. Si vamos calculando así las potencias n-ésimas de la unidad imaginaria, descubriremos que son cíclicas y que cada 4 términos se repiten: ( )

Transcripción

1 Los úmeros complejos surje a ra de ecuacoes de la forma x + 0 Exste u certo paralelsmo etre este cuerpo el plao, cocretamete, lo que ha es ua correspodeca buívoca, es decr, ua relacó bectva etre C R R Se defe como udad magara a De esta forma, se puede ver que S vamos calculado así las potecas -ésmas de la udad magara, descubrremos que so cíclcas que cada térmos se repte: 5 Así, s os pde calcular, por ejemplo, 568, lo que haremos será calcular el cocete etre el expoete dado, , para poer la poteca de la sguete forma: ( ) Elemetos de los úmeros complejos 568 b θ Al exstr esa relacó etre el plao los úmeros complejos, podemos represetarlos de forma geométrca, como putos del plao A dchos putos se les llama afjos correspode a putos del plao A la dstaca que ha etre el orge de coordeadas su afjo, se le cooce como módulo El módulo de u úmero complejo es sempre u úmero postvo Al águlo que forma co la horotal, θ, se le llama argumeto Supogamos que teemos u úmero complejo cuo afjo es ( a b) P, Lo que correspode al eje OX, se le deoma parte real del úmero complejo, su correspodete ordeada se le llamará parte magara Así, relacoamos el eje de abcsas co R el eje de ordeadas co R a + b así expresamos el úmero complejo e forma bómca Re a R Parte real de Im ( ) b R Parte magara de ( ) a + b Módulo de, que també se represeta por b θ a P(a,b) a + a b tg esta fórmula por s sola o determa el argumeto θ, sedo precso cosderar també los sgos de a b, o la represetacó gráfca de a + b La codcó ecesara sufcete para que dos úmeros complejos sea guales es que sea guales sus módulos sus argumetos dfera e k π ; k Z

2 Dos úmeros complejos que tee el msmo prmer compoete opuestos los segudos, se llama cojugados Tee gual módulo argumetos opuestos Se represeta: el cojugado de a + b es a b Dos úmeros complejos so opuestos s tee opuestos sus prmeras compoetes, també las segudas Sus módulos so guales sus argumetos dfere e u múltplo mpar de π Se represeta por a b Veamos qué poscó tee respectvamete u úmero complejo, su opuesto su cojugado E el dbujo, se puede observar que tomado +, su cojugado es el opuesto - Veamos que los tres úmeros tee el + msmo módulo: ( ) ( ) + ( ) El cálculo del argumeto, depede de la represetacó: ω arctg 56º º8 576 arctg º de estos dos, debemos quedaros co el prmero pues segú el dbujo, correspode al que está e el cuarto cuadrate Algo parecdo ocurre co el argumeto del opuesto, veamos: 56º8 576 arctg 6º8 576 θ el argumeto peddo es el correspodete al tercer cuadrate A la hora de calcular u argumeto, la calculadora os dará el valor α, compreddo etre θω+π -- π π α, Por tato, debemos teer presete el cuadrate e el que está el afjo del úmero complejo, para tomar así u argumeto u otro E cualquer caso, basta co hacer la sguete cueta α +80º o s está expresado e radaes (segú el modo de la calculadora), α+ π ω ω - Observar que també podríamos sumar k π, k Z Llamamos argumeto prcpal,π 0,60º (que es co el que se suele trabajar) al argumeto compreddo etre [ 0 ] o [ ]

3 Expresoes de los úmeros complejos De mometo, sólo coocemos la forma bómca cómo podemos calcularla a partr de su módulo, argumeto Exste otras formas de otacó para los úmeros complejos, cada ua de ellas se suele utlar e determados casos Es mportate saber cambar de ua forma a otra rápdamete a) Forma trgoométrca Utlado los coocmetos báscos de trgoometría, se deduce que: a cosθ b seθ Susttuedo e la forma bómca: a + b cosθ + seθ, dode: a +b módulo de ( ) b θ arctg argumeto prcpal de a b) Forma polar ó módulo-argumeto (está e desuso) Es u caso partcular del ateror, úcamete faclta la otacó a + b c) Forma expoecal Al gual que las otras expresoes, també usa el módulo el argumeto (prcpal) del úmero complejo a + b θ e θ Operacoes co los úmeros complejos Ahora, pasamos a ver cómo podemos trabajar co los úmeros complejos Prmero defremos cómo se reala las operacoes báscas, hacedo especal hcapé e la expresó más recomedable para su cálculo Partremos e cada caso, co dos úmeros complejos θ a α a + b e P(a,b) c + d e ) Suma Resta Se recomeda la forma bómca β ( a + b) ± ( c + d ) ( a ± c) + ( b d ) ± ± b (Smlar a la suma vectoral) ) Producto Se recomeda la forma expoecal

4 ) v) e ( α + β ) tee de argumeto ω α + β Co la forma bómca, bastaría co multplcar dos bomos (aplcado la propedad dstrbutva); llegado a: ( a c b d ) + ( a d + b c) Dvsó Se recomeda la forma expoecal de argumeto e ω α β ( α β ) E la forma bómca, habría que multplcar dvdr por el cojugado del deomador así se calcularía el cocete, puesto que se aplca u resultado que dce R Potecas Se recomeda la forma expoecal (Caso partcular de u producto): e α k k k E la forma bómca sería: ( a + b ) a ( b)! k k!( k )! u úmero combatoro cos θ + se θ 0, dode cosθ + seθ FÓRMULA DE MOIVRE: ( ) ( ) ( ) v) Raíces Se recomeda la forma expoecal Lo más teresate de las raíces e los úmeros complejos, es que tee tatas solucoes como dca el ídce de la raí v) α k e, sedo α k α k π +, co k 0,,, K, Otra propedad mportate de las raíces, es que los afjos de las solucoes, os da los vértces de u polígoo regular de lados Logartmos Se recomeda la forma expoecal o trgoométrca El logartmo eperao de u úmero complejo tee ftas solucoes, correspodetes al logartmo eperao del módulo más el argumeto, expresado e radaes, aumetado e u múltplo de π ( ) l ( ) + ( α + k π) l, co k Z k

5 v) Poteca compleja Para realar esta operacó, vamos a segur uos pasos co operacoes de las aterores, por tato, e geeral, se recomedará la forma expoecal Sea dos úmeros complejos, Se quere calcular el valor de, ( ) que es lo msmo que l e l ( ) l ( ) + ( α + k π) l ( ) Z ( l ( ) + ( α + k π) ) ( c l ( ) d ( α + k π) ) + ( c ( α + k π) + d ( )) l Por últmo habría que calcular la expoecal del ateror resultado

6 + ) Hallar el módulo el argumeto de ( ) 8 ) Hallar el valor de ( ) ( ) ) Calcular 8 8 E +, sedo N, u úmero atural ) Poer e forma bómca e 5) Sea r, r, r, r r 5 las raíces qutas de Estudar qué valores toma la expresó r + r + r + r r, cuado recbe los valores aturales,,,,5, K E + 5 6) Hallar m de modo que ( ) m 7) Sabedo que cos( t) e sea u úmero real egatvo + Hallar el valor de +, lo más smplfcado posble 8) Demostrar que todo úmero magaro I, cuo módulo es gual a la udad, se puede poer bajo la forma + a I a a Aplcacó al caso e que es I e 9) Hallar 6 0 0) Escrbr e forma bómca, e la que a es u úmero real Calcular el valor de π ) Racoalar la expresó E + + ) Trasformar la expresó, e otra de la forma e E R a + b hallar su valor para a + R e b R, b + π ( ) R π R e a e π b a b ) Calcular la expresó sguete E R e + + R e e ) Resolver la ecuacó 6 0 5) Resolver la ecuacó ) Resolver la ecuacó + + 7) Hallar las raíces de la ecuacó ( + ) 0 b e π 8) Hallar los úmeros complejos cuo cubo sea gual al cuadrado de su cojugado Hallar la ecuacó cuas raíces sea las solucoes del problema 9) Hallar el úmero complejo tal que su quta poteca, 5, sea gual a su cojugado, 0) Resolver la ecuacó ) Resolver la ecuacó 6 + x x ) Resolver la ecuacó ( ) ( ) 0 ) Hallar el lugar geométrco del afjo, sabedo que los afjos de los úmeros complejos ; ; + está aleados

7 ) Hallar el lugar geométrco descrto por el puto M, afjo de, sabedo que π arg ) Hallar el lugar geométrco descrto por el afjo M de sabedo que k, sedo k, u úmero real + 5 6) Hallar el lugar geométrco del afjo M de sabedo que 7) Hallar la relacó que exste etre los úmeros complejos u, sabedo que los tres úmeros 8) S u a + u, + u b + u u c so reales + u + cosα + seα, co < α < π + + so las raíces de la ecuacó ( ) pde: demostrar que los úmeros complejos tee el msmo argumeto 9) Dados los úmeros + 0 Se, determar tres úmeros complejos, tales que los afjos de,,, forme u cuadrado de cetro el afjo de + + 0) Dados los úmeros complejos Hallar otros dos úmeros complejos, tales que los afjos de,, forme u trágulo equlátero de cetro el afjo de ) Hallar ua ecuacó de sexto grado de coefcetes reales cuas raíces represetadas e el plao complejo sea los vértces de u hexágoo regular de lado l, uo de cuos vértces cocda co el orge Se pde todas las solucoes ) Calcular log( ) log ) Calcular el valor real de ( ) + ) Calcular el módulo de ( ) 5) Hallar el valor de + 6) Calcular el valor prcpal del complejo A B ( ) x arg + + e 7) Resolver la ecuacó + dode: A ( ) + + log 8) Hallar el argumeto de u complejo de la forma ( ) 9π ; B cosx, sedo