CIRCUNFERENCIA. x 2 + y 2 + mx + p = 0 Circunferencia centrada en el eje OY. C(0,b)

Transcripción

1 CIRCUNFERENCIA Definición. Lugar gemétric de ls punts del plan que equidistan de un punt fij denminad centr. Circunferencia de centr el punt (a, b) y de radi R. (x a)² + (y b)² =R² Desarrlland y rdenand se llega a la ecuación general de la circunferencia: x² + y² + mx + ny + p = 0 Identificand ambas ecuacines se btiene: m a = m = a n n = b b = p = a + b R R = a + b p Cnclusines: a) Ls ceficientes de x² e y² sn iguales en valr y sign. b) N hay términ en xy. c) Para que exista circunferencia: m² + n² 4p > 0(Radi psitiv) Elements de una circunferencia. Centr: Crdenadas del punt del plan del que equidistan tds ls punts de la circunferencia. C(a, b) Radi: Distancia del centr a cualquier punt de la circunferencia. Caracterización de alguns tips de circunferencia. i. Circunferencia centrada en el eje OX. Centr C(a, 0) ii. x + y + mx + p = 0 Circunferencia centrada en el eje OY. C(0,b) iii. x + y + ny + p = 0 Circunferencia centrada en el rigen de rdenadas. C(0,0) x + y + p = 0

2 Frmas de determinar una circunferencia. (1) Cncid el centr y el radi Slución Pr la definición: desarrlland y rdenand se llega a la ecuación general de la circunferencia. x + y + mx + nx + p = 0 () Circunferencia cncéntrica a tra cncida que pasa pr un punt determinad y cncid. Dats: - Punt de la circunferencia buscada P(x, y ) - Ecuación de la circunferencia C Incógnitas: - Centr y radi de R, C (a, b ) Slución Pr ser cncéntricas, el centr de C, cincide cn el ce C m n a' = b' = El radi de btiene cm la distancia de centr C al punt P Cncids el centr y el radi se aplica la definición ( C' P) = ( x a' ) + ( y b' ) ( x a' ) + ( y b' ) R C ' = (3) Cncids tres punts de la circunferencia Slución El prblema se puede reslver pr ds métds: i. Métd analític Se busca una ecuación de la frma x² + y² + mx + ny + p = 0 cn tres parámetrs m, n y p que se verifique para tres punts A(a 1, a ), B(b 1, b ), C(c 1, c ). Se puede plantear un sistema de 3 ecuacines lineales cn tres incógnitas, m, n, p. A( a1, a ): a1 + a + m a 1 + n a + p = 0 B( b1, b ): b1 + b + m b1 + n b + p = 0 C( c, c ): c + c + m c + n c + p = Reslviend el sistema se encuentra ls valres de ls parámetrs, y cn ests la ecuación de la circunferencia. El centr y el radi se calculan a partir de ls parámetrs de la ecuación de la circunferencia m a = n b = 1 R = m + n 4p

3 Para reslver el sistema se recmienda el métd de reducción. Restand una de las ecuacines a las tras ds, se btiene un sistema de. ii. Métd gemétric Sí A, B y C pertenecen a una circunferencia, ls tres punts deben de equidistar del centr de la circunferencia que ls cntiene. El centr de la circunferencia se halla pr la intersección de las mediatrices de ds de ls tres segments que frman ls tres punts, pr ejempl AB y BC. Mediatriz AB: Si P(x, y) es un punt de la mediatriz, debe de cumplir: d(p A)=d(P B) ( x a ) 1 + y a = x b1 + y b ( x a ) + ( y a ) = ( x b ) + ( y ) 1 1 b desarrlland ls cuadrads y rdenand se llega a la ecuación de la mediatriz AB, que tma la frma A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 Repitiend el mism raznamient entre B y C, se btiene la mediatriz BC A x + B y + C = 0 La slución de sistema plantead cn las ecuacines de las ds mediatices es el centr de la circunferencia A1 x + B1 y + C1 = 0 C : C( a, b) A x + B y + C = 0 El radi se calcula cm la distancia del centr a cualquiera de ls punts. (C A) = a a1 + b a Cncids el centr y el radi se aplica la definición de circunferencia para btener su ecuación. (4) Cncids el centr y una recta tangente. Dats; Centr C(a, b) y una recta tangente Ax + By + C = 0 El radi se calcula cm la distancia de un punt a una recta.

4 ( C r ) A a + B b + C tg = A + B Cncid el radi, se aplica la definición de circunferencia (5) Cncids ds punts de la circunferencia y una recta que cntenga al centr. Dats; ls punts A y B y la ecuación de la recta r El centr se calcula cm intersección de la mediatriz del segment AB cn la recta r Mediatriz AB: Si P(x, y) es un punt de la mediatriz, debe de cumplir: d(p A)=d(P B) ( x a ) 1 + y a = x b1 + y b ( x a ) + ( y a ) = ( x b ) + ( y ) 1 1 b desarrlland ls cuadrads y rdenand se llega a la ecuación de la mediatriz AB, que tma la frma A x + B y + C = 0 A' x + B' y + C' = 0 x = a C : Ax + By + C = 0 y = b El radi se calcula cm la distancia del centr a cualquiera de ls punts. ( C A) = ( a a ) + ( b ) Cncid el radi, se aplica la definición de circunferencia C a, b : x a + y b 1 a (6) Cncida una recta tangente, el punt de tangencia cn la circunferencia y un punt de la circunferencia. Dats; Ecuación de una tangente r T, El punt de tangencia cn la circunferencia A y tr punt de la circunferencia B. = R El centr se halla pr intersección de la recta r N, perpendicular a r T pr el punt A, cn la mediatriz del segment AB. Cncid el centr, el radi se halla cm distancia del centr a un de ls punts, pr ejempl el B. Para calcular r N, se parte del haz perpendicular a r T r T : Bx Ay + λ = 0 el parámetr se calcula cn el punt A r N Ba 1 Aa + λ = 0 λ = Aa Ba 1 = C r N Bx Ay + C = 0

5 Mediatriz AB: Si P(x, y) es un punt de la mediatriz, debe de cumplir: d(p A)=d(P B) ( x a ) 1 + y a = x b1 + y b ( x a ) + ( y a ) = ( x b ) + ( y ) 1 1 b desarrlland ls cuadrads y rdenand se llega a la ecuación de la mediatriz AB, que tma la frma A x + B y + C = 0 Cn la nrmal de pr A y cn la mediatriz BC se plantea un sistema, cuya slución es el centr cncid el centr B x A y + C' = 0 x = a C : A' x + B' y + C' = 0 y = b ( C B) = ( a b ) + ( b ) 1 b Cncid el centr y el radi, se aplica la definición de circunferencia (7) Cncid el radi, un punt de la circunferencia y una recta que cntenga el centr Dats: El radi de la circunferencia R, una recta que cntenga al centr Ax+By+C = 0 y un punt de la circunferencia P. El prblema puede presentar tres cass distints: i) Sí la distancia del punt a la circunferencia es mayr que el radi, el prblema n tiene slución ii) Sí la distancia del punt a la circunferencia es igual al radi, el prblema tiene iii) slución única Sí la distancia del punt a la circunferencia es menr que el radi, el prblema tiene dble slución. Para reslver el prblema se supne que el centr de la circunferencia es el punt C de crdenadas (a, b), las cuales deben de cumplir ds cndicines: a) el punt debe de pertenecer a la recta que cntiene al centr Ax+By+C = 0, pr l que deberá cumplir su ecuación A a + B b + C = 0 b) La distancia del punt P al centr debe ser el radi. ( P C) = ( x a) + ( y b) Planteand un sistema de ds ecuacines cn ds incógnitas se resuelve el valr del centr. A a + B b + C = 0 C : ( x a) + ( y b) = R El sistema se resuelve llegand a una ecuación de º grad, que en función del valr del discriminante, puede tener tres tips de slucines que crrespnden a ls tres cas planteads al inici del prblema. Cncid el centr, se aplica la definición de circunferencia C a, ( b) : x a + ( y b ) = R

6 Psicines relativas de rectas y circunferencias. Tips de rectas respect de una circunferencia: i) Exterir. N tienen punts cmunes. ii) Tangente: Tienen un punt en cmún. iii) Secante: Ds punts en cmún. Nrmal: Recta que pasa pr el centr de la circunferencia. Dada la circunferencia C: x² + y² + mx + ny + c = 0 y la recta r: Ax + By + C = O, estas pueden ser: a) Secantes: El sistema frmad pr las ecuacines de la recta y la circunferencia tiene ds slucines. b) Tangente: El sistema frmad pr las ds ecuacines tiene una slución única. c) Exterir: El sistema n tiene slución. Para cncer la psición relativa de una circunferencia y una recta cncidas sus ecuacines se plantea el sistema: C : x + y + mx + ny + p = 0 r : Ax + By + C = 0 despejand una de las variables de la ecuación de la recta, sustituyéndla en la ecuación de la circunferencia y perand y rdenand, aparece una ecuación de º grad b ± b 4ac ax + bx + c = 0 : x = a en función del valr que tme el discriminante, aparecen las distintas psicines relativas Sí b 4ac > 0 : Ds slucines distintas. Recta secante a la circunferencia Sí Sí b b 4ac = 0 : 4ac > 0 : Ds slucines iguales. Recta tangente a la circunferencia Slucines imaginarias. Recta exterir a la circunferencia Ptencia de un punt respect de una circunferencia. Es el prduct de las lngitudes de ls segments que una secante cualquiera determina en al circunferencia. La ptencia del punt P(x 1, y 1 ) respect de la circunferencia x² + y² + mx + ny + c = 0 K(P, C) = x 1 ² + y 1 ² + mx 1 + ny 1 + c Si la Ptencia > 0 El punt es exterir a la circunferencia. Sí la Ptencia = 0 " " esta sbre la circunferencia. Si la Ptencia < 0 " " es interir a la circunferencia. Tips de punts respect de una circunferencia: - Interires K<0 - Exterires K>0 - Pertenecientes a la circunferencia K = 0 Eje Radical. Lugar gemétric de ls punts del plan que tienen igual ptencia respect de ds circunferencias. d(p C 1 )=d(p C )

7 C1 : x + y + A x + B y + C = 0 C1 : x + y + A' x + B' y + C' = 0 El eje radical de C 1 y C se btiene restand las ecuacines de las ds circunferencias A A' x + B B' y + C C' = 0 Centr radical de tres circunferencias. Es el punt del plan que tiene igual ptencia respect de tres circunferencias. En él, se crtan ls tres ejes radicales de las circunferencias. Se calcula reslviend el sistema frmad pr ds de ls tres ejes radicales de las tres circunferencias Psición relativa de ds circunferencias Dadas las circunferencias C x + y + mx + ny + p = 0 y C x + y + m x + n y + p = 0 sus psicines relativas pueden ser: Para cncer la psición relativa de las ds circunferencias hay que estudiar el sistema que frman una de las ecuacines de una de las circunferencias cn el eje radical de ambas circunferencias. Tangente a una circunferencia. Se pueden plantear varis tips de prblemas: i) Tangente en un punt de la circunferencia. ii) Tangente desde un punt exterir a la circunferencia. iii) Tangente paralela a una recta cncida. iv) Tangente perpendicular a una recta cncida.