Tema 2 Representación de la información

Transcripción

1 Grupo ARCOS Universidad Carlos III de Madrid Tema 2 Representación de la información Estructura de Computadores Grado en Ingeniería Informática

2 A recordar 1. Estudiar la teoría asociada: } Repasar lo visto en clase. } Estudiar el material asociado a la bibliografía: las transparencias solo no son suficiente. 2. Ejercitar las competencias: } Realizar las prácticas progresivamente. } Realizar todos los ejercicios posibles. 2

3 Contenidos 1. Introducción 1. Motivación y objetivos 2. Sistemas posicionales 2. Representaciones 1. Alfanuméricas: letras y cadenas 2. Numéricas: naturales y enteras 3. Numéricas: coma fija 4. Numéricas: coma flotante: estándar IEEE 754 3

4 Contenidos 1. Introducción 1. Motivación y objetivos 2. Sistemas posicionales 2. Representaciones 1. Alfanuméricas: letras y cadenas 2. Numéricas: naturales y enteras 3. Numéricas: coma fija 4. Numéricas: coma flotante: estándar IEEE 754 4

5 Introducción: computador } Un computador es una máquina destinada a procesar datos. datos instrucciones Computador resultados } Se aplican unas instrucciones y se obtiene unos resultados 5

6 Introducción: computador } Un computador es una máquina destinada a procesar datos. datos instrucciones Computador resultados } Se aplican unas instrucciones y se obtiene unos resultados } Los datos/información pueden ser de distintos tipo 6

7 Introducción: computador } Un computador es una máquina destinada a procesar datos. datos instrucciones Computador resultados } Se aplican unas instrucciones y se obtiene unos resultados } Los datos/información pueden ser de distintos tipo } Un computador solo usa una representación: binario. 7

8 Introducción: representación de la información } El uso de una representación permite transformar los distintos tipos de información en binario (y viceversa) 8

9 Necesitaremos } Conocer posibles representaciones: 9

10 Introducción: características de la información } Un ordenador maneja un conjunto finito de valores } Tipo binario (dos estados) } Finito (representación acotada) } Nº de bits de palabra del computador } Con n bits tengo 2 n valores distintos } Hay algunos tipos de información que son infinitos } Imposible representar todos los valores de los números naturales, reales, etc. } La representación elegida tiene limitaciones

11 Ejemplo 1: la calculadora de Google con 15 dígitos 11

12 Ejemplo 2: la profundidad de color 1 bit 2 colores 4 bits 16 colores 8 bits 256 colores 12

13 Ejemplo 2: la profundidad de color 1 bit 2 colores 4 bits 16 colores 8 bits 256 colores 13

14 Ejemplo 2: la profundidad de color bit 2 colores 4 bits 16 colores 8 bits 256 colores

15 Necesitaremos } Conocer posibles representaciones: } Conocer las características de las mismas: } Limitaciones 15

16 Necesitaremos } Conocer posibles representaciones: } Conocer las características de las mismas: } Limitaciones } Conocer cómo operar con la representación: 16

17 Contenidos 1. Introducción 1. Motivación y objetivos 2. Sistemas posicionales 2. Representaciones 1. Alfanuméricas 2. Numéricas: naturales y enteras 3. Numéricas: coma fija 4. Numéricas: coma flotante: estándar IEEE

18 Sistemas de representación posicionales } Un número se define por una cadena de dígitos, estando afectado cada uno de ellos por un factor de escala que depende de la posición que ocupa en la cadena. } Dada una base de numeración b, un número X se define como la cadena de dígitos: X = ( x 2 x 1 x 0, x -1 x -2 ) b Con 0 x i < b con una lista de pesos asociados: P = ( b 2 b 1 b 0 b -1 b -2 ) b 18

19 Sistemas de representación posicionales } Un número se define por una cadena de dígitos, estando afectado cada uno de ellos por un factor de escala que depende de la posición que ocupa en la cadena. } Dada una base de numeración b, un número X se define como la cadena de dígitos: X = ( x 2 x 1 x 0, x -1 x -2 ) b Con 0 x i < b con una lista de pesos asociados: P = ( b 2 b 1 b 0 b -1 b -2 ) b } Su valor es: V(X) = + å i b x i = b x 2 + b x 1 + b x 0 + b x -1 + b x -2 i=- 19

20 Sistemas de representación posicionales } Decimal X = } Binario X = } Hexadecimal X = 1 F A

21 Sistemas de representación posicionales } Decimal X = } Binario X = } Hexadecimal X = 1 F A Truco (de binario a hexadecimal): } Agrupar de 4 en 4 bits, de derecha a izquierda } Cada 4 bits es el valor del dígito hexadecimal } Ej.: x A 5 21

22 Sistemas de representación posicionales } Decimal } Binario X = X = ? } Hexadecimal X = 1 F A

23 Ejemplos 1 minutos máx. } Representar 342 en binario: ????????? 23

24 Ejemplos 1 minutos máx. } Representar 342 en binario: = = =6 6-4=2 2-2=0 24

25 Ejemplo: cuántos pueden representarse } Con 3 dígitos binarios, representación de 8 símbolos: 0 1 a b c d 0 5 e f g h 25

26 Sistemas de representación posicionales } Cuántos valores se pueden representar con n bits? 2 n } Cuántos bits se necesitan para representar m valores? } Con n bits, si el valor mínimo representable corresponde al número 0, Cuál es el máximo valor numérico representable? 26

27 Sistemas de representación posicionales } Cuántos valores se pueden representar con n bits? } 2 n } Ej.: con 4 bits se pueden representar 16 valores } Cuántos bits se necesitan para representar m valores? } Log 2 (n) por exceso } Ej.: para representar 35 valores se necesitan 6 bits } Con n bits, si el valor mínimo representable corresponde al número 0, Cuál es el máximo valor numérico representable? } 2 n -1 27

28 Ejemplos 10 segundos máx. } Calcular el valor de (23 unos):

29 Ejemplos 10 segundos máx. } Calcular el valor de (23 unos): X = Truco: = X = = 2 23 X =

30 Ejemplos: operaciones } Sumar en binario:

31 Ejemplos: operaciones } Sumar en binario: } Restar en binario:

32 Ejercicio 2 minutos máx. 32

33 Ejercicio (solución) 2 minutos máx. } Llenar la jarra de 5 litros } Vaciarla en la de 3 (quedan 2 en la de 5) } Tirar lo que hay en la de 3 } Pasar los 2 de la de 5 a la de 3 } Llenar de nuevo la de 5 } Rellenar a tope la de 3, lo que queda en la de 5 es 4 litros 33

34 Ejercicio 2 minutos máx. } Sobre los números 112 y -71 en base decimal realizar la suma en complemento a la base (base 10) 34

35 Ejercicio (solución) 2 minutos máx. } El complemento a la base de -71 es: } La suma es:

36 Curiosidad } Añadir 45 minutos al minutero lo deja en la misma posición que restarle 15 minutos (complemento con base 60) 36

37 Contenidos 1. Introducción 1. Motivación y objetivos 2. Sistemas posicionales 2. Representaciones 1. Alfanuméricas: letras y cadenas 2. Numéricas: naturales y enteras 3. Numéricas: coma fija 4. Numéricas: coma flotante: estándar IEEE

38 Representación alfanumérica } Cada carácter se codifica con un octeto. } Para n bits Þ 2 n caracteres representables: # bits # caracteres Incluye Ejemplo letras: a...z 10 números: Puntuación:., ; :... Especiales: + - [... añade mayúsculas y caracteres de control añade letras acentuadas, ñ, caracteres semigráficos Añade distintos idiomas (chino, árabe,...) BCDIC ASCII EBCDIC ASCII extendido UNICODE 38

39 Ejemplo: tabla ASCII (7 bits) 39

40 Ejemplo: tabla ASCII (7 bits) caracteres de control 40

41 Ejemplo: tabla ASCII (7 bits) distancia mayúsculas-minúsculas 41

42 Ejemplo: tabla ASCII (7 bits) conversión un número a carácter 42

43 Curiosidad: Visualización gráfica con caracteres 43

44 Tiras de caracteres 1. Cadenas de longitud fija: h o l a Cadenas de longitud variable con separador: h o l a \ Cadenas de longitud variable con longitud en cabecera: 4 h o l a

45 Contenidos 1. Introducción 1. Objetivo 2. Motivación 3. Sistemas posicionales 2. Representaciones 1. Alfanuméricas: letras y cadenas 2. Numéricas: naturales y enteras 3. Numéricas: coma fija 4. Numéricas: coma flotante: estándar IEEE

46 Representación numérica } Clasificación de números reales: } Naturales: 0, 1, 2, 3,... } Enteros:... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Racionales: fracciones (5/2 = 2,5) } Irracionales: 2 1/2, p, e,... } Conjuntos infinitos y espacio de representación finito: } Imposible representar todos L } Características de la representación usada: } Elemento representado: Natural, entero, } Rango de representación: Intervalo entre el menor y mayor n o representable } Resolución de representación: Diferencia entre un nº representable y el siguiente. Representa el máximo error cometido. Puede ser cte. o variable. 46

47 Sistemas de representación binarios más usados A. Coma fija sin signo o binario puro naturales B. Signo magnitud C. Complemento a uno (Ca 1) D. Complemento a dos (Ca 2) enteros E. Exceso 2 n-1-1 F. Coma flotante: Estándar IEEE 754 racionales 47

48 Coma fija sin signo o binario puro [naturales] } Sistema posicional con base 2 y sin parte fraccionaria. n-1 n bits 0 n - 1 i V(X) = å 2 i= 0 x i Rango de representación: [0, 2 n -1] Resolución: 1 unidad 48

49 Ejemplo comparativo (3 bits) Decimal Binario Puro Signo magnitud Complemento a uno Complemento a dos Exceso N.D. N.D. N.D. N.D N.D. N.D. N.D. N.D N.D. N.D. N.D. N.D N.D. N.D. N.D N.D N.D. N.D. -1 N.D N.D N.D N.D. N.D. N.D. 100 N.D. -5 N.D. N.D. N.D. N.D. N.D. -6 N.D. N.D. N.D. N.D. N.D. -7 N.D. N.D. N.D. N.D. N.D. 49

50 Coma fija con signo o signo magnitud [enteros] } Se reserva un bit (S) para el signo (0 Þ +; 1 Þ -) n-1 n-2 S Magnitud (n-1 bits) 0 Si x n-1 = 0 Si x n-1 = 1 n - 2 i V(X) = å 2 i= 0 n - 2 i = -å 2 i= 0 x V(X) x i i Þ n - 2 i V(X) = (1-2 x n 1) å - 2 i= 0 x i Rango de representación: [-2 n-1 +1, 2 n-1-1] Resolución: 1 unidad Ambigüedad del 0 50

52 Complemento a uno (a la base menos uno) [enteros] (1/3) } Número positivo: se representa en binario puro con n-1 bits n-1 n Magnitud (n-1 bits) n -1 n -2 i i V(X) = å 2 x i = å 2 i= 0 i= 0 x i Rango de representación (+): [0, 2 n-1-1] Resolución: 1 unidad 52

53 Complemento a uno (a la base menos uno) [enteros] (2/3) } Número negativo: se complementa a la base menos uno C a 1 de la Magnitud (n-1 bits) n-1 n V(X) - n = å i= n i y i + 1 Rango de representación (-): [-2 n-1 +1, -0] Resolución: 1 unidad 53

54 Complemento a uno (a la base menos uno) [enteros] (3/3) Truco: C a 1 (X) = X C a 1 (-X) = cambiar los 1 por 0 y los 0 por 1 } Ejemplo: Para n=4 Þ el = } Ejemplo: Para n=4 Þ el = } - Þ 1 (bit signo y también parte de magnitud) } C a 1(3) Þ = = 12 Þ Rango de representación: [-2 n-1 +1,2 n-1-1] Resolución: 1 unidad El 0 tiene doble representación (+0 y -0) Rango simétrico 54

56 Complemento a dos (complemento a la base) [enteros] (1/3) } Número positivo: se representa en binario puro con n-1 bits n-1 n Magnitud (n-1 bits) n -1 n -2 i i V(X) = å 2 x i = å 2 i= 0 i= 0 x i Rango de representación (+): [0, 2 n-1-1] Resolución: 1 unidad 56

57 Complemento a dos (complemento a la base) [enteros] (2/3) } Número negativo: se complementa a la base n-1 n C a 2 de la Magnitud (n-1 bits) n - 1 n i V(X) = å 2 i= 0 y i Rango de representación (-): [-2 n-1, -1] Resolución: 1 unidad 57

58 Complemento a dos (complemento a la base) [enteros] (3/3) Truco: C a 2 (X) = X C a 2 (-X) = C a 1 (X) + 1 } Ejemplo: Para n=4 Þ + 3 = } Ejemplo: Para n=4 Þ -3 = } 1 Þ - (bit signo y también parte de magnitud) } C a 2 (3) = C a 2( ) = = 13 Þ Rango de representación: [-2 n-1, 2 n-1-1] Resolución: 1 unidad El 0 tiene una única representación (No $ -0) Rango asimétrico 58

60 Exceso 2 n-1-1 [enteros] } Con n bits, se suma 2 n-1-1 al valor. n-1 n bits 0 V(X) = n-1 å i= 0 2 i x i - (2 n-1-1) Rango de representación: [-2 n-1 +1, 2 n -1 ] Resolución: 1 unidad No existe ambigüedad con el 0 60

62 Ejemplos 4 minutos máx. Indique la representación de los siguientes números, razonando brevemente su respuesta: en complemento a uno con 6 bits en complemento a dos con 6 bits en signo magnitud con 5 bits en complemento a dos con 5 bits 62

63 Ejemplos (solución) 4 minutos máx. 1. Con 6 bits no es representable en C1: [ ,,-0,+0, ] 2. C > Signo=1, magnitud=1010 -> Positivo -> C1=C2=SM ->

64 Fallos típicos 1) Negativo en complemento a dos } No comprobar el rango (si es representable) 2) Negativo en signo magnitud } Tratarlo como complemento a uno } Olvidarse del signo 3) Positivo en complemento a dos } Tratarlo como negativo (complementarlo a 1 + 1) 64

65 Comparación de aritmética en BP, C1 y C2 Binario puro Complemento a 1 Complemento a 2 Suma igual que B.P. igual que B.P. Resta sumar y si hay Cn-1 entonces sumar Cn-1 al total sumar y si hay Cn-1 entonces descartarlo En hardware, es más fácil operar con complemento 65

66 Comparación de aritmética en BP, C1 y C2 Suma Binario puro Complemento a 1 Complemento a 2 -X se representa como 2 n X 1 -Y se representa como 2 n Y 1 -(X + Y) se representa como 2 n (X+Y) (X + Y) igual operando que B.P. resulta 2 n + 2 n igual (X que + Y) B.P Resta sumar y si hay Cn-1 entonces sumar Cn-1 al total sumar y si hay Cn-1 entonces descartarlo En hardware, es más fácil operar con complemento 66

67 Comparación de aritmética en BP, C1 y C2 Binario puro Complemento a 1 Complemento a 2 Detectar desbordamiento El resultado necesita 1 bit más Hay Cn Suma de 2 + es, Suma de 2 es + Cn <> Cn-1 Suma de 2 + es, Suma de 2 es + Cn <> Cn-1 Extensión de signo

69 Recordatorio: necesitaremos } Conocer posibles representaciones: } Conocer las características de las mismas: } Limitaciones } Conocer cómo operar con la representación: 69

70 Ejemplo de fallo } Explosión del Ariane 5 (primer viaje) } Enviado por ESA en junio de 1996 } Coste del desarrollo: 10 años y 7000 millones de dólares } Explotó 40 segundos después de despegar, a 3700 metros de altura. } Fallo debido a la pérdida total de la información de altitud: } El sw. del sistema de referencia inercial realizó la conversión de un valor real en coma flotante de 64 bits a un valor entero de 16 bits. El número a almacenar era mayor de (el mayor entero con signo de 16 bits) y se produjo un fallo de conversión y una excepción. 70

71 Coma fija [racionales] } Se fija la posición de la coma binaria y se utilizan los pesos asociados a las posiciones decimales } Ejemplo: = =9,625 71

72 Coma fija [racionales] } Se fija la posición de la coma binaria y se utilizan los pesos asociados a las posiciones decimales } Ejemplo: = =9,625 } Esta representación se usa pocas veces: } 3D y sonido: evitar FPU para ahorrar energía y dinero } Aplicaciones sensibles a errores de redondeo no predecibles 72

74 Notación científica decimal x mantisa base exponente } Cada número lleva asociado una mantisa y un exponente } Notación científica decimal usada: notación normalizada } Solo un dígito distinto de 0 a la izquierda del punto } Se adapta el número al orden de magnitud del valor a representar, trasladando la coma decimal mediante el exponente 74

75 Estándar IEEE 754 [racionales] signo exponente mantisa } Estándar para coma flotante usado en la mayoría de los ordenadores. } Características (salvo casos especiales): } Exponente: en exceso con sesgo 2 num_bits_exponente } Mantisa: signo-magnitud, normalizada, con bit implícito } Diferentes formatos: } Precisión simple: 32 bits (signo: 1, exponente: 8 y mantisa: 23) } Doble precisión: 64 bits (signo: 1, exponente: 11 y mantisa: 52) } Cuádruple precisión: 128 bits (signo: 1, exponente: 15 y mantisa: 112) 75

76 Normalización y bit implícito } [Normalización] Para normalizar la mantisa se ajusta el exponente para que el bit más significativo de la mantisa sea 1 } Ejemplo: x 2 3 (ya está normalizado) } Ejemplo: x x 2 0 } [Bit implícito] Una vez normalizado, dado que el bit más significativo es 1, no se almacena para dejar espacio para un bit más (aumenta la precisión) } Ejemplo: x x

77 Estándar IEEE 754 de precisión simple [racionales] bits S E M 31 S es el signo (1 bit) E es el exponente (8 bits) M es la mantisa (23 bits) } El valor se calcula con la siguiente expresión (salvo casos especiales): N = (-1) S 2 E M donde: S = 0 indica número positivo, S =1 indica número negativo 0 < E < 255 (E=0 y E=255 indican excepciones) M

78 Estándar IEEE 754 de precisión simple [racionales] } Existencia de casos especiales: (-1) s * 0.mantisa * Exponente Mantisa Valor especial 0 ( ) 0 +/- 0 (según signo) 0 ( ) No cero Número desnormalizado 255 ( ) No cero NaN (0/0, ) 255 ( ) 0 +/-infinito (según signo) Cualquiera Valor normal (no especial) (-1) s * 1.mantisa * 2 exponente

79 Ejemplos (incluyen casos especiales) S E M N (Excepción 0) E=0 y M= = = +2 2 ( ) = (Excepción ) E=255 y M= NaN (Not a Number, como la raíz cuadrada de un número negativo) E=255 y M¹0. 79

80 Ejemplo 4 minutos máx. a) Calcular el valor correspondiente al número dado en coma flotante según norma 754 de simple precisión Bit de signo: 0 Þ (-1) 0 = +1 Exponente: = Þ E = = 4 Mantisa: Þ = 0,75 Por tanto el valor decimal del nº es ,75 =

81 Ejemplo (solución) 4 minutos máx. a) Calcular el valor correspondiente al número dado en coma flotante según norma 754 de simple precisión a) Bit de signo: 0 Þ (-1) 0 = +1 b) Exponente: = Þ E = = 4 c) Mantisa: Þ = 0,75 Por tanto el valor decimal del nº es ,75 =

82 Ejemplo 2 minutos máx. b) Expresar según norma IEEE 754 de simple precisión el nº = = = -1, Bit de signo: negativo S=1 Exponente: (exceso) = Mantisa: 1,001 (bit impl.) Por tanto -9 =

83 Ejemplo (solución) 2 minutos máx. b) Expresar según norma IEEE 754 de simple precisión el nº = = = -1, a) Bit de signo: negativo S=1 b) Exponente: (exceso) = c) Mantisa: 1,001 (bit impl.) Por tanto -9 =

84 Fallos típicos 1) De decimal a IEEE } No sumar el exceso (127) al exponente } No quitar el bit implícito 2) De IEEE a decimal caso normalizado } No poner el valor decimal completo 3) De IEEE a decimal caso no normalizado } No poner el valor decimal completo } No poner que es un caso especial 84

85 Estándar IEEE 754 de precisión simple [racionales] } Rango de magnitudes representables (sin considerar el signo): } Menor normalizado: } Mayor normalizado: } Menor no normalizado: } Mayor no normalizado: Exponente Mantisa Valor especial 0 0 desnormalizado cualquiera normalizado (-1) s * 0.mantisa * (-1) s * 1.mantisa * 2 exponente

86 Estándar IEEE 754 de precisión simple [racionales] } Rango de magnitudes representables (sin considerar el signo): } Menor normalizado: = } Mayor normalizado: = ( ) = ( ) } Menor no normalizado: = } Mayor no normalizado: = ( ) Truco: = X = = 2 X =

87 Estándar IEEE 754 de precisión simple [racionales] } Rango de magnitudes representables (sin considerar el signo): } Menor normalizado: = = } Mayor normalizado: = ( ) = ( ) } Menor no normalizado: = } Mayor no normalizado: = ( ) 87

88 Ejercicio } Cuántos números de floats (coma flotante de simple precisión) hay entre el 1 y el 2 (no incluido)? 1 = 1,0 x = 1,0 x 2 1 Entre 1 y 2 hay 2 23 números } Cuántos números de floats (coma flotante de simple precisión) hay entre el 2 y el 3 (no incluido)? 2 = 1,0 x = 1,1 x 2 1 Entre 2 y 3 hay 2 22 números 88

89 Ejercicio } Cuántos números de floats (coma flotante de simple precisión) hay entre el 1 y el 2 (no incluido)? } 1 = 1, x 2 0 } 2 = 1, x 2 1 } Entre 1 y 2 hay 2 23 números } Cuántos números de floats (coma flotante de simple precisión) hay entre el 2 y el 3 (no incluido)? } 2 = 1, x 2 1 } 3 = 1, x 2 1 } Entre 2 y 3 hay 2 22 números 89

90 Números representables } Resolución variable: Más denso cerca de cero, menos hacia el infinito

91 Números representables Enteros representables Recta Real Desbordamiento negativo Desbordamiento a cero negativo Números negativos representables (a) Enteros en complemento a dos Cero Desbordamiento a cero positivo Números positivos representables Desbordamiento positivo * * * * Recta Real (b) Números en coma flotante 91

92 Ejemplo 1 imprecisión 0, x , x

93 Ejemplo 2 imprecisión } Cómo realiza C una división? #include <stdio.h> t2.c int main ( ) { float a ; } a = 3.0/7.0 ; if (a == 3.0/7.0) printf("igual\n") ; else printf("no Igual\n") ; return (0) ; 93

94 Ejemplo 2 imprecisión } Cómo realiza C una división? #include <stdio.h> t2.c int main ( ) { float a ; } a = 3.0/7.0 ; if (a == 3.0/7.0) printf("igual\n") ; else printf("no Igual\n") ; return (0) ; $ gcc -o t2 t2.c $./t2 No Igual 94

95 Ejemplo 2 imprecisión } Cómo realiza C una división? #include <stdio.h> t2.c float int main ( ) { float a ; } double a = 3.0/7.0 ; if (a == 3.0/7.0) printf("igual\n") ; else printf("no Igual\n") ; return (0) ; $ gcc -o t2 t2.c $./t2 No Igual 95

96 Ejemplo 3 imprecisión } La propiedad asociativa no siempre se cumple a + (b + c) = (a + b) + c? #include <stdio.h> t1.c int main ( ) { float x, y, z ; x = 10e30; y = -10e30; z = 1; printf("(x+y)+z = %f\n",(x+y)+z) ; printf("x+(y+z) = %f\n",x+(y+z)) ; } return (0) ; 96

97 Ejemplo 3 imprecisión } La propiedad asociativa no siempre se cumple a + (b + c) = (a + b) + c? #include <stdio.h> t1.c int main ( ) { float x, y, z ; x = 10e30; y = -10e30; z = 1; printf("(x+y)+z = %f\n",(x+y)+z) ; printf("x+(y+z) = %f\n",x+(y+z)) ; $ gcc -o t1 t1.c $./t1 (x+y)+z = x+(y+z) = } return (0) ; 97

98 Redondeo } El redondeo elimina cifras menos significativas de un número para obtener un valor aproximado. } Tipos de redondeo: } Redondeo hacia + } Redondeo hacia arriba : , } Redondeo hacia - } Redondea hacia abajo : , } Truncar } Descarta los últimos bits: } Redondeo al más cercano } 2.4 2, 2.6 3,

99 Redondeo } El redondeo supone ir perdiendo precisión. } El redondeo ocurre: } Al pasar a una representación con menos representables: } Ej.: Un valor de doble a simple precisión } Ej.: Un valor en coma flotante a entero } Al realizar operaciones aritméticas: } Ej.: Después de sumar dos números en coma flotante (al usar dígitos de guarda) 99

100 Dígitos de guarda } Se utilizan dígitos de guarda para mejorar la precisión: internamente se usan dígitos adicionales para operar. } Ejemplo: 2,65 x x 10 2 SIN dígitos de guarda CON dígitos de guarda 1.- igualar exponentes 0,02 x ,34 x ,0265 x ,3400 x sumar 2,36 x ,3665 x redondear 2,36 x ,37 x

101 Operaciones en coma flotante } Sumar } Restar 1. Comprobar valores cero. 2. Igualar exponentes (desplazar número menor a la derecha). 3. Sumar/restar las mantisas. 4. Normalizar el resultado. } Multiplicar } Dividir 1. Comprobar valores cero. 2. Sumar/restar exponentes. 3. Multiplicar/dividir mantisas (teniendo en cuenta el signo). 4. Normalizar el resultado. 5. Redondear el resultado. 101

102 Ejercicio } Usando el formato IEEE 754, sumar 7,5 y 1,5 paso a paso 102

103 Solución (1) Pasar a binario 1) 7,5 + 1,5 = 2) 1,111* ,1*2 0 = 3) 1,111* ,011*2 2 = 4) 10,010*2 2 = 5) 1,0010*2 3 Igualar exponentes Sumar Ajusta exponentes 103

104 Solución (2) } Igualar exponentes 7, ,

105 Solución (2) } Igualar exponentes + 7, /2 1,

106 Solución (2) } Igualar exponentes 7, /2 + 1,

107 Solución (2) } Igualar exponentes + 7, /2 1,

108 Solución (2) } Sumar mantisas 7, ,

109 Solución (2) } Normalizar el resultado 7, , I

110 Solución (2) } Normalizar el resultado 7, , / I

111 Solución (2) 7, , I ,125*

112 Ejercicio } Usando el formato IEEE 754, restar a 9 la cantidad de 7,5 paso a paso 112

113 Solución (1) 9-7,5 = 1, , = 1, , = 0, = 0, = 1 0,75 2 = 1,

114 Solución (2) } Igualar exponentes ,

115 Solución (2) } Igualar exponentes /2-7,

116 Solución (2) } Igualar exponentes /2-7,

117 Solución (2) } Resta , ,

118 Solución (2) } Normalizar el resultado , ,

122 Ejercicio } Usando el formato IEEE 754, multiplicar 7,5 y 1,5 paso a paso 122

123 Solución (1) } 7,5 x 1,5 = (1,111 2 x 2 2 ) x (1,1 2 x 2 0 ) = (1,111 2 x1,1 2 ) x 2 (2+0) = (10, ) x 2 2 = (1, ) x 2 3 = 11,25 123

124 Solución (2) } Multiplicar: representar con bit implícito 7, X 1,

125 Solución (2) } Multiplicar: sumar exponentes y multiplicar mantisas 7, X 1,

126 Solución (2) } Multiplicar: quitar el sesgo al exponente (hay dos) 7, X 1,

127 Solución (2) } Multiplicar: normalizar el resultado 7, X 1, /2 11,

128 Solución (2) } Multiplicar: el bit implícito solo usado internamente 7, X 1, ,

129 Suma y resta: Z=X+Y y Z=X-Y No X = 0? Y = 0? No Si Z = Y Si Z = X 1. Comprobar exponentes: desplazar el número menor a la derecha hasta igualar exponentes Fin 2. Sumar mantisas 3. Normalizar la suma Desbord. o desbord. a cero? Si Excepción 4. Redondear Normalizado? Si Fin 129

130 Multiplicación: Z=X*Y MULTIPLICAR X = 0? No Y = 0? No Sumar exponentes Sí Z 0 Sí Restar sesgo RETORNAR Indicar desbordamiento Desbordamiento en exponente? No Sí Desbordamiento a cero en exponente? Sí Indicar desbordamiento a cero No Multiplicar mantisas Normalizar Redondear RETORNAR 130

131 División: Z=X/Y DIVIDIR X = 0? No Y = 0? No Restar exponentes Sí Sí Z 0 Z Sumar sesgo RETORNAR Indicar desbordamiento Desbordamiento en exponente? No Sí Desbordamiento a cero en exponente? Sí Indicar desbordamiento a cero No Dividir mantisas Normalizar Redondear RETORNAR 131

132 Evolución de IEEE 754 } 1985 IEEE 754 } 2008 IEEE ( ) } 2011 ISO/IEC/IEEE 60559:2011 ( ) Name Common name Base Digits E min E max Notes binary16 Half precision storage, not basic Decimal digits Decimal E max binary32 Single precision binary64 Double precision binary128 Quadruple precision decimal storage, not basic 7 96 decimal decimal

133 Tema 2 Representación de la información Grupo ARCOS Estructura de Computadores Grado en Ingeniería Informática Universidad Carlos III de Madrid