Este conjunto posee elementos que se obtienen a partir de raíces cuadradas con cantidad subradical negativa.

Transcripción

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2 DEFINICIÓN:Los Números Imaginarios surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas sin solución en el campo real. Este conjunto se representa por I Este conjunto posee elementos que se obtienen a partir de raíces cuadradas con cantidad subradical negativa

3 Definición: Entenderemos como Unidad Imaginaria a: i= -1 La que se conoce como Raíz Imaginaria. Nota: i 2 =-1

4 NÚMEROS IMAGINARIOS Luego: i

5 E inventaron un número cuyo cuadrado es -1 después del año 1777, Euler lo denominó con la letra i. 2 i =-1

6 POTENCIAS DE I: 1. Divida el exponente por 4 y el resultado será elevado al resto de la división. 2. luego para simplificar use; 3. Sí i= -1 0 i =1 1 i =i 2 i = i =i i=-1i=-i i =i i = -1-1 =1 i n =i 4m+p =i p Este último resultado hace que las potencias de i solo tengan como resultados a: i, -i, 1 y -1

7 Raíces pares de Números Negativos Calcule las siguientes raíces: 1) i 2) i 3) i 4) i

8 NÚMEROS COMPLEJOS Hallar los números reales que verifican que la suma entre el quíntuplo de su cuadrado y 20, es igual a cero. En símbolos: 5x

9 NÚMEROS COMPLEJOS Al resolver la ecuación obtenida, nos damos cuenta que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en los reales, por lo tanto esta ecuación no tiene solución en este conjunto, es decir que no existe ningún número real que resuelva este problema. 5x (Sin solución real)

10 NÚMEROS COMPLEJOS Para que la ecuación anterior tenga solución, los matemáticos buscaron una ampliación del conjunto de los Números Reales (IR). A este Conjunto se definió como los Números Complejos: a bi / a, bi I;

11 copywriter Sus características son: i) Los números reales y los imaginarios están incluidos en el conjunto ampliado. ii) Las propiedades del conjunto real se siguen cumpliendo en el conjunto ampliado.

12 NÚMEROS COMPLEJOS Se llama número complejo a un número z que puede escribirse de la forma z=a+bi a y b son números reales Al número a se le llama parte real (a=re[z]) Al número b se le llama parte imaginaria (b=im[z]) a+bi (a,b)

13 IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS: Dos Números complejos son iguales si y sólo si, tienen igual parte real e igual parte imaginaria si Entonces: z =z 1 2 Re z =Re z Im z =Im z Ó sí a + bi = c + di entonces a = c y b = d.

14 Ejemplos de Números Complejos: 1) 53i 4) 5i 2) 7 4i 5) 7 3) 1 6i

15 5) i

16 Ejemplo: Determine el valor de a y de b si a 6 2bi 65i Si a 6 6 y 2b5 a 0 b 5 2

17 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 1. Suma: a bi c di a c b di Ejem plo 1: 5 i 6 2i i 11i

18 2.Resta: a bi c di a bi c di a c b di Obs:La resta se cambia a la suma del opuesto del sustraendo. Ejemplo 1: 3 2i 6 3i 3 2i 6 3i 95i

19 Ejemplo 2 : i 5 5 2i 8 3 2i 5 5 2i 38 2 i

20 3.Multiplicación: a bi c di ac bd ad bci Nota: La multiplicación se puede llevar a cabo como si fuera una multiplicación de polinomios. a bic di ac ad i bc i bd i 2 ac ad bci bd 1 ac bd ad bci

21 Ejemplo 1: 4 2i3 5i 12 20i 6i 10i i 6i i i

22 Ejemplo 2: 4 5 i 2 4 5i4 5i 16 20i 20i 25i 16 40i i 9 40i 25 2

23 Ejemplo 3: 2 3 i i 2 3i 4 12i 9i 2 2 3i 4 12i i 4 12i 92 3i 5 12i2 3i 10 15i 24i 36i 10 15i 24i i 2

24 Conjugado de un Complejo: Definición : El conjugado de z=a+bi se define por Z=a+bi=a-bi. Ejemplos: Encuentra el conjugado de cada número: i i 2 4i 2 4i 3. 64i 64i i i

25 a bi a bi c d i 4.División:. c di c d i c d i La División se hace multiplicando por el conjugado del denominador. (similar a la racionalización) 8 7i Ejemplo 1: 1 3 i (8 7 i) (1 3 i) (1 3 i) (1 3 i) 8 24i 7i 2 19i 21i 2

26 8 17i i i i

27 4 5i Ejemplo 2 : (4 5 i) 3i 3 i 3i 3i 12i 9i 15i 2 12i

28 12i i i i

29 Ejercicios: Resuelve la operación indicada. 1) 5 i 7 2i 2) 3 12i 6 3i 3) 12 23i 16 13i 4) 13 32i 36 53i 5) 3 2i 6 3i

30 6) 5 i 7 2i 7) 3 12i 6 3i 8) 9) 1 2i 63i 3 2i 63i

31 1) 5 i 7 2i 12 i 2) 3 12i 6 3i i i 315i 3) 12 23i 16 13i i i 28 36i

32 4) 13 32i 36 53i 49 21i 5) 3 2i 6 3i 18 9i 12i 6i 18 21i i 6) 5 i 7 2i 35 10i 7i 2i i i 2

33 7) 3 12i 6 3i 18 9i 72i 36i 18 63i i 2 8) 1 2i 63i 1 2i 6 3i 6 3i 6 3i 6 3i 12i 6i i 6 9i i 43i

34 9) 3 2i 63i = 3 2i 6 3i = 6 3 i 6 3 i 18 9i 12i 6i = 18 3i = 24 3i 8 i = 45 15

35 REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Para representar un número complejo, de la forma a+bi se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares, en el cual la parte real se representa en el eje horizontal y la imaginaria en el eje vertical. Obs: a+bi (a,b)

36 Ejemplos:

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38 Módulo de un Complejo: Es la distancia entre el origen y el punto que representa al número complejo. El módulo de un número complejo está definido como: 2 2 a+bi = a +b a+bi Ejemplo: -4+2i 2 2 (-4) +2 = 20 =2 5

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40 copywriter FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO Cuando hablamos de la forma polar de un número complejo, nos referimos a un segmento de recta que está ubicado en un plano rectangular. Este segmento de recta tiene dos características importantes, tiene un ángulo medido desde el eje horizontal positivo hasta el segmento de recta y además, el segmento de recta tiene una longitud, tal y como se muestra en la siguiente figura: 40

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44 Y de acuerdo a la Figura 2, podemos establecer una conversión polar a rectangular usando las funciones trigonométricas 44

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53 TEOREMA DE DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO 53

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