Apuntes. 2º Bachillerato Determinantes X.B. APUNTS DETERMINANTS. Definiciones Propiedades Ejercicios Resueltos. Prof. Ximo Beneyto

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1 Apuntes Apuntes 2º Bachillerato Determinantes Definiciones Propiedades Ejercicios Resueltos Prof. Ximo Beneyto Tema : Determinantes 2º Bach. Página 1

2 XB Apunts DETERMINANTES Vamos a dar a este cuaderno un enfoque eminentemente práctico, sin entrar en demasiadas consideraciones teóricas acerca de la construcción del concepto de determinante. Asociado a cada matriz cuadrada, cuyos elementos son números reales, tenemos un número real, que llamaremos DETERMINANTE de la matriz. Para representar el determinante de una matriz cuadrada A, emplearemos uno de estos dos símbolos: det(a) ó *A* Orden de un determinante es el número de filas o columnas de la matriz A. En adelante escribiremos línea de un determinante para referirnos a sus filas o a sus columnas. CALCULO PRÁCTICO DE DETERMINANTES Vamos a establecer mecanismos de cálculo del determinante de una matriz cuadrada, según sea el orden del mismo, comencemos por los determinantes de orden 2: Orden 2 ** Regla de cálculo: Con la definición anterior, se demuestran las siguientes propiedades de los determinantes de orden 2: PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El valor de un determinante, no varía al cambiar filas por columnas. Demostración: Tema : Determinantes 2º Bach. Página 2

3 XB Apunts [Es decir, una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante] 2. Si una matriz tiene una línea de ceros, el valor de su determinante es cero. Demostración:. Análogamente, demostraríamos los demás casos. 3. Si a una línea de una matriz le sumamos otra u otras líneas multiplicadas por un número, el valor de su determinante no varía. Demostración: ( A la segunda fila le hemos SUMADO la primera multiplicada por 2 ) 4. Si cambiamos entre sí dos líneas en una matriz, su determinante cambia de signo. Demostración: ( Hemos cambiado entre sí, primera y segunda fila de la matriz ) 5. El determinante de una matriz es nulo ] una línea es combinación lineal de las demás. Tema : Determinantes 2º Bach. Página 3

4 XB Apunts ( La segunda fila es el doble de la primera) 6. Si se multiplica una línea de una matriz por un número, el valor de su determinante queda multiplicado por dicho número. ( Recuerda que, en las matrices, al multiplicar una matriz por un número, se multiplicaban todos los elementos de la matriz por dicho número, en un determinante únicamente se multiplica una fila o una columna. ). Demostración: 7. El determinante de un producto de matrices cuadradas de orden 2 es igual al producto de sus determinantes. ( Interesante propiedad, ya que al ser el determinante un número, nos permite operar con todas las propiedades de los números reales ). det (A A B) = det(a) A det(b) 8. Un determinante se descompone en suma de dos determinantes, a partir de la suma de los elementos de una línea del mismo. La demostración es muy sencilla, basta con desarrollar los tres determinantes anteriores. Orden 3 ** Regla de cálculo: = aaeai + dahac + gabaf - (caeag + fahaa + iabad) = 1A1A3 + 3A1A(-1) + 0A2A2 - ((-1)A1A0 + 2A1A1 + 3A2A3) = Tema : Determinantes 2º Bach. Página 4

5 XB Apunts El cálculo de un determinante de orden 3 mediante la definición resulta un tanto complicado para iniciarse en su cálculo, así pues, daremos unas reglas de cálculo cuya operatividad es más sencilla. Las propiedades de los determinantes de orden 3 son las mismas que las que hemos establecido para los determinantes de orden 2, adaptadas al nuevo orden del determinante. Recordemos brevemente estas propiedades cuya demostración sería análoga a la propuesta para las correspondientes propiedades de determinantes de orden El valor numérico de un determinante, no varía al cambiar filas por columnas. [Es decir, una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante] 2. Si una matriz cuadrada tiene una línea de ceros, el valor de su determinante es cero. 3. Si a una línea de una matriz cuadrada le sumamos otra u otras líneas multiplicadas por un número, el valor de su determinante no varía. ( A la segunda fila le hemos SUMADO la primera ) 4. Si cambiamos entre sí dos líneas en una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. ( Hemos cambiado entre sí, segunda y tercera fila ) 5. El determinante de una matriz cuadrada es nulo ] una línea es combinación lineal de las demás. Tema : Determinantes 2º Bach. Página 5

6 XB Apunts ( La tercera fila es la SUMA de las dos primeras) 6. Si se multiplica una línea de una matriz cuadrada por un número, el valor de su determinante queda multiplicado por dicho número. 7. El determinante de un producto de matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de sus determinantes. det (A A B) = det(a) A det(b) 8. Daremos esta propiedad en forma de ejemplo: Es decir, un determinante se descompone en suma de dos, a partir de la suma de los elementos de una línea de dicho determinante. Veamos a continuación algunas reglas prácticas para el cálculo de determinantes de matrices de orden 3 y superior a 3. ** Regla de Sarrus (1) ( Solo se puede aplicar en determinantes de orden 3 ). Añadir a la derecha del determinante sus dos primeras columnas y multiplicar los elementos que ocupan las diagonales de tres elementos de izquierda a derecha y sumar. Multiplicar ahora los elementos que ocupan las diagonales de tres elementos de derecha a izquierda y sumar. Restar, en el orden dado, las sumas obtenidas. = (1A1A3 + 2A2A0 + (-1)A3A1) - (2A3A3 + 1A2A1 + (-1 A1A0 )) = -20 Orden 3 ** Regla de Sarrus (2) ( Solo en determinantes de orden 3 ). Multiplicar entre sí los elementos que ocupan el lugar de las figuritas iguales y sumar. Tema : Determinantes 2º Bach. Página 6

7 XB Apunts = [ 1A1A3 + 3A1A(-1) + 0A2A2 ] - [ (-1)A1A0 + 2A1A1 + 3A2A3 ] = -20 Orden 3 ** ADJUNTOS ( Sirve en Determinantes de cualquier orden ) Nota : Denominamos Adjunto de un elemento cualquiera a ij de una matriz cuadrada, y notamos A ij, al determinante que resulta de suprimir la fila "i" y la columna "j" correspondientes a dicho elemento, multiplicado por (-1) i+j Ejemplo : Sea el determinante: El adjunto del término a 11 será A 11 = adj(1) = 9. El valor de un determinante de cualquier orden se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de una línea por su respectivo adjunto y sumando los resultados obtenidos. Para calcular un DETERMINANTE por adjuntos : i) Seleccionar una fila/columna del determinante ii) Multiplicar cada elemento de la misma por su adjunto iii) Sumar los resultados obtenidos. = 1A(1) - 3A(7) + 0A(5) = -20 [Hemos desarrollado por la primera columna.] Orden 3 ** ADJUNTOS ( Haciendo ceros previamente; Se puede utilizar en Determinantes de cualquier orden ) También le conocemos como método del PIVOTE o de GAUSS. Consiste en hacer ceros los elementos de una fila o columna, a excepción de uno de ellos (PIVOTE), aplicando las propiedades de los determinantes que hemos mencionado al principio del tema. Camino: < Fijar la primera fila ( se puede fijar la fila/columna del determinante que se desee, no obstante, ya que pretendemos organizar el proceso lo mejor posible, hagámoslo en principio un poco rígido, y con la práctica adquirida hagamos variaciones que nos simplifiquen el cálculo ) Tema : Determinantes 2º Bach. Página 7

8 XB Apunts < Pivotando sobre el primer elemento de la primera fila ( PIVOTE, debe ser distinto de cero ), hacer ceros todos los elementos situados por debajo del mismo. ( Multiplicar el pivote por el número conveniente y SUMAR, arrastrar toda la operación sobre la fila). < Fijar la segunda fila < Pivotar sobre el segundo elemento de la segunda fila, hacer ceros todos los elementos situados por debajo del mismo. < Así sucesivamente, hasta conseguir un determinante de un orden sencillo de desarrollar ( Orden 1, 2 ó 3 ) < Si alguno de los PIVOTES es CERO, permutar la posición de dos filas para que sea distinto de cero, teniendo en cuenta la modificación del signo del determinante. = = = 1A(-5)A4 = -20 Una vez aprendido el método, conviene seleccionar como PIVOTE el 1, esté donde esté, y hacer ceros el resto de la fila o columna. Orden n ** ADJUNTOS i) Seleccionar una fila/columna del determinante ii) Multiplicar cada elemento de la misma por su adjunto iii) Sumar los resultados obtenidos. Tema : Determinantes 2º Bach. Página 8

9 XB Apunts Orden n ** ADJUNTOS ( Previas transformaciones elementales ): Tal como se explicó en el caso de orden 3, pero ya generalizado a cualquier orden. 10. Si se multiplica cada uno de los elementos de una línea por los adjuntos respectivos de una línea paralela, el valor obtenido es cero. Bien, hasta aquí las técnicas más habituales para obtener el valor de un DETERMINANTE. En la sección de problemas resueltos se dan ejemplos de estos métodos. Hay situaciones en las que un determinante se puede resolver por un método abreviado, sin más que tener en cuenta ciertas situaciones peculiares, vamos a estudiar alguna de ellas como complemento del tema: DETERMINANTE DE VANDERMONDE Lo estudiaremos para el caso n = 3, ya que su generalización con el método sugerido es realmente sencillo. Un determinante de Vandermonde de orden 3, es un determinante con la siguiente estructura: Desarrollo... Tema : Determinantes 2º Bach. Página 9

10 XB Apunts Así pues, el valor del determinante de Vandermonde de orden tres es: = (b - a)(c - a)(c - b). DETERMINANTES DE MATRICES TRIANGULARES Una matriz cuadrada es del tipo TRIANGULAR, cuando todos los elementos situados por encima/debajo de la diagonal principal son nulos. El valor del determinante de una matriz triangular inferior/superior, es el producto de los elementos de la diagonal principal. Basta con efectuar el desarrollo por los adjuntos de la primera columna/fila y reiterar el procedimiento hasta llegar al elemento a nn. Sobre un determinante de Orden 4, sería: (Obviando los adjuntos multiplicados por cero) Tema : Determinantes 2º Bach. Página 10

11 XB Apunts DETERMINANTES DE MATRICES DIAGONALES Una matriz cuadrada A, es una matriz diagonal, cuando todos sus elementos son ceros excepto, tal vez, los situados en la diagonal principal. ( Recordemos que la diagonal principal está formada por los elementos de la forma a ii i=1,..,n ). El valor del determinante de una matriz diagonal, es el producto de los elementos situados en la diagonal principal. Como en el estudio anterior, basta con efectuar el desarrollo por los adjuntos de la primera fila/columna y reiterar el desarrollo hasta llegar al elemento a nn. Sobre un determinante de Orden 5, sería: DETERMINANTE DE UNA BASE [ El concepto BASE corresponde al tema de Espacio Vectorial. Ver cuaderno 1 ] Sea (E(K),+,A), un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K. Un Sistema de vectores del Espacio E, { e 1, e 2,..., e n } es una base de (E(K),+,A), si el determinante cuyas filas/columnas son los vectores fila/columna e 1,e 2,...,e n, es distinto de cero, donde e 1, e 2,..., e n, representan las componentes de estos vectores en una base cualquiera del espacio considerado. Tema : Determinantes 2º Bach. Página 11

12 { e 1, e 2,..., e n } es una base ] det ( e 1, e 2,..., e n ) 0 Ejemplo: Comprobar que el Sistema de vectores {(1, 2, 1), (2, 0, 3), (1, 1, 1)} es una Base del Espacio Vectorial ( ú 3 (ú), +, A ). = ( ) = 1 0 Tenemos que B = { (1, 2, 1), (2, 0, 3), (1, 1, 1) } es una Base de (ú 3 (ú), +, A). T Observa lo práctica que nos puede resultar esta propiedad para comprobar, de forma rápida, si un conjunto de n vectores forman una base de un Espacio Vectorial de dimensión "n". Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 12 E

13 Apunts XB EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Hallar el valor de los siguientes DETERMINANTES : T T [ Aplicando la Regla de Sarrus ]= [ ]-[ ]= = 4 T [ Aplicaremos el método del PIVOTE ] [Desarrollando por adjuntos de la 1ª Columna:] [ Desarrollando por adjuntos de la 1ª Columna ] Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 13 E

14 Apunts XB T = [Vamos a "enrollarnos" un poco con este determinante, se le llama CIRCULANTE de orden 5 ] lo mismo! ] [ A cada elemento de la 1ª fila le sumamos los elementos de su columna Cómo todos suman [ Desarrollando por los adjuntos de la 1ª fila ] [ Repetimos el procedimiento de restar a cada columna, la anterior ] Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 14 E

15 Apunts XB 2.- Si obtener el valor de los determinantes que se indican, utilizando las propiedades conocidas, a) b) c) a) b) Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 15 E

16 Apunts XB c) 3. Calcular Vamos a proceder con cautela antes de buscar una expresión general para D n. Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 16 E

17 Apunts XB Y ya estamos en condiciones de afrontar D n operando como hemos sugerido anteriormente. Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 17 E

18 Apunts XB Sumando a cada fila la anterior multiplicada por (-1) ( Excepto la primera fila, Claro!). Desarrollando por los elementos de la última columna = (-1) n+1 A x A (-1) n-1 A x n-1 + y A D n-1 = (-1) 2n A x n + y A D n-1 = x n + y A D n-1 Escribamos pues D n y su relación con D n-1 para diferentes valores de D n. Observamos que no es suficiente con sumar ambos miembros de la igualdad, vamos a multiplicar: y A D n-1, y 2 A D n-2,..., y n-4 A D 4, y n-3 A D 3, y n-2 A D 2, y n-1 A D 1 para poder simplificar las expresiones a ambos lados de la igualdad. Tema : Exercicis resolts de Determinants Pàgina 18 E

19 Así pues : Y, recordando una fórmula similar: Tema : Test de comprensió de Determinants Pàgina 19

20 Apunts de Ximo Beneyto TEST DE COMPRENSION NOTA: El TEST debe responderse con unos conocimientos básicos del tema MATRICES. 1.- Sea det(a), tal que det(a) = 1, siendo A una matriz cuadrada de orden 3. A) det ( A + A ) = 2 B) det ( 3 A A ) = 27 C) det ( 3 A A ) = Sea det(a) un determinante cuyas columnas son los vectores y sea det(b) otro determinante cuyas columnas son los vectores A) det (A) = det ( B) pues las columnas de B son combinación lineal de las columnas de A B) det (A) = -2 det (B) C) det (A) = det (B) 3.- Sea A una matriz cuadrada ORTOGONAL ( A 2 = I ) A) det (A) = 0 B) det (A) = I C) El det (A) puede valer 1 ó Si A es una matriz de orden n cuyo determinante vale 2 A) det (2 A A ) = n 2 A det (A) B) det (2 A A ) = 2 n A det (A) C) A no tiene inversa 5.- Dadas las matrices A, B / una matriz Q regular / B = Q -1 A A A Q A) det (B) = det (A) A det (Q) 2 B) det (B) = det (A) C) det (A) = det (Q) 6.- Sean A, B, C tres matrices del mismo orden X = A A B A C A) det (X) = det (B) A det (A) A det (C) B) det (X) no se puede calcular pues no sabemos si alguno de los otros determinantes dan cero. C) seguro que det (X) = Si dos matrices A y B del mismo orden cumplen que det (A) = det (B) A) A = B necesariamente B) A y B son regulares C) A y B pueden ser semejantes SOLUCION 1.b 2.c 3.c 4.b 5.b 6.a 7.c Tema : Problemes Propostos de Determinants Pàgina 20