LUGARES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS
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- Bernardo López Domínguez
- hace 6 años
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1 REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 LUGARES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS Nombe: Cuso: Fec: Se llm lug geomético l conjunto de todos los puntos que cumplen un detemind popiedd geométic. EJEMPLO Cuál es el lug geomético de los puntos del plno cuy distnci l punto O es. Los puntos que cumplen est condición son los puntos de l cicunfeenci. O ACTIVIDADES 1 Indic cuál es el lug geomético de los puntos: ) Cuy distnci un punto O es meno que l distnci. b) Que distn lo mismo del cento de dos cicunfeencis distints. L meditiz de un segmento es l ect pependicul l segmento que ps po su punto medio. P tz l meditiz de un segmento: P 1. Tzmos dos cos de igul dio que se cotn y con cento en los extemos del segmento. A B. L ect que ps po los puntos de cote es l meditiz L bisectiz de un ángulo es l ect que ps po el vétice y divide el ángulo en dos ángulos igules. P tz l bisectiz de un ángulo: 1. Con cento en O y culquie betu tzmos un co.. Tzmos dos cos que se coten con cento en A y B. 3. L ect que ps po O y P es l bisectiz. O A P B Q Dibuj l meditiz de un segmento de 4 cm. 3 Dibuj l bisectiz de un ángulo de 90º.
2 REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 LUGARES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS Nombe: Cuso: Fec: ÁNGULOS Dos ángulos son opuestos po el vétice cundo tienen en común el vétice y sus ldos están sobe l mism ect. Si tenemos dos ects plels y un ect que ls cot, se fomn un seie de ángulos que cumplen ls siguientes popieddes s O H U D U G U C U E U C U B U H U A U G U F U D U 4 Dibuj dos ángulos opuestos po el vétices de 90. Cuánto miden los otos dos ángulos opuestos po el vétice que esultn en el dibujo? 5 Nomb los ángulos que se fomn en el siguiente dibujo y estblece ls igulddes coespondientes ente ellos:? 100??? 130 Ángulos de un polígono: cd dos ldos consecutivos de un polígono definen un ángulo, que llmmos ángulo inteio. Culquie polígono de n ldos se puede dividi en n - tiángulos. Po tnto, l sum de los ángulos inteioes de un polígono de n ldos es igul 180? (n - ). 6 Dibuj un pentágono egul y uno iegul. Divide cd uno de ellos en tiángulos e indic l sum de los ángulos inteioes de esos pentágonos que s dibujdo.
3 REPASO Y APOYO CONOCER Y APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS OBJETIVO Nombe: Cuso: Fec: TEOREMA DE PITÁGORAS En un tiángulo ectángulo, el ldo de myo longitud, opuesto l ángulo ecto, se llm ipotenus, y los otos dos ldos se denominn ctetos. b c Hipotenus " Ctetos --" b, c El teoem de Pitágos expes que, en un tiángulo ectángulo, el cuddo de l ipotenus es igul l sum de los cuddos de los ctetos: = b + c ACTIVIDADES 1 Clcul el vlo de l ipotenus de un tiángulo ectángulo de ctetos 3 cm y 4 cm. b = 4 cm = b + c = + c = 3 cm Hll l longitud de l ipotenus de un tiángulo ectángulo, sbiendo que sus ctetos se difeencin en cm y el meno mide 6 cm. Cteto = + Cteto 3 Clcul el áe de un tiángulo equiláteo de ldo 6 cm. P clcul el áe tenemos que conoce l bse, que en este cso mide 6 cm, y l ltu,, que llmos con el teoem de Pitágos. 6 cm 6 cm 3 cm 3 cm 6 cm Estudimos este tiángulo, que es ectángulo: 6 cm 3 cm Aplicmos el teoem de Pitágos y despejmos l ltu, : 6 = 3 + " = bse? ltu Clculmos el áe plicndo l fómul genel: Áe = =
4 REPASO Y APOYO OBJETIVO CONOCER Y APLICAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS Nombe: Cuso: Fec: 4 En un tiángulo isósceles, los ldos igules miden 7 cm y el oto ldo mide 4 cm. Clcul su áe. Tommos el ldo desigul como bse, b = 4 cm, y clculmos l ltu,, utilizndo el teoem de Pitágos. 7 cm 7 cm bse = 4 cm Considendo est pte del tiángulo, plicmos el teoem de Pitágos y despejmos. 7 cm cm 7 = + = bse? ltu Clculmos el áe plicndo l fómul genel: Áe = Áe = 5 L ipotenus de un tiángulo ectángulo mide 1 cm y uno de los ctetos mide 7,5 cm. Clcul l longitud del oto cteto. 6 El áe de un tiángulo ectángulo es 1 cm y uno de los ctetos mide 6 cm. Hll l longitud de l ipotenus. 7 Un escle de 5 metos de lgo está poyd en un ped, estndo situd l bse 4 metos de l mism. A qué ltu lleg l escle? x 5 m 4 m
5 REPASO Y APOYO CALCULAR ÁREAS DE POLÍGONOS Y FIGURAS CIRCULARES OBJETIVO 3 Nombe: Cuso: Fec: ÁREA DE POLÍGONOS Áe del tiángulo Áe del cuddo Áe del ectángulo l b l b bse? ltu b? A = = A = l? l A = b? Áe del plelogmo Áe del tpecio Áe del ombo b b B D d B b A = b? A = e + o? A = D? d ACTIVIDADES 1 Clcul el áe de los siguientes polígonos. ) Tpecio de bses 1 cm y 8 cm y ltu 5 cm. b) Rombo de digonles 1 cm y 9 cm. c) Rombo de digonl myo 8 cm y ldo 5 cm. ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR Un polígono es egul cundo sus ldos tienen l mism longitud y sus ángulos son igules. El áe de un polígono egul es igul l mitd del poducto del peímeto po l potem: P? A = ÁREA DE UN POLÍGONO CUALQUIERA Si no conocemos un fómul p clcul el áe de un polígono, su áe se puede ll descomponiéndolo en tiángulos o figus de áes conocids, clculndo el áe de cd un de ess figus y sumndo ls áes esultntes.
6 REPASO Y APOYO CALCULAR ÁREAS DE POLÍGONOS Y FIGURAS CIRCULARES OBJETIVO 3 Nombe: Cuso: Fec: EJEMPLO Clcul el áe del siguiente pentágono egul. l l Ldo: l Peímeto: P = l + l + l + l + l = 5 l l l Apotem: l bse? ltu? Vemos que son cinco tiángulos igules: Áe = = l A 1 A A 3 A 4 A 5 l Áe del pentágono = A 1 + A + A 3 + A 4 + A 5 Áe del pentágono = l? l? l? l? l? = l? = P? Clcul el áe de ls siguientes figus. ) 5 cm b) cm G F G G,5 cm 6 cm cm F G F G F F G 4,5 cm F G F 4,5 cm 5 cm 3 cm G F G 9 cm 14 cm G FG F F G F 1 cm ) A 1 A 3 A Lo pimeo que tenemos que ce es dividi l supeficie en polígonos de los que sepmos clcul su áe. b) A A 1 A 4 Clculmos el áe totl: A 1 = A 1 = A = 4 " A = A = A 3 = A 4 = 4 " A =
7 REPASO Y APOYO OBJETIVO 3 8 CALCULAR ÁREAS DE POLÍGONOS Y FIGURAS CIRCULARES Nombe: Cuso: Fec: ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES Áe del cículo Áe del secto cicul A = p? p?? A = 360 Áe de l coon cicul R A = p? (R - ) 3 Obtén el áe de un cículo cuyo diámeto mide igul que el peímeto de un cuddo de ldo 7 cm. 4 Detemin el áe de un secto cicul de mplitud un ángulo ecto y cuyo dio es 10 cm. 5 Hll el áe de un coon cicul limitd po dos cicunfeencis de dios cm y 1 cm.
8 REPASO Y APOYO CALCULAR ÁREAS DE POLÍGONOS Y FIGURAS CIRCULARES OBJETIVO 3 Nombe: Cuso: Fec: 6 Clcul el áe de ls siguientes figus cicules. ) C) 1 cm cm cm b) d) 5 cm 60 6 cm 3 cm 7 Clcul el áe de ls siguientes figus. ) 5 cm 1,5 cm 40 cm cm 8,5 cm b) 90 4 cm 1 cm 4 cm
9 PROFUNDIZACIÓN ACTIVIDADES 1 Clcul l ltu de un tiángulo de ldos 5 cm, 8 cm y 10 cm. Clcul l ltu de un tiángulo cuyos ldos miden: ) AB = 4 cm BC = 7 cm CA = 9 cm b) AB = 6 cm BC = 10 cm CA = 14 cm c) AB = 5 cm BC = 11 cm CA = 15 cm 3 Hll el vlo de x en cd cso. ) b) 10 cm x 15 cm x 1 cm 10 cm
10 PROFUNDIZACIÓN 4 Los ldos de un pcel con fom tingul miden 150 m, 13 m y 00 m, espectivmente. ) Cuál es l distnci de cd vétice de l pcel l ldo opuesto? b) Qué supeficie tiene l pcel? c) Qué peímeto tendí l pcel si fue de fom cudd y ocup l mism supeficie? & 5 Qué es myo, el áe del tiángulo ectángulo ABC o l sum de ls áes de L1 y L? C L 1 L (Ls cicunfeencis que ves tienen como diámeto cd uno de los ldos del tiángulo.) A B 6 Obsev l figu y comp ls áes de l zon yd y de l zon blnc.
11 SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN 1 Clcul l ltu de un tiángulo de ldos 5 cm, 8 cm y 10 cm. 5 cm 8 cm A x C H 10 - x 10 cm L ltu divide l bse en dos ptes: AH, cuy longitud se llm x. HB, cuy longitud seá 10 - x. & En AHC: 5 = x + " = 5 - x & En HBC: 8 = (100 - x ) + " = 8 - (10 - x) = 5 - x = 8 - (10 - x) " 5 - x = 8 - (10 - X) 5 - x = 64 - (100 + x - 0x) 0x = 61 " x = 3,05 cm = 5 - x " = 5-3, 05 = 3,96 cm Clcul l ltu de un tiángulo cuyos ldos miden: ) AB = 4 cm BC = 7 cm CA = 9 cm b) AB = 6 cm BC = 10 cm CA = 14 cm c) AB = 5 cm BC = 11 cm CA = 15 cm ) = 4 - x = 7 - (9 - x) " 4 - x = 7 - (9 - x) 16 - x = 49 - (81 + x - 18x) = 18x " x =,67 cm = 16-7,13 " =,98 cm b) = 6 - x = 10 - (14 - x) " 6 - x = 10 - (14 - x) 36 - x = (196 + x - 8x) = 8x " x = 4,71 cm = 36 -,18 " = 3,7 cm c) = 5 - x = 11 - (15 - x) " 5 - x = 11 - (15 - x) 5 - x = 11 - (5 + x - 30x) = 30x " x = 4,3 cm B 3 Hll el vlo de x en cd cso. ) 10 cm x 1 cm ) Se clcul el oto cteto: b) c = 1-10 = 341= 1847, cm Se plnte el sistem: = 10 - x " = _ 341i - (1 - x) " 10 - x = 18,47 - (1 x) x = (441 + x - 4x) = 4x " x = 4,76 cm b) Se clcul l ipotenus: c = = 35 = 18, 03 cm Se plnte el sistem: = 15 - x = 10 - (18,03 - x) " " 15 - x = 10 - (18,03 - x) 5 - x = (35 + x - 36,06x) = 36,06x " x = 1,3 cm 4 Los ldos de un pcel con fom tingul miden 150 m, 13 m y 00 m, espectivmente. ) Cuál es l distnci de cd vétice de l pcel l ldo opuesto? b) Qué supeficie tiene l pcel? c) Qué peímeto tendí l pcel si fue de fom cudd y ocup l mism supeficie? ) Tomndo como bse del tiángulo el ldo que mide 00 m, l distnci del vétice este ldo se clcul esolviendo el sistem: + x = 150 " + (00 - x) = = x + (00 - x) = x + (00 - x) = cm x 10 cm x x - 400x = x = 11,565 = ,565 " = 99,14 m 308 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3. ESO Mteil fotocopible Sntilln Educción, S. L.
12 SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN P obtene ls ots dos ltus, que son ls ots dos distncis pedids, utilizmos el áe. b? 00? 9914, b) A= = = 9914 cm Ls ots ltus: b? 150? A= = = 9914 cm " = 13,19 cm b? 13? 3 A= = = 9914 cm " 3 = 150,1 cm c) l = " l = 99,57 cm Peímeto: 4? 99,57 = 398,8 cm Po el teoem de Pitágos: p p p_ + i p A1+ A= + = = = A Obsevndo el dibujo, puedes ve que A 3 es igul l áe del tiángulo más los dos tozos en blnco. Como el áe que le flt l tiángulo p se igul que el semicículo myo es l que le flt L 1 y L, ls áes de L 1 y L seán igules que l del tiángulo. 6 Obsev l figu y comp ls áes de l zon yd y de l zon blnc. & 5 Qué es myo, el áe del tiángulo ectángulo ABC o l sum de ls áes de L 1 y L? A A 1 A C L 1 L (Ls cicunfeencis que ves tienen como diámeto cd uno de los ldos del tiángulo.) Si A 1 y A fuesen ls áes de los semicículos completos coespondientes L 1 y L, y considemos un tece semicículo sobe el ldo estnte, ls áes de los tes semicículos seín:? 1 p p? p? 3 A1= A= A3 = B Si es el dio del cuto de cículo myo, / es el dio de los dos semicículos menoes y sus áes son: p? d n p? p? A1= A= A3= = 4 8 p? A+ A3= = A1 4 Como el áe del cuto de cículo es l mism que l sum de ls áes de los semicículos, su intesección, que es l zon yd, es igul que l zon blnc, que es exteio los semicículos. A 3 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3. ESO Mteil fotocopible Sntilln Educción, S. L. 309
LUGARES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS
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E F G I J H M K M L N N Q P R S Ejecicio 1. Medi con un egl estos segmentos y not, encim de cd uno de ellos, el esultdo en milímetos. T Ejecicio 2. on l yud del compás, tz: +, pti del punto M, -, pti del
. B. con regla y compás. 1.- Trazar, por el punto A, la recta perpendicular. 2.- Trazar, por el punto A, la recta perpendicular
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FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
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Siempre verifica que a 2 = b 2 + c 2 (Th. Pitágoras)
Págin 1 FIGURAS EN EL PLANO POLÍGONOS FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 1.- Polígono de 3 ldos: Tiángulo. B Los ángulos inteioes de culquie tiángulo sumn siempe 180º. El áe de culquie tiángulo se puede
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