ESTUDIO DE SISTEMAS { } = . Resuélvelo cuando m = Discute según los valores de m, el sistema. Solución:

Transcripción

1 STUDIO D SISTS. Discute según los vlores de, el siste. Resuélvelo cundo. l siste se define edinte ls trices: tri de coeficientes tri plid l estudio de sistes se puede hcer de dos fors diferentes: - por Roeché-Frobenius - por Guss Rouché: en todo siste con igul núero de ecuciones que de incógnits, si el deterinnte de l tri de coeficientes es distinto de cero, el siste es coptible deterindo l solución se puede obtener por el étodo de Crer. ± I. Sí ±, Siste Coptible Deterindo. II. Sí equivlente. Siste Coptible Indeterindo. Rg Rg < n III. Sí - Rg Rg Rg Rg Siste Incoptible Guss: { } ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) ( I. Sí ± Siste Coptible Deterindo. II. Sí Siste Coptible Indeterindo III. Sí - Siste Incoptible

2 b) Si coo se vio en el prtdo ), pr culquier vlor de ±, el siste es coptible deterindo. Crer: Guss: Se sustitue en l tri tringulrid:. Deterinr, si eiste, el vlor del práetro pr que el siste coptible resolverlo pr dicho vlor de., se Rouché: l siste lo definen: Rg Rg n desrrollndo el deterinnte por el étodo de Srrus: [ ( 9 ) ] ( ) ( ) ( ) I. Sí Siste Coptible Deterindo II. Sí : Rngo de : rg Rngo de : Tondo coo referenci el enor nterior, precen dos enores orldos de orden :

3 es el deterinnte de l tri. Rg Rg Rg < n n rg Siste Coptible Indeterindo con un grdo de indeterinción. I. Sí ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) equivle II. Sí : Siste coptible indeterindo con un grdo de libertd. Pr resolver el siste es necesrio un práetro por lo que se torá un de ls vribles coo constnte. n principio se puede tor culquier constnte, unque en lgunos sistes el tor un u otr coo constnte fcilitrá l resolución del siste. n este cso se to l coo constnte, por lo que se llev l segundo iebro de cd ecución, quedndo el siste de l siguiente for: Resolviendo por el étodo de Crer: hciendo se obtiene l solución indeterind del siste:

4 R L resolución de los deterinntes se h hecho por el étodo de Srrus. Guss: I. Sí Siste Coptible Deterindo : : : ) ( ) ( 9 9 II. Siste Coptible Indeterindo tondo coo constnte: hciendo se obtiene: R

5 . Discutir según el práetro resolver cundo se posible el siste: l siste lo definen ls siguientes trices: n Rg Rg Si el deterinnte de l tri de coeficientes () de un siste con igul núero de ecuciones que de incógnits es distinto de cero, el siste es coptible deterindo. desrrollndo por enores: ) ( ) ( ) ( I. Sí,, Siste Coptible Deterindo. ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( II. Sí siste hoogéneo por tnto coptible. Guss: Sist. cop. indet.. : Pr resolverlo hce flt tor un vrible coo constnte:. hciendo se obtiene l solución: R

6 Rouché: Por ser un siste hoogéneo: Rg Rg n Rg Rg < Siste Coptible Indeterindo con un grdo de indeterinción. l rngo del siste infor que solo h dos ecuciones linelente independientes. Pr sber cules son ls ecuciones linelente independientes bst con fijrse en ls ecuciones que hn proporciondo el coeficiente del enor que h deterindo el rngo de l tri. n este cso que nos ocup el enor se h obtenido prtir de los coeficientes de ls dos priers ecuciones, por tnto el siste equivlente es: ': S tondo coo constnte: Resolviendo por Crer: III. Sí n este cso bst fijrse que l segund tercer ecución son un incongruenci por lo que se trt de un siste incoptible. Guss: > Siste Incoptible. Rouché: Rg Rg Rg Rg Rg Siste Incoptible

7 IV. Sí Coo el prtdo tres, en este cso l prier l segund ecución presentn un incongruenci, por lo que el siste es incoptible. Guss: Siste incoptible. L segund ecución es un incongruenci. Rouché: Rg Rg Rg Rg Rg Siste Incoptible Otr for de estudir resolver los sistes es un étodo conjugdo. edinte un deterinnte se obtienen los vlores pr los que discutir el siste, llevndo cbo l discusión edinte el étodo de Guss, este étodo conjugdo evit l tringulrición de l tri del siste que puede llegr coplicrse con los práetros el estudio de los rngos de ls trices que definen el siste.. Discutir el siste según los vlores de, resolverlo cundo se coptible Por el étodo de Guss: I. Sí Siste Incoptible, l tercer ecución se h trnsfordo en un incongruenci.

8 II. Sí Siste coptible indeterindo. Pr resolver el siste se to un vrible coo constte: ( Hciendo se obtiene l solución: R. Discutir el siste según los vlores de, resolver en los csos de coptibilidd Guss: ) ( ) ( I. Sí L tercer ecución se h convertido en un incongruenci, por lo que es un siste incoptible. II. Sí Siste Coptible Deterindo.

9 Rouché: Siste de tres ecuciones con dos incógnits: Rg Rg Dds ls diensiones de ls trices, sus rngos serán Rg Rg, lo cul perite plnter el estudio del siste del siguiente odo: Si el deterinnte de l tri plid es distinto de cero, el Rg > Rg por lo que el siste será incoptible. l estudio del deterinnte de l tri plid de los vlores pr l discusión del siste: ) ( por Srrus. I. Sí por tnto Rg > Rg. Siste Incoptible. II. Sí Rg Rg que Rg Rg <, teniendo en cuent que pr. Siste Coptible Deterindo. (equivlente) : ' S Solución edinte el étodo de Crer:. Discutir según el práetro resolver cundo se posible, el siste l siste se define por ls trices: L condición necesri suficiente pr que un siste de n ecuciones con n incógnits se coptible deterindo es que el deterinnte de l tri de coeficientes del siste se distint de cero.

10 Discusión I. Sí Siste Coptible Deterindo. Solución por el étodo de Crer: Pr culquier vlor de ecepto pr, l solución es (,, ). II. Sí Sist. cop. Indet. incógnits ecuciones grdo de indeterinción. Tondo coo constnte: hciendo R. Discutir según el práetro resolver cundo se posible, el siste ) ( ) ( ) ( I. Sí. Siste Coptible Deterindo II. Sí Siste Incoptible.

11 III. Si Siste Incoptible.. studir el siste en función del práetro resolverlo cundo teng ás de un solución Siste hoogéneo. Se crcteri por se igules ls trices de coeficientes plid, que l plid se diferenci de l de coeficientes únicente en un colun de ceros, por lo que los sistes hoogéneos siepre son coptibles. Siste Coptibe Indeterindo. ) Siste Coptible Deterindo (Solución trivil : Rg Rg ) ( ) ( I. Sí Siste Coptible Deterindo. Solución trivil. II. Sí ': S nº de incógnits nº de ecuciones l siste tiene un grdo de indeterinción, pr resolverlo h que tor un vrible coo constnte luego trnsforrl en un práetro. Tondo coo constnte l el siste qued resuelto.

12 hciendo se obtiene l solución prétric. R 9. Discutir según los vlores del práetro el siste: ) ( Siste hoogéneo: Rg Rg Siste coptible: Coptible Indeterindo. Coptible Deterindo. Solución trivil. : Si { } Srrus ) (. ) ( : ) ( ) ( I. Sí, Siste Coptible Deterindo. Solución trivil. II. Sí l siste socido l tri es: Siste Coptible Indeterindo nº de incógnits nº de ecuciones el siste tiene un grdo de indeterinción. III. Sí Siste Coptible Indeterindo nº de incógnits nº de ecuciones l siste tiene un grdo de indeterinción.