Capítulo 2 Integral Definida Versión Beta 1.0

Transcripción

1 Cpítulo Itegrl Defiid Versió Bet Sums y otció sigm Notció: L sum de los térmios 1,, 3,, se deot por: i = Dode i se llm ídice de l sum, i es el i ésimo térmio de l sum, demás 1 y so los límites iferior y superior respectivmete. El límite iferior o tiee por qué ser 1, pero mos dee ser costtes co respecto l ídice de l sum. Ejemplos: 6 1. i = = 1.. j = = j= (k + 1) = 1 (1 + 1) + 1 ( + 1) + 1 (3 + 1) ( + 1) k=1 Propieddes de lielidd: 1. ( i ± i ) = i ± i.. k i = k i. k R. Teorem: Fórmuls de sum 1. c = c; c: costte. = (+1) 6. i 3. i = (+1)(+1) 4. i 3 = (+1) 5. i 4 = (+1)( ) 4 30

2 Ejercicios: 4 1. i. i k k=1.. El prolem de hllr el áre jo l curv El tipo de regió más simple co el que os podemos ecotrr es u rectágulo, cuy áre se defie como el producto de su se por su ltur. A prtir de est defiició se puede oteer ls fórmuls pr el áre de regioes más complicds; es sí como el método que se emplerá trt de proximr l regió uscd por u uió de rectágulos de tl form que el áre de l regió se proxime por l sum de ls áres de dichos rectágulos. L form de determir dich proximció se hce medite u método deomido Sums de Riem, pr etederlo ituitivmete vemos el siguiete ejemplo. Ejemplo: Aproximció simple de Riem usdo rectágulos. Se dese determir el áre compredid por dejo de l gráfic de l fució f(x) = x + 1 e el itervlo [1,3]. Usdo 4 rectágulos igulmete espcidos. (Puede ser culquier úmero de rectágulos). Solució: Costruimos 4 rectágulos que rque el áre pedid. (Por l izquierd) Determimos el cho de cd rectágulo (deotdo Δ x ) como: Límite superior Límite iferior Δ x = : úmero de rectágulos. Es decir: Δ x = 3 1 4, luego: Δ x = 1 De est mer: Áre proximd = f(x 1 )Δ x + f(x )Δ x + f(x 3 )Δ x + f(x 4 )Δ x Áre proximd = f(1) 1 + f(1.5) 1 + f() 1 + f(.5) 1 Áre proximd = () 1 + (3.5) 1 + (5) 1 + (7.5) 1 = 8.75 Por tto, el áre proximd es: 8.75u.

3 Ejercicio: Hllr el áre jo l curv f(x) = x 1 e el itervlo [1,6], medite 5 rectágulos igulmete espcidos. ( = 5). Usr el método predido e el ejemplo terior y verificr sus resultdos co ls istruccioes e Geoger ( ) que se d cotiució. No olvide hcer ls represetcioes gráfics. 1. Por l izquierd. Co l istrucció: SumIzquierd[ <Fució>, <Extremo iferior del itervlo>, <Extremo superior del itervlo>, <Número de rectágulos> ] Que pr este cso serí: SumIzquierd[ sqrt(x-1), 1,6,5 ] Otiee el siguiete resultdo: Por l derech. Co l istrucció: SumRectágulos[ <Fució>, <Extremo iferior del itervlo>, <Extremo superior del itervlo>, <Número de rectágulos>, <Posició del rectágulo iicil> ] Que pr este cso serí: SumRectágulos[ sqrt(x-1), 1,6,5,1 ] Otiee el siguiete resultdo: Medite el método de los trpecios. Co l istrucció: SumTrpezoidl[ <Fució>, <Extremo iferior del itervlo>, <Extremo superior del itervlo>, <Número de trpezoides> ] Que pr este cso serí: SumTrpezoidl[ sqrt(x-1),1,6,5] Otiee el siguiete resultdo: 7.6. Ver el video: Aproximcioes de Riem rectgulres y trpezoidles.

4 Sums de Riem Se f defiid e u itervlo cerrdo [, ], dividiedo l regió determid por f e dicho itervlo co rectágulos como lo muestr l figur, se tiee: Ls ses de los rectágulos so de dimesió o ecesrimete igul ( xi ). Ls lturs de cd rectágulo, estrí dds por l respectiv imge que se otiee co el puto deotdo como x i e l fució f, (f(x i)). Dds l se y l ltur, el áre de cd rectágulo (A i ) serí: o Primer rectágulo: A 1 = f(x 1) x1. o Segudo rectágulo: A = f(x ) x. o Tercer rectágulo: A 3 = f(x 3) x3. (i = 1,,3,, ). Así, el áre del -ésimo rectágulo serí: A = f(x ) x. Luego, l sum de ls áres de los "" rectágulos serí: Que de mer revid teemos: S = f(x 1) x1 + f(x ) x + f(x 3) x3 + + f(x ) x S = f(x i) xi. L sum S (que es u úmero rel) se llm u Sum de Riem de f(x) e [, ]. Se usc etoces, determir el áre de l regió compredid jo l curv, por tto se cosider u sum de u ctidd muy, pero muy grde de rectágulos, es decir u sum ifiit. Por tto el áre de l regió estrí dd por: A = lim [ f(x i) xi ].

5 .3. Itegrl Defiid Defiició: Se f(x) u fució defiid e el itervlo [, ]. Al lim [ f(x i) xi ] se deomi l Itegrl Defiid (o Itegrl de Riem) de f(x) de y se deot de l siguiete mer: Es decir: f(x)dx lim [ f(x i) xi ] = f(x)dx El úmero se llm límite iferior y el úmero se llm límite superior. Itegrles defiids especiles: f(x)dx = f(x)dx f(x)dx = 0 Teorem: Si f(x) es cotiu e [, ], etoces f(x) es itegrle e [, ]. L expresió f(x) es itegrle e [, ] sigific que lim f(x i) xi ] existe, es decir es u úmero rel. [ Ejemplo: Hllr el áre jo l curv f(x) = x e [1,3], usdo l defiició de Sums de Riem. Solució: Aplicdo l defiició de Sums de Riem se tiee: A = lim [ f(x i) xi ] = lim [f(x 1) x1 + f(x ) x + f(x 3) x3 + + f(x ) x ]

6 PRIMER MÉTODO: Por l derech. Escogemos x 1 = x 1, x = x, x 3 = x 3,, x i = x i. Costruimos rectágulos que rque el áre pedid. (Por l derech) Determimos el cho de cd rectágulo (deotdo Δ x ) como: Límite superior Límite iferior Δ x = : úmero de rectágulos. Es decir: Δ x = 3 1, luego: Δ x = Ahor, x 0 = = 1 = 1 + 0( x ) = 1 x 1 = x 0 + x = 1 + x = 1 + 1( x ) = ( ) x = x 1 + x = (1 + x ) + x = 1 + ( x ) = 1 + ( ) x 3 = x + x = (1 + x + x ) + x = 1 + 3( x ) = ( ) x i = x i 1 + x = 1 + i( x ) = 1 + i ( ) De est mer: Áre = lim [f(x 1)Δ x + f(x )Δ x + f(x 3 )Δ x + + f(x )Δ x ] = lim f(x i ) Δ x = lim f [1 + i ( )] = lim [1 + i ( )] = lim [1 + 4 i + 4 i ] Sum de áres de cd rectágulo. Empleo de otció. Reemplzmos x i y Δ x. Efectumos l fució. Sle l costte de l sumtori y desrrollmos el iomio.

7 = lim [ 1 = lim [ 1 = lim [ = i + 4 i ] Propiedd de lielidd. + 4 i + 4 i ] + 1) (( ) )( + 1) (( )] 6 Sle l costte de cd sumtori. Uso del teorem: fórmuls de sum. Simplificdo y evludo. (Verifique). Por tto, el áre jo l curv es: 6 3 u. SEGUNDO MÉTODO: Por l izquierd. Escogemos x 1 = x 0, x = x 1, x 3 = x,, x i = x i 1. Al igul que el método terior: Δ x = x i = 1 + i ( ) De est mer: Áre = lim [f(x 1)Δ x + f(x )Δ x + f(x 3 )Δ x + + f(x )Δ x ] 1 = lim f(x i ) i=0 Δ x Sum de áres de cd rectágulo. Empleo de otció.

8 Aproximció usdo l regl de los trpecios Se f cotiu e [,]. L regl de los trpecios pr proximr f(x)dx viee dd por: f(x)dx [f(x 0) + f(x 1 ) + f(x ) + + f(x 1 ) + f(x )] Los coeficietes de l regl de los trpecios sigue l secueci: 1 1. π Ejercicio: Utilizr l regl de los trpecios pr estimr sexdx Cosiderdo = 4.. Cosiderdo = Propieddes de l Itegrl Defiid.4.1. Propieddes de lielidd Supog que f y g so itegrles e el itervlo [, ] y se kεr, etoces: 1. [f(x) ± g(x)]. kf(x)dx = dx = [f(x)]dx + [g(x)]dx k f(x)dx.4.. Propiedd de ditividd Si f es itegrle e u itervlo que cotiee los putos, y c (si importr su orde), etoces: f(x)dx c = f(x)dx + f(x)dx c

9 .5. Primer Teorem Fudmetl del Cálculo Se f u fució cotiu e [, ] y se l fució F defiid por: Fució que depede de x x F(x) = f(t)dt; x [, ] Costte Fució que depede de t Etoces, F es u tiderivd de f e [, ], esto es: d F(x) = f(x). Es decir: dx d dx F(x) = d x dx f(t)dt = f(x) Ejercicios: Determir d F(x) pr cd u de ls fucioes dds: dx x t +e 1. F(x) = t3/ dt x. F(x) = cot t dt π x 3. F(x) = cot t dt π El Teorem se puede geerlizr de l siguiete mer: d dx F(u(x)) = u(x) d dx f(t)dt = f(u(x)) d dx u(x) 4. d dx Lx (cost) dt L(t t) e 5. d dx x sex dt t t 49

10 .5.1. Itercmido los límites de itegrció. (Cosidere u itegrl defiid como especil). 6. d dx x 11 cost dt.5.. Ams froters e fució de x. (Cosidere l propiedd de ditividd). x x 7. F(x) = cost dt t Ejercicio: Clculr. x d dx xtdt 1.6. Segudo Teorem Fudmetl del Cálculo Se f cotiu e el itervlo [, ] y se F culquier tiderivd de f e el itervlo [, ], etoces: f(x)dx = F() F() Ejemplo: Hllr Solució: 5 x 3 dx. x 3 dx 5 = [ x4 4 ] 5 = F() F( 5) = [( ()4 4 = 15,5 + C) (( 5)4 + C)] 4 Determimos l tiderivd de f, F(x): F(x) = = x 3 dx x C

11 Ejercicios: Clculr: 6 1. f(x)dx 1 x ; x 4 dode f(x) = { x 3x 1; x < 4 6. x dx 1 1 dx x +x 3. x dx x lim x 0 x 0 1 t x Teorem: L itegrl defiid como áre de u regió Si f es cotiu y o egtiv e el itervlo [, ], el áre de l regió limitd por l gráfic de f, el eje "x" y ls rects verticles x = y x =, viee dd por: A = f(x)dx Oserve cotiució l represetció gráfic del áre cudo f es o egtiv o egtiv. Geométricmete: Codició Vlor del áre jo l curv Gráfic f(x) 0, x [, ] A = f(x)dx f(x) 0, x [, ] A = f(x)dx

12 .6.1. Itegrles defiids y áre egtiv Ejercicio: Dd l fució f(x) = cosx. Completr l tl siguiete: INTERVALO GRÁFICA VALOR DE LA INTEGRAL VALOR DEL ÁREA [0, π ] [ π, 3π ] [0, 3π ] [0, π]

13 .6.. Propiedd de comprció Si f y g so itegrles e [, ] y si f(x) g(x), x [, ]; etoces: f(x)dx g(x)dx Propiedd de cotmieto Si f es itegrle e [, ] y si m f(x) M, x [, ]; etoces: m( ) f(x)dx M( ).6.4. Propiedd de simetrí 1. Si f es u fució PAR etoces: f(x)dx = f(x)dx 0

14 . Si f es u fució IMPAR etoces: f(x)dx = 0 Ejercicio: Siedo que x dx = 8. Clcule ls siguietes itegrles: x dx. x dx Ejercicio: Clculr 5 x 5 5 dx x Propiedd de periodicidd Si f es periódic co período T, etoces: +T f(x)dx = f(x)dx +T

15 .7. Itegrles impropis E itegrció se pide que l fució se cotiu e el itervlo cosiderdo y que demás éste se fiito. E este tem se pretede estudir u cierto tipo de itegrles e ls cules uo o los dos límites de itegrció so el ifiito o ie, cudo el itegrdo cosider u fució co u úmero fiito de discotiuiddes e el itervlo de itegrció e estudio. A l itegrles de este tipo se les llm itegrles impropis. Cso 1. Se l fució f cotiu e el itervlo [, ). Etoces el áre jo l curv, limitd rri por l gráfic de l curv y hci l derech de x = de mer idefiid, se otiee prtir de l siguiete itegrl: Si el límite existe. A = f(x)dx = lim f(x)dx t L gráfic de est fució se muestr cotiució: t Cso. Se l fució f cotiu e el itervlo (, ]. Etoces, el áre jo l curv, limitd rri por l gráfic de l curv y hci l izquierd de x = de mer idefiid, se otiee prtir de l siguiete itegrl: Si el límite existe. A = f(x)dx = lim f(x)dx t t L gráfic de l fució f se puede represetr como:

16 Cso 3. Se l fució f cotiu e el itervlo [, c) (c, ]. Etoces, el áre jo l curv, limitd por los vlores extremos del itervlo y cosiderdo el puto de discotiuidd e x = c se otiee prtir de ls siguietes itegrles: Es decir: A = f(x)dx Si los límites existe. L represetció gráfic de l fució f es: p c = f(x)dx + f(x)dx A = lim f(x)dx + lim f(x)dx p c q c q c Cso 4. Se l fució f cotiu e el itervlo (, ). Etoces, el áre jo l curv, limitd por l gráfic de l curv y que se re idefiidmete hci l izquierd y derech e el eje de ls sciss, se otiee prtir de ls siguietes itegrles: Es decir: A = f(x)dx c = f(x)dx + f(x)dx c c A = lim f(x)dx + lim f(x)dx p q Si los límites existe. L gráfic de est fució se muestr cotiució: p c q E cd cso, si el límite es fiito, se dice que l itegrl impropi es covergete y que el vlor del límite es el vlor de l itegrl impropi. Si el límite o existe, l itegrl impropi es divergete. Cudo l itegrl origil se divide e dos itegrles, ms dee ser covergetes pr que l itegrl origil se covergete. Si u es divergete o ls dos lo so, l itegrl origil es divergete.

17 Ejercicios: 1. Determir si ls siguietes itegrles impropis coverge o diverge. Asimismo, relizr u gráfic de ms y lizr si existe u relció etre ells. 1 dx (x 1).. 1 x 1 dx. Asigr u áre l regió que qued compredid jo l curv y = ex, sore el eje "x" y l izquierd de x =. 3. Clculr l itegrl impropi dx. x +1 Pr ello, trzr l gráfic de l fució del itegrdo e iterpretr l itegrl como u áre.

18 4. Alizr l covergeci o divergeci de l siguiete itegrl impropi y grficr l fució del itegrdo. 3 dx 1 4x x Ivestigr l covergeci o divergeci de l siguiete itegrl impropi. Grficr l fució y el áre que se otedrí co el cálculo de l itegrl impropi si es que es covergete. 8 dx (4 x) / Determir si l siguiete itegrl impropi coverge o diverge y grficr el áre que de ser covergete determirí co su vlor: 1 dx (1 x) 1/ 3

19 7. Clculr l siguiete itegrl impropi: xe x dx 8. Evlur l itegrl impropi siguiete y sigr si es posile u vlor l áre que l itegrl cosider: dx x(x + 1) 0 9. Evlur l itegrl defiid siguiete, trzr el áre que cosider y resolverl: 1 x 3 dx 1

20 .8. Teorem del vlor medio pr itegrles Si f es cotiu e [, ], etoces existe u úmero c etre y tl que: f(c) = 1 f(x)dx El vlor de l itegrl etre y es igul l áre del rectágulo cuy se es y su ltur es f(c). Esto es: f(x)dx = ( )f(c) Ejercicios: 1. Verifique que el vlor promedio de l fució defiid por f(x) = xsex es: 1 itervlo [0, π]. Oserve l gráfic. π e el. Determie todos los vlores de c que stisfce el teorem del vlor medio pr itegrles, pr f(x) = x e el itervlo [ 3,3]. Hg u represetció gráfic del rectágulo cuy se es y ltur es f(c). 3. Determie todos los vlores de c que stisfce el teorem del vlor medio pr itegrles e el itervlo [0,], pr l fució f(x) = 1 (x+1). Hg u represetció gráfic del rectágulo cuy se es y ltur es f(c).