidad El consumidor compró el jabón más barato, ahorrando dinero pero obteniendo peores resultados ( barato cuesta caro ) Rechazar la H 0 Error(TipoI);Prob.=α Verdad: No hay diferencia entre los jabones. Investigador indicó cuando en realidad El consumidor compró el jabón de marca, gastando dinero sin obtener mejores resultados. Correcta(Tipo B); Prob.=1 β Verdad:El jabón de marca es mejor. Investigador indicó que cuando en realidad El consumidor compró el jabón de marca, gastando más dinero y obteniendo los mejores resultados.

32 P(error Tipo I)= P P ( no hay diferencia entre los jabones ) = α P(error Tipo II)= ( el jabón de marca es mejor ) = β

33 Valores de α conocidos: 5%=0.05; 1%=0.01; 2.5% =0.025 Niveles de significado Nivel de confiabilidad: 1-α: 95%, 99%, 97.5% La prueba estadística es una variable aleatoria para la toma de decisión de la Ho. Es una fórmula que se representa con las letras: Z * ; t * ; χ *. RR es la región de los valores que toma la estadística de prueba que causan el rechazo de la Ho. Recordar: Es la región sombreada. Enfoque basado en un valor de probabilidad p-value : Es el nivel de significancia más pequeño

34 Supuesto Ho verdadera. Existen tres casos: p=p(z>z * ); p=p(z<z * ); y p=2p(z>abs(z * )). Toma de decisiones: (1)Si el p-value es menor o igual que α, entonces Ho es rechazada significativamente; (2) Si el p-value es mayor que α, entonces Ho no es rechazada o sea No hay suficiente evidencia en el nivel de significancia para rechazar lo indicado en la Ho. Prueba Z para una población varianza poblacional conocida la distribución muestral de medias es normal muestras grandes o sea n 30. Prueba t Student para una población

35 Ej. La media esperada de una población continua es 100 y su D.S. es 12. Una muestra aleatoria de 50 mediciones de la población proporciona una media de 96. Con un nivel de significancia de 0.01, se realiza una prueba para decidir entre los enunciados la media poblacional es 100 vs la media poblacional es diferente de 100. Determine o calcular los siguientes: Ho Ha α y 1 α μ x Error estándar Error estándar de las medias Estadístico de prueba z calculado p value