a) x 1 = 2 b) x + x 6 = 2 + = + = c) x 9x + 20 = 2 d) x 6x 7 = a) x = 1 y x = 1 b) x = 3 y x = 2 c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7

Transcripción

1 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 1 = x + x 6 = c) x 9x + = d) x 6x 7 = = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = 4 y x = 5 d) x = 1 y x = 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 5x + 1 = 1x 4 4x + x = 8x c) 6x 9x = 18 7 d) + 4x 15 = 13x + 4 a) x = 1 x = 3 c) x = 3 d) x = 1 3 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: 4 a) x 5x + 4 = 4 x 5x = a) Realizando el cambio de variable x = z queda la ecuación: z - 5z + 4 =, cuyas soluciones son: z = 1 y z = 4. x = 1; x = 1; x = y x =. Realizando el cambio de variable x = z queda la ecuación: z - 5z =, cuyas soluciones son: z = 9 y z = 16. x = 3; x = 3; x = 4 y x = 4.

2 4 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) x + 4 = x + 6 x + x + 3x = 5x + 1 c) x + 51 = 15x + 9 d) x + 1 = x + 4 a) x = x = 1 c) x = 3 d) x = 1 5 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: 4 a) x 13x + 36 = 4 x 6x + 5 = a) Realizando el cambio de variable x = z queda la ecuación: z - 13z + 36 =, cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9. x = ; x = ; x = 3 y x = 3. Realizando el cambio de variable x = z queda la ecuación: z - 6z + 5 =, cuyas soluciones son: z = 1 y z = 5. x = 1; x = 1; x = 5 y x = 5. 6 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 5x + 1 = 16 x x = 6 a) Simplificando: 5 x+ 1 = 8 x Elevando al cuadrado: 5x + 1 = 64 16x + x Solución válida: x = 3 Operando: x 1x + 54 = x = 3 y x = 18

3 Aislando el radical: x = 6 x Elevando al cuadrado: x = 36 1x + x Solución válida: x = 9 Operando: x 13x + 36 = x = 9 y x = 4 7 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 6 = 1 4 x + 7 = 16 a) Se aísla el radical: x = 4 Se simplifica: x = Se eleva al cuadrado: x = 4 Se simplifica: x+ 7 = 4 Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16 Se opera: x = 9 8 Resuelve las siguientes ecuaciones: + + = + + = + = a) x 5x 4 x 5x 6 c) x 5x 6 d) x 6x 7 a) x = 1 y x = 4 x = y x = 3 c) x = y x = 3 d) x = 7 y x = 1 9 Resuelve las siguientes ecuaciones: = = a) x 1x 4 x 9 c) x 4 d) x 3x

4 a) x = 4 y x = 6 x = 3 y x = 3 c) x = y x = d) x = 1 y x = 1 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) (x 3) + 3(x 1) = 1 4x + (x 1) 3(x ) = 13 c) (1 x) + (x + 3) = 4 d) x + x + 3x = 5(1 x) + 6 a) x = x = 3 c) x = 1 d) x = 1 11 Resuelve las siguientes ecuaciones: 4 a) x 1x 9 4 x 9x + 1 = 3 c) x x 48x a) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación: z - 1z + 9 =, cuyas soluciones son: z = 1 y z = 9. x = 1; x = 1; x = 3 y x = 3 Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación: z - 9z + 1 =, cuyas soluciones son: z = 4 y z = 5. x = ; x = ; x = 5 y x = 5 c) Sacando factor común, queda la ecuación: x (x - x + 48) =, cuyas soluciones son: x =, x = 4 y x = 6. 1 Irene pregunta a Enrique: cuántos litros de combustible caben en el depósito de tu coche? A lo que Enrique contesta: Si a la mitad del contenido de mi depósito le echas 5 litros queda igual de lleno que si a la quinta parte del depósito le echas 4 litros. Se plantea la ecuación: x x + 5 = + 4 5

5 Operando: x = 5 litros. 13 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 1( x) = 8(x 1) x 1 3x 5x x 5 4x 3x + 5 c) = x 1 x 5x + 15 d) = 3 5 a) x = 8 Multiplicando por 1 queda: 6x 84 9x + 1x = 84 x = 4 c) Multiplicando por queda: 3x 5 16x = 3x + 5 x = 5 d) Multiplicando por 15 queda: + 7x 5 1x = 15x + 45 x = 14 La raíz cuadrada de un número al que hemos añadido 6 unidades es igual a ese mismo número si le restamos 6 unidades. Averigua de qué número se trata. Se plantea el problema: x+ 6 = x 6 Elevando al cuadrado: x + 6 = x x Operando: x 13x + 3 = x = 1 y x = 3 Solución válida: x = 1 15 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

6 a) x 4x x x 5 4x 3x + 5 = 5 c) 6x 1x x 14 1x 1 = d) (x 1) (1 x) = a) Multiplicando por 1 queda: 8x 8x + 3x = 36 x = 1 Multiplicando por queda: 3x 5 16x = 3x + 5 x = 5 c) Multiplicando por 4 queda: 84x 38 3x + 6 = 14x 98 x x = 5 d) Multiplicando por 1 queda: 6x x = 6 x = 9 16 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 3 = x + 4 x + x 3 = 3 c) x 3x + 3 = x + x 3 d) x + 3x 7 = 3x + = a) x = 1 y x = 1 x = 3 y x = c) x = y x = 3 d) x = 7 y x = 1 17 Resuelve las siguientes ecuaciones:

7 a) x + 1 = 9x + 1 x + 3x = 5 + 9x c) x 5x + 1 = x + 5x 1 d) x 3 = x + 6 = + a) x = y x = 9 x = 1 y x = 7 c) x = 4 y x = 6 d) x = 3 y x = 3 18 Preguntado un padre por la edad de su hijo contesta: el producto de su edad hace 6 años por el de su edad hace 4 años es mi edad actual que son 48 años. Calcula la edad del hijo. Se plantea la ecuación. Sea x la edad del hijo: (x 6) (x 4) = 48 Operando: x 1x 4 = Soluciones: x = 1 y x = La solución válida es 1 años. 19 Un alumno pregunta al profesor: Profe!, cuántos alumnos se presentan a la recuperación de matemáticas? A lo que el profesor responde: Si restamos 7 al producto del número de alumnos que se presentan menos 6 por el número de alumnos que se presentan menos 7, obtendríamos el número de alumnos que se debería presentar que es cero. Se plantea el problema. Sea x el número de alumnos que se presenta a la recuperación: (x 6) (x 7) 7 = Operando: x 13x 3 = Las soluciones son: x = y x = 15. La solución válida es 15 alumnos. Preguntado un padre por la edad de sus tres hijos contesta: mis hijos se llevan cada uno un año con el siguiente, si sumamos sus edades se obtienen 9 años más que si sumamos las edades de los dos más pequeños. Se plantea la ecuación: Edad del más pequeño: x Entonces: x + (x + 1) + (x + ) = 9 + x + (x + 1) Operando: x = 7 años, x + 1 = 8 años y x + = 9 años. 1 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

8 4 a) x 13x + 36 = 4 x 6x + 5 = 4 c) x 9x + = a) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación: z - 13z + 36 =, cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9. x = ; x = ; x = 3 y x = 3 Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación: z - 6z + 5 =, cuyas soluciones son: z = 1 y z = 5. x = 1; x = 1; x = 5 y x = 5. c) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación: z - 9z + =, cuyas soluciones son: z = 4 y z = 5. Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = ; x = ; x = 5 y x = 5 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + 6 = 1 4 x + 7 = 16 c) x 5 x = x a) Se aísla el radical: x = 4 Se simplifica: x = Se eleva al cuadrado: x = 4 Se simplifica: x+ 7 = 4 Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16 Se opera: x = 9 c) Se opera: 4 x = x Se eleva al cuadrado: 16x = x Se opera: x 16x = x = y x = 16 3 Resuelve las siguientes ecuaciones:

9 a) 7 + x x + 4 = 4x 3 x 1 = 3 x c) 1 x = 1 8 a) Se simplifica: 1 x+ 4 = x 41 Se eleva al cuadrado: 144(x + 4) = x 8x Operando: x 6x = x = 5 y x = 1 Solución válida: x = 5 Se simplifica: x = 5 Se eleva al cuadrado: x = 5 x = 5 c) Se simplifica: 16 x = x19 Se eleva al cuadrado: 56x = x x Operando: x 64x = x = 64 y x = 576 Solución válida: x = 64 4 Resuelve las siguientes ecuaciones: 4 a) x 17x + 16 = 4 x 34x + 5 = 4 3 c) x 1x + 4x = a) Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación: z - 17z + 16 =, cuyas soluciones son: z = 1 y z = 16. x = 1; x = 1; x = 4 y x = 4 Realizando el cambio de variable: x = z queda la ecuación: z - 34z + 5 =, cuyas soluciones son: z = 9 y z = 5. x = 3; x = 3; x = 5 y x = 5 c) Sacando factor común, queda la ecuación: x (x - 1x + 4) =, cuyas soluciones son: x = (doble), x = 4 y x = 6. 5 Resuelve las siguientes ecuaciones:

10 a) x 1 x = x x + 6 = 1 x c) x = 7 3 a) Se simplifica: 8 x = x Se eleva al cuadrado: 64x = 4x Se opera: x 16x = x = y x = 16 Se aísla el radical: x = 4 Se simplifica: x = Se eleva al cuadrado: x = 4 c) Se simplifica: 6 x = x 7 Se eleva al cuadrado: 36x = x x Operando: x 9x + 79 = x = 81 y x = 9 Solución válida: x = 81 6 El área de un triángulo rectángulo es 6 m y sabemos que su hipotenusa mide 5 m. Calcula la longitud de los dos catetos que forman la base y la altura. Del área del triángulo se tiene: x c A A = c = x Del teorema de Pitágoras: 4 A h = x + c h = x + x Multiplicando ambos miembros por x y pasándolo todo al primer miembro queda: 4 x x h + 4 A = 4 x 5x = Realizando el cambio de variable x = z queda la ecuación: z - 5z =, cuyas soluciones son: z = 9 y z = 16. x = 3; x = 3; x = 4 y x = 4 Las soluciones válidas son las positivas, una para cada cateto. 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

11 a) 6x 1x x 14 1x 1 = x 1 3x 5x c) x + x + x = d) (x 1) (1 x) = a) Multiplicando por 4 queda: 84x 38 3x + 6 = 14x 98 x x = 5 Multiplicando por 1 queda: 6x 84 9x + 1x = 84 x = 4 c) Multiplicando por 1 queda: 6x + 4x + 3x = x = 5 d) Multiplicando por 1 queda: 6x x = 6 x = 9 8 Cinco amigos juntan su dinero llegando a reunir 4 euros. Los dos primeros aportan la misma cantidad el tercero aporta el doble que los dos primeros juntos, el cuarto la mitad que el tercero y el quinto la mitad de los cuatro primeros juntos. Cuánto aporta cada uno? Se plantea el problema. Cada uno de los dos primeros aporta: x El tercero aporta: (x) El cuarto aporta: x 1 El quinto aporta: ( x+ x+ 4 x+ x) La ecuación queda: 1 x+ x+ ( x) + x+ ( x+ x+ ( x) + x) = 4 Operando: x = Euros Así, cada uno aportará: Primero: Euros Segundo: Euros Tercero: 8 Euros Cuarto: 4 Euros

12 Quinto: 8 Euros 9 En una clase deciden que este verano van a escribir todos una carta al resto de compañeros. El listillo de la clase dice: Los de Correos se van a poner contentos porque vamos a escribir 6 cartas!. Calcula el número de alumnos que hay en la clase. Se plantea el problema. Si x es el número de alumnos, cada uno de ello escribe (x 1) cartas, por lo que el total de las cartas será la suma de veces (x 1). x (x 1) = 6. Operando: x x 6 = Las soluciones son x = 4 y x = 5. La solución válida es 5 alumnos. 3 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: 4 a) x x + 64 = 5 3 x 41x + 4x = 6 3 c) x 3x a) Realizando el cambio de variable x = z queda la ecuación: z - z + 64 =, cuyas soluciones son: z = 4 y z = 16. x = ; x = ; x = 4 y x = 4 Sacando factor común x y realizando el cambio de variable x = z queda la ecuación: x (z - 41z + 4) =, cuyas soluciones son: x =, z = 16 y z = 5. x = ; x = 4; x = 4; x = 5 y x = 5 c) Realizando el cambio de variable x 3 = z queda la ecuación: z - 3z + =, cuyas soluciones son: z = 1 y z =. Calculando las raíces cúbicas de las soluciones obtenidas tenemos: 3 x = 1; x = 31 Resuelve las siguientes ecuaciones: 5x 1 x + 5x a) x = 6 = x 3 x 3 = c) x + x + 1 = x + x + d) x (x 1) x 1 =

13 a) x = 4 y x = 6 x = 3 y x = 3 c) x = 1 y x = 1 d) x = 1 y x = 3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras. a) x + 4y = 1 x + y = 7 x + y = 7 4x y = 4 a) x = 3; y = 1 x = 1; y = 8 33 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras. a) x + 4y = 1 4x + y = 14 x + 3y = 5 x y = 1 a) x = 3; y = 1 x = ; y = 3 34 En una frutería se venden peras de 1ª a 1,9 Euros/kg y de ª a 1, Euros/kg. Si en el transcurso del día se han vendido 14 kg de peras con una recaudación total de 7,5 Euros. Cuántos kilogramos de cada clase se han vendido? Planteamos el problema. x = kg. de primera y = kg. de segunda x+ y = 14 1,9 x+ 1, y = 7,5 x = 85 kg. de primera; y = 55 kg. de segunda 35 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.

14 a) 5x + 7y = 19 3x y = 1 x + y = 1 x 3y = 5 a) x = 1; y = x = 7; y = 3 36 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras. a) x + y = 5 x + 4y = 3x y = 1 x + y = 8 a) x = 3; y = 1 x = ; y = 3 37 En una tienda se venden pantalones originales de la marca Jorge's a 85 Euros y los de imitación a 3 Euros. En el transcurso de la semana se han vendido 43 pantalones, recaudando 86 Euros. Cuántos pantalones de cada clase se vendieron? Planteamos el problema. x = pantalones auténticos y = pantalones de imitación x+ y = x+ 3 y = 86 x = 8 pantalones auténticos; y = 15 pantalones de imitación 38 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras. a) x 4y = x + y = 3 3 4x + 3y = 1 x + y = 1

15 a) x = 3; y = 1 x = ; y = 3 39 Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción. a) x + y = 5 x + y = 7 x + y = 18 1x + y = 9 a) Igualación: x = 5 y 7 y 7 y 5 y = ; x = 1 7 = 4 y y; y = 1; x = 3 Reducción: ( x+ y = 5 ) x 4 y = 1 x+ y = 7 x+ y = 7 3 y = 3 y = 1; x = 3 Igualación: y = 18 x 18 x = 9 1 x y = 9 1 x 1 x x = 9 18; x = 1; y = 19 Reducción: ( x+ y = 18 ) x y = 18 1 x+ y = 9 1 x+ y = 9 9 x = 9 x = 1; y = 19 4 Resuelve los siguientes sistemas no lineales: a) y = x 3 x + = 4 x y xy = 15 x 5 = y 3

16 4 a) x = 3, y = 1; x =, y = 3 3 x = 5, y = 3; x = 5, y = 3 41 Con dos clases de café de 9 Euros/kg y 1 Euros/kg se quiere obtener una mezcla de 1 Euros/kg. Halla la cantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 3 kg de mezcla. Planteamos el problema. x = kg. de la clase más barata y = kg. de la clase más cara. 9 x+ 1y = 3 x+ y = 3 x =, y = 1 4 Una calculadora y un reloj cuestan 115 Euros. En las calculadoras se está haciendo un descuento del % y en los relojes del 1%. Pagando de este modo solo cuestan en total 11,5 Euros. Cuál es el precio de cada objeto? Planteamos el problema. x = precio de la calculadora y = precio del reloj x+ y = 115,8 x+,9 y = 11,5 x =, y = Resuelve los siguientes sistemas no lineales: a) y = x + 1 x = x y ( )( ) x + y x y = 7 3x 4y = a) x = 1, y = 1; x =, y = 4 x = 4, y = 3; x = 4, y = 3 44 Resuelve el siguiente sistema no lineal:

17 x x + y y 3 + xy = 4 1 xy = x =, y = ; x =, y = 1; x =, y = 1; x =, y = 45 Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción. a) x + y = 18 1x + y = 9 5 x + y = 3 5 4x y = 6 a) Igualación: y = 18 x 18 x = 9 1 x y = 9 1 x 1 x x = 9 18; x = 1; y = 19 Reducción: x+ y = 18 1 x+ y = 9 ( ) x y = 18 1 x+ y = 9 9 x = 9 x = 1, y = 19 Igualación: 5 x 3 y = 5 6 x x = y = 4 x x = 1 x =, y = 3 Reducción:

18 5 1 x+ y = x+ y = x y = 8 x y 6 = x = x = =, y = Resuelve los siguientes sistemas no lineales: y x + y = 1 a) x x + y = 5 = 3x 5y = 3 x y = 7 a) x = 1, y = 4 x = 5, y = 3; x = 5, y = 3; x = 5, y = 3; x = 5, y = 3 47 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y reducción. a) x + y = 5 x + y = 7 x + 4y = 1 x + y = 7 a) Sustitución: x+ y = 5 x = 5 y x+ y = 7 (5 y) + y = y+ y = 7; 3 y = 3 y = 1, x = 3 Reducción ( x+ y = 5 ) x 4 y = 1 x+ y = 7 x+ y = 7 3 y = 3 y = 1; x = 3 Sustitución

19 x+ 4 y = 1 y = 7 x x+ y = 7 x+ 4(7 x) = 1 x+ 8 8 x = 1; 6 x = 18 x = 3; y = 1 Reducción: x+ 4 y = 1 x+ y = 7 ( ) x 4 y = 1 x+ y = 7 3 y = 3 y = 1; x = 3 48 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución e igualación. a) x + 4y = 1 4x + y = 14 4x + 3y = 1 x + y = 1 a) Sustitución: 1 4 y x = x+ 4 y = 1 4 x+ y = y 4 + y = 14 8 y+ y = 14; y = 6 y = 1, x = 3 Igualación: 1 4 y x = 1 4 y 14 y = 14 y x = y = 14 y; 6 y = 6 y = 1, x = 3 Sustitución: 4 x+ 3 y = 1 x = 1 y x+ y = 1 4(1 y) + 3 y = y+ 3 y = 1; y = 3 y = 3, x = Igualación: 1 3 y x = 1 3 y 4 = 1 y x = 1 y y = 4 4 y y = 3, x = 1 3 = 49 Enrique invierte sus 3 Euros en dos bancos. En el banco del Teide le dan el 7% de beneficios y en

20 Caja Europa el 3%. Teniendo en cuenta que recibió por su dinero 178 Euros de beneficio. Cuánto dinero colocó en cada banco? Plantemos el problema. x = dinero en Banco del Teide y = dinero en Caja Europa x+ y = 3,7 x+,3 y = 178 x =, y = 8 5 Resuelve el siguiente sistema no lineal: x 1 y + x + 1 y x = 3 1 ( x ) = y( 1 y) 3 x =, y = 1; x =, y = El área de un triángulo rectángulo es 6 m y su perímetro 1 m. Calcula la longitud de los lados del triángulo. Llamamos x e y a los catetos y escribimos las ecuaciones en función de éstos: x y = 1 x+ y+ x + y = 1 La segunda ecuación que tiene la forma de una radical la tratamos como tal elevándola al cuadrado: x + y = 1 x y; x + y = x + y 4 x 4 y+ xy 4 x+ 4 y xy = y = xy = 1 x = = = x x 4 4 x x 144; 4 x 168 x 88 x 7 x 1 x 4, x 3 Tomando x = 4 se tiene y = 3 y viceversa si se toma x = 3 será y = 4, que forman el mismo triángulo. 5 Resuelve el siguiente sistema no lineal: x y xy = 6 = 5 x = 3, y = ; x = 3, y =

21 53 Resuelve el siguiente sistema no lineal: x + y = 65 xy = 8 x = 7, y = 4; x = 4, y = 7; x = 4, y = 7; x = 7, y = 4 54 Partiendo de la ecuación x + y = 9, añade otra que forme con ésta un sistema que no tenga solución. Para que el sistema no tenga solución basta con tomar una proporcional a ésta en una de las dos partes de la igualdad: Ejemplo: 4x + y = 15 También se puede tomar como compañera de ésta la misma ecuación pero con diferente resultado: Ejemplo: x + y = 7 Resolviéndolas se puede comprobar que se obtienen resultados absurdos como 7 = Un alumno tiene monedas en ambas manos, si pasa dos monedas de la mano derecha a la izquierda tendrá el mismo número de monedas en ambas manos. Si pasa 3 monedas de la izquierda a la derecha, tendrá en ésta el doble de monedas que en la otra. Cuántas monedas tiene en cada mano? Planteamos el problema. x = número de monedas en la mano derecha y = numero de monedas en la mano izquierda x = y+ x y = 4 (y 3) = x+ 3 x y = 9 x = 17, y = El área de un rectángulo es 1 m y su diagonal mide 5 m. Calcula las longitudes de los lados. Llamaremos a los lados x e y. x y = 1 1 x = x + y = 5 y y y = 5; y 4 = 5 y Cambiamos de variable: y = z. z 5 z+ 144 =, cuyas soluciones son: z = 16, z = 9; Los valores válidos de y serán y = 4, y = 3. Tomando y = 4 se tiene x = 3 y viceversa si y = 3 entonces x = 4, que son las dimensiones del mismo rectángulo.